苏教版高一数学第二学期期中试题及答案详解

江苏省东海县2010--2011学年度第二学期期中调研考试高一数学参考答案与评分标准一、填空题：1.︒602.93.},2,4|{Z k k x k x R x x ∈+≠±≠∈ππππ且 4.2π5.(1,1)--6.43(,)55-或43(,)55-7.2 8.3π9.18- 10. 11.43π 12.2 13.13 14.34 二、解答题：15.解：（1）由已知sin cos 3x x -=， 两边平方得112sin cos 3x x -=，1sin cos 3x x =. ………2分 44sin cos x x +2222227(sin cos )2sin cos 199x x x x =+-=-=. ………5分（2）因为7sin cos 13x x +=-，①两边平方得4912sin cos 169x x +=，1202sin cos 169x x =-， ………7分所以2289(sin cos )12sin cos 169x x x x -=-=. ………9分由于0x π<<，sin cos 0x x <，所以2x ππ<<，于是sin 0x >，cos 0x <，17sin cos 13x x -=，② ………11分 由①②得5sin 13x =，12cos 13x =-， ………13分 所以cos 2sin x x +=12102131313-+=-. ………14分16.解：（1）2()2cos 142x x f x =+-=)62sin(22sin 32cos π+=+x x x ，………2分当)62sin(π+x =1时，函数()f x 取得最大值2， ………4分令2262πππ+=+k x ，得324ππ+=k x ，∈k Z ， 使函数()f x 取得最大值的x 的集合是∈+=k k x x ,324|{ππZ }. ………6分（2）令≤+22ππk 23262πππ+≤+k x ，解得384324ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ，函数()f x 的单调减区间为]384,324[ππππ++k k ，∈k Z . ………10分 （3）将sin y x =的图象上每一点向左平移6π个单位长度，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）.或：将sin y x =的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）. ………14分 17.解：（1）在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取4x π=，4y π=得++)44(ππf 4cos )4(2)44(ππππf f =-，即+)2(πf )4(2)0(πf f =， ………3分又已知(0)0,()12f f π==，所以.22)4(=πf ………4分 在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取x π=，2y π=得++)2(ππf 2cos )(2)2(ππππf f =-，即+)23(πf 0)2(=πf ， ………7分又已知1)2(=πf ，所以.1)23(-=πf ………8分（2）在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取0x =得y f y f y f cos )0(2)0()0(=-++，又已知0)0(=f ，所以0)()(=-+y f y f ，即)()(y f y f -=-，()f x 为奇函数. ………11分 在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取2y π=得0)2()2(=-++ππx f x f ，于是有0)2()23(=+++ππx f x f ， 所以)2()23(ππ-=+x f x f ，即)()2(x f x f =+π，()f x 是周期函数. ………14分 18.解：（1）由tan 2x =得sin 2cos xx=，于是22sin 4cos x x =， ………3分 221cos 4cos x x -=，21cos 5x =. ………5分又2x ππ<<，tan 0x >，故cos 0x <，所以cos x = ………7分（2）sin tan cos 5x x x ==-， ………9分4sin 22sin cos 5x x x ==，23cos 22cos 15x x =-=-. ………13分 所以)42sin(π-x )2cos 2(sin 22x x -=1027=. ………16分 19.解：（1）因为-=，||3OA =u u u r ，||2OB =u u u r ，3πθ=， ………4分所以⋅.693cos6)(2-=-=-⋅=-⋅=π………7分（2）因点M 在直线OB 上，故可设()OM OB R λλ=∈u u u u r u u u r， ………9分则||OA OM +u u u r u u u u r ==………12分当3cos 2λθ=-时，||OA OM +u u u r u u u u r 的最小值为|sin |3θ， ………14分于是|sin |3θ=32，21sin ±=θ，又0θπ≤<，所以6πθ=或65πθ=. ………16分20.解：（1）()sin f x m n x x ωω=⋅=u r r12(sin )2x x ωω=+2sin()3x πω=+. ………3分Q )(x f 图象上一个最高点为P )2,12(π，与P 最近的一个最低点的坐标为)2,127(-π,7212122T πππ∴=-=，T π∴=，于是22Tπω==. ………5分 所以()2sin(2)3f x x π=+. ………6分 （2）当x ∈[0,]2π时，42333x πππ≤+≤，由()2sin(2)3f x x π=+图象可知：当2)a ∈时，()f x a =在区间[0,]2π上有二解； ………8分当[a ∈或2a =时，()f x a =在区间[0,]2π上有一解；当a <2a >时，()f x a =在区间[0,]2π上无解. ………10分 （3）在锐角ABC ∆中，20π<<B ，336πππ<-<-B .又1)3cos(=-B π，故03=-B π，3π=B . ………11分在锐角ABC ∆中,,,2262A AB A ππππ<+>∴<<. ………13分242333A πππ<+<,sin(2)(,322A π∴+∈-, ………15分()2sin(2)3f A A π∴=+(∈即)(A f 的取值范围是( ………16分。

江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，则 .2.函数的定义域为 .3.函数恒过定点 .4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．6.已知，则这三个数从小到大排列为 .7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .8.已知函数若，则实数．9.设集合，要使，则实数的取值范围是．10.函数的值域是．11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.4.（本小题满分16分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（千台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产1千台的生产成本为万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数的解析式（利润=销售收入总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？5.（本小题满分16分）已知函数是定义在上的奇函数．当时，，且图象过点与点.（Ⅰ）求实数的值，并求函数的解析式；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，请写出实数的取值范围；（Ⅲ）解关于的不等式，写出解集.6.（本小题满分16分）已知函数（a为常数）.（Ⅰ）若，写出的单调增区间；（Ⅱ）若，设在区间上的最小值为，求的表达式；（Ⅲ）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合，则 .【答案】【解析】集合包含1,2,3这三个元素，集合包含2,4这两个元素，包含属于或属于的元素组成的集合，所以.【考点】集合的运算.2.函数的定义域为 .【答案】【解析】要是函数有意义应满足所以【考点】函数的定义域.3.函数恒过定点 .【答案】（1,1）【解析】因为函数，恒过定点（1，0），把函数向上平移一个单位可以得到函数的图像，故顶点也向上平移一个单位，所以函数恒过定点（1,1）.【考点】对数函数.4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．【答案】-3【解析】由已知，由题意函数为奇函数，有，所以【考点】奇函数.5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为，根据题意得所以幂函数的解析式为.【考点】待定系数法求幂函数.6.已知，则这三个数从小到大排列为 .【答案】【解析】,故这三个数从小到大排列为.【考点】指数函数和对数函数的运算性质.7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】函数在区间上是单调减函数,应满足函数的对称轴在的右侧，即，解得.【考点】函数的单调性.8.已知函数若，则实数．【答案】【解析】若当时，有解得当时，有解得.【考点】分段函数求值.9.设集合，要使，则实数的取值范围是．【答案】【解析】如图所示，要使，应在1的右侧或1的位置上，所以.【考点】集合的运算.10.函数的值域是．【答案】【解析】设则函数可变形为，因为，函数的对称轴为，所以故函数的值域为.【考点】换元法，求函数的值域.11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知，可得，应满足且解得【考点】不等式的解集.12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．【答案】【解析】由已知在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，当，则，有当，则，有不等式的解集是.【考点】函数的单调性.13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .【答案】【解析】函数的对称轴为，当时，，则，当时，，则，综上的值为.【考点】函数的最值.14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .【答案】1【解析】作出函数的图象如下图所示：由，解得，由图像可得，当直线与的图象有3个交点时，有，不妨设，则=当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1.【考点】分段函数的应用.二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）对的运用；（Ⅱ）时，对，的运用.试题解析：（Ⅰ）原式= =[= 7分（Ⅱ）原式== 14分【考点】指数、对数的运算性质.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先确定当时的集合，再根据集合的并集、交集、补集求出即可；（Ⅱ）由，即集合包含于，可在数轴上表示出集合，确定出即可得出.试题解析：（Ⅰ），3分5分8分（Ⅱ） 12分14分【考点】1、集合的运算；2、集合的关系.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数是R上的增函数；（Ⅱ）当【解析】（Ⅰ）根据函数单调性的定义，在定义域范围内，任给，若有则函数是增函数，若有，则函数是减函数，用作差法求，可证出（Ⅱ）求出函数，在R上的值域，若不等式恒成立，只需试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为R，函数在R上是增函数 1分设是R内任意两个值，且则6分，又由即是R上的增函数。

