小学数学竞赛：组合的基本应用(一).教师版解题技巧 培优 易错 难

小学数学组合问题练习题讲解数学是一门重要的学科，它不仅培养我们的逻辑思维能力，还能提高我们的解决问题的能力。

而组合问题是数学中一类常见且重要的问题类型。

本文将通过一些小学数学组合问题的讲解，帮助学生们更好地理解与应用组合问题。

一、两道小学数学组合问题的讲解问题1：小明在一家餐厅吃饭，餐厅提供了5种主食和7种配菜，他想选择一种主食和一种配菜作为自己的晚餐，请问他有多少种不同的选择组合？解析：根据组合问题的特点，我们可以使用乘法原理来解答这个问题。

首先，小明可以从5种主食中选择一种，共有5种选择。

而在选择主食的同时，他还可以从7种配菜中选择一种，共有7种选择。

根据乘法原理，我们将两个选择的种类相乘，即可得到总的组合方式。

所以，小明一共有5×7=35种不同的选择组合。

问题2：有5个小朋友排队参加游戏，其中3个小朋友身穿红色T 恤，2个小朋友身穿蓝色T恤。

如果要选择两名小朋友代表队伍参赛，问有多少种不同的选择组合？解析：这个问题也是一个组合问题，我们同样使用乘法原理来解答。

由于需要选择两名小朋友作为代表队伍参赛，我们首先需要在3个红色T恤和2个蓝色T恤中分别选择一名小朋友。

从红色T恤中选择一名小朋友有3种选择方式，而从蓝色T恤中选择一名小朋友有2种选择方式。

根据乘法原理，我们将两个选择的种类相乘，即可得到总的组合方式。

所以，小朋友有3×2=6种不同的选择组合。

二、小学数学组合问题的拓展经过上面两道小学数学组合问题的讲解，我们对组合问题有了初步的了解。

下面，我将进一步讲解几个拓展的组合问题。

问题3：有8个人参加一场比赛，其中要选出3个人组成一个团队。

问有多少种不同的选择团队的方式？解析：这个问题类似于问题2，我们同样使用乘法原理来解答。

需要选择3个人组成一个团队，我们首先需要从8个人中选择一名队长，有8种选择方式。

在选择队长的同时，我们还需要从剩下的7个人中选择两名队员，有7×6/2=21种选择方式，这里除以2是因为队员的次序不重要（例如：甲、乙与乙、甲是同一种组合）。

1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是 。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。

