2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点10 函数的图象及其变换

难点10 函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场(★★★★★)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围.●案例探究［例1］对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ),(1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.技巧与方法：数形结合、等价转化.(1)证明：设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0),又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0,∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，而2)2(00x x a +-=a ,∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)解：由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根，由对称性，f (x )=0的四根之和为8. ［例2］如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a ).(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论.命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼.技巧与方法：数形结合、等价转化.解：(1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ), g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B =1+a . 0)11121(21)]1()12[(21)122(21)()()2(<++-+++=-+-+-+=+-++=-aa a a a a a a a a a a g a f ∴f (a )<g (a ). ●锦囊妙计1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是( )2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )二、填空题3. (华南师大附中2018届高三综合测试（一）) (★★★★★)已知函数f (x )=log 2(x +1)，将y =f (x )的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y =g (x )的图象，则函数F (x )=f (x )－g (x )的最大值为_________.三、解答题4.(★★★★)如图，在函数y =lg x 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m ,m +2,m +4(m >1).(1)若△ABC 面积为S ，求S =f (m );(2)判断S =f (m )的增减性.5.(★★★★)如图，函数y =23|x |在x ∈［－1,1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M (1，m )(m ∈R 且m >23)是△ABC 的BC 边的中点.(1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S =f (t );(2)求函数S =f (t )的最大值，并求出相应的C 点坐标.6.(★★★★★)已知函数f (x )是y =1102+x －1(x ∈R )的反函数，函数g (x )的图象与函数y =－21-x 的图象关于y 轴对称，设F (x )=f (x )+g (x ). (1)求函数F (x )的解析式及定义域；(2)试问在函数F (x )的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由. 7.(★★★★★)已知函数f 1(x )=21x -,f 2(x )=x +2,(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围.(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值. 8.(★★★★★)设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ).(1)求g (x )的解析表达式；(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；(3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1). 参考答案难点磁场解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ①,又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0②,①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二：如图f (0)=0有三根，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b =－3a ,∵a >0,∴b ＜0.歼灭难点训练一、1.解析：∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1.故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合.答案：A2.解析：由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C.又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降.答案：D二、3.解析：g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)=log 21441log 441log )2(122222+++=+++=++x x x x x x x x )1(2111log 2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log 211)1(21log 22=++⋅+x x =－2 当且仅当x +1= 11+x ,即x =0时取等号. ∴F (x )max =F (0)=－2.答案：－2三、4.解：(1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C .(2)S =f (m )为减函数.5.解：(1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t , 23t )(t >0),C (x 0,y 0). ∵M 是BC 的中点.∴20x t +=1,2230y t + =m . ∴x 0=2－t ,y 0=2m －23t .在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－23t =2m －3t . ∴S =21|AB |·h AB = 21·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1). (2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t =3m 时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m , 23m ),若3m >1,即m >3.S =f (t )(0，1］上是增函数，∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3).6.解：(1)y =1102+x －1的反函数为f (x )=lg xx +-11(－1＜x ＜1). 由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lg x x +-11+21+x ,定义域为(－1，1). (2)用定义可证明函数u =x x +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数.∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B . 7.解：(1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x .图略. y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+2)π.(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1.(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，则可解得b =235-. 8.(1)g (x )=x －2+41-x .(2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0). (3)不等式的解集为{x |4＜x ＜29或x >6}.。

函数图像及其变换师大学附属外国语中学 庆兵函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。

历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。

这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。

下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。

（一）平移变换及其应用：函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。

如：例1、（2008理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标。

若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值围是 。

（图一） （图二）分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数xy 4=的图象交点的横坐标。

这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）可知，函数3x y =与函数xy 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x4=下方，要使得方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x ii =均在直线x y =的同侧，只须将函数3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数xy 4=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。

艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换1.函数的图象函数的图象是函数y=f(x)的平面图形表示，通常用笛卡尔坐标系上的点(x,f(x))表示。

函数的图象可以帮助我们直观地了解函数的性质。

2.常见函数图象(1) 一次函数y=ax+b (a≠0) 的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。

(2) 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。

(3)幂函数y=x^a(a>0,a≠1)的图象是一条指数曲线，根据a的大小关系可以判断增减性。

(4) 对数函数y=loga(x) (a>0, a≠1) 的图象是一条反比例函数的图象。

3.函数图象的平移(1)向右平移h个单位：将x替换为x-h，则对应的函数图象向右平移h个单位。

(2)向左平移h个单位：将x替换为x+h，则对应的函数图象向左平移h个单位。

(3)向上平移k个单位：将y替换为y-k，则对应的函数图象向上平移k个单位。

(4)向下平移k个单位：将y替换为y+k，则对应的函数图象向下平移k个单位。

4.函数图象的伸缩(1) 横向伸缩：将x替换为kx (k>0)，则对应的函数图象在x轴方向上缩短为原来的1/k倍；如果k<0，则函数图象在x轴方向上翻转。

(2) 纵向伸缩：将y替换为ky (k>0)，则对应的函数图象在y轴方向上伸长为原来的k倍；如果k<0，则函数图象在y轴方向上翻转。

5.函数图象的对称(1)关于x轴对称：将y替换为-y，则对应的函数图象关于x轴对称。

(2)关于y轴对称：将x替换为-x，则对应的函数图象关于y轴对称。

(3)关于原点对称：先进行左右对称，再进行上下对称。

6.函数图象的综合变换根据需要，可以将平移、伸缩和对称等操作综合运用于函数的图象，从而得到更加复杂的函数图象。

7.相关考点(1)函数的性质与图象：通过观察函数的图象，可以判断函数的奇偶性、增减性等性质。

(2)函数的反函数：反函数的图象是原函数的图象关于直线y=x的镜像。

专题10 函数的图象【考点总结】1．利用描点法作函数的图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )． 【常用结论】1．函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数图象对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称． (3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 【易错总结】(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错； (2)不注意函数的定义域出错．例1．设f (x )＝2－x ，g (x )的图象与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，h (x )的图象由g (x )的图象向右平移1个单位得到，则h (x )＝________．解析：与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称的图象所对应的函数为g (x )＝－log 2x ，再将其图象右移1个单位得到h (x )＝－log 2(x －1)的图象．答案：－log 2(x －1)例2.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2，8]．答案：(2，8]【考点解析】【考点】一、作函数的图象 例1、作出下列函数的图象．(1)y ＝x 2－2|x |－1. (2)y ＝x ＋2x －1.(3)y ＝|log 2(x ＋1)|. 【解】(1)先化简，再作图，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，图象如图所示．(2)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图所示．(3)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示． 函数图象的三种画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．[提醒] (1)画函数的图象时一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【考点】二、函数图象的识别 角度一 知式选图例1、(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )(2)(2020·淄博模拟)函数f (x )＝ln(x 2＋2)－e x－1的图象可能是( )【解析】 (1)因为f (－x )＝sin （－x ）－x cos （－x ）＋（－x ）2＝－sin x ＋xcos x ＋x 2＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除A ；因为f (π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2>0，所以排除C ；因为f (1)＝sin 1＋1cos 1＋1，且sin 1>cos 1，所以f (1)>1，所以排除B.故选D. (2)当x →＋∞时，f (x )→－∞，故排除D ；易知f (x )在R 上连续，故排除B ； 且f (0)＝ln 2－e －1＞0，故排除C ，故选A. 【答案】 (1)D (2)A 角度二 知图选式例1、(1)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x(2)(2020·洛阳第一次统考)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(a ＞b )的大致图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是()【解析】 (1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(2)由函数f (x )的大致图象可知3＜a ＜4，－1＜b ＜0，所以g (x )的图象是由y ＝a x (3＜a ＜4)的图象向下平移－b (0＜－b ＜1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A 中的图象，故选A.【答案】 (1)A (2)A角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象例3、广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为 ( )【解析】 根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x ∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f (x )＝1；当x ∈[π，2π)时，设O 2P →与O 2O 1→的夹角为θ，因为|O 2P →|＝1，|O 2O 1→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝(O 2P →－O 2O 1→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，所以y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增；当x ∈[2π，4π)时，O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →与OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P |2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos x 2，函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减．【答案】 A识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．[提醒] 由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．【变式】1．(2020·湖北七市(州)模拟)函数f (x )＝3x －3－xx 4的大致图象为( )解析：选B.易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f (－x )＝3－x －3x x 4＝－3x －3－xx 4＝－f (x )，则f (x )是奇函数，则图象关于原点对称，排除A ，f (1)＝3－13＝83>0，排除D ，当x →＋∞时，3x →＋∞，则f (x )→＋∞，排除C ，故选B.【变式】2.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln |x |B ．f (x )＝x 2－ln |x |C ．f (x )＝|x |－2ln |x |D ．f (x )＝|x |－ln |x |解析：选B.由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x ＞0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2，1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件．故选B.【变式】3．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．【考点】三、函数图象的应用 角度一 研究函数的性质例1、(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是 ( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．【解析】(1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．(2)函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.【答案】 (1)C (2)32一般根据图象观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图象是否关于原点或y 轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图象上升与下降的情况，确定单调性． 角度二 解不等式例2、若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，2]B ．⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)【解析】 要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．【答案】 A当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解． 角度三 求参数的值或取值范围例3、设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．【答案】 [－1，＋∞)当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．【变式】1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选D.因为f (x )为奇函数，所以不等式f （x ）－f （－x ）x ＜0可化为f （x ）x ＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1，0)∪(0，1)．【变式】2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( )A．(16，32) B．(18，34) C．(17，35) D．(6，7) 解析：选B.画出函数f(x)的图象如图所示．不妨令a<b<c，则1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.结合图象可得4<c<5，故16<2c<32，所以18<2a＋2b＋2c<34.故选B.。