2006～2007学年第二学期高一数学学科期中考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列各图中表示的区域是不等式3x +2y +6≥0的解的是 （ ）2、等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19= （ ） A ．55 B ．95 C ．100 D ．不能确定3、已知{}n a 是等比数列，a n ＞0，且a 4a 6+2a 5a 7+a 6a 8=36，则a 5+a 7等于 （ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．244、下列不等式中解集为实数集R 的是 （ ） A ．2440x x ++> B ．20x > C ．012≥+-x x D ．xx 111<- 5、有分别满足下列条件的两个三角形：①7,14,300===∠b a B ；②9,10,600===∠b a B ，那么下列判断正确的是 ( )A ．①②都只有一解B ．①②都有两解C ．①两解，②一解D ．①一解②两解 6、不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是 （ ） A ．{}10<≤x x B ．{}1,0-≠<x x x C ．{}11<<-x x D ．{}1,1-≠<x x x 7、已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为 （ ）A ．8B ．6C ．22D ．238、设{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且a 1=b 1，a 2n +1=b 2n +1，则（ ） A ．a n +1=b n +1 B ．a n +1＞b n +1 C ．a n +1＜b n +1 D ．a n +1≥b n +19、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2） B ．（－２，２） C ．]2,2(- D ．（－∞ ，－２］ 10、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且sin 2cos sin A B C =，则 （ ） A ．B =CB ．B ＞C C ．B ＜CD ．B ,C 的大小与A 的值有关11、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-412、给出下列三个命题：（1）若tan A tan B >1，则△ABC 一定是钝角三角形； （2）若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 一定是直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的个数有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题５分，满分３０分） 13．在等差数列｛a n ｝中，已知公差d =21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+…+a 99+a 100=______________．14．已知平面平域D 由下列约束条件确定：2x -3y +5≥0,x +2y -8≤0,x -5y +6≥0,当点(x ,y )在D 上时，若z=3x -4y,则z 的最小值是_______________．15．设等比数列｛a n ｝共有3n 项，它的前2n 项的和为100，后2n 项之和为200，则该等比数列中间n 项的和等于___________________． 16．设1≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值是 ．17．在△ABC 2sin b A =，则B 等于_____________． 18．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则①等差数列的公差d ＜0 ②S 9一定小于S 6 ③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值其中正确的是_______________________（填入你认为正确的所有序号）三、解答题（本大题共5小题，共７０分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）19、(本题满分12分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x ax 的解集．20、(本题满分1４分) (1)已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值． (2)已知,0,0>>y x 且191=+yx ，求y x +的最小值． 21、(本题满分14分)设数列{n a }的前n 项和为n S ，已知12-=nn S(1)试判断数列{n a }是否为等比数列，并加以证明； (2)求和：∑=nk kka1．22、（本小题满分15分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c ，且tan tan tan A B A B +=72c =，又△ABC的面积为ABC S ∆=. 求（1）角C ；（2）a +b 的值． 23、（本题满分15分）小华准备购买一台价值6000元的电脑，但现款不够，商场允许分期付款，但必须在一年内将款全部付清，商场提供了两种付款方案，供小华选择： 方案类别分几次付清付款方法 计息方法 月利率 16次购买后2个月第一次付款,再过2个月第2次付款,---购买后12不计复利1%个月第6次付款212次购买后1个月第一次付款,再过1个月第2次付款,---购买后12个月第12次付款按复利计息 %(1) 采用方案1，每期应付款多少付款总额是多少（精确到元） (2) 采用方案2，每期应付款多少付款总额是多少（参考数据：100.1008.112）～2007学年第二学期高一数学学科期中考试答题卷1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12、___________________________． 14、________________________________． 、___________________________． 16、________________________________． 、___________________________． 18、________________________________． 、（12分）20、（14分）21、（14分）22、（14分）23、（16分）2006～2007学年第二学期高一数学期中考试参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBACDDCDCADC二、填空题：13、145． 14、215-． 15、3200． 16、6． 17、3π或32π． 18、①②④．三、解答题：19解：∵不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x∴0<a 且2212⋅=-a ∴2-=a 则不等式01522>-+-a x ax 即为03522>+--x x213<<-⇒x 故不等式01522>-+-a x ax 的解集是x {∣}213<<-x 20、（1）由45<x 知054<-x ，∴045>-x 则13451)45(23]45145[54124=+-⋅--≤+-+--=-+-=xx x x x x y取等号时451<=x ，∴1max =y （2）∵,0,0>>y x 且191=+yx ∴169210910))(91(=⋅+≥++=++=+yx x y y x x y y x y x y x 取等号时12,4==y x 故16)(min =+y x 21、（1）当1=n 时，112111=-==S a当2≥n 时，1112)12(12---=---=-=n n n n n n S S a 显然11=a 也满足该式∴12-=n n a由22211==-+n n n n a a （定值）∴ }{n a 是等比数列．（2）令T=knk ak ∑=⋅1=122232211-⋅++⋅+⋅+⋅n n Λ ①则 2T= n n n n 22)1(222112⋅+⋅-++⋅+⋅-Λ ②由①－②得 －Ｔ=322221+++n n n 221⋅-++-Λ=n nn 22121⋅---=n n n 212⋅-- ∴Ｔ=12)1(+⋅-nn 即knk ak ∑=⋅1=12)1(+⋅-nn22、（1）由)tan tan 1(33tan tan 3tan tan B A B A B A --=-=+得C B A BA BA tan )tan(3tan tan 1tan tan -=+=-=-+即3tan =C又),0(π∈C ，∴3π=C（2）6233sin 21=⇒==∆ab C ab S ABC 又ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=而27=c ∴ 21118)27(322=+=+=+ab c b a23、（1）采用方案1，设每期付款x 元，则%)1101(%)181(%)161(%)141(%)121(⋅++⋅++⋅++⋅++⋅++x x x x x x=%)1121(6000⋅+106712.160003.6≈⇒⨯=⇒x x （元）∴付款总额640261067=⨯（元） （2）采用方案2，设每期付款x 元，则12112%)8.01(6000%)8.01(%)8.01(%)8.01(+=++++++x x x x Λ1212008.160001008.11008.1⨯=--⋅⇒x ∴52811.1008.01.160001008.1008.0008.160001212=-⨯⨯=-⨯⨯=x （元） ∴付款总额为633612528=⨯（元）。

江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知数列{}的通项公式为，那么是它的第_ __项．2.在等比数列{}中，若，，则．3.在中，，则___ ____．4.设变量满足约束条件：，则的最小值是．5.远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯盏.6.在中，已知，则的大小为 .7.等差数列中，，那么．8.数列满足则．9.不等式的解集是．10.若数列中，（），那么此数列的最大项的值为______．11.数列的通项公式，则该数列的前_________项之和等于．12.若关于的不等式的解集，则的值为_________．13.在中，，则的最大值为 .14.已知的各项排成如右侧三角形状，记表示第行中第个数，则结论①=16；②；③；④；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．二、解答题1.设不等式的解集为.（1）求集合；（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.2.已知、、分别是的三个内角、、的对边.（1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．3.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．4.如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．5.在等差数列中，，前项和满足条件，（1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和.6.已知数列的前项和和通项满足（，是大于0的常数，且），数列是公比不为的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由；（3）数列是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和的组合，若不能，请说明理由.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知数列{}的通项公式为，那么是它的第_ __项．【答案】【解析】由得因为解得【考点】数列通项2.在等比数列{}中，若，，则．【答案】【解析】由等比数列广义通项公式得：【考点】等比数列通项公式3.在中，，则___ ____．【答案】或【解析】由正弦定理得：因为所以或【考点】正弦定理4.设变量满足约束条件：，则的最小值是．【答案】【解析】可行域为三角形ABC及其内部，其中当直线过点B时取最小值，为【考点】线性规划求最值5.远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯盏.【答案】【解析】设塔顶有灯，由题意得红灯从上向下依次构成一个以2为公比的等比数列，则【考点】等比数列应用6.在中，已知，则的大小为 .【答案】【解析】因为，所以因此由余弦定理得：因为所以【考点】余弦定理7.等差数列中，，那么．【答案】【解析】因为所以【考点】等差数列性质8.数列满足则．【答案】【解析】因为所以成以为首项，5为公差的等差数列，因此【考点】等差数列9.不等式的解集是．【答案】【解析】因为，所以即或解集是或【考点】解分式不等式10.若数列中，（），那么此数列的最大项的值为______．【答案】【解析】因为对称轴为而，所以当时，数列取最大项，为108.【考点】数列最大项11.数列的通项公式，则该数列的前_________项之和等于．【答案】【解析】因为，所以因此数列前项和为由【考点】裂项相消求和12.若关于的不等式的解集，则的值为_________．【答案】【解析】由题意得，为方程的两根，且由得又由得：【考点】不等式解集与方程根的关系13.在中，，则的最大值为 .【答案】【解析】由正弦定理得：【考点】正弦定理14.已知的各项排成如右侧三角形状，记表示第行中第个数，则结论①=16；②；③；④；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【解析】①②为数列连续两项，所以，③，所以，④由③有所以【考点】等比数列规律二、解答题1.设不等式的解集为.（1）求集合；（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】（1）解一元二次不等式，首先将一元二次不等式整理成二次项系数为正的情形，然后求对应一元二次方程的根，最后根据根的情况及不等式类型写出解集. 由,得，（2）对含参数的不等式，首先观察能否因式分解，这是简便解答的前提，然后根据根的大小讨论解集情况. 不等式等价于，若，则，要，只需，若，则，要，只需，若，则，符合，综上所述，的取值范围为．解：（1），所以 3分所以不等式的解集 4分（2）不等式等价于 5分若，则，要，只需 7分若，则，要，只需 9分若，则，符合 11分综上所述，的取值范围为． 12分【考点】一元二次不等式解法2.