如何帮助一年级学生解决组合数学难题在帮助一年级学生解决组合数学难题时，教育者需要采取一系列有效的方法与策略。

本文将为您介绍一些可行的途径，帮助学生更好地理解和解决组合数学难题。

一、培养对组合数学的兴趣对于一年级学生来说，组合数学可能是一个全新的概念。

因此，我们首先需要引起学生对组合数学的兴趣。

可以通过生动有趣的游戏、故事、实例等方式，让学生在愉快的氛围中接触到组合数学的基本概念。

同时，与学生进行互动，了解他们对数学的感受与态度，及时发现问题并引导他们积极参与学习。

二、建立数学概念的基础在解决组合数学难题之前，学生需要掌握一些基本的数学概念。

例如，学生需要了解数的概念、加法、减法等基本运算规则，并能灵活运用。

通过教学，我们可以帮助学生巩固这些基础知识，为接下来解决组合数学难题打下坚实的基础。

三、提供具体的解题策略学生解决组合数学难题的过程需要有明确的策略。

我们可以提供一些具体的解题方法，例如列举法、模式识别等，帮助学生有条理地分析问题，找到解题的关键点。

同时，我们也应该鼓励学生借助画图、模型等工具，将抽象的问题转化为具体形象的表达，更方便理解和解决问题。

四、分步引导解题对于一年级学生来说，组合数学难题往往会让他们感到困惑。

在解决问题的过程中，我们应该采用分步引导的方式，帮助学生逐步理清思路。

首先，与学生一起审题，确保对问题的理解准确无误。

然后，我们可以给予一定的提示，帮助学生找到解题的线索。

最后，鼓励学生进行独立思考，并及时给予反馈与指导。

五、注重实践与应用组合数学作为一门实用的学科，应该与实际生活相结合。

在解决组合数学难题的过程中，我们可以引导学生将数学知识应用到实际问题中去。

例如，在解决排列组合问题时，可以与学生一起设计一道关于班级座位安排的问题，让学生亲身实践，增强兴趣，并且更好地理解数学知识与实际应用的联系。

六、增加练习机会学习组合数学需要反复的练习与巩固。

我们可以提供丰富的练习题目，让学生在课堂上或者课后进行反复练习。

1. 分析题目确定单位“1”2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题3. 抓住不变量，统一单位“1”一、知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。

在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．（2）甲比乙多18，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191889÷=.方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1199÷=.二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。

例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。

解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。

有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。

在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。

这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。

（三）、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。

5-1-1-1.算式谜（一）教学目标数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。

横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。

主要横式数字谜问题，因此，会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题。

知识点拨一、基本概念填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。

算符：指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。

二、解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。

（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

三、奇数和偶数的简单性质（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.（二）性质：①奇数≠偶数.②整数的加法有以下性质：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.③整数的减法有以下性质：奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数.④整数的乘法有以下性质：奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数.例题精讲模块一、巧填算符（一）巧填加减运算符号【例1】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。

88888888=1000【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【解析】要在八个8之间只添加号，使和为1000，可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数，它可以是888，而888＋88=976，此时，用去了五个8，剩下的三个8应凑成1000-976＝24，这只要三者相加就行了。

本题的答案是：888+88+8+8+8=1000【答案】888+88+8+8+8=1000【例2】在等号左边9个数字之间填写6个加号或减号组成等式：1 2 3 4 5 6 7 8 9＝101【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第2题【解析】（不唯一）123456789101++++-+=或123456789101-+-+++=【答案】123456789101-+-+++=++++-+=或123456789101【例3】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：1110987654210□□□□□□□□3□□=【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题【解析】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)【答案】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)【巩固】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：11109876321=□□□□□□5□4□□【考点】巧填算符之凑数法【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第2题，6分【解析】11+10+9……3+2=65，所以只要将其中和为32的几项的加号改成减号即11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1 【答案】11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1【例4】在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。