考点十 函数的图象及其变换知识梳理1．函数图象的作法 (1)直接法 (2)图象变换法 (3)描点法2．描点法作函数图象(1)基本步骤：列表、描点、连线． (2)注意事项：①列表前应先确定函数的定义域，并化简函数解析式，根据作图需要讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性) ． ②列表时注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点． ③连线时应根据函数特征，用平滑的曲线(或直线)连接各点． 3．基本初等函数的图象 (1) 一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)(2) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(3) 反比例函数y ＝kx(k ≠0)(4) 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)(5) 对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)4．函数图象的变换 (1)平移变换：y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . 口诀：左加右减，上加下减． (2)伸缩变换：y ＝f (x )―――――――――――→0<ω<1，伸长为原来的1ω倍ω>1，缩短为原来的1ωy ＝f (ωx )； y ＝f (x )――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )| 口诀：绝对值作用在x 上，右翻左；作用在y 上，下翻上．典例剖析题型一 函数的图像识别例1 下列所给图象是函数图象的个数为________．答案 2解析：选 ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象. 变式训练 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图像是________．① ② ③ ④答案 ①解析 容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除④.当0<x <π2时，y ＝x sin x >0，当x ＝π时，y ＝0，可排除②、③，故选①.解题要点 函数图像的识别要点：(1)对于函数的图像，一个x 只有一个y 值与之对应；(2)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (6)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 题型二 作函数的图象 例2 画出下列函数的图象． (1) y ＝2x －1，x ∈Z ，|x |≤2； (2) y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)；答案：(1) (2)变式训练 作出下列函数图象 (1) y ＝x 2－2x ()||x >1； (2) y ＝x |2－x |.解析 (1) ∵ ||x >1，∴ x <－1或x >1，图象是两段曲线，如图.(2) ∵ y ＝x |2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x ≥2）－x 2＋2x （x<2），∴ 图象由两部分组成，如图.题型三 函数图象的变换 例3 作出下列函数图象： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2) y ＝|－x 2＋2x ＋1|解析 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 画出函数图象如图所示，(2) 函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．变式训练 作出下列函数图象 (1)y ＝2x ＋2；(2) y ＝x ＋2x －1.解析 (1) 将y ＝2x的图象向左平移2个单位．图象如下左图(2)因y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如上右图.题型四 函数图象的应用例4 方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________． 答案 (1，54)解析 方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，如图：易知－14<1－a <0，∴1<a <54.变式训练：已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (12，1)解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．解题要点 借助函数图象求解方程解的个数、参数范围时利用的是数形结合的思想，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．当堂练习1．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的图象对应的函数是________．答案 y ＝－f (－|x |) 解析 该图象是函数y ＝－2－|x |即y ＝－f (－|x |)的图象．.2．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________． 答案 (4,4)解析 法一 函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的． 故y ＝f (x )的图象经过点(4,4)．法二 由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)． 3. 函数y ＝lg1|x ＋1|的大致图象为____________．① ② ③ ④答案 ④解析 因为y ＝lg 1|x |是单调递减的偶函数，关于y 轴对称，则y ＝lg 1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选④.4．为了得到函数y ＝lg(x ＋3)－1的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点____________． ①向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ②向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ③向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ④向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 ③解析 由y ＝lg x 图象向左平移3个单位，得y ＝lg(x ＋3)的图象，再向下平移一个单位得y ＝lg(x ＋3)－1的图象． 5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内____________．①没有根 ②有且仅有一个根 ③有且仅有两个根 ④有无穷多个根 答案 ③解析 如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根．课后作业一、填空题1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是____________．①②③④答案③解析出发时距学校最远，先排除①，中途堵塞停留，距离没变，再排除④，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除②，故选③.2．函数y＝log2|x|的图象大致是____________．①②③④答案③解析函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选③.3．(2013·福建文)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是____________．①②③④答案①解析依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除③.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除②，④，故选①.4．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点____________．①向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度②向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度③向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度④向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案 ①解析 y ＝2x 先向右平移3个单位长度，得到y ＝2x －3，再向下平移1个单位长度，得到y ＝2x －3－1.故选①.5．函数y ＝1－1x －1的图象是____________．① ② ③ ④答案 ②解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．6．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (0，＋∞)解析 由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0.7． 若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是____________．① ② ③ ④ 答案 ②解析 ∵log a 2<0，∴0<a <1，由f (x )＝log a (x ＋1)单调性可知①、④错误，再由定义域知②选项正确．8．(2015山东文)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向____平移____个单位．. 答案 右，π12解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 9．(2015新课标II 文)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1,4)，得4＝a (－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.10．函数f (x )＝2x ＋1x －1图象的对称中心的坐标是________．答案 (1，2) 解析 f (x )＝2＋3x －1.11．为了得到函数y ＝2x －3的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点向________平移________个单位长度．答案 右 3 二、解答题12．分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2) y ＝x 2－2|x |－1解析 (1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ≥1，－lg x ， 0<x <1图象如图(2) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1， x ≥0，x 2＋2x －1， x <0.图象如图13．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围． 解析 当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈．综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12.。

(2)如图数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1设fx)=X2，在同一坐标系中画出：(1)y=fx),y=fx+1)和y=f(x-1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y=fx),y=fx)+1和y=f(x)-1的图象，并观察三个函数图象的关系.解(1)如图点评观察图象得：y二fx+1)的图象可由y二fx)的图象向左平移1个单位长度得到；y二fx-1)的图象可由y二fx)的图象向右平移1个单位长度得到；y二fx)+1的图象可由y二fx)的图象向上平移1个单位长度得到；y二fx)-1的图象可由y二fx)的图象向下平移1个单位长度得到.二、对称变换_例2设fx)=x+1,在同一坐标系中画出y=fx)和y=f(—x)的图象，并观察两个函数图象的关系.解画出y二fx)二x+1与y二f(-x)二-x+1的图象如图所示.由图象可得函数y二x+1与y二-x+1的图象关于y轴对称.小点评函数y二fx)的图象与y二f(-x)的图象关于y轴对称;函数y二fx)的图象与y二-fx)的图象关于x轴对称；函数y二fx)的图象与y二-f(-x)的图象关于原点对称.三、翻折变换例3设fx )=x +l ,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =|fx )1的图象，并观察两个函数图象的关系.解y 二fx )的图象如图1所示，y 二|fx )l 的图象如图2所示.点评要得到y 二fx )l 的图象,把y 二fx )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变.例4设fx )=x +1,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =f(\x\)的图象，并观察两个函数图象的关系.解如下图所示.点评要得到y 二f (\x \)的图象，先把y 二fx )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可.小结：y €f(x)——,y =f x )\将x 轴下方图象翻折上去y €f(x)——留y 轴右侧图象,y =f (\x \).并作其关于y 轴对称的图象—如图:y+y=f(x)四函数图象自身的对称性 1•函数y =f(x)的图象关于直x =a 2b对称…f (a +x )€f (b -x )…f (a +b -x)=f(x)2•函数y =f(x)的图象关于点(a,b)对称…2b -f(x)=f(2a -x)…f (x )€2b —f (2a —x )…f(a +x)+f(a -x)=2b3.若f(x)€-f (-x),则f(x)的图象关于原点对称，若f(x)=f(-x),则f(x)的图象关于y 轴对称。