已知、、分别是的三个内角、、的对边.（1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．【答案】（1）,,（2）等腰直角三角形.【解析】（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.解：（1）， 2分，得 3分由余弦定理得：， 5分所以 6分（2）由余弦定理得：，所以 9分在中，，所以 11分所以是等腰直角三角形； 12分【考点】正余弦定理3.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．【答案】（1）,（2）．【解析】（1）求二次函数解析式，一般用待定系数法，如何设二次函数解析式是解题关键.本题设零点式比较到位. ∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且∴,由方程得，∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而,（2）由∴解得或.解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且 2分∴由方程得， 4分∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 6分⑵由∴ 8分∴解得或 11分∴实数的取值范围是． 12分【考点】二次函数解析式4.如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．【答案】【解析】解实际问题中三角形问题，关键正确表达边长与角度，再结合正余弦定理进行解答. ΔABC中，∠ABC＝155o 125o＝30o，∠BCA＝180o 155o＋80o＝105o，∠BAC＝180o 30o 105o＝45o，BC＝，由正弦定理，得,∴AC＝=.解：ΔABC中，∠ABC＝155o 125o＝30o， 1分∠BCA ＝180o 155o ＋80o ＝105o ， 3分 ∠BAC ＝180o 30o 105o ＝45o ， 5分 BC ＝， 7分由正弦定理，得 9分∴AC ＝=（海里） 11分答：船与灯塔间的距离为海里． 12分【考点】实际问题中解三角形5.在等差数列中，，前项和满足条件， （1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）,（2）.【解析】（1）求等差数列问题，一般利用待定系数法求解. 设等差数列的公差为,由得：，所以，且，所以（2）由，得这是等差乘等比型，因此利用错位相减法求和.,两式相减得：，所以 .解：（1）设等差数列的公差为,由得：，所以，且， 3分所以5分7分 （2）由，得 8分 所以， ① 9分， ② 11分 ① ②得13分15分 所以 16分 【考点】等差数列，错位相减法求和6.已知数列的前项和和通项满足（，是大于0的常数，且），数列是公比不为的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由； （3）数列是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和的组合，若不能，请说明理由.【答案】（1）,（2）λ= 2或λ= 3,（3）不可能为等比数列.【解析】（1）求一般数列通项，常利用和项与通项关系，即当时,,整理得，又由，得，结合q>0知，数列是首项为q 公比为的等比数列， ∴（2）存在性问题，一般从假设存在出发，探求等量关系，将是否存在转化为是否有解. 结合（1）知，当q=2时，,所以,假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有(c n ＋1＋λc n )2＝(c n ＋2＋λc n ＋1)(c n ＋λc n 1)，将c n ＝2n ＋3n代入上式，整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n ·3n ＝0，解得λ= 2或λ= 3.（3）首先利用特殊值探讨，得出结论是数列不可能为等比数列.说明也可根据特例. 由题意得c 1c 3 c 22＝b 1q(p 2＋q 2 2pq)，由于p≠q 时，p 2＋q 2＞2pq ，又q 及等比数列的首项b 1均不为零，所以 c 1c 3 c 22≠0，即 c 22≠c 1·c 3. 故｛c n ｝不是等比数列. 解：（1）当时,,整理得 2分又由，得3分结合q>0知，数列是首项为q 公比为的等比数列， ∴5分（2）结合（1）知，当q=2时，,所以6分假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有(c n ＋1＋λc n )2＝(c n ＋2＋λc n ＋1)(c n ＋λc n 1)，将c n ＝2n ＋3n 代入上式，得：[2n ＋1＋3n ＋1＋λ(2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2＋λ(2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n ＋λ(2n 1＋3n 1)]， 即 [(2＋λ)2n ＋(3＋λ)3n ]2＝[(2＋λ)2n ＋1＋(3＋λ)3n ＋1][(2＋λ)2n 1＋(3＋λ)3n 1］， 整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n ·3n ＝0，解得λ= 2或λ= 3. 10分 故存在实数实数＝ 2或 3，使数列是等比数列. 11分（3）数列不可能为等比数列. 12分 理由如下：设等比数列｛bn ｝的公比为p ，则由题设知p≠q ，则c n =q n ＋b 1p n 1 为要证｛c n ｝不是等比数列只需证c 22≠c 1·c 3. 事实上，c 22＝（q 2＋b 1p ）2＝q 4＋2q 2b 1p ＋b 12p 2， ① c 1·c 3＝(q ＋b 1)(q 3＋b 1p 2)＝q 4＋b 12p 2＋b 1q(p 2＋q 2）， ② ②-①得c 1c 3 c 22＝b 1q(p 2＋q 2 2pq)由于p≠q 时，p 2＋q 2＞2pq ，又q 及等比数列的首项b 1均不为零， 所以 c 1c 3 c 22≠0，即 c 22≠c 1·c 3. 故｛c n ｝不是等比数列. 16分 【考点】数列和项与通项关系，数列综合应用。

江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1. .2.在△中，已知，则=3.若是等比数列，，且公比为整数，则= ．4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 ．5.数列中，（其中），若其前n 项和，则.6.在中，，，则=7.已知为等差数列，为其前n 项和，则使得达到最大值的n 等于 ． 8.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为9.已知实数为等比数列，存在等比中项，，则 10.设为锐角，若则的值为11.在中，若，则的形状是 ． 12.如图，在矩形ABCD 中，，在上取一点P ，使,求13.如图，在中，已知,是上一点，,则14.在数列{a n }中，已知，则数列{a n }的前2012项的和为 ．二、解答题1.根据下列条件解三角形： （1）；（2）．2.的内角的对边分别为，若，且，求和﹒3.已知为等差数列，，其前n 项和为，若，(1)求数列的通项；(2)求的最小值，并求出相应的值.4.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若,求数列的前n 项和.5.已知，．（1）求的值；（2）求函数的值域．6.在中，角为锐角，已知内角、、所对的边分别为、、，向量且向量共线．（1）求角的大小；（2）如果，且,求.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1. .【答案】【解析】将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.【考点】两角和的正弦2.在△中，已知，则=【答案】【解析】解三角形问题，一般利用正余弦定理.本题已知两边及一夹角，求对边，应用余弦定理.由得【考点】正余弦定理3.若是等比数列，，且公比为整数，则= ．【答案】-3【解析】研究等比数列特征量，一般利用待定系数法.由题意有，因为公比为整数，所以【考点】等比数列性质4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝8，B＝60°，C＝75°，则．【答案】【解析】解三角形问题，一般利用正余弦定理.本题已知两角及一边，应用正弦定理.由题意得：因此【考点】正弦定理5.数列中，（其中），若其前n项和，则 .【答案】99【解析】数列求和，方法的选用决定于通项的特征.本题通项为一个含根式的分式，分母有理化后用裂项相消法求和.因为所以【考点】裂项相消法求和6.在中，，，则=【答案】【解析】由于三角形中三个内角和为所以在三角形中由得：；因为所以为锐角，因此从而【考点】两角和的正弦，同角三角函数关系.7.已知为等差数列，为其前n项和，则使得达到最大值的n等于．【答案】6【解析】研究等差数列前n项和最值，有两个思路，一是从的表达式，即二次函数研究；二是从数列项的正负研究. 因为由题意得：，所以因此达到最大值的n等于6.【考点】等差数列前n项和最值8.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为【答案】或【解析】直线截距相等有两种情况，一是斜率为-1，二是过原点.因此所求直线的方程为或.【考点】直线截距9.已知实数为等比数列，存在等比中项，，则【答案】【解析】由题意得：又为等比中项，的等差中项为，所以因此.【考点】等比中项，等差中项10.设为锐角，若则的值为【答案】【解析】令，则【考点】二倍角公式11.在中，若，则的形状是．【答案】钝角三角形【解析】判断三角形形状，一般利用余弦定理. 因为，所以由正弦定理得：，再由余弦定理得：因此的形状是钝角三角形【考点】余弦定理12.如图，在矩形ABCD中，，在上取一点P，使,求【答案】18【解析】设则解得因为所以【考点】两角和的正切公式13.如图，在中，已知,是上一点，,则【答案】【解析】由余弦定理得：，在三角形中，再由正弦定理得：【考点】正余弦定理综合14.在数列{a n }中，已知，则数列{a n }的前2012项的和为 ．【答案】【解析】因为，所以，即数列为等差数列，所以，因此数列{an}的前2012项的和为【考点】构造等差数列，裂项相消求和二、解答题1.根据下列条件解三角形： （1）；（2）．【答案】（1）,,（2）【解析】（1）解三角形就是要将三角形的角和边都求出来，一般利用正余弦定理进行求边和角.本题已知两边及一对角，可用正弦定理先求另一对角，即，确定C 角是否为钝角，需利用大边对大角，大角对应正弦值也大的规律，进行判断：∴，∴为锐角， ∴，.也可从余弦定理出发，先求，即再利用正弦定理求角.（2）类似(1),不同点在于，，所以要分情况讨论.试题解析：解：（1），∴，，∴，∴为锐角，∴，∴．（2），∴，∴，∴当； ∴当；所以，．【考点】正余弦定理解三角形 2.的内角的对边分别为，若，且，求和﹒【答案】，【解析】条件符合余弦定理的结构，所以先用余弦定理求角，即，所以.再利用正弦定理将条件化角：，，所以.试题解析：因为得又因为 4所以所以 8因为得 10所以12得所以 15【考点】正余弦定理解三角形3.已知为等差数列，，其前n项和为，若，(1)求数列的通项；(2)求的最小值，并求出相应的值.【答案】（1）,（2）,.【解析】（1）求等差数列通项，通法是待定系数法. 由及解得,代入等差数列通项公式得：，（2）研究等差数列前n项和最值，有两个思路，一是从的表达式，即二次函数研究；二是从数列项的正负研究. 因为由题意得：，当时，所以当时，最小，因此达到最小值的n等于6.试题解析：(1)由及得，解得所以(2)令，即得。

