17.5.6一元二次方程

17.5 一元二次方程的应用【学习目标】1.能根据具体实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.2.能根据实际问题的意义，检验方程的解是否合理.重点难点重点：从实际问题中抽出数量关系并列方程求解，最后对方程解的合理性作出解释（即方程建模的全过程）. 难点：抽象实际问题中的数量关系，对方程解的合理性作出解释.教学设计【预习导学】学生自主预习教材，完成下列各题.1.一元二次方程有哪些解法？2. 我们学过的列方程解应用题，有哪些基本步骤?【探究展示】(一)合作探究动脑筋：某省农作物秸杆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸杆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸杆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸杆总量不变）分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是，设这两年秸杆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列方程：= .整理，得 = .解得 X1= ，X2= （不合题意，舍去）.因此，这两年秸杆使用率的年平均增长率为 .归纳：（1）若某个量原来的值是a，每次增长的百分率是X，则增长1次后的值是a（1+X），增长2次后的值是a（1+X）2，增长n次后的值是a（1+X）n，这就是重要的增长率公式.（2）若原来的值是a，每次降低的百分率是X，则n次降低后的值是a（1-X）n，就是降低率公式.（二）展示提升1.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，求平均每次降价的百分率.2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为X元，则可卖出(350-10X)件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%，若该商店计划从这批商品中获取400元利润(不计其它成本)，问需要卖出多少商品，此时的售价是多少？3.议一议，运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？(组内交流，学生归纳)【知识梳理】以“本节课我们学到了什么”启发学生谈谈本节课的收获.【当堂检测】1.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书的增长的百分率是多少？2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件盈利44元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。

专题17.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】【沪科版】【题型1 数字问题】 ................................................................................................................. 错误!未定义书签。

【题型2 平均变化率问题】 . (2)【题型3 销售利润问题】 (3)【题型4 传播问题】 (4)【题型5 循环问题】 (4)【题型6 树枝分叉问题】 (5)【题型7 工程问题】 (6)【题型8 图形问题】 (8)【题型9 面积问题】 (10)【题型1 数字问题】【例1】（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（）A．10（x+3）+x＝x2B．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2C．10（x﹣3）+x＝x2D．10（x+3）+x＝（x﹣3）2【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是．【变式1-3】（2022•秦都区期末）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．【题型2 平均变化率问题】【例2】（2022春•钟山县期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（）A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20【变式2-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．20% B．11% C．22% D．44%【变式2-2】（2022春•芝罘区期末）某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是．【变式2-3】（2022•秀峰区校级期中）某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？【题型3 销售利润问题】【例3】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（）A．70元B．80元C．70元或80元D．75元【变式3-1】（2022春•乳山市期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为元．【变式3-2】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以2元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．（1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出件；（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？【变式3-3】（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售20m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政3府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．【题型4 传播问题】【例4】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【变式4-1】（2022•长兴县校级期中）截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为；n轮感染后，被感染的活禽只数为只．（用含n的代数式表示）【变式4-3】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【题型5 循环问题】【例5】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-1】（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？【变式5-2】（2022•保亭县校级月考）要组织一次排球循环赛，参赛的每两队之间赛一场．赛程计划7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参加？【变式5-3】（2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？【题型6 树枝分叉问题】【例6】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【变式6-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43【变式6-2】（2018秋•同安区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（）小分支．A．7根B．6根C．5根D．4根【变式6-3】（2022•河西区期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？若设每个枝干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为1；②从主干中长出的枝干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述枝干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．【题型7 工程问题】【例7】（2022•渝中区校级自主招生）工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间．【变式7-1】（2022•沙坪坝区校级开学）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的最施工速度进行施工，但在实际的施工过程中，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了m%．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队同时施工60天，再由乙单独多施工（m+7）天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．【变式7-2】（2022•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【变式7-3】（2022•开州区期中）为进一步改善路容路貌，提升干线公路美化度，某地相关部门初步拟定派一个工程队对一段长度不少于39000米的公路进行路基标准化整修．该工程队以旧设备与新设备交替使用的方式施工，原计划旧设备每小时整修公路30米，新设备每小时整修公路60米．，当这个工程完（1）出于保护旧设备的目的，该工程队计划使用新设备的时间比使用旧设备的时间多23工时，旧设备的使用时间至少为多少小时？（2）通过精确的勘察、测量、规划，以及新增了部分支线公路整修，此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米．于是在实际施工中，旧设备在整修公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多 3.2a%，同时，因为工人操作新设备不够熟练，使得新设备整修公路的效率比原计划下降了a%，使用时间比（1）中新设备使用的最短时多（1a+30）%，求a的值．2【题型8 图形问题】【例8】（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．（1）花园内的小路面积为平方米（用含x的代数式表示）．（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．【变式8-1】（2022•峄城区期末）有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为．【变式8-2】（2022•沈阳模拟）如图，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，半径为x米，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15米．当x等于多少时，窗户通过的进光面积是4平方米．【变式8-3】（2021秋•朝阳区校级月考）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长100m，下底长180m，上下底相距80m，在两腰中点连线外有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少（精确到0.01m）？（友情提示：中间甬道的中位线就是等腰梯形的中位线）【题型9 面积问题】【例9】（2022•蜀山区校级模拟）我国南宋数学教杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？（请你利用所学知识解决以上问题）【变式9-1】（2022•淮安区期中）用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．（1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值；（2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．【变式9-2】（2022•贵阳期末）我们规定：如果一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形的周长和面积的n倍，则称这个矩形是另一个矩形的“加倍矩形”．已知一个矩形的长为5，宽为3，是否存在这样的“加倍矩形”，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的3倍，请说明理由．【变式9-3】（2022•达川区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠长为18m的墙，另三边用木栏围成，木栏长为32m．（1）鸡场的面积能围成120m2吗？（2）鸡场的面积能围成130m2吗？。