三角函数的图象与性质【考点梳理】1.常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z )(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0). 【题型突破】题型一、三角函数的图象变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值. 【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，根据图象平移变换，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【类题通法】 1.“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 【对点训练】设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值.【解析】(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，经过变换后，g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.题型二、由函数的图象特征求解析式【例2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32【答案】(1)B (2)D【解析】(1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ， 所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ， 因为|φ|<π2，得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12. 又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6， 因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.【类题通法】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. 【对点训练】(1)偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示. ①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.【答案】(1) C【解析】(1)依题设，T2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.(2)①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知 A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 故f (x )＝sin(2x ＋φ).由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.②根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12.题型三、三角函数性质【例3】已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.【解析】(1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减. 【类题通法】1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 【对点训练】函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.【答案】1【解析】f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1.题型四、三角函数性质的应用【例4】把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π2个单位长度之后，所得图象关于直线x ＝π4对称，且f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，则φ＝( )A.π8 B.3π8C.－π8D.－3π8【答案】 C【解析】把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)的图象向左平移π2个单位长度之后，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋2φ＝2cos(x ＋2φ)＝g (x )的图象，根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即2cos 2φ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2φ＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1.又f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，故有2sin 2φ<2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝2cos φ，即sin φ<12，结合选项，φ＝－π8.【类题通法】此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. 【对点训练】已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解析】(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2.(2)f (x )的最小正周期为π. 由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 题型五、三角函数图象与性质的综合应用【例5】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象； 所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【类题通法】1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|. 【对点训练】设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。

一、学习目标：1. 了解函数图象的基本变换，能画出简单的函数图象。

（一次函数、二次函数、初等函数等）2. 认识函数图象，并能根据函数图象理解函数的性质。

3. 能利用函数图象解决简单的问题。

二、重点、难点：重点：作图→识图→用图难点：函数图象的应用三、考点分析：函数图象是新课标高考命题的重点之一，考查的题型多以选择、填空题出现。

根据新课标高考知识点的要求：只要求掌握对简单的函数图象的认识、应用等。

通过对函数图象这一知识点的考查，进一步考查学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想方法。

知识网络结构：知识要点解析：（一）作图：1. 一般作图方法：（列表、描点、连线）确定函数定义域、化简函数解析式、讨论函数性质、画出函数图象。

2. 变换作图（1）平移变换：函数)0y的图象可由函数)f(xfxy=的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）(),(≠+a=a平移|a|个单位得到。

（此平移过程中：函数的值域不变）函数)0y的图象可由函数)f(xxfy=的图象向上（b＞0）或向下（b＜0）(≠(,)+b=b平移|b|个单位得到。

（此平移过程中：函数的定义域不变）（2）对称变换函数)(x f y -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于x 轴对称变换得到。

函数)(x f y -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于y 轴对称变换得到。

函数)(x f y --=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于原点对称变换得到。

函数)(1x fy -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于直线y ＝x 对称变换得到。

函数|)(|x f y =的图象可通过作函数)(x f y =的图象，然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴的上方，其余部分不变得到。

函数|)(|x f y =的图象可由函数)(x f y =的图象在y 轴右边的部分及该部分关于y 轴对称的部分组成。

（3）伸缩变换：函数)10(),(≠>=A A x Af y 且的图象可由函数)(x f y =的图象上的各点纵坐标伸长（A ＞1）或缩短（0＜A ＜1）原来的A 倍得到。