江苏省江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高一数学下学期期中试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40分,每道题仅有一个正确选项）1.直线必过定点（）A. B. C. D.2.已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.3.已知直线与直线互相垂直，则（）A. -3B. -1C.3D.14.在中，若，则等于A.或B. 或C.或D.5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且A，B两点间的距离为，则该建筑物的高度为A. B.C. D.6.选做题(①②选一题解答，若两题都解答，则按①解答得分)①如图，正方体中，异面直线与所成的角是( )A. B. C. D.②圆的点到直线距离的最小值是( )A. B. C. D.7.直线过，且,到的距离相等，则直线的方程是A.B.C.或D.或8.如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上不含端点，则直线的斜率的取值范围为A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分，每道题有两个或两个以上正确选项）9.若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为A. B. C. D.10.在中，，，，则角的可能取值为A. B. C. D.11.已知直线：，则下列结论正确的是A. 直线l的倾斜角是B. 若直线：，则C. 点到直线的距离是D. 过与直线平行的直线方程是12.如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且.若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是A.的内角B.的内角C.四边形面积的最大值为D.四边形面积无最大值三、填空题（本大题共4小题，共20分,将答案填在答题卡相应位置）13.的内角，，所对的边分别为，，，已知，则的形状是________三角形．14.选做题 (①②选一题解答，若两题都解答，则按①解答得分)①已知球的表面积为，则球的体积为_________．②若点为圆的弦AB中点，则直线方程是______．15.已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的倍，则此直线的方程为______．16.的内角，，所对的边分别为，，，已知，．为上一点，，，则的面积为_________．四、解答题（本大题共6小题，共70分,解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题卡的指定区域内）17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标.（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．18. （本小题10分）已知直线与．（1）当时，求直线与的交点坐标；（2）若，求a的值．19. （本小题12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的周长．20. （本小题12分）选做题(①②选一题解答，若两题都解答，则按①解答得分)①如图，三棱锥中，，，，分别是，的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．②已知点，圆．（1）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程．21. （本小题12分）如图，已知射线，两边夹角为，点，在，上，，．（1）求线段的长度；（2）若，求的最大值．22. （本小题14分）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟，其中分别为边的中点．（1）若，求排水沟的长；（2）当变化时，求条人行道总长度的最大值．高一期中考试数学试题答案一、单选题1.A ；2.B；3.D；4.C；5.A；6.C；7.D；8.B；二、多选题9.AB； 10.AD； 11.CD； 12. ABC；三、填空题13.等腰； 14.①；②;15.或 16.四、解答题17.由，，得BC中点D的坐标为， (1)所以直线AD的斜率为， (3)所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，即 (5)由，，得BC所在直线的斜率为， (7)所以BC边上的高AH所在直线的斜率为， (8)所以BC边上的高AH所在直线的方程为，即 (10)18.当时，联立，得，，直线与的交点坐标为． ........... (4)，，，解得或． ........... (7)经检验，时，两直线重合........... (10)20.①在中，因为E、F分别是PA、AC的中点，所以， ........... (2)又平面PAC，平面PA,所以平面 ........... (4)因为，且点E是PA的中点，所以，........... .. (6)又，，所以， ........... .. (8)因为平面BEF，平面BEF，，所以平面BEF， ........... (10)又平面PAB，所以平面平面BEF． ........... (12)②圆心到直线的距离为=，， ........... .. (2)解得． ........... (4)由题意知圆心的坐标为，半径，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为，由圆心到直线的距离，知此时直线与圆相切． (6)当过点M的直线的斜率存在时，设方程为，即．由题意知， ........... (8)解得， ........... (10)方程为． ........... (11)故过点M的圆的切线方程为或 ........... (12)21.在中，由余弦定理得，，所以． ........... .. (2)设，因为，所以， (3)在中，由正弦定理得，因为，所以，， (6)因此 (10)因为，所以．所以当，即时，取到最大值．....... (12)22.因为，，所以，所以， (1)因为，所以：，可得：，在中：，在中：， (4)解得：，即排水沟BD的长为百米； (6)设，设，，由余弦定理得：.，在中，由正弦定理：，得，连接DE，在中，，，由余弦定理：， (10)同理：． (12)设，，则,所以，该函数单调递增，所以时，最大值为，所以4条走道总长度的最大值为百米． (14)赠送：高二政治下学期第二次月考（期中）试题第一部分 ( 选择题共 50 分 )一、选择题（共 25 小题，每小题 2 分，计 50 分。

江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则（ ） ()3,4a = ()1,2a b -= a b ⋅=A ．5B ．14C ．D ．6-【答案】B【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案.a【详解】因为，，所以， ()3,4a = ()1,2a b -= ()()1,22,2b a =-=所以.324214a b ⋅=⨯+⨯=故选：B. 2．已知，则（ ） 1cos 3α=sin sin2αα=A ．B ．C ．D ．1272278271627【答案】D【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案. 2sin α【详解】因为，所以； 1cos 3α=228sin 1cos 9αα=-=所以. 28116sin cos 29327sin sin22αααα=⨯==⨯故选：D.3．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，则塔尖之间的AC =BC =45MCA ∠=︒30NCB ∠=︒120MCN ∠=︒MN 距离为（ ）米.A ．80B ．120C ．D ．【答案】D【分析】先求，利用余弦定理求得.,MC NC MN【详解】，80,160MC NC ====在三角形中，由余弦定理得：MCN米.MN ===故选：D4．在中，，，则（ ） ABC 4cos 5A =()1tan 3A B -=tan B =A ．B ．C ．D ．139139559【答案】A【分析】先求出，根据可求答案. tan A ()1tan 3A B -=【详解】因为在中，，所以为锐角，且， ABC 4cos 5A =A 3sin 5A =所以； sin 3tan =cos 4A A A =因为，所以， ()1tan 3A B -=tan tan 1=1tan tan 3A B A B -+即，解得. 933tan 1tan 44B B -=+1tan 3B =故选：A.5．在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为ABC D BC 2AE ED =ED xAB y AC =+ 19x y+（ ）A ．B ．16C ．48D ．60163【答案】C【分析】先由得出再得出,最后常值代换应用基本不等式可解.2,AE ED =13ED AD =331x y +=【详解】, 12,3AE ED ED AD =∴=,，又B ，D ，C 三点共线， 13AD x AB y AC =+33AD xAB y AC =+331,0,0,x y x y ∴+=>>, ()1919327333273048y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥= ⎪⎝⎭,当且仅当即当时取最小值. 1948x y ∴+≥327,y x x y =11,412y x ==故选:C.6．已知，且，，则（ ）π02βα<<<()12cos 13αβ-=3cos25β=()sin αβ+=A ．B ．C ．D ．6365336548651665【答案】A【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为所以， π02βα<<<π02αβ<-<又，所以，()12cos 13αβ-=()5sin 13αβ-===因为，所以， π02β<<02πβ<<因为，所以， 3cos25β=4sin 25β==所以. ()()()()sin sin[2]sin cos 2cos sin 2αβαββαββαββ+=-+=-+-531246313513565=⨯+⨯=故选：A7．记的内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长ABC A B C a b c 1b =22cos a c C -=ABC 的最大值为（ ）A B C ．3 D ．113【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B ，利用余弦定1cos 2B =理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案. a c +【详解】由,可得, 1b =22cos a cC -=2sin sin 2sin cos A C B C -=即，即， 2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=2cos sin sin 0B C C -=因为，故， ()0,π,sin 0C C ∈≠12cos 10,cos 2B B -=∴=而，故， (0,π)B ∈π3B =故，即，2222cos ()31b a c ab B a c ac =+-=+-=22()()31314a c a c ac ++=+≤⨯+解得，当且仅当时取等号，02a c <+≤1a c ==故周长的最大值为， ABC 213+=故选：C8,且,,则（ ） cos cos αββα=-()0,πα∈()0,πβ∈αβ-=A ．B ．C ．D ． π3π3-2π32π3-【答案】C【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从αβ-αβ-而求出.αβ-【详解】,()0,πα∈ ()0,πβ∈,,sin 0,sin 0αβ∴>>cos cos 0βα∴->又时,是减函数,,. ()0,πx ∈ cos y x =αβ∴>0παβ∴<-<由和差化积公式可得:,2sincos2sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=,,,,()0,πα∈ ()0,πβ∈sin02αβ+∴>,∴sin22αβαβ--=,又,, ∴tan2αβ-=0παβ<-< π23αβ-∴= 2π3αβ∴-=故选:C.二、多选题9．在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是ABCD 5AB =4BC =E F BC CD （ ）A ．B ．12AE AB AC =+ 12AF AB AD =+ C ． D ．41AE AF ⋅=25AC AB ⋅=【答案】BD【分析】如图建系，应用坐标运算求向量加法及数量积分别判断各个选项即可. 【详解】如图建系，，()()()()()50,0,5,0,5,4,0,4,5,2,,42A B C D E F ⎛⎫⎪⎝⎭,A 选项错误;()()155,05,412,2212AB AE AC ⎛⎫=+=≠ ⎪⎝⎭+,B 选项正确; ()()1155,00,4,4222AB AD AF ⎛⎫++== ⎪⎝⎭=,C 选项错误;()5255,2,484122AE AF ⎛⎫⋅=⋅=+≠ ⎪⎝⎭,D 选项正确. ()()5,45,0554025AC AB ⋅=⋅=⨯+⨯=故选：BD.10．下列代数式的值为1的是（ ） A ． B ． 4sin75cos75︒︒22cos 15sin 15︒-︒C ． Dcos15sin15-︒︒【答案】AD【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案. 【详解】对于A ，，A 正确； 14sin75cos7502si 5n1︒︒=︒=对于B ，，B 不正确； 22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=对于C， cos15sin15i 5n15⎫︒︒=︒︒-⎪⎪⎭C 不正确； )cos45cos15sin45sin15=︒︒︒︒=︒=-对于D ，D 正确. ()tan60tan15tan 601511tan60tan15︒-︒==︒-︒=+︒︒故选：AD.11．记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是（ ）ABC A B C a b cA ．若，，，则是钝角三角形 2a =3b =4c =ABCB ．若，则是等腰三角形 sin2sin2A B =ABC C ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C >ABCD ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C ++>ABC 【答案】AC【分析】利用余弦定理和三角形的性质逐项判断即可得出答案. 