1.使學生正確理解組合的意義；正確區分排列、組合問題；2.瞭解組合數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計算公式以及組合數與排列數之間的關係；4.會分析與數字有關的計數問題，以及與其他專題的綜合運用，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對組合的一些計數問題進行歸納總結，重點掌握組合的聯繫和區別，並掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等．一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這裏，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從n 個不同元素中取出m 個(m n ≤)元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關．如果兩個組合中的元素完全相同，那麼不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．從n 個不同元素中取出m 個元素(m n ≤)的所有組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m 個不同元素的組合數．記作m n C ．一般地，求從n 個不同元素中取出的m 個元素的排列數n m P 可分成以下兩步： 第一步：從n 個不同元素中取出m 個元素組成一組，共有m n C 種方法； 第二步：將每一個組合中的m 個元素進行全排列，共有m m P 種排法．根據乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅．因此，組合數12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．這個公式就是組合數公式．知識要點教學目標7-5-1.組合的基本應用（一）二、組合數的重要性質一般地，組合數有下麵的重要性質：m n m n n C C -=(m n ≤)這個公式的直觀意義是：m n C 表示從n 個元素中取出m 個元素組成一組的所有分組方法．n m n C -表示從n 個元素中取出(n m -)個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從n 個元素中選出m 個元素的分組方法恰是從n 個元素中選m 個元素剩下的(n m -)個元素的分組方法．例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即3255C C =．規定1n n C =，01n C =．模組一、組合之計算問題【例 1】 計算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答【解析】 ⑴226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⑵227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ 【小結】注意到上面的結果中，有2466C C =，2577C C =． 【答案】⑴ 2615C =，4615C =⑵ 2721C =，5721C =【例 2】 計算：⑴198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P CCCP -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C C C P -=====；⑶2981002100100100100221009922122494821P CCCP ⨯-=-⨯=-=-=⨯．【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．【巩固】 計算：⑴312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．例題精講【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答【解析】 ⑴ 312121110220321C ⨯⨯==⨯⨯ ⑵ 998210001000100099949950021C C ⨯===⨯⑶2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯． 【答案】⑴ 312220C =⑵ 9981000499500C = ⑶ 228828P C -=．模組二、組合之體育比賽中的數學【例 3】 某校舉行排球單循環賽，有12個隊參加．問：共需要進行多少場比賽？【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 因為比賽是單迴圈制的，所以，12個隊中的每兩個隊都要進行一場比賽，並且比賽的場次只與兩個隊的選取有關而與兩個隊選出的順序無關．所以，這是一個在12個隊中取2個隊的組合問題．由組合數公式知，共需進行21212116621C ⨯==⨯(場)比賽．【答案】21266C =【巩固】 芳草地小學舉行足球單循環賽，有24個隊參加．問：共需要進行多少場比賽？ 【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答【解析】 由組合數公式知，共需進行224242327621C ⨯==⨯(場)比賽． 【答案】224276C =【例 4】 六個人傳球，每兩人之間至多傳一次，那麼最多共進行次傳球．【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】填空 【關鍵字】迎春杯，三年級，初賽，7題【解析】 本題是一道比賽場數計數問題，“每兩個人之間至多傳一次”，讓6個人最多次地傳球，則是5＋4＋3＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以傳回去，在傳遞過程中兩人是否重複.15條線，代表傳球15次，根據一筆劃問題，行不通，應減少奇數點的個數，共有6個奇數點，應該去掉兩條直線，也就是去掉4個奇數點，還剩下2個奇數點，就可以傳遞回來了.所以答案為5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）.AB CDEF【答案】13次【例 5】 一批象棋棋手進行循環賽，每人都與其他所有的人賽一場，根據積分決出冠軍，循環賽共要進行78場，那麼共有多少人參加循環賽？【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 從若干人中選出2人比賽，與選出的先後順序無關，這是一個組合問題．依題意，假設有n個人參加循環賽，應該有217821⋅-==⨯n n n C （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n （），所以13n =，即一共有13人參加循環賽．【答案】13n =【例 6】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環賽；第二階段：將8個小組產生的前2名共16人再分成4個小組，每組4人，分別進行單循環賽；第三階段：由4個小組產生的4個第1名進行2場半決賽和2場決賽，確定1至4名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】解答【解析】 第一階段中，每個小組內部的6個人每2人要賽一場，組內賽26651521C ⨯==⨯場，共8個小組，有158120⨯=場；第二階段中，每個小組內部4人中每2人賽一場，組內賽2443621C ⨯==⨯場，共4個小組，有6424⨯=場； 第三階段賽224+=場．根據加法原理，整個賽程一共有120244148++=場比賽． 【答案】148【例 7】 有8個隊參加比賽，採用如下圖所示的淘汰制方式．問在比賽前抽籤時，可以得到多少種實質不同的比賽安排表？【考點】組合之基本運用【難度】3星【題型】解答【解析】(法1)先選4人，再考慮組合的方法．8選4有4870C=種組合，其中實質不同的有一半，即70235÷=種；對每一邊的4個人，共有實質性不同的2423C÷=種，所以，可以得到3533315⨯⨯=種實質不同的比賽安排表．(法2)先考慮所有情況，再考慮重複情況首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考慮到實質相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B，以上7組均可交換，即每一種實際上重複計算了72次，答案為：78!2315÷=．【答案】315模組三、組合之數字問題【例 8】從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數的乘法題，問：⑴有多少個不同的乘積？⑵有多少個不同的乘法算式？【考點】組合之基本運用【難度】3星【題型】解答【解析】⑴要考慮有多少個不同乘積．由於只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個乘積，所以，有多少個乘積只與所取的卡片有關，而與卡片取出的順序無關，所以這是一個組合問題．由組合數公式，共有2255225410 21P CP ⨯===⨯(個)不同的乘積．⑵要考慮有多少個不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數字有關，而且與取到兩張卡片的順序有關，所以這是一個排列問題．由排列數公式，共有255420P=⨯=(種)不同的乘法算式．【答案】⑴2510C=⑵2520P=【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0這10個數字中劃去7個數字，一共有多少種方法？【考點】組合之基本運用【難度】2星【題型】解答【解析】相當於在10個數字選出7個劃去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120種．【答案】120【巩固】從分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8的八張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數的加法題，有多少種不同的和？【考點】組合之基本運用【難度】2星【題型】解答【解析】228822872821PCP⨯===⨯(種)．【答案】2828C=【例 9】有紅、黃、藍、綠四種顏色的卡片各5張，且每種顏色的卡片上分別標有1，2，3，4，5，從這些卡片中取出5張，要求1、2、3、4、5各一張，但四種顏色都要有，求共有________種取法？【考點】組合之基本運用【難度】3星【題型】填空【關鍵字】學而思杯，4年級，第14題【解析】四種顏色都有，則有兩個數是同一種顏色即可，其他三個數字和三種顏色一一對應。