17．5 一元二次方程的应用（一）授课目标：(1)知识与技术1、掌握成立数学模型解决增加率（降低率）问题。

2、学会分析实责问题，可以依照题意找等量关系列出一元二次方程并求解，并能依照本质意义查验所求的结果可否合理。

(2)过程与方法在经历成立方程模型解决实责问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力，领悟数学建模和符号化思想。

(3)感神态度与价值观经过列方程解应用问题，进一步领悟用方程的思想方法解决应用问题的优越性，感觉数学的应用价值，提高学习数学的兴趣。

授课重点学会用列方程的方法解决有关增加率问题．授课难点：有关增加率之间的数量关系．授课过程( 一) 创立情境，提出问题问题：1、同学们，我们为什么要学数学呢？数学源于生活，又应用于生活！2、前面我们已经研究了一元二次方程的有关知识，从今天这节课开始我们就来研究用一元二次方程能解决什么样的本质应用问题？（板书课题）3、列方程解实责问题的一般步骤是什么？（学生回答）审、设、找、列、解、验、答（二）合作沟通，解读研究【研究】：某商铺一月份的收益是2500 元，三月份的收益达到3000 元，这两个月的平均月增加的百分率是多少？分析：提问：什么是增加率?增加率（降低率）问题的基本数量关系：增加数（降低数） =原来数×增加率 ( 降低率）此后数 =原来数＋增加数此题：增加的收益 =原收益×增加率思虑：若设这两个月的平均月增加的百分率是x，二月份比一月份收益增加________元；则二月份的收益是： ________________________元；三月份比二月份收益增加______________元；三月份的收益为：元.可列出方程：2500(1＋x) 2=3000这就是实责问题中的增加率问题。

【概括总结】：若增加两次，则平均增加率公式为：两次增加后的数 =原来数× (1+ 增加率 ) 2若原数为 a, 平均增加率是 x,则第 1 次增加后的量是a+ax=a(1+ x)；第 2 次增加后的量是 a(1+x)+a(1+x)x =a(1+x)2 ；第 n 次增加后的量是 a (1+ x) n.反之，若为两次降低，则平均降低率公式为：原来数× (1- 降低率 ) 2=两次降低后的数2、解这类问题的方程，用直接开平方法做简略（三）例题解说，坚固应用例 1：原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9 元。

17.5 一元二次方程的应用（第1课时）-教案一、教学目标1、以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生掌握数学建模的基本方法。

2、通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

三、教学重难点教学重点：列一元二次方程解应用题。

教学难点：将实际问题提炼成数学问题。

四、教法与学法教法：创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新。

学法：自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新。

五、教学过程【活动一】复习提问，引出新知提问1、以前我们经历了几次列方程解应用题？提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样17.5一元二次方程的应用（1）【师生行为】教师提问，学生略作思考并回答，教师视学生回答情况进行补充，并板书课题。

【设计意图】列一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解应用题，它们的思想方法和解题步骤有许多共同之处，通过回顾以往的列方程解应用题，以及列方程解应用题的一般步骤为学生列一元二次方程解应用题提供了有益的经验。

【活动二】创设情境，探究新知问题1有一块宽20m、长32m的长方形空地上,修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向互相垂直）,把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛。