【详解】对于A ，因为，，，所以为最大角，2a =3b =4c =C ，所以是钝角三角形，A 正确；22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯ABC 对于B ，因为，所以或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=即或，是等腰三角形或直角三角形，B 不正确； A B =π2A B +=ABC 对于C ，因为，所以均大于零，即为锐角三角形，C 正cos cos cos 0A B C >cos ,cos ,cos A B C ABC 确；对于D ，当时，满足，但是为钝角三角形，D 不正π2π,63A B C ===cos cos cos 0A B C ++>ABC 确. 故选：AC.12．已知，则的值用可以表示为（ ） sin10a = 2231sin 40cos 40- a A ．B ．C ．D ．2841a a +-2421a a +-16a 32a 【答案】AD【分析】利用诱导公式、两角和公式以及二倍角公式，化简求解即可得到答案. 【详解】 222222313cos 40sin 40sin 40cos 40sin 40cos 40--=， ()()2222311cos801cos8048cos8048sin1048221cos 101sin 101sin 804a a +--+++====--又 ()sin30sin 310=⨯sin(1020)sin10cos 20cos10sin 20=+=+22sin10(12sin 10)2sin10cos 10=-+ 313sin104sin 102=-=， 31342a a ∴-=故，得到 3681a a -=()()3222246883214832111a a a a a a a a a a-+-+===---故选：AD三、填空题13．向量在向量方向上的投影向量______. ()3,4a = ()1,2b =- c =【答案】()1,2-【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】向量在向量方向上的投影向量是. ()3,4a = ()1,2b =- ()1,2a bb b b⋅⋅==-故答案为：()1,2-14．函数的最小值为______. ()2sin cos2f x x x =-【答案】32-【分析】化简的解析式，根据二次函数的性质求得正确答案.()f x 【详解】，()22sin cos22sin 2sin 1f x x x x x =-=+-，根据二次函数的性质可知，1sin 1x -≤≤当时，取得最小值. 21sin 222x =-=-⨯()f x 2113221222⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32-15．非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______,a b a b a -= ()0a a b ⋅-= a b - b【答案】135°或者34π【分析】根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB 为等a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，，则，a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 若||＝||，，即||＝||，且⊥，a b - a ()0a a b ⋅-= BA OA OA BA 则△OAB 为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°＝135°， a b - b故答案为135°．【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．四、双空题16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且ABD △1AB AD ==DAB θ∠=B DBC ，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.BC BD =θ=AC【答案】3π41【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此2π34AC θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,πθ∈时的值.θ【详解】在中，由余弦定理得ABD △，2222cos 112cos 22cos BD AD AB AD AB DAB θθ=+-⋅∠=+-=-故，，BC =()0,πθ∈π0,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，，所以， π2ABC θ-∠=π2DBC ∠=πππ222ABC ABC DBC θθ-∠=∠+∠=+=-故2222cos 122cos π2AC AB BC AB BC ABC θθ⎛⎫=+-⋅∠=+--- ⎪⎝⎭32cos 32cos 22θθθθ=-+=-+，π32cos 4sincos2sin 2cos 33224θθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，()0,πθ∈ππ3π,444θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故当，即时，取得最大值，最大值为，ππ42θ-=3π4θ=2AC 3故AC 1=故答案为：，3π41五、解答题17．已知.()πsin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的值域；()f x (2)若，，求的值.()35f α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin α【答案】(1) []1,1-【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得； （2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可. 【详解】（1）， ()11sin sin cos sin cos 3226f x x x x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭所以的值域为 ()f x []1,1-（2）由（1）得，π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ππ2π,663⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭α所以.π4sin 65α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-⨯=18．已知，. π02α<<21sin 12sin 22αα=-(1)求的值； tan2α(2)若，，求的值. π02β<<2tan 2tan 30ββ--=αβ+【答案】(1)43-(2) 3π4【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然tan 3β=()tan 1αβ+=-后根据角的范围确定角的大小.【详解】（1）因为，所以， 21sin 12sin 22αα=-1sin cos 2αα=所以，所以tan 2α=22tan 224tan21tan 143ααα⨯===---（2）因为，所以或. 2tan 2tan 30ββ--=tan 3β=tan 1β=-因为，所以，所以. π02β<<tan 0β>tan 3β=所以()tan tan 23tan 11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯因为，，所以，所以. π02α<<π02β<<0παβ<+<3π4αβ+=19．在中，角的对边分别为.已知. ABC ,,A B C ,,a b c cos cos cos a b cA B C+=+(1)求角的大小；A (2)若为线段延长线上一点，且，求. D BC ,3BA AD BD CD ⊥=sin ACD ∠【答案】(1)； π3【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角()()sin sin A B C A -=-性质即可求的大小；A（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求ACB θ∠=2BC CD =ACD ACB △tan θ=角三角函数关系、诱导公式即可求的大小. sin ACD ∠【详解】（1）由正弦边角关系得：， sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+所以sin cos sin cos sin cos sin cos A B A C B A C A +=+则，即， sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=-()()sin sin A B C A -=-所以（舍）或，故 . πC B -=2B C A +=ππ23A A A -=⇒=（2）设，且，ACB θ∠=2BC CD =在中，①， ACD ππsin sin 66CD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，②， ACB △ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，πsin 3πsin 6θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭tanθ⇒=所以sin si n ACD θ∠==20．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.αβP Q(1)若，求的值； 13,22OP OQ ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()cos αβ-(2)若，，求的值. π6α=OP OQ -= 2cos 2π3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)14(2) 4781-【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；,OP OQ （2）根据，根据倍角公式可得答案. OP OQ -= ()8cos 9βα-=【详解】（1）因为，，()cos ,sin OP αα= ()cos ,sin OQ ββ= 所以， ()13cos cos ,sin sin ,22OP OQ αβαβ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭所以， 1cos cos 23sin sin 2αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式平方相加，得， ()522cos 2αβ+-=解得. ()1cos 4αβ-=（2）因为OP OQ -=== 所以. ()8cos 9βα-=因为，所以. π6α=π8cos 69β⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以 2πcos 2πcos 2π36ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2ππcos22cos 166ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 284721981⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，ABCD 他将连结，经测量，，.霍尔顿发现无论多长，是AC 2AD DC ==1AB =3BC =AC 3cos 4cos B D -定值.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和ABC ADC △1S 2S ，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.请你帮助霍尔顿解决以下问题： 2212S S +(1)求出的值；3cos 4cos B D -(2)求的最大值.2212S S +【答案】(1)1(2)498【分析】（1）在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案； 2AC （2）利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值.2212,S S 【详解】（1）在中，，，根据余弦定理，ABC 1AB =3BC =. 2222cos 196cos 106cos AC AB BC AB BC B B B =+-⋅=+-=-同理，在中，.ADC △288cos AC D =-所以，106cos 88cos B D -=-所以.3cos 4cos 1B D -=（2）由（1）可知； 3cos 1cos 4B D -=在中， ABC ， ()2222211199sin 13sin sin 1cos 2244S AB BC B B B B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理可得，在中，ADC △. ()()222221344cos 43cos 152cos 3cos 44S D B B B =-=-⨯-=⨯+-令，则cos B x =， ()()()22222212933314915233434422612S S x x x x x x ⎡⎤⎛⎫+=-++-=-++=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最大值，最大值为. 16x =2212S S +498所以，当时，的最大值为. cos 16B =2212S S +49822．