考点四十二椭圆知识梳理1．椭圆的观点把平面内到两个定点 F 1， F 2的距离之和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的会合叫作椭圆．这两个定点 F 1， F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F 1， F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用会合语言表示以下：P＝ { M||MF 1|＋ |MF 2|＝ 2a} ， |F 1F 2|＝ 2c，此中 a>0， c>0，且 a， c 为常数．在椭圆定义中，特别重申到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F2|时，动点的轨迹是线段F1F 2；当到两定点的距离之和小于|F1 F2 |时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质x2y2y2x2标准方程a2＋b2＝ 1a2＋b2＝ 1( a>b>0)( a>b>0)图形范围－ a≤ x≤a－ b≤ x≤b－ b≤ y≤b－ a≤ y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点极点A1(－a,0)， A2(a,0)A1 (0，－ a)， A2(0， a)B1(0，－ b)， B2(0， b)B1(－b,0)， B2(b,0)性质轴长轴 A1A2的长为2a；短轴 B1B2的长为 2b焦距|F 1F2|＝ 2c离心率e＝c∈ (0,1)aa，b， cc2＝ a2－ b2的关系说明：当焦点的地点不可以确准时，椭圆方程可设成Ax2＋ By2＝1 的形式，此中A， B 是不相22等的正常数，或设成x2y22≠n2m＋n＝ 1(m) 的形式．3．点 P(x0， y0)和椭圆的关系22x0y0(1) 点 P(x0， y0)在椭圆内 ? a2＋b2<1.x 20y 20(2) 点 P(x 0， y0)在椭圆上 ? a 2＋b 2＝ 1.22 x 0 y 0(3) 点 P(x 0， y 0)在椭圆外 ? a 2＋b 2>1.3． 椭圆的焦点三角形相关结论椭圆上一点与两焦点所组成的三角形称为焦点三角形，与之相关的常用结论有：(1)|PF 1 |＋ |PF 2|＝ 2a ；(2)4c 2＝ |PF 1|2 ＋ |PF 2|2－ 2|PF 1| ·|PF 2|cos θ； (此中， θ＝∠ F 1 PF 2)(3) 当 P 为短轴端点时， θ最大．(4) S △PF F1|PF 1||PF 2|sin θ＝ sin θ 22θ ＝ ·b＝ b tan ＝ c ·|y 0|.1 221＋ cos θ 2当 y 0＝ ±b ，即 P 为短轴端点时， S △ PF 1F2 有最大值为 bc.(5) 焦点三角形的周长为 2(a ＋c) ．4． 椭圆中的弦长公式(1) 若直线 y ＝ kx ＋ b 与椭圆订交于两点A(x 1 ，y 1 )， B(x 2，y 2)，则21|AB|＝ 1＋ k |x 1－ x 2|＝1＋2|y 1－ y 2|.k(2) 焦点弦 (过焦点的弦 ) ：最短的焦点弦为通径长2b 2，最长为 2a.a5． 椭圆中点弦相关的结论2 2xyAB 为椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的弦， A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，弦中点 M (x 0， y 0)． (1)b 2x 0斜率： k ＝－ 2 .a y 02b(2) 弦 AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值－a 2.典例分析题型一 椭圆的定义和标准方程例 1(1) 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 1，则 C 的方程是 ________．222(2) 设 P 是椭圆 x ＋y＝1 上的点，若 F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点，则△ PF 1F 2 的周长为2516________．答案(1) x 2 ＋ y 2＝ 1(2) 164 3c 1222x 2 y 2分析 (1)由题意知 c ＝ 1，e ＝a ＝ 2，因此 a ＝ 2，b ＝ a － c ＝ 3.故所求椭圆方程为 4 ＋3＝1.(2) △ PF 1F 2 的周长为 |PF 1|＋ |PF 2|＋ |F 1F 2|＝ 2a ＋ 2c ＝ 10＋6＝ 16.变式训练 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1( 6， 1)，P 2( － 3，－ 2) ，则椭圆的方程为 ________．答案x 2 ＋ y 2＝ 19 3分析设椭圆方程为 mx 2＋ ny 2＝ 1(m>0， n>0，且 m ≠ n)．∵椭圆经过 P 1， P 2 两点，∴ P 1， P 2 点坐标合适椭圆方程，6m ＋ n ＝ 1， ①则3m ＋2n ＝ 1，②1m ＝ 9，22①②两式联立，解得1∴所求椭圆方程为 x ＋ y＝ 1.9 3n ＝3.解题重点1.求解椭圆标准方程一般用待定系数法，假如能确立焦点地点，则设标准方程为2 22 2xyyx22a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)或 a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)，若焦点地点不明确，可设椭圆的方程为Ax ＋ By＝ 1(A ＞ 0，B ＞ 0， A ≠ B)．2.若 P 是椭圆上一点，则由椭圆定义可知， |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ，从而△ PF 1F 2 的周长为 |PF 1|＋|PF 2|＋ |F 1F 2|＝ 2a ＋2c ．题型二 二次方程表示椭圆的条件例 2“ 2<m<6”是“方程x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示椭圆”的 ________条件m － 2 6－ m答案必需不充足条件若 x 2y 2m － 2>0， 分析＋ ＝ 1 表示椭圆．则有6－ m>0，m － 2 6－ mm － 2≠6－ m ，∴ 2< m<6 且 m ≠ 4.22故“ 2<m<6”是“x＋y＝ 1 表示椭圆”的必需不充足条件． m －2 6－m变式训练若方程x 2 ＋ y 2＝ 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 ________．5－ k k － 3答案 (3， 4)∪ (4，5)5－ k>0分析由已知得k － 3>0，解得 3<k<5 且 k ≠4.5－ k ≠ k － 3A＞ 0解题重点对于 x,y 的二次方程表示Ax2＋ By2＝1 表示椭圆，则需系数知足B＞ 0 ．A≠ B题型三椭圆的几何性质2 2例 3 已知椭圆xa2＋yb2＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰巧均分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案3－ 1分析设过左焦点 F1的正三角形的边交椭圆于A，则 |AF1|＝ c，|AF 2|＝3c，有 2a＝ (1＋3)c，∴e＝c＝2＝ 3－1.a1＋ 322＝ 1 的离心率为4，则 k 的值为 ________．变式训练椭圆x＋y94＋ k5答案－19或 21 25分析若 a2＝9， b2＝ 4＋ k，则 c＝5－ k，由c＝4，即5－ k4，得 k＝－19；＝a53525若 a2＝ 4＋ k， b2＝ 9，则 c＝ k－ 5，由c＝4，即k－54，解得 k＝ 21.＝a54＋ k5解题重点椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 (或离心率的取值范围 )有两种方法：c(1)求出 a， c 代入公式 e＝a；(2)只要要依据一个条件获得对于a，b，c 的齐次式，联合 b2＝ a2－ c2转变为 a，c 的齐次式，而后等式 (不等式 )两边分别除以 a 或 a2转变为对于 e 或 e2的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )．需要注意的是，若焦点地点未指明在x 轴仍是 y 轴，则应进行议论．题型四直线与椭圆的地点关系22例 4过椭圆x＋y＝1的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于A，B 两点， O 为坐标原5 4点，则△ OAB 的面积为 ________．5答案3分析 由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为 (1， 0)，则直线 AB 的方程为 y ＝ 2x －2.22x＋ y＝ 1 联立54，解得交点A(0，－ 2)， B(5， 4)，3 3y ＝ 2x －2∴S △ OAB ＝ 1· |OF |· |y A － y B |＝ 1× 1×|－ 2－ 4|＝ 5 .2 23 3 变式训练已知椭圆 x2＋ y 2＝1 以及椭圆内一点 P(4,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率36 9为________．答案－ 12分析设弦的端点 A(x 1 ， y 1 )， B(x 2， y 2)，2 2x 1y 1则 x 1 ＋x 2＝ 8， y 1＋ y 2＝ 4，36＋ 9 ＝1，两式相减，x 22＋ y 22＝1， 36 91＋ x 2 x 1－ x 2 y 1＋ y 2 y 1－ y 2x ＝ 0，得 36 ＋ 92 x 1－ x 2 4 y 1－ y 2 y 1－ y 21.∴ 9 ＝－ 9，∴ k ＝ ＝－ x 1－ x 2 2说明：此题也能够直接利用结论：k ＝－ b 2x 09× 41a 2 ＝－＝－ .y 0 36× 2 2解题重点直线与圆锥曲线的地点关系问题， 一般能够直接联立方程， “设而不求”， 把方程组转变成对于 x 或 y 的一元二次方程， 利用根与系数的关系及弦长公式求解．同时， 还应记着一些常用结论：(1)中点弦斜率： k ＝－b 2x 02b 2 2 .； (2)最短的焦点弦为通径长，最长为 2a.a y 0 a21(3) 弦长公式 |AB|＝ 1＋ k |x 1－ x 2|＝1＋k 2|y 1－ y 2|.当堂练习x 2 y 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F 1、 F 2，离心率为3 1．