要使花坛的总面积是570m2. 问小路的宽应是多少？【活动三】课堂例题，应用新知问题2：一根长22cm的铁丝(1)能否围成面积是30cm2的矩形？(2)能否围成面积是32cm2的矩形? 并说明理由。

(3)用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？【师生行为】教师引导学生对照基本步骤回答问题。

1、第一步干什么？审题：找出已知量和未知量及相等关系。

2、分组讨论入下问题（1）矩形的面积怎么计算？（2）矩形的长与宽有什么关系？3、直接设矩形的长为x cm.利用前面已经找到的等量关系，列出方程。

【设计意图】对教材中的例题的内容和编排的顺序进行了改编，选取的例题是从学生身边的实际情景中学生自己提炼出来的，这样更能让学生体会到数学的实用性，感受到数学来源于生活，应用于生活，感受到数学的魅力，体现了新课程理念“从教教材到用教材教”。

沪科版数学八年级下册《17.5 一元二次方程的应用》教学设计1一. 教材分析《17.5 一元二次方程的应用》是沪科版数学八年级下册的教学内容。

本节课主要通过实际问题引入一元二次方程的应用，让学生了解一元二次方程在实际生活中的运用，培养学生的数学应用意识。

教材中给出了两个实例，分别是求物体运动的最高点和最大利润问题。

通过这两个实例，学生可以掌握一元二次方程在解决实际问题中的方法。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的理论知识，对求解一元二次方程的步骤和方法有一定的了解。

但实际应用一元二次方程解决实际问题还较为困难，需要通过本节课的学习，让学生将理论知识与实际应用相结合，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.了解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.学会利用一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的数学应用意识。

四. 教学重难点1.掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

2.学会将实际问题转化为一元二次方程。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

同时，采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中互相学习，提高合作能力。

六. 教学准备1.准备相关实例，用于引导学生探究一元二次方程的应用。

2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一个小球从高度h自由落下，不计空气阻力，求小球落地时的速度。

”让学生思考如何解决这个问题。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的两个实例，分别是求物体运动的最高点和最大利润问题。

让学生独立思考，尝试解决这些问题。

3.操练（15分钟）学生在小组内合作讨论，将实际问题转化为一元二次方程，并求解。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生选取一个实例，进行上台展示，讲解解题过程。