在直角中，，，为的中点，，分别为线段，ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB P Q AC BC 上异于，的动点，且.C B 120PMQ ∠=︒(1)当时，求的长度；120MQB ∠=︒PQ(2)若为的中点，设，求的取值范围.N PQ ()90120MQB θθ∠=︒<<︒22MN NP - 【答案】(1)PQ =(2)(1,6--【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求； ,MP MQ PQ （2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒MQB θ∠=θ,MP MQ 22MN NP - MP MQ ⋅ 等变换的知识可求范围.【详解】（1）在直角中，，，为的中点， ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB 所以，.30B ∠=︒2MB =在中，，，，MQB △120MQB ∠=︒30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得sin sin MB MQ MQB B=∠sin 2sin B MQ MB MQB ==∠在中，，同理，由正弦定理可得. MPA △2,30,60MA AMP A =∠=︒=︒MP =在中，，，MPQ 120PMQ ∠=︒MQ MP =根据余弦定理，2222cos PQMP MQ MP MQ PMQ =+-⋅∠得， 241193323PQ ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭所以PQ =（2）在中，，，，MQB △MQB θ∠=30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得. sin sin MB MQ MQB B=∠sin 1sin sin B MQ MB MQB θ==∠同理，在中，MPA △MP =因为， ()()()()22MN NP MN NP MN NP MN NP MN NQ MP MQ -=+⋅-=+⋅+=⋅所以 ()1cos120sin sin 210MP MQ MP MQ θθ⋅=︒=︒-== （用积化和差化简不扣分）=因为，所以，所以，90120θ<<︒︒1802240θ<<︒︒150230210θ︒︒<-<︒所以，所以()1cos260θ-≤-︒<()1cos230θ-≤-︒<所以16-<≤-所以的取值范围为.MP MQ⋅(1,6--。

江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.= .2.如果等差数列中，，那么 .3.在△ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A，B，C，若，则＝ .4.已知则等于 .5.已知等比数列的前n项和为，，，则此等比数列的公比q=6.在中，角所对的边分别是，若，，则的面积等于 .7.在中，，则B的大小为 .8.已知，均为锐角，则等于 .9.求= .10.有一长度为100米的防洪提的斜坡，它的倾斜角为，现在要是堤高不变，坡面倾斜角改为，则坡底要伸长米.（）11.已知数列满足：，，求数列的通项公式 .12.已知数列的前n项和=，则数列的通项公式为 .13.已知在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，，求三角形ABC的外接圆半径R为14.已知数列中各项是从1,0，-1这三个数中取值的数列，前n项和为，定义，且数列的前n项和为，若，则数列的前50项中0的个数为 .二、解答题1.在等比数列中，，,试求：（1）首项和公比；（2）前6项的和.2.已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的的最大值和最小值；(3)若，求的值.3.已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边，（1）若的面积=，c=2，A=，求a,b的值；（2）若，且，试判断三角形的形状.4.已知数列的前n项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2) 令，且数列的前n项和为，求;(3)若数列满足条件：，又，是否存在实数，使得数列为等差数列?5.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．6.已知数列的前项和满足.（1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.= .【答案】【解析】解：因为2.如果等差数列中，，那么 .【答案】28【解析】解：因为等差数列中，利用等差中项可知3.在△ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A，B，C，若，则＝ .【答案】【解析】解：因为，则由正弦定理可知4.已知则等于 .【答案】【解析】解：因为，则5.已知等比数列的前n项和为，，，则此等比数列的公比q=【答案】2【解析】解：因为等比数列的前n项和为，，，首项由题意可知公比不为1，然后代入求和公式可知6.在中，角所对的边分别是，若，，则的面积等于 .【答案】【解析】解：[a2-(b+c)2 ]/bc =-1可得a2-b2-c2=bc，所以cosA="-1" /2 ，sinA= / 2 因为AC • AB =-4，所以，bc=8，所以三角形的面积为：S="1" /2 bcsinA="1" /2 ×8×/ 2 =．故答案为7.在中，，则B的大小为 .【答案】【解析】解：因为8.已知，均为锐角，则等于 .【答案】【解析】解：因为均为锐角9.求= .【答案】18434【解析】解：因为，利用错位相减法；两边同时乘以2，然后作差求解得到=1843410.有一长度为100米的防洪提的斜坡，它的倾斜角为，现在要是堤高不变，坡面倾斜角改为，则坡底要伸长米.（）【答案】【解析】解：设原来的斜坡为RtABC，B为直角顶点，AC为斜边，延长BC到D得新斜面ABD，依题可知：∠ACB=45°，∠ADB=30°∠CAD=∠ACB-∠ADB=15°=∠ADB故CD =m故答案为：11.已知数列满足：，，求数列的通项公式 .【答案】【解析】解：因为数列满足：，，利用累加法可以得到数列的通项公式12.已知数列的前n项和=，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】解：因为数列的前n项和=，利用数列的通项公式与前n项和的关系可知得到当n=1时，，当n》2时，则有利用等比数列的公式得到13.已知在四边形ABCD 中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，，求三角形ABC 的外接圆半径R 为 【答案】【解析】解：因为四边形ABCD 中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，即利用勾股定理，求解AC 边，然后利用正弦定理表示三角形外接圆的半径即可。

江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.= ．2.= ．3.在中，若，，则= .4.已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于．5.已知中，，，，则= ．6.已知等比数列的各项均为正数，，，则 .7.在中，若，则的形状是三角形．8.已知数列是等差数列，是其前项和，且，则使成立的最小值是 .9.若钝角三角形三边长分别是，则 .10.已知，且，则的值为 .11.设数列的前项和为，关于数列，下列命题正确的序号是 .①若数列既是等差数列又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.12.在等差数列中，已知，则 .13.中，，点在边上，且满足，若，则= .14.已知数列为等差数列，满足，则当取最大值时，数列的通项公式为 .二、解答题1.设是公比不为1的等比数列，且成等差数列.（1）求数列的公比；（2）若，求的取值范围.2.在锐角中，已知（1）求的值；（2）若，，求的值.3.已知函数．（1）求的值；（2）设，，求的值．4.已知数列满足，且当,且时，有，（1）求证：数列为等差数列；（2）已知函数，试问数列是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由.5.如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个，其中边MN⊥BC，点在曲线上运动.（1）设∠MOD=30°，若，求的面积；（2）求剪下的铁皮面积的最大值.6.已知正项数列的前三项分别为，为数列的前项和，满足：（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足…，求数列的前项和 (参考公式：…)江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.= ．【答案】【解析】．【考点】两角和的余弦公式．2.= ．【答案】【解析】=．【考点】二倍角的正切公式．3.在中，若，，则= .【答案】【解析】因为，所以．【考点】正弦定理．4.已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于．【答案】2【解析】由已知得，解得．【考点】等差数列的通项公式与前n项和公式．5.已知中，，，，则= ．【答案】1或2【解析】由余弦定理得，即，解得或．【考点】余弦定理．6.已知等比数列的各项均为正数，，，则 .【答案】【解析】由题意，即，，所以．【考点】等比数列的通项公式．7.在中，若，则的形状是三角形．【答案】直角【解析】由得，化简得，所以，是直角三角形．【考点】余弦定理，三角形形状的判断．8.已知数列是等差数列，是其前项和，且，则使成立的最小值是 .【答案】7【解析】由于是等差数列，所以，，即，，又，所以，所以，因此使的最小值为7．【考点】等差数列的性质．【名师点睛】等差数列的前n项和的最值问题可用二次函数的性质求解，在不知表达式的情况下，可用通项来判别．等差数列中，，数列递增，，数列递减，因而若有连续两项异号，则必为的最大值或最小值．9.若钝角三角形三边长分别是，则 .【答案】2【解析】设边长为所对的角为，则，，，又，，所以，由得．【考点】余弦定理．10.已知，且，则的值为 .【答案】【解析】∵，∴，．【考点】二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式．11.设数列的前项和为，关于数列，下列命题正确的序号是 .①若数列既是等差数列又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.【答案】①②【解析】由等差数列和等比数列的定义知，若数列既是等差数列又是等比数列，则是不为0的常数列，故，①正确；，则，时，，，又，所以是等差数列，②正确，若，则，不是等比数列，③错，故填①②．【考点】等差数列与等比数列与判断．【名师点睛】判断一个数列是等差数列的一个最常见的方法是利用等差数列的定义，关键是证明（）是一个常数．12.在等差数列中，已知，则 .【答案】-3或【解析】设公差为，由已知解得或．【考点】等差数列的通项公式与前n项和．【名师点睛】关于的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识，方法是把用和表示出来，解得和，最后再由等差数列的通项公式和前n项公式求得结论．13.中，，点在边上，且满足，若，则= .【答案】【解析】如图，作，垂足为D，则，又，设，则，又设，则由得，,,所以，化简得，，，所以．【考点】解三角形．14.已知数列为等差数列，满足，则当取最大值时，数列的通项公式为 .【答案】【解析】，，所以，，所以，最大值为，此时，解得，所以．【考点】不等式的性质，等差数列的通项公式．【名师点睛】本题已知条件可化为，在求的最小值时，不能把和作为单个的个体分别求出其范围，而是要把和分别作为一个整体，用这两个数表示出，即，再用不等式的性质求得结论，二、解答题1.设是公比不为1的等比数列，且成等差数列.（1）求数列的公比；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由等比数列的通项公式出发，数列的公比为()，由成等差数列,得,即，可解得；（2）把已知用表示为，可求得范围．试题解析：（1）设数列的公比为()，由成等差数列,得,即.由得,解得(舍去).∴.（2）【考点】等比数列的通项公式．2.在锐角中，已知（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由三角形内角和的性质知，从而，因此只要由同角关系式求得即可；（2）首先选用面积公式，，由此可得，即，再由余弦定理，代入已知及可解得值．试题解析：（1）因为锐角△ABC中，，所以＝.又A＋B＋C＝，所以.（2），，即，将，，代入余弦定理：得：，即.【考点】解三角形．3.已知函数．（1）求的值；（2）设，，求的值．【答案】（1）0；（2）．【解析】（1）这类问题一般先化简函数式，由二倍角公式及两角和的正弦公式可得，由此可计算出的值；（2）由（1），代入条件，得，再由，结合两角差的正弦公式可求得．