已知椭圆 C ： 2＋ 2，过 F 2 的直线 l 交ab3C 于 A 、 B 两点．若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ________．x 2 y 2答案 3 ＋2 ＝ 1分析由 e ＝ 3，得 c ＝3① .又△ AF 1B 的周长为 4 3，由椭圆定义， 得 4a ＝ 4 3，得 a ＝ 3，3a3代入①得 c ＝1，22∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ 2，故 C 的方程为 x＋ y＝ 1. 322． (2015 新课标Ⅰ文 )已知椭圆 E 的中心在座标原点，离心率为1， E 的右焦点与抛物线 C ：2y 2＝ 8x 的焦点重合， A ，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|等于 ________． 答案 6分析c 1 2＝8x 的焦点为 (2,0) ，因此 c ＝2， a ＝ 4，故椭圆方程为 x 2 ＋ y 2因为 e ＝＝ ，y16 ＝ 1，a 212 将 x ＝－ 2 代入椭圆方程，解得y ＝ ±3，因此 |AB|＝ 6.x 2 y 23. 椭圆 Γ：a 2 ＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，焦距为 2c.若直线 y ＝ 3(x ＋ c)与椭圆 Γ的一个交点 M 知足∠ MF 1F 2＝2∠ MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 __________ ．答案3－ 1分析∵直线 y ＝3(x ＋ c)过左焦点 F 1，且其倾斜角为60°，∴∠ MF 1F 2＝ 60°，∠ MF 2F 1＝ 30°，∴∠ F 1MF 2＝ 90°，即 F 1M ⊥ F 2M.∵ |MF 1 |＝ c ， |MF 1|＋ |MF 2|＝2a ，∴ |MF 2 |＝ 2a － c.∵ |MF 1 |2＋ |MF 2 |2＝ |F 1 F 2 |2.∴ c 2＋ (2a － c)2＝ 4c 2，即 c 2＋2ac － 2a 2＝ 0.∴ e 2＋2e － 2＝ 0，解得 e ＝ 3－1.2 2m 的值为 ________．4．椭圆 x ＋ my ＝ 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 答案14分析将原方程变形为2 y 2 212x ＋＝ 1，由题意知a ＝， b ＝ 1，1 mm∴a ＝1， b ＝ 1.∴1＝ 1m 2，∴ m ＝ .m45．已知 △ABC 中， A 、 B 的坐标分别为 (2,0)和 (－ 2,0)，若三角形的周长为 10，则极点 C 的 轨迹方程是 ________．答案x 2 ＋ y 2＝ 1(y ≠ 0)95分析点 C到两个定点A 、B 的距离之和为 6,6>4 ，故所求点C 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的22椭圆，此中2a ＝ 6,2c ＝ 4，则b 2 ＝ 5.因此极点C 的轨迹方程为 x ＋ y＝ 1，9 5又 A 、 B 、 C 三点不共线，即y ≠ 0.课后作业一、 填空题22x ＋y21． (2015 广东文 )已知椭圆 25 m ＝ 1(m>0) 的左焦点为 F 1(－ 4,0)，则 m 等于 ________．答案 3分析由题意知 25－ m 2＝ 16，解得 m 2＝ 9，又 m>0，因此 m ＝ 3.22x ＋ y＝ 1 有同样焦点的椭圆的方程为________．2．过点 A(3，－ 2)且与椭圆 9422答案x＋ y＝ 11510分析由题意得 c 2＝ 9－ 4＝ 5，又已知椭圆的焦点在x 轴上，224＝ 1， 故所求椭圆方程可设为x＋ y＝1( λ＞ 0)，代入点 A 的坐标得 9 ＋λ＋ 5λλ＋ 5 λ解得 λ＝ 10 或 λ＝－ 2(舍去 )．故所求椭圆的方程为x 2＋ y 2＝ 1.15 10x 2 ＋ y 2＝ 1 的离心率，且 e ∈ (1， 1)，则实数 k 的取值范围是 ________．3．设 e 是椭圆 4 k2答案(0,3)∪ (16，＋∞ )3当 k>4 时， c ＝k －4，由条件知 1k － 4 16分析4<k <1，解得 k> 3 ；当 0<k<4 时， c ＝ 4－ k ，由条件知 1<4－ k<1，解得 0< k<3. 4422x ＋ y＝ 1 的焦距等于 2，则 m 的值为 ________．4．椭圆 m 4 答案 5 或 3分析 当 m ＞ 4 时， m － 4＝ 1，m ＝ 5；当 m ＜ 4 时， 4－ m ＝ 1， m ＝ 3.225．若椭圆 x ＋ y2＝ 1 过点 (－ 2，3)，则其焦距为 ________．16 b 答案4 34 322分析 ∵椭圆过 (－ 2，3)，则有 16＋ b 2＝ 1，b ＝4， c ＝ 16－4＝ 12， c ＝2 3， 2c ＝ 4 3.6．已知斜率为－1的直线 l 交椭圆x2y2P(2,1)是 AB 的2C：2＋ 2 ＝1(a>b>0)于A，B两点，若点a b中点，则 C 的离心率等于 ________．答案3 2分析k AB＝－11b211)＝－b2b21 2， k OP＝，由 k AB·k OP＝－2，得×(－a2.∴ 2＝ .2a22a4∴e＝c＝21－b23a a＝2.227．设F 1， F 分别是椭圆 C：x2y2P 在椭圆 C 上，线段 PF1 2a＋b＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，点的中点在 y 轴上，若∠ PF 1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案3 3分析设 PF 1的中点为 M，连结 PF2，因为 O 为 F1F 2的中点，则 OM 为△ PF 1F 2的中位线，因此 OM∥PF2.因此∠ PF2F 1＝∠ MOF 1＝ 90°.因为∠ PF1F 2＝ 30°，因此 |PF 1|＝ 2|PF2|.由勾股定理，得|F 1F2|＝ |PF 1|2－ |PF 2|2＝ 3|PF 2|.由椭圆定义，得 2a＝ |PF 1|＋ |PF2|＝3|PF 2|?3|PF2|3|PF 2| a＝2， 2c＝ |F1 F2|＝ 3|PF2|? c＝2.因此椭圆的离心率为 e＝c＝3|PF2|·2＝3. a23|PF2 |322x y8． (2015 福建文 )已知椭圆E：a2＋b2＝ 1(a＞b＞ 0)的右焦点为 F ，短轴的一个端点为M，直线 l ：3x－ 4y＝ 0 交椭圆 E 于 A，B 两点．若 |AF|＋ |BF |＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于4，5则椭圆 E 的离心率的取值范围是________．3答案0，2分析左焦点 F 0，连结 F 0A，F 0B，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF|＋ |BF|＝ 4，∴ |AF|＋ |AF0|＝ 4，∴ a＝ 2.设 M(0 ，b)，则4b≥4，∴ 1≤b＜ 2.5 5c c2a2－ b24－ b23离心率 e＝a＝a2＝a2＝4∈ 0， 2.x2119．椭圆2________．＋ y ＝ 1的弦被点 (， ) 均分，则这条弦所在的直线方程是222答案2x＋4y－ 3＝ 0分析设该弦与椭圆订交于点A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则由点 (1，1)均分弦 AB 可得 x1＋ x2＝ 1，22y1＋ y2＝ 1，再将点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程后作差可得k AB＝－1，而后依据点斜式2方程可求得直线AB 的方程为2x＋ 4y－ 3＝ 0.2x210．已知△ ABC 的极点 B、 C 在椭圆＋y＝1上，极点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ ABC 的周长是 ________．答案43分析如图，设椭圆的此外一个焦点为F，则△ ABC 的周长为 |AB|＋ |AC|＋ |BC|＝(|AB|＋ |BF|)＋ (|AC|＋ |CF |)＝ 4a＝ 4 3.11．设 F1、F2分别是椭圆x2＋ y2＝ 1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F1P 的中点， |OM| 2516＝3，则 P 点到椭圆左焦点距离为________．答案4分析∵ |OM|＝ 3，∴ |PF 2|＝ 6，又 |PF1|＋ |PF2 |＝ 10，∴ |PF1 |＝ 4.二、解答题12．(2015安徽文)设椭圆 E 的方程为x2y2a2＋ b2＝ 1(a>b>0) ，点O 为坐标原点，点 A 的坐标为5(a,0)，点 B 的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，知足 |BM|＝ 2|MA|，直线 OM 的斜率为10 .(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为 (0，－ b)，N 为线段 AC 的中点，证明： MN ⊥ AB.分析(1) 解由题设条件知，点M 的坐标为21b，又 k OM＝5，从而b＝5. a，33102a10从而 a＝ 5b， c＝ a2－ b2＝2b，故 e＝c＝2 5.a5a b→a5b(2) 证明由 N 是 AC 的中点知，点N 的坐标为2，－2，可得 NM ＝6， 6 ，→又AB ＝(－a， b)，→ →1 2 52122从而有 AB·NM ＝－ a ＋b＝ (5b－ a )．666由(1) 的计算结果可知a2＝ 5b2，→ →因此 AB·NM＝ 0，故 MN ⊥ AB.13．(2015 北京文节选 ) 已知椭圆 C：x2＋ 3y2＝ 3，过点 D (1,0)且可是点E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x＝ 3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；2x2分析(1)椭圆 C 的标准方程为＋y＝1，因此a＝3，b＝ 1， c＝ 2.因此椭圆 C 的离心率 e＝c＝6 a 3.(2) 因为 AB 过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴，因此可设A(1，y1)， B(1，－ y1)，直线 AE 的方程为 y－ 1＝ (1－y1 )(x－ 2)，令 x＝ 3，得 M (3,2－ y1) ，因此直线 BM 的斜率 k BM＝2－ y1＋ y1＝ 1.3－ 1。