试析数学竞赛中组合几何问题的几种解法组合几何问题在数学竞赛中占有重要的地位。

它不仅要求我们具备几何图形的基本概念和运用技能，还需要我们具备一定的组合数学知识。

针对组合几何问题，我们可以采用不同的解法，本文将从常用的几种解法出发，深入探讨组合几何问题的解题技巧。

一、计数原理计数原理是解决组合问题的基本方法之一。

它包含了加法原理和乘法原理两种基本思想。

加法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的概率等于各个子事件概率之和。

乘法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个独立的子事件，那么这个事件的概率等于各个子事件概率之积。

在组合几何问题中，计数原理可以用来计算几何图形中的点、线、面等数量。

例如，在一个正方形中，取三个点，求它们所构成的三角形的个数。

根据乘法原理，我们可以得到答案为$C_3^2=3$。

二、重心法重心法是解决组合几何问题的常用方法之一。

它利用了几何图形的对称性和平衡性。

在一个几何图形中，如果我们能够找到它的重心，那么我们就可以通过重心的性质来解决问题。

重心是一个几何图形的中心点，它具有以下性质：（1）三角形的三条中线交于一点，该点为重心。

（2）四边形的对角线交于一点，该点为重心。

（3）正多边形的重心位于中心点和各个顶点的连线的交点处。

对角线长度等。

例如，在一个正方形中，以其中一个顶点为顶点，连接一条边上的中点和对角线的中点，求所得四边形的面积。

根据重心法，我们可以得到答案为正方形面积的$1/4$。

三、旋转法旋转法是解决组合几何问题的另一种常用方法。

它利用了几何图形的对称性和不变性。

在一个几何图形中，如果我们能够找到它的对称轴，那么我们就可以通过旋转来使问题变得更加简单。

旋转法的基本思想是，将一个几何图形旋转一定的角度后，它仍然是原来的几何图形。

在旋转过程中，我们可以利用几何图形的对称性来求出它的某些性质。

在组合几何问题中，旋转法可以用来求几何图形的面积、周长、对角线长度等。

本讲主要学习归总问题．通过本节课的学习，学生应了解归总问题的类型，以及解决归总问题的一般方法，掌握归总问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果．所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等．模块一、简单的归总问题【例 1】 “走美比萨店”共有5名员工，2名厨师每周分别工作36小时，每小时工资10美元；3名服务生每周工作30小时，每小时工资5美元。