试题解析：.（1）==；（2），.由，易得. .【考点】二倍角公式，两角和与差的正弦公式．【名师点睛】与三角函数有关的问题，首先要利用二倍角公式和两角和与差的正弦（余弦）公式，把函数化为的形式，然后利用正弦函数的性质求解．本题在求值时，要注意应用角的变换，即，只有这样变化后直接利用两角差的正弦公式去求值，而不是直接把展开再求值．4.已知数列满足，且当,且时，有，（1）求证：数列为等差数列；（2）已知函数，试问数列是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为．【解析】（1）由等差数列的定义就是要证（）是常数，为此只要把已知条件去分母化简变形即可得到；（2）令，并计算得，这是指数形式的通项，要求最值，可以用作商法，即计算，由此可得时，，即，再讨论和时的数列的单调性就能得出结论．试题解析：（1）证明：.是首项为，公差的等差数列.（2）数列的第8项或第9项是最小项.由(1).令，则.令，即；令，即.【考点】等差数列的判断，数列的单调性．【名师点睛】数列是一个特殊的函数，因此数列的单调性或最值可以通过函数的单调性来研究，只是要注意数列作为函数时定义域是或的有限子集，也可能通过数列本身进行研究，如，时数列递增，满足时，数列递减，如满足，则是最大项，类似可得最小项（此法中要注意的特殊情形），对指数形式通项公式，可通过解不等式或来确定最小项．5.如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个，其中边MN⊥BC，点在曲线上运动.（1）设∠MOD=30°，若，求的面积；（2）求剪下的铁皮面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）要求三角形的面积，首先研究条件，由于MN⊥BC，因此点在线段上，从而，为此只要设MN交AD交于Q点，求出MN和AQ的长即可得面积；（2）铁皮在变化，但由于始终有MN⊥BC，因此P到MN的距离的最大值是P在线段AB上，就选为A点，同（1）即高的最大值为AQ，这样就只有MN在变化，为确定位置，设∠MOD=θ，则MQ=2sinθ，OQ=2cosθ，=MN(2+2sinθ)(2+2cosθ) ="2" (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)，，实质上我们得出了S△PMN（其中是P到MN的距离），利用换元法可求得此式的最大值．试题解析：（1）设MN交AD交于Q点，，点在线段上，∵∠MQD=30°，∴MQ=，OQ==MN AQ=××（2+）=S△PMN（2）设∠MOD=θ，则MQ=2sinθ，OQ=2cosθ.设到的距离为，则，∴S=MN(2+2sinθ)(2+2cosθ) ="2" (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)△PMN令sinθ+cosθ=t∈，则S="2" (1++)△PMN取得当t=即θ=，且在线段上时，S△PMN最大值，最大值为.【考点】三角形的面积，三角函数的应用．6.已知正项数列的前三项分别为，为数列的前项和，满足：（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足…，求数列的前项和 (参考公式：…)【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这类问题用特殊值法可求，由已知的值可得，代入已知式，可求得；（2）由（1）得，考虑到等式两边的特征，把此式变形为，分别令…采取累加法可得，从而得，再由求得通项；（3）首要问题是求，当时，由得，两式相减可得，从而有，采取错位相减法可求得其和．试题解析：(1) ，，在中，分别令得：.（2）由（1），，变形为：，分别令…得，，.，，（3）当时，，当时，由得，两式相减得：，，，.【考点】累加法求通项，由求通项，错位相减法求数列的和．【名师点睛】求数列通项公式,可观察其特点,如有以下特点一般常利用“累加法”“累乘法”．(1)已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).所有等式左右两边分别相加,代入a1得an.(2)已知a1且=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”,即=f(n),=f(n-1),…,=f(3),=f(2),所有等式左右两边分别相乘,代入a 1得an.。

2023-2024学年江苏省苏州市高一下册期中数学试题一、单选题1．已知复数1iiz -=，则z 的虚部为（）A ．i-B ．iC ．1-D ．1【正确答案】C【分析】先利用复数代数形式的除法运算化简复数z ，再求z 的虚部.【详解】221i i i i 11i i i 1z --+====---，则z 的虚部为1-.故选：C.2．P 是ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【正确答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质推导出PB AC ⊥，进一步可得出PA BC ⊥，PC AB ⊥，即可得出结论.【详解】因为PA PB PB PC ⋅=⋅，则()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅= ，所以，PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，故P 是ABC 的垂心.故选：D.3．已知复数z 满足2z +，则2i z -的最小值为（）AB ．C ．D ．【正确答案】A【分析】设i z x y =+(),R x y ∈，由题意可得()222+2x y +≤，由此可知复数z 对应的点(),x y在以()2,0-为半径的圆上及圆内部，而2i z -=(),x y 到点()0,2的距离，进而结合圆的知识即可求解.【详解】设i z x y =+(),R x y ∈，则2i x y ++≤即()222+2x y +≤，所以复数z 对应的点(),x y 在以()2,0-为半径的圆上及圆内部，又()2i 2i z x y -=+-=(),x y 到点()0,2的距离，而()2,0-到()0,2的距离为所以2i z-的最小值为.故选：A.4．欧拉公式()i e cos isin e 2.71828θθθ=+= 是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知πi 61e 22θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，则cos θ=（）A．B ．12-C ．12D ．2【正确答案】A【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出5π2π6k θ=+，进而求解.【详解】i e cos isin θθθ=+，πi 6ππ1ecos isin i 6622θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1cos 62πsin 62θθ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎪∴⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩，π2π2π63k θ∴-=+，Z k ∈，即5π2π6k θ=+，Z k ∈，5π5πcos cos 2πcos 66k θ⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭故选：A.5．在如图所示的半圆中，AB 为直径，O 为圆心，点C 为半圆上一点且15OCB ∠= ，AB = ，则AC等于（）A ．4+B 1C 1D ．4-【正确答案】C【分析】依题意可得30COA ∠=，OA OC == AC OC OA =- ，根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为15OCB ∠= ，OC OB =，所以230COA OCB ∠∠== ，又AB = OA OC == AC OC OA =-，所以AC OC OA =-==1=.故选：C6．在ABC 中，若cos 1cos2cos 1cos2b C Bc B C⋅-=⋅-，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断ABC 的形状.【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，22cos sin cos 1cos22sin cos sin cos 1cos22sin b C B C B Bc B C B C C⋅⋅-==⋅⋅-,即cos sin cos sin C BB C=，整理为sin cos sin cos B B C C =，即11sin 2222B C =，得22B C =，或2218090B C B C +=⇒+= ,所以ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D7．点P 是ABC 所在平面内一点且满足AP xAB yAC =+，则下列说法正确的个数有（）①若12x y ==，则点P 是边BC 的中点；②若点P 是BC 边上靠近B 点的三等分点，则12,33x y ==；③若点P 在BC 边的中线上且12x y +=，则点P 是ABC 的重心；④若2x y +=，则PBC 与ABC 的面积相等.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】B【分析】①转化为BP PC = ，即可判断；②选项转化为2BP PC =，进而根据平面向量基本定理即可判断；③分析可得点P 为BC 边的中线的中点，即可判断；④可得点P 在直线MN 上，点P 与点A 到BC 边的距离相等即可判断.【详解】①若12x y ==，则1122AP AB AC =+ ，即AP AB AC AP -=-，即BP PC = .即点P 是边BC 的中点，故①正确；②由点P 是BC 边上靠近B 点的三等分点，所以2BP PC =，即()2AP AB AC AP -=- ，即21=33AP AB AC + ，所以21,33x y ==，故②错误；③因为点P 在BC 边的中线上，设D 为BC 中点，设AP AD λ= ，又()1=2AD AB AC + ，所以22AP AB AC λλ=+ ，又12x y +=，则1+=222λλ，所以1=2λ，即12AP AD = ，所以点P 为BC 边的中线的中点，故不是重心，故③错误；④设2AM AB = ，2AN AC =，则22x y AP AM AN =+ ，221x y +=，故点P 在直线MN 上，点P 与点A 到BC 边的距离相等，所以PBC 与ABC 的面积相等，故④正确.故选：B.8．在ABC 中，3B π=，BC，则cos A 的值为（）A．B．CD【正确答案】B【分析】由题意设出BC x =，再利用锐角三角函数结合勾股定理，分别求出AB 、AC 的值，再由余弦定理即可求出cos A 的值.【详解】由题意，设BC x =，那么BC边上的高AD =，3B π= ，3sin 3ADxAB π∴==，6tan 3ADxBD π==，则56xDC BC BD =-=，2222225769x x AC DC AD ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，在ABC中，由余弦定理可得：222222799cos 2x x x AB AC BC A AB AC +-+-==-⋅故选：B.二、多选题9．若关于x 的方程20x ax b ++=的一个根是12i -，则下列说法中正确的是（）A ．2a =-B ．=5b -C ．i a b +的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D ．i,i a b a b ++在复平面内对应的两点间的距离为【正确答案】AD【分析】首先将方程的实数根代入方程，求,a b ，再分别根据共轭复数的定义，以及复数的几何意义判断选项.【详解】由条件可知，()()212i 12i 0a b -+-+=，整理为()()342i 0a b a +--+=，则30420a b a +-=⎧⎨+=⎩，2,5a b =-=，故A 正确，B 错误；i 25i a b +=-+，其共轭复数i 25i a b -=--，对应的点的坐标为()2,5--，在第三象限，故C错误；i 25i a b +=-+，对应的点为()2,5-，52i ai b +=-，对应的点为()5,2-，两点间的距离d ==D 正确.故选：AD10．下列命题正确的是（）A ．非零向量1e 和2e不共线，若121212,2,36AB e e AC e e CD e e =-=+=- ，则B 、C 、D 三点共线B ．已知1e 和2e 是两个夹角为60的单位向量，12122,4a e e b ke e =+=- 且a b ⊥ ，则实数5k =C ．若四边形ABCD 满足()0,0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是矩形D ．点O 在ABC 所在的平面内，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，则动点P 的运动路径经过ABC 的重心【正确答案】BD【分析】计算出BC ，即可判断BC 与CD不共线，从而判断A ，根据数量积的定义及运算律判断B ，可得⊥DB AC 再结合平面几何的性质判断C ，设BC 的中点为D ，得到2AP AD λ=，即可判断D.