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。

在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。

一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。

判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。

定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。

导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。

2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。

若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。

判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。

3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。

常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。

4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。

考点十九三角恒等变换知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin( a+ 3 = sin a cos 升 cos osin 3 (S (卩 o ) sin( a — 3 = sin a cos p- cos osin 3 (S (厂 3) cos(a+ ®= cos a cos 3— sin a sin 3 (C (a +3) cos( a — 3= cos a cos 3+ sin a sin 3 (C (a -3) tan a+ tan 3tan(a+3= 1 — tan dtan 3 (T(a+3) _ tan a — tan 3tan( a — 3 = (T (a - 3)1 + tan a an 3 2.二倍角公式 sin 2 a= 2sin a cos a (S 2a )2. 22cos 2 a= cos a — Sin a= 2COS a —3. 公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 等•常见变形如下：丿, _ 2 2 升幕公式：1 + cos 2 a= 2 cos a, 1 — cos2a= 2sin a4 d2a” c ・ 2a1 + cos a= 2cos 2， 1 — cos a= 2sin正切和差公式变形:tan a±an 3= tan(a±3(1?tan a an 3), tan a+ tan 3 tan a — tan 3 .tan伽 3= 1 — tan a+ 3 = tan a —3 — 1.aa 2配方变形：1 + sin a= (sin?+ co^),a a 21 — sin a= (sin2— cos^).4. 辅助角公式 asin a+ bcos a = a 2 + b 2sin( a+ 妨，其中 tan降幕公式: 2 cos a=1 + cos2 a sin 2a= 1 — cos 2 a .2 亠1 = 1— 2sin tan 2 a= 2ta n a 1 — tan a逆用和变形用2a2. b °= a .典例剖析题型一给角求值例 1⑴ 计算 cos 42 ° cos 18 — cos 48 ° cos 72 的值为 ________解题要点 解题时先看角，观察是否有30°、60°、90°等特殊角，或是观察能否通过变形凑配出这些特殊角•再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理 •在解题时还要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式 题型二给值求值(1)求 sin n+ a 的值; ⑵求cos 5?— 2 a 的值.（2）计算co 咒50—%的值为1 1答案⑴2 （2）1解析 (1) cos 42 Cos 18 — cos 48 °cos 72 = cos 42 °cos 18 — sin 42 c in 18 1=cos (42 c 18°) = cos 60 =》2 2⑵■/ cos 155 °— sin 155 °= cos 310 = cos 50 .sin 110 sin 202 2 cos 155 °— sin 155sin 70 sin 20 二 cos 20 sin 20 cos 310 ° — cos 50 °1?sin 40 °[ sin 40 于 2.变式训练sin 47 —sin 17 cbs 30 ° cos 17 °解析原式=sin 30 °+ 17 ° — sin 17 cbs 30cos 17 °sin 30 cos 17 + cos 30 gin 17 — sin 17 c6s 30 cos17 °sin 30 cbs 17cos 17 ° =sin 301 2.例2 已知a€sin a=5・解析（1）因为a n，sina= f，所以cos a=—； 1 —Sin2a=—^^5.故sin + a = sin j cos a+ cos ；sin a=¥ X 2/5 ]+丄X込—血5 +2 5 10 .• Sin 2 a=1 - cos 22 a= ^9^，/22J2• •• sin( a+ 3 = ■ 1 — cos a+ 3 = 3 , --cos( a — 3) = cos[2 a — ( a+ 3]=cos 2 o (cos( a+ 3)+ sin 2 o (sin( a+ 3=f — 7 L (— 1) + 竝x 池=23I 9.X ( 3) + 9327.解题要点1•解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已i 5 n5 n 5 n所以 cos — — 2 a = cosgcos 2 a+ singsin 2 a= c 44 + 3p3\ 5 丿——10一题型三利用角的凑配求值 2已知 tan( a+ 3 = , tan5答案322 解析 因为 a+ n+ 3-a+ 3所以 na+ _ =( a+tan a+ n = tan a+ 3 —ta n a+ 3-tan (3-力 322.变式训练 已知 cos a= 1, cos( a+ 3)=— 3，且 a, 3^ 0 ,才，则 cOS ( a — 3)的值等于答案2327解析 T 尺 3，n ；，A 2 a€ (0, n • cosa =1，:cos 2a =2cos2a-1=—7,而a,3€ 0, 2，二 a+ 3€ (0, n3 5,2cos 2a= 1 — 2sin a= 1 — 2X訂=1，那么tan所以1 + tan a+ 3 tan知角”有两个时，“所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”.a+ 3 a — 2.常见的凑配技巧：2 a= ( a+ 3)+ ( a — 3, a= ( a+ 3)—3, 3=~Y~= (a+ 2)—(扌+ 3)等.题型四辅助角公式 例 4 (2015 安徽文)已知函数 f(x) = (sin x + cos x)2 + cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;i I r ” 2 2解析 (1)因为 f(x)= sin x + cos x + 2sin xcos x + cos 2x =1 + sin 2x + cos 2x所以函数f(x)的最小正周期为T = 2n = n. ⑵由(1)的计算结果知，f(x) = ,2sin 2x +当 x € 0, n 时，2x + n变式训练 函数f(x)=・.3sin x + cos (n+ x)的最大值为3 答案 1厂解析 f(x)= 3sin x + cos y cos x — sin {in x =2cos x +in x = 3 3 2 2 --f (x)max =解题要点 利用辅助角公式将 asin x + bcos x 化为Asin( ®x+妨是常见的题型，转化时一定要 严格对照a+ 3 a — 3 a= +-,2 21.当 2x + n= n 即,f(x)取最大值 2 + 1 ;当2x +n =簧即x =4 4,f(x)取最小值0.综上，f(x)在0, n的最大值为• "2+1，最小值为0.nsin(x + 6).最大值和最小⑵求f(x)在区间0, 的图象知,n由正弦函数 y = sin x 在 4,和差公式，防止搞错辅助角•对于计算形如y= sin(3汁⑥,x€ [a, b]形式的函数最值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷” •当堂练习1. (2015 新课标I 理)sin 20 cos 10 - cos 160 sin 10 = ___________ .答案11解析sin 20 cos 10 —cos 160 s in 10 = sin 20 cos 10 °+ cos 20 sin 10 = sin 30 °?2.若2，则tan2 a=sin a+ cos asin a—cos a3答案34…,ta n a+ 1 1小解析由------- =孑得tan a=—3,tan a—1 2a 3 、川r佔, 小2tan--tan2 a= 2 =；，选B 项.1 —ta n a 43. 已知cos( a+ n)= 3，则Sin(2 a—7)的值为___________ .6 3 6答案1解析由cos( a+ n =f ,得COS(2 a+》=2X(于)2—1= —所以sin(2 a— n) = sin(2 a+ 扌―》=—cos(2 a+ # = 3.2 n 2 n4. 若函数f(x)= sin (x+ 4) + cos (x—4)—1，则函数f(x)是 _________ .① 周期为n的偶函数② 周期为2 n的偶函数③周期为2 n的奇函数④周期为n的奇函数答案④解析f(x) = sin 2(：+ x) + si n2(：+ x)—1 = 2s in 2(：+ x)— 1 = —cos(n+ 2x) = sin2x •••故④正确.5. (2015 北京理)已知函数f(x)=72sin|cos|^2sin2^(1)求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)在区间［—n 0］上的最小值.解析 (1)因为 f(x)^^2~s in x —孑(1 — cosx)= sin x +4 —冷, 所以f(x)的最小正周期为2 n.3 n n n⑵因为—n< x < 0，所以——W X + 4< 4. 当x + n=— n,即x = — 3n 时，f(x )取得最小值.所以f(x)在区间［一 n, 0］上的最小值为f 「宁=—1—吕2.课后作业一、填空题3 5 、1 .已知 COS a=~, COS( a+ ®=—石，a, B 都是锐角，则 COS 3=513、5 n12a, 3是锐角，二 0<a+3<n,又 COS ( a+ 3 =—石<0 , A 2< a+ n,二 sin( a+3 =乜,4sin a= 5.又 COS 3= cos( a+3~«)= cos( a+ B cos a+ Sin( a+ 3sin 2. sin75 Cos30 一sin15 Sin 150 的值为 _________ . 答案解析 sin75 c os30°— sin15 °n150 = sin75 °cos30°— cos75°sin30 = sin(75 ° 30° = sin45 =2 .3. (2015 陕西文)“sin a= COS a” 是"COS 2 a= 0”的 _________ 条件. 答案充分不必要解析 T sin a= cos a ? cos 2 a= cos 2 a — sin 2 a= 0; cos 2 a= 0? cos a= isin a / sin a= COS a,故为选充分不必要条件.COS a=— 4, a 为第三象限角，则 sin Ja+ 4 = _________ .7,2一 1043T a 为第三象限角， COS a=—— ,A Sin a=—-，55..「丄 n • n .n 迈「4 " A S •-Sin a+ 4 = Sin 0C OS 4+ cos «Si n 4= 2 — 5— 5 =— 10 .sin47 — sin17 Cos30 答案33 65解析色X 3+冬4 =於13 5 13 5 65.4.若 答案解析cos172 .答案1 解析 sin47 ° sin(30 ° 17°= sin30 c os17° + cos30°in17 °原式= sin30 Cos17 cos17 ° =si n30 1 2. 2 6.已知 tan(a+ 3)= 5， tan ，那么tan ”+才等于 3 答案22 解析 n n •/ a+斗 3- = a+ 3 4 4 n a-|— = ( a+ 3)— 4 _ n i ••• tan a+ 4 = tan a+ 3 — 3 22. 7.已知 sin 扌一x = 5, 则sin2x 的值为 答案 7_ 25 解析 •' sin2x = cos n- &已知a n ， 3 5,则 tan2 a= 答案 24 7 解析 n , sin a= 3, Cos a=— 45, tan a= — 34./• tan2 2t an a a= 2X247 .9. （2015 四川理）sin15 +sin75 的值是 __________ 答案于解析 sin 15 + sin 75 = sin 15 + cos 15 = 2sin(15 + 45°)= . 2sin 60 tan a+ 3 — tan1 + tan a+ 3ta n10. 已知cos( a+ 4)= 1，a€ (0 , j，则cos a=答案.2+ 4 6解析•/ a (0, n, cos( a+ n=13>0,2 .解析 (1)f(x) = sin 才一x sin x — , 3cos 2x =cos xsin X —現1 + cos 2x) = *sin 2x — ^cos 2x — ¥= sin [2x —扌 j —¥， 因此f(x)的最小正周期为n 最大值为十当0W 2x —詐^,即詐x w 52时,f(x)单调递增, 当詐2x -厂即护x W ，f(x )单调递减.13.若 sin n综上可知，f(x)在-, 单调递减. 单调递增；在 "=15，cos 3 n 35,且0< a <4<仟訂，求cos(a+ B )的值.n n 々 …a€ (0，4) , a+ 4€ n 2)，• sin( a+ n =竽,「一n n n n 4cos a= cos( a+ 4 — 4) = COS ( a+ 4)COS” + Sin( a+ 4) sin^ = —6~ 2 11. (2015浙江理)函数f(x)= sin x + sin xcos x + 1的最小正周期是 是 ________ . ，单调递减区间答案 n ~|n+ k n 7冗+ k n (k € Z ) 1 — cos 2x 解析 f(x)= -^4 2sin 2x + 1 = ~22sin 2x — T = ~2 = n,由 + 2k nW 2x — 4W + 2k n k € Z ,解得+ k n< x <g" + k n, k € Z ,k € Z . 二、解答题 12. (2015 重庆理)已知函数 f(x)= sin 扌-x sin x — 3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; •••单调递减区间是 的单调性. n ⑵讨论f(x)在6， ,o w 2x —n n 从而 3 r n ⑵当x €又 sin 3n+. n cos( a+ 3= sin 2 + ( a+ 3 =sin解析 ••• 0< a <n < 3<| n 7t 3 3 4 n< n+ a < n, rr 3<0. • •• cos 4 n+ 12 13'cos E =sin 3 n+ 4n+ a Sin 4- 3 33 65.n+ a - in 弓」。