第十七章 第5讲 一元二次方程根与系数的关系知识精要1.一元二次方程根与系数的关系若21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 可以发现a b x x -=+21，ac x x =21. 由此，就有了一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与系数的关系：若21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则a b x x -=+21，ac x x =21.经典题型精讲(一)根与系数的关系例1.求下列关于x 的方程的两根的和与积：(1)0322=++x x (2)0122=--ax x (3)04)2(2222=+++-p x p x例2.已知关于x 的一元二次方程0322=++mx x 的一个根是21，求方程的另一个根及m 的值.例3.设一元二次方程03742=--x x 的两根是21x x 、.不解方程，求各式的值.(1))3)(3(21--x x ； (2)2221x x +； (3)112112+++x x x x ； (4)21x x -.例4.当k 为何值时，关于x 的一元二次方程013)13(2322=-++-k x k x ，(1)有两个互为相反数的实数根； (2)两个实数根互为倒数?例5.求作一个一元二次方程，使它的两个根是23+和23-，且方程的二次项系数是1.例6.已知一元二次方程为02322=--x x .利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知一元二次方程的各根的平方，且方程的二次项系数是1.例7.已知两个数的和是10，它们的积是22，求这两个数.(二)根与系数的关系的应用例8.已知b a 、是一元二次方程01)2(2=+-+x m x 的两个根，求)1)(1(22b mb a ma ++++的值.例9.已知1≠ab ，且有08200952=++a a 及05200982=++b b ，求b a 的值.例10.已知m 为实数，一元二次方程041252=++-m x x 有一根大于2，另一根小于2，求m 的取值范围.例11.设21x x 、是关于x 的一元二次方程06)53(422=---m x m x 的两个实数根，且2321=x x ，求m 的值.例12.设21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求))((1211b a b a ++和))((2221b a b a ++的值.例13.已知实数z y x 、、满足0=++z y x ，2=xyz ，求z y x ++的最小值.例14.设实数y x 、满足222=++y xy x ，求22y xy x +-的取值范围.能力提升1.已知一元二次方程01022=-+kx x 的一个根是2-，则它的另一个根为________，=k ________.2.已知关于x 的一元二次方程0)2()69(322=--+-+b x b b x 的两个实数根的倒数和为2，则 =b _________.3.设一元二次方程012=--mx x 的两根是21x x 、.若321=-x x ，则=m ____________.4.已知n m 、是关于x 的一元二次方程0719992=++x x 的两个实数根，则n n m m 2000)(61998(22+++=+)8____________.5.已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中n m 、是实数，则=-nm 1____________. 6.若βα、是一元二次方程0532=--x x 的两个根，则=-+ββα3222____________.7.若一元二次方程02322=+-x x 的两个实数根为βα、，它也是一元四次方程024=++q px x 的两个实数根，则=p ____________.8.已知b a 、为实数且满足0132=++a a ，0132=++b b ，则=+ba ab ____________. 9.已知c b a 、、均为实数，且8=-b a ，0162=++c ab ，则=++c b a ____________.10.若y x 、为实数，且24122≤+≤y x ，则2242y xy x +-的取值范围是____________.11.已知ABC ∆的三边长c b a 、、满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则可确定ABC ∆的形状是_________三角形.12.设βα、是一元二次方程012532=--x x 的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2)(βα- (2)βααβ+ (3))11)(11(--βα 13.已知关于x 的一元二次方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21x x 、.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说 明理由.14.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是一元二次方程03252=-+x x 的各根的负倒数.15.若关于x 的一元二次方程0)2()1(222=+---b x a x 有两个相等的实根. (1)求31998b a +的值；(2)求作以b a 、为根的一元二次方程.16.已知一元二次方程为0232=-+x x ，不解方程，利用根与系数的关系求作一个新的一元二次方程，使它的两根分为(1)已知方程的两根的倒数；(2)已知方程两根的两倍；(3)已知方程两根的2倍大1；(4)一根是原方程两根的和的倒数，另一根是原方程两根的差的平方.17.已知关于x 的一元二次方程052622=+-+-p p x x 的一个根为2，求另一个根及p 的值.18.已知一元二次方程01222=--x x 的两根为βα、，不解方程，求： (1)βααβ212122-+-的值； (2)βα-的值.19.已知一元二次方程062=++kx x 的两个实数根是21x x 、，同时一元二次方程062=+-kx x 的两个实数根是5521++x x 、，求k 的值.20.设21x x 、是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++q q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，0)1()1(2211=+++x x x x ，求q p 、的值.21.已知一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根为21x x 、.(1)是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(2)求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值. 22.已知一元二次方程04232=--x x ，求作另一个一元二次方程，使其两根分别是原方程两根的倒数.23.不解方程，求作一个关于y 的一元二次方程，使它的首项系数为1，两个根分别是一元二次方 程0132=++x x 的两个根的五次方.24.求作一个一元二次方程，使它两根的差是4，两根的乘积是3-.25.已知关于x 的一元二次方程042=++b bx x 有两个相等的实数根，21y y 、是关于y 的一元二次方程04)2(2=+-+y b y 的两个实数根，求作以21y y 、为根的一元二次方程.26.已知一元二次方程08242=+--m x x 的两个实根中一个大于1，另一个小于1，求m 的取值范围.27.已知实数c b a 、、满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. 28.已知实数z y x 、、满足5=+y x ，92-+=y xy z ，求z y x 32++的值.29.已知实数c b a 、、满足0782=+--a bc a ，06622=+-++a bc c b ，试求a 的取值范围.30.已知一元二次方程0)30(112=++-k x x 的两根都比5大，求实数k 的取值范围.31.已知βα、是一元二次方程0872=+-x x 的两个实数根，且βα>，不解方程，求232βα+的值.32.设一元二次方程02=+-q px x 的两个实数根为βα、，而以22βα、为根的一元二次方程仍是02=+-q px x ，问数对),(q p 有多少对?33.已知ABC ∆的边长分别为c b a 、、，且c b a >>，c a b +=2，b 为正整数，若84222=++c b a ，求b 的值.参考答案：1.52, -12.1或103.4.19915.83或0 6.24-4 8. 2或7 9. 0 10.12£x 2-2xy +4y 2£3 11.等腰 12.1699; -9736; 76 13.k <14且k ¹0 14.3x 2+2x -5=0 15.-7; x 2+x -2=0 16.2x 2-3x -1=0; x 2+12x -8=0; 3x 2-50x -17=0 17.另一个根为4，p 的值为或-118.1; 19.5 20. p =0q =1ìíî或p=q =-1ìíïîï21.(1)不存在 提示：利用判别式和韦达定理 (2)-5,-3,-2 22.4x 2+3x -2=0 23.y 2+123y +1=0(提示：x 15+x 25=(x 12+x 22)(x 13+x 23)-(x 1x 2)2(x 1+x 2)) 24.x 2-2x -3=0或x 2+2x -3=025.x 2-+2=0 26.m >52 27.x =228.3 29.1£a £9 30.0<k £14 31.403-8提示：构造2a +3b 2的对偶式2b +3a 2，计算它们和与差建立方程组，从而求得结果 32.3 33.5。