如果你是“走美比萨店”的老板，你每周该向员工制服的工资一共为 美元。

【考点】简单的归总问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 2361033057204501170⨯⨯+⨯⨯=+=（美元） 【答案】1170美元【例 2】 某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？【考点】简单的归总问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 每个工人每小时加工：132031044÷÷=（个），现在还剩下：396013202640-=（个）零件，15小时内完成需要工人264044154÷÷=（个），即需要增加1个工人．【答案】1个工人【例 3】 光明小学有50个学生帮学校搬砖，要搬2000块，4次搬了一半。

照这样算，再增加50个学生，还要几次运完？【考点】简单的归总问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 先求出每个学生每次运的砖数: 1200045052⨯÷÷=(块).再求出现在的学生一次过运的砖数: (50+50)×5=500(块).最后求出还要运的次数: 1200050022⨯÷= (次)，简便方法: 4÷[(50+50)÷50]=2(次)。

试析数学竞赛中组合几何问题的几种解法在数学竞赛中，组合几何问题是常见的，下面介绍几种解法：
1.计数法。

组合几何问题往往可以用计数法来解决。

例如求某个图形中有多少直线或平面，或者有多少种不同的构造方法等等。

计数法的关键在于找到合适的计数方法，可以运用排列组合、容斥原理、本质不同排列法等等。

2.坐标法。

坐标法是一种比较直观的解法，即将图形在平面直角坐标系上进行表示，然后利用坐标计算的方法来求解。

坐标法的优点是直观易懂，但容易出现计算繁琐、复杂等问题。

3.反证法。

反证法主要应用于求解定理的证明。

通过假设反命题成立，推出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

在组合几何问题中，也可以利用反证法来解决一些难题，如建立同构关系、寻找最优解等。

4.递归法。

递归法适用于递归结构的问题，即将问题逐步分解成更小、更简单的子问题，并通过递推的方式求解。

在组合几何问题中，递归法可以用于求解一些多边形的分割问题、树形结构的问题等等。

以上是几种常见的组合几何问题解法，实际中不同的问题可能需要结合不同的解法来解决。

6-1-2.还原问题（一）教学目标本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．3. 培养学生“倒推”的思想．知识点拨一、还原问题已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．方法：倒推法。

口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.例题精讲模块一、计算中的还原问题【例 1】一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。

【例 2】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？【巩固】有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是。

【巩固】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗?【巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?【例 3】学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？【巩固】学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？【巩固】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？【例 4】牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?【巩固】小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4. 请你算一算，我今年几岁？”【巩固】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?【巩固】学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【例 5】在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3．同样的运算这样进行了3次，得出结果为27．原来输入的数可能是．【例 6】假设有一种计算器，它由A、B、C、D四种装置组成，将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数。

智巧趣题教学目标1.挖掘孩子学习数学的兴趣.2.让孩子掌握各种趣题的不同思考方式．知识点拨知识点说明智巧趣题顾名思义，就是有趣的一类问题，但回答时要十分小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。

要想正确地解答这类题目，一是细心，善于观察，全面考虑各种情况；二是要充分运用生活中学到的知识；三是需要那么一点思考问题的灵气和非常规的思考方法。

本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学习奥数的兴趣，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性。