函数专题（四）、函数的图像及其变换1.函数变换：（1）伸缩变换：如三角函数等；（2）翻折变换：如含绝对值的函数等；（3）对称变换：如奇函数、偶函数等；2.判断识图问题的常用方法：（1）考查定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）函数在某区间的单调性；（4）考查函数的零点或y 轴截距；（5）考查图像上有坐标值的特殊点；（6）考查函数在区间段上值域的符号（尤其在原点附近）；（7）考查函数极限值（趋近无穷大或定义域边界时）；例1.函数xx x f 214)(+=的图像（） A.关于原点对称B.关于直线x y =对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称例2.（2016金山区一模）曲线C 是平面内到直线1l ：1-=x 和直线2l ：1=y 的距离之积等于常数)0(2>k k 的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C 过点（﹣1，1）；②曲线C 关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则|PA|+|PB|不小于k 2； ④设P 0为曲线C 上任意一点，则点P 0关于直线1l ：1-=x ，点（﹣1，1）及直线2l ：1=y 对称的点分别为P 1、P 2、P 3，则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是______________________例3.函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-0,20,12x x x x e x ，若方程)())((R a a x f f ∈=，则由该方程的实根的个数构成的集合为__________________变式训练：1.函数xx x f +-=22log )(2的图像（） A.关于原点对称 B.关于直线x y -=对称C.关于y 轴对称 D.关于直线x y =对称 2.幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则αβ＝__________3.（2015全国）设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =________4.（2015福建）若函数满足，且在单调递增， 则实数的最小值等于_______5.若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是_________6.（2015奉贤区一模）设函数{}1,1,1min )(2+-+-=x x x x f ，其中{}z y x ,,min 表示z y x ,,中的最小者，若)()2(a f a f >+，则实数a 的取值范围为________7.（2015虹口区一模）设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+0,log 0,22x x x x ，若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解1x 、2x 、3x 、4x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的的取值范围为________8.（2015安徽）函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <9.若实数a 、b 、c 满足a a 12=，b b 1log 2=，c nc 1l =，则（ ） A.a ＜c ＜b B.a ＜b ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜b ＜a10.函数x x x f πcos 1log )(2--=的所有零点之和为___________11.（2015浦东新区一模）已知函数x x f πsin 2)(=，31)(g -=x x ，则函数)(x f 与)(g x 图像交点的横坐标之和为__________()2()x a f x a R -=∈(1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m12.（2015普陀区一模）设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-1),2sin(1),1(l x x a x x g π， 关于x 的方程0)()1()(2=++-a x f a x f ，给出下列命题：①存在这样的实数a ，使得方程有3个不同的根；②不存在这样的实数a ，使得方程有4个不同的根；③存在这样的实数a ，使得方程有5个不同的根；④不存在这样的实数a ，使得方程有6个不同的根；其中正确的命题有______________（填序号）13.（2014普陀区一模）设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=+00log )(1x ax x x f x a ，若关于x 的方程 0)()(2=⋅-x f b x f 恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是______________14.（2014闸北区一模）若不等式21x x a <-+的解集是区间(3,3)-的子集，则实数a 的取值范围为__________________15.（2015崇明县一模）如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x （0≤x ≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y （O 为坐标原点），则)(x f y =关于x 的函数)(x f y =的图像是（ ）A. B.C. D.16.已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.b >c >aB.b >a >cC.a >b >cD.c >b >a17.我们把形如)0,0(>>-=b a ax b y 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a=1，b=1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为_________18.定义域为R 的函数)(x f 是奇函数，当x ≥0时，22)(a a x x f --=，且对x ∈R ，恒有)()3(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为___________19.已知函数)(x f y =，x ∈[a ，b]，函数t kx x g +=)(，记)()()(x g x f x h -=．把函数)(x h 的最大值L 称为函数)(x f 的“线性拟合度”。

高考复习——函数的图像及其变换●考试目标主词填空对函数的线性复合所引起的图象变换，可归纳为以下十大变换规律．1．要作函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向左（ａ＞0）或向右（ａ＜0）平移｜ａ｜个单位即可．称之为函数图象的左、右平移变换．2．要作函数ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｈ的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向上（ｈ＞0）或向下（ｈ＜0）平移｜ｈ｜个单位即可．称之为函数图象的上、下平移变换．3．要作函数ｙ＝ｆ（｜ｘ｜）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象ｙ轴右侧的部分对称到ｙ轴左侧去，而ｙ轴左侧的原来图象消失．称之为关于ｙ轴的右到左对称变换．如函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象如图1，则函数ｙ＝ｆ（｜ｘ｜）的图象如图2．图1图24．要作函数ｙ＝｜ｆ（ｘ）｜的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象ｘ轴下方的部分对折到ｘ轴上方即可．叫做关于ｘ轴的下部折上变换．如函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象如图1，则函数ｙ＝｜ｆ（ｘ）｜图象如图3．图3图45．要作ｙ＝ｆ（－ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象以ｙ轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到ｙ轴左侧去．同时，将ｙ轴左侧的部分折到ｙ轴右侧去．叫做关于ｙ轴的翻转变换．如图4，虚线为ｙ＝ｆ（ｘ）的图象，实线为ｙ＝ｆ（－ｘ）的图象．6．要作函数ｙ＝－ｆ（ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象以ｘ轴为对折线，把ｘ轴上方的图形折到ｘ轴下方去，同时又把ｘ轴下方的图象折到ｘ轴上方去即可．叫做关于ｘ轴的翻转变换．7．要作函数ｙ＝ｆ（ａｘ）（ａ＞0）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上所有点的横坐标缩短（ａ＞1）或伸长（0＜ａ＜1＝到原来的1／ａ倍（纵坐标不变）即可（若ａ＜0，还得同时进行关于ｙ轴的翻转变换．这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换．8．要作函数ｙ＝Ａｆ（ｘ）（Ａ＞0）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）成缩短（0＜Ａ＜1＝到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可．这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于ｘ轴的翻转变换＝．9．要作函数ｙ＝ｆ（ａ－ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ／2的翻转变换即可．实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于ｙ轴翻转变换的复合，即先把ｙ＝ｆ（ｘ）图象发生左右平移得到函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）的图象，再关于ｙ轴翻转便得到ｙ＝ｆ（ａ－ｘ）的图象．如图5，虚线图象为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象，而实线图象为函数ｙ＝ｆ（－4－ｘ）的图象．图510．要作函数ｙ＝ｈ－ｆ（ｘ）的图象，只需将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｈ／2的翻转变换即可．实质上，这种变换是函数图象的关于ｘ轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象发生关于ｘ轴的翻转变换得到ｙ＝－ｆ（ｘ）的图象，再把ｙ＝－ｆ（ｘ）的图象向上（ｈ＞0）或向下（ｈ＜0）平移｜ｈ｜个单位便得到函数ｙ＝ｈ－ｆ（ｘ）的图象．如图6虚线图象为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象，而实线图象为函数ｙ＝2－ｆ（ｘ）的图象．图6综合第9、第10变换，要作函数ｙ＝ｈ－ｆ（ａ－ｘ）的图象，只需做出函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象的关于点（ａ／2，ｈ／2）的中心对称图形即可．称之为位似变换． 1.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31x y =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-； （2）1()2x y =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．3. 函数()|1|f x x =-的图象是 （ ）4、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )A 1 x y OB 1 x y OC 1 x y O D1 x y O -1 -1 -1 -1 1 1 1 1A B C D5．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 6、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A B C D 1．(2009北京文、理)为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度函数与方程1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____ ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：x 1 2 3 4 56 ()f x －2.3 3.4 0 －1.3 －3.43.4则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有_____个．3．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是 ．4．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x=解的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44. (2009福建文)若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =- C. ()1xf x e =- D. ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭4. (2009山东文、理)若函数f(x)=a x－x －a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .高考复习——导数及其应用（1）● 考试目标 主词填空1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