第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用（1）【教学内容】一元二次方程解决有关增长率问题的应用题。

【教学目标】知识与技能经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程；过程与方法.认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.情感、态度与价值观通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.【教学重难点】重点：把代数式相等关系转化为一元二次方程，进而确定未知数的值。

难点：用一元二次方程解决有关增长率问题的应用题。

【导学过程】【知识回顾】1、某商场营销一个品牌的上衣，以批发价每件30元购进，然后按进价提高10％的价格销售.则每件上衣的销售价格为，可获利元，利润率为.①利润=售价- ②售价=进价（1+ ）2、据统计我县农村人均收入从2010年起以15%的增长率逐年递增，2010年的人均收入为7800元，那么预计到2013年，我县农村人均收入将达到元.【情景导入】增长率问题公式为：b＝a(1±x)n,其中a为增长前的数量，x为增长率，n为增长期数，b为增长后的数量.【新知探究】探究一、例1 17.1节中的问题（2）。

探究二、例2.某县图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？探究三、某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可销售500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若梅千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？分析：本题相等关系每千克水果的销售利润×每天水果销量=每天销售利润.若设每千克水果涨价x元，则每千克水果利润为元，每天销量为千克.……【知识梳理】增长率问题公式为：b＝a(1±x)n,其中a为增长前的数量，x为增长率，n为增长期数，b为增长后的数量.【随堂练习】1、某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多销售10件，如果每天要盈利1080元，每件应降价元.2、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（）A、甲B、乙C、丙D、乙或丙3、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产76件.每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件.（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式.（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次.。

一元二次方程公式1. 引言在数学中，一元二次方程是一种只含有一个未知数的二次方程。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是已知的实数，a ≠ 0。

解一元二次方程的最常用方法之一是使用一元二次方程公式。

本文将介绍一元二次方程公式的推导过程和使用方法。

2. 一元二次方程公式的推导假设我们要解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a ≠ 0。

我们首先将方程化简为标准形式。

通过移项和因式分解，我们可以得到：x^2 + (b/a)x + c/a = 0进一步，我们可以将方程写成完全平方的形式：(x + (b/2a))^2 - (b^2/4a^2) + c/a = 0我们可以继续进行简化和合并项：(x + (b/2a))^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2)通过开方，我们可以得到：x + (b/2a) = ± √((b^2 - 4ac) / (4a^2))继续移项，我们最终得到一元二次方程公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是一元二次方程的解的公式，也称为一元二次方程公式。

3. 使用一元二次方程公式求解方程使用一元二次方程公式求解一元二次方程的步骤如下：1.确定方程的系数a、b、c的值。

2.计算方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。

3.判断判别式的值：–若Δ > 0，即判别式大于0，方程有两个实数解。

–若Δ = 0，即判别式等于0，方程有一个实数解。

–若Δ < 0，即判别式小于0，方程无实数解。

4.根据判别式的值，使用一元二次方程公式求解方程：–若Δ > 0，解为x = (-b ± √Δ) / (2a)。

–若Δ = 0，解为x = -b / (2a)。

–若Δ < 0，无实数解。

需要注意的是，一元二次方程公式仅适用于一元二次方程，不适用于其他类型的方程。

沪科版八年级下册数学目录教材是八年级数学教师教学的主要依据，又是学生学习的重要凭借。

教材上的目录有什么知识呢?为大家整理了沪科版八年级数学下册的目录，欢迎大家阅读!第16章二次根式16.1 二次根式16.2二次根式的运算第17章一元二次方程17.1 一元二次方程17.2一元二次方程的解法17.3一元二次方程的根的判别式17.4一元二次方程的根与系数的关系17.5 一元二次方程的应用第18章勾股定理18.1 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理第19章四边形19.1 多边形内角和19.2平行四边形19.3 矩形菱形正方形19.4 中心对称图形19.5梯形第20章数据的初步分析20.1数据的频数分布20.2数据的集中趋势与离散程度20.3综合与实践体重指数分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a+√b=√a-√b/√a+√b√a-√b=√a-√b/a-b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。

一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 a≠0时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根等或不等.猜你感兴趣：1.沪科版八年级数学上册目录2.沪科版八年级下册数学教案3.沪科版八年级数学下册复习资料4.沪科版八年级下册数学全教案5.沪科版八年级下册数学教学计划感谢您的阅读，祝您生活愉快。