智巧趣题主要依靠巧妙的构思而解决问题，其中包括火柴棍游戏、数的恰当排列、称量问题及直线或圆周形状的报数问题。

例题精讲青蛙跳、蜗牛爬【例 1】青蛙沿着10米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要跳几次就能跳出井外？【考点】智巧趣题【难度】2星【题型】填空【解析】每次青蛙向上跳半米，然后又落下去，等于还在原地，所以永远也跳不出去.【答案】永远也跳不出去【巩固】一只树蛙爬树，每次往上爬5厘米，又往下滑2厘米，这只青蛙这样上下了5次，实际往上爬了多少厘米？【考点】智巧趣题【难度】2星【题型】填空【解析】分析：实际上青蛙每爬行一次只前进了5-2=3（厘米），5次共前进了3×5=15（厘米）.【答案】15厘米【例 2】一口井深10米，一只蜗牛从井底白天往上爬2米，晚上又往下滑1米，请问要多长时间，这只蜗牛能爬出这口井？【考点】智巧趣题【难度】2星【题型】填空【解析】“白天往上爬2米，晚上又往下滑1米”其实一天只往上爬1米，如果这样理解，说这只蜗牛爬出这口井需要10天就错了．因为最后一次爬出井外不会往下滑，所以蜗牛只要往上爬9米，晚上下滑1米，这时距离井口只有2米了，这样只要一个白天再往上爬2米就到井口了．所以只需要8天再加一个白天．【答案】8天再加一个白天【巩固】蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要几天几夜？【考点】智巧趣题【难度】2星【题型】填空【解析】一昼夜可以爬1米，爬了4昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要5天4夜.【答案】5天4夜【巩固】蜗牛沿着10米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降3米，问蜗牛爬到柱顶需要几天？【考点】智巧趣题【难度】2星【题型】填空【解析】一昼夜可以爬2米，爬了3昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要4天3夜.【答案】4天3夜【巩固】有一道关于蜗牛爬墙的题：“日升六尺六，夜降三尺三，墙高一丈九，几日到顶端”。

数学竞赛中组合问题学习方法建议数学竞赛中组合问题学习方法建议一、中学竞赛组合问题简介二、中学竞赛组合问题学习规划三、组合问题训练方法四、组合学习的常见思考流程和误区五、组合问题冲刺学习建议六、常用书籍推荐组合问题简介首先我们要搞清楚一个问题——什么是组合问题？组合问题，其实是一个比较杂的分类，宏观来讲，不能归于代数、几何、数论部分的问题，都可以归为组合问题。

常见的组合问题可以分为两个分支：第一类叫组合计数问题，是基于课内“排列组合”的部分知识，进行拓展和扩充；第二类叫组合杂题，包括组合最值问题、组合构造问题、对策与操作等几个主要类。

高考只考一些非常简单的计数问题，或者以计数方法为基础的古典概率问题；自招考试中，也很少涉及到组合杂题，多以稍繁琐的计数问题为主；数学竞赛中，高联一试考较复杂的分类计数，高联二试及以上的考试一般以组合杂题为主，且难度很大，涉及范围广，形式灵活多变，对数学综合分析的能力要求也更高。

组合问题学习规划关于组合杂题，我们要做到了解基本的组合原理，并以此为基础，拓展思考方法，积累常见的组合构造。

1、了解基本组合原理基础的组合原理，包括但不限于抽屉原理、极端原理、容斥原理、算两次、染色与赋值法。

很多原理的内容，其实不难理解，比如“抽屉原理”，国外叫“鸽笼原理”，桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。

用标准的数学语言来说，就是将m+1个元素放入m个集合中，则至少有一个集合中有2个或更多的元素；将mn+1个元素放入m个集合中，则必有一个集合里包括n+1或者更多个元素。

原理讲起来很简单，真正的难点在于如何应用。

就说抽屉原理，最难的地方在于遇到题目时要意识到可以应用抽屉原理来解决，以及如何构造所需要的“抽屉”，也就是数学概念中的集合。

这其实也是组合学习、组合训练核心想要解决的问题。

2、拓宽思考方法思考方法，就是当我们面对一个问题的时候，该从什么角度着手解决问题。

1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ； 性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比．二、主要比例转化实例①x a y b =⇒ y b x a =； x ya b =； a b x y =； ②x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；L ④x a yb =，yc zd = ⇒ x ac z bd=；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的ca等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bxa b+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为axa b-，B 的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 知识点拨教学目标比例应用题（一）四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。