题型归纳：1、函数y = sin( x+系？π3)三角函数图像的变换π，x∈R和y = sin( x−，x∈R的图象与42009-9-10y = sin x的图象有什么联xπy = sin x的图象有什么联系？π个单位所得的曲线是2、函数+(1)x∈R的图象与(2)4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的12倍，再向左平移2 = sin = sin y = 2 sin x的图象，试求y = f (x)的解析式。

3π3、画出函数y = 3 sin( 2 x +32x+π3y2x3sin(2x+π)3) ，x∈R的简图。

3第1页共2页5、函数y＝Asin(ωx＋φ）（A> 0,ω > 0，｜φ｜＜π）的图象如图，求函数的表达式.★☆作业：（A组）1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：π（3）y = 4 sin( x− ) ，x∈R（4）y = sin( 2 x+3π6) ，x∈R2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。

6、把函数 y ＝cos(3 x ＋π的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 （1） y = 5 sin( 1 2 x + π 6) ，x ∈R（2） y = 1 2 sin( 3x − π 4) ，x ∈R可以是(A.向右平移)π 44B.向左平移π 4C.向右平移π12D.向左平移π12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2 的图象的一部分，它（3） y = 3sin( 2 x －π6) ，x ∈R （4） y =2cos(1 21x + π ) ，x ∈R4的振幅、周期、初相各是 4π ，φ＝－ π A.A ＝3，Ｔ＝ 3 6( )B.A ＝1，Ｔ＝4π ，φ＝－ 33π4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π ，φ＝－3π 3 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 4π ，φ＝－ π 3 68、如左下图是函数 y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析式为2 A. y = sin(2x +π ) B. y = 2 ( sin( x )+ π ) C. y = 2 sin( x −π ) D. y = 2 sin(2 x + 2π)3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得出（注意定义域）： （1） y = 8sin(x－π)，x ∈[0,＋∞）（2） y =1cos(3x + π)，x ∈[0,＋∞）483 73 3 3 24 3 3 3 34、(1)y ＝sin(x ＋ππ4)是由 y ＝sin x 向平移个单位得到的.9、如右上图所示的曲线是 y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）｜φ｜＜ π的图象的一部分，求这个函数的解析式。

高考数学考点归纳之 函数的图象一、基础知识1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减.(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．二、常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称．考点一 作函数的图象[典例] 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．[变透练清]1.[变条件]若本例(2)变为y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2，试作出其图象．解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象是由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图 所示．2.[变条件]若本例(3)变为y ＝|x 2－2x －1|，试作出其图象．解：y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1，1－2<x <1＋2，其图象如图所示．考点二 函数图象的识辨[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )[解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e>1，排除C 选项．故选B.[答案]B[例2]已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()[解析]法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.[答案]D[解题技法]1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[题组训练]1．(2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：选D 法一：由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.法二：先画出函数f (x )的图象，如图1所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )，即g (x )的图象，如图2所示．故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.考点三 函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用[典例] 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．[答案] A [解题技法]当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．[题组训练]1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数， 所以不等式f (x )－f (－x )x <0可化为f (x )x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示． 所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．2．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示， 由图象可得，其最小值为32.答案：323．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x >－1，若f (x )在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．解析：作出函数f (x )的图象，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫－x2单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝⎛⎭⎫－x 2＝2，解得x ＝－8；当x >－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23<2，f (－1)＝－1，故所求实数m 的取值范围为[－8，－1]．答案：[－8，－1][课时跟踪检测]A级1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度解析：选B因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：选C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z)，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.4．下列函数y ＝f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.5.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________．解析：因为函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．答案：(4，－2)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1. ∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0 8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1} 9．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解：(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0)， 所以其图象如图所示． (2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．解：(1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.B级1．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示． 当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．4．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示， 当x ≥2时，f (2)≤g (2)， 即a 2－1≤34×2－1，解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。

专题四 函数的性质、函数的图象函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示. 求定义域的基本原则有以下几条： 1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：0x 及()n x n N -*∈中底数0x ≠；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于1；5.三角函数：正弦函数sin y x =的定义域为R ，余弦函数cos y x =的定义域为R ，正切函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 典型例题例1【2018届全国名校大联考高三第四次联考】函数()f x = ）A. (]0,1000B. []3,1000C. 10,1000⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,31000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【练一练趁热打铁】1. 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0( B. ),2(+∞ C. ),2()21,0(+∞ D. ),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C .2. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)【答案】B【解析】 因为()f x 的定义域为[0，2]，所以对()g x ，022x ≤≤但1x ≠，故[0,1)x ∈.故选B ．分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如(){}{}f f f f a ⎡⎤⎣⎦的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． （5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 典型例题例1【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】已知函数()1212,0{ ,0x x f x x x -≤=>，则()()1f f -=__________．【解析】由题()()()111122ff f f -⎛⎫-=-==⎪⎝⎭. 例2【2018届河南省南阳市第一中学高三第七次考】已知函数()()2142,1{1log ,1a x a x f x x x -+-<=+≥，若()fx 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A. (]1,2B. (],2-∞C. (]0,2D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】因为当1x ≥时2101log 1{121421a x a a a ->+≥∴⇒<≤-+-≥ ，选A.【练一练趁热打铁】1.已知函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，且()3-=a f ，则()6f a -= .【答案】32-2.【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断】函数()()()()132{log 12x e x f x x x -<=--≥，则不等式()1f x >的解集为( ) A. ()1,2 B. 4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】分类讨论： 当2x <时，不等式为： 11,10,1x ex x ->∴->>，此时12x <<；当2x ≥时，不等式为： ()314log 11,01,133x x x -->∴<-<<<，此时不等式无解； 综上可得，不等式的解集为： 12x <<， 表示为区间形式即： ()1,2. 本题选择A 选项.函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数.3.基本初等函数的单调性：【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 例2【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【练一练趁热打铁】1.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B 【解析】2.32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>2log 5最大.函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -=()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）；2.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论；3.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数.【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．4．函数的奇偶性和周期性是函数在其定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.5.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f (0)=0”“偶函数一定有f (|x|)=f (x )”在解题中的应用. 典型例题例1【2018届北京市东城区高三上学期期末】下列函数中为偶函数的是 A. ()22y x =- B. ln y x = C. cos y x x =⋅ D. xy e -=【答案】D例2【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月】奇函数()f x 在()-∞+∞，单调递增，若()11f =，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是A. []2,2-B. []1,1-C. []0,4D. []1,3 【答案】D【解析】根据奇函数的性质有()()111f f -=-=-，故原不等式等价与121x -≤-≤，解得13x ≤≤.【练一练趁热打铁】1.下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y = 【答案】C【解析】对于A 选项，结合二次函数2y x =的图象可知，函数2y x =为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增；对于B 选项，函数3y x =-为奇函数，230y x '=-<在()0,+∞上恒成立，则函数3y x =-在区间()0,+∞上单调递减；对于C 选项，函数lg y x =-的定义域为()(),00,-∞+∞，且lg lg xx --=-，故函数lg y x =-为偶函数；对于D 选项，结合对数函数2xy =的图象可知，函数2xy =为非奇非偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增.故选C.2.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（ ） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B.()()13f f f ππ⎛⎫>->-⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由于函数()y f x =为偶函数，故()()f x f x -=，因此()()11f f -=，()()f f ππ-=，由于函数()f x 在区间[]0,4上单调递减，且0143ππ<<<<，所以()()143f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即()1f ->()3f f ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故选C.函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．关于函数周期性常用的结论（1）若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； （2）若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； （3）若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （5）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（7）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． 2.典型例题例1【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= . 【答案】6 【解析】例2. 【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+错误！未找到引用源。