【详解】对于A ：因为非零向量1e 和2e 不共线，所以1e 和2e可以作为平面内的一组基底，因为12AB e e =- ，122AC e e =+ ，1236CD e e =-所以()()12121222BC e e e e A AB e C e ==+--=+- ，显然不存在实数λ使得CD BC λ=，故B 、C 、D 三点不共线，故A 错误；对于B ：因为1e 和2e 是两个夹角为60 的单位向量，所以121211cos 601122e e e e =︒⋅=⨯⨯=⋅ ，又122a e e =+，124b ke e =- 且a b ⊥ ，所以()()()2211212122240284a b e e ke e ke e k e e ⋅=+⋅-=--⋅+=，即()120842k k --+=，解得5k =，故B 正确；对于C ：由0AB CD += 可得ABCD 为平行四边形，()0AB AD AC -⋅= ，即0DB AC ⋅=，所以⊥DB AC，即四边形ABCD 为对角线互相垂直的平行四边形，则该四边形可能是菱形或正方形，故C 错误；对于D ：设BC 的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为()OP OA AB AC λ=++ ，所以2OP OA AD λ-=，即2AP AD λ= ，所以A 、P 、D 三点共线，即P 在AD 上，又三角形重心在AD 上，所以动点P 的运动路径经过ABC 的重心，故D 正确；故选：BD11．在ABC 中，π,33B b c ===，则下列说法正确的是（）A ．C 有两解B ．BC 边上的高为2C ．BC 的长度为32+D ．ABC 的面积为94【正确答案】BC【分析】根据正弦定理判断A ；根据条件直接求BC 边上的高，判断B ；根据余弦定理判断C ；根据三角形面积公式判断D.【详解】A.根据正弦定理可知，sin sin c b C B =，则3sin C =:3sin 4C =，且c b <，所以角C 只有一解，故A 错误；B.BC 边上的高sin 322h c B ===，故B 正确；C.根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即21293a a =+-，解得：32a +=或0a <（舍）即BC ，故C 正确；D.9113sin 32228ABCSac B +==⨯⨯= ，故D 错误.故选：BC12．已知函数()()()sin cos sin cos f x x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间32π,π2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的对称轴是()ππZ 4x k k =+∈C ．方程()302f x -=在[]2π,2πx ∈-的解为12,,,n x x x ，且12πn x x x +++=- D ．若()()123f x f x -=，则12min3π4x x -=【正确答案】ACD【分析】A.去绝对值后，化简函数，判断函数的单调性；B.根据对称性的性质，判断对称性；C.去绝对值，写成分段函数，根据图象，判断选项；D.根据函数的最值，结合图象，判断D.【详解】()()()()()2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2πf x x x x x +=+-+⎡+++⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin cos sin cos x x x x f x =-+=，所以函数是周期函数，周期为2π，当3π2π,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x =-+=-=-，[]24π,3πx ∈--，根据周期性可知，与[]0,π的单调性一样，cos y x =在区间[]0,π单调递减，所以()cos 2f x x =-在区间3π2π,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；若函数()f x 的对称轴是()ππZ 4x k k =+∈，则其中一条对称轴是π4x =，但()01f =-，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π02f f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以函数不关于π4x =对称，故B 错误；当cos 0x ≥时，()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x =-+=-=-，当cos 0x <时，()()2sin cos 1sin 2f x x x x =-=-，所以()ππcos 2,2π,2π22π3π1sin 2,2π,2π22x x k k f x x x k k ⎧⎡⎫-∈-++⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，Z k ∈，如图，画出函数的图象，当3ππ,22x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，1sin 2y x =-，当5π4x =-时，取得最大值2，当π3π,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1sin 2y x =-，当3π4x =时，取得最大值2，方程()302f x -=在[]2π,2πx ∈-的解为1234,,,x x x x ，125π5π242x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭，343π3π242x x ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，所以1234πx x x x +++=-，故C正确；因为函数的最大值为2，最小值为-1，若()()123f x f x -=，则()12f x =，()21f x =-，113π2π4x k =+,222πx k =,12,Z k k ∈,12123π2π2π4x x k k -=+-,所以12min3π4x x -=，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．下面给出的几个关于复数的命题，①若()()22432i x x x -+++是纯虚数，则实数2x =±②复数()21i()a a +∈R 是纯虚数③复数sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点Z 位于第三象限④如果复数z 满足|i ||i |2z z ++-=，则|2i 1|z --的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【正确答案】②③【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【详解】对于①，因为22(4)(32)i x x x -+++为纯虚数，所以224=0320x x x ⎧-⎨++≠⎩，解得2x =，故①错误；对于②，因为R a ∈，所以2+10a ≠，所以2(+1)i a 是纯虚数，故②正确；对于③，因为sin1000︒-<，cos1000︒<，所以sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，i i 2z z ++-=表示复数z 对应的点Z 到点(0,1)A -和到点(0,1)B 的距离之和，又因为2AB =，所以复数z 对应的点Z 在线段AB 上，而2i 1z --表示点Z 到点(1,2)P 的距离，所以其最小值为PB =故②③．14．已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.【正确答案】2【分析】利用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式列出关于a 的方程，即可求得答案.【详解】由()π0,sin sin 3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭1()sin cos 22a x x =-，由于()f x221()(32a -+=，解得2a =，或1a =-（负值舍去），故215．ABC 是钝角三角形，内角,,A B C 所对的边分别为,,,2,4a b c a b ==，则最大边c 的取值范围为__________.【正确答案】()【分析】由题意可得π2C >，由余弦定理结合c a b <+即可求解.【详解】因为ABC 是钝角三角形，最大边为c ，所以角C 为钝角，在ABC 中，由余弦定理可得：2222416cos 0216a b c c C ab +-+-==<，可得c >又因为6c a b <+=，所以6c <<，所以最大边c 的取值范围是.()故答案为.()16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．【正确答案】12-/-0.5【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A 为原点，分别以,AB AD为,x y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI ，正方形EFGC 边长为a可知()0,0A ，()2,0B a ，()0,2D a ，)1DF a=则)1cos 30F x a =⋅ ，)1sin 302F y a a =+⋅+ ，即F a a ⎫⎪⎪⎝⎭又AF AB AD x y =+，()()()3353,2,00,22,222a a x a y a ax ay ⎛⎫++∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭即33225322ax a ay a⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即33532222ax ay a a ++-=-，化简得12x y -=-故12-四、解答题17．已知复数()()212221i,sin 12cos i z m m z λθθ=-+-=+--（其中i 是虚数单位，,R m λ∈）.(1)若1z 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数m 的值；(2)若12z z =，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)3m =-(2)3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意可得22210m m -=-<，解之即可得解；（2）根据12z z =，可得()22sin 2112cos m m λθθ⎧-=+⎪⎨-=--⎪⎩①②，消去m ，再结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）若1z 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，则22210m m -=-<，解得3m =-；（2）若12z z =，则()22sin 2112cos m m λθθ⎧-=+⎪⎨-=--⎪⎩①②，由②得22cos m θ=③，将①③相加得22sin cos λθθ=++，故22213cos sin 2sin sin 1sin 24λθθθθθ⎛⎫=--+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为1sin 1θ-≤≤，则当1sin 2θ=时，min 34λ=，当sin 1θ=-时，max 3λ=，所以λ的取值范围为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知函数()2ππ2sin ,(0)6212x f x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.【正确答案】(1)()2sin 2f x x=(2)ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可求解；（2）根据函数图象的平移和变换公式得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1）由()2ππ2sin 16212x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()ππππcos 2sin 2sin 6666f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于相邻两对称轴间的距离为π2，故函数的最小正周期为π，故2ω=．所以()2sin 2f x x =．（2）由题意，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，可得ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π42π232k x k +≤+≤+，Z k ∈，即ππ7ππ242242k k x +≤≤+，Z k ∈，所以()g x 的单调递减区间为ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.19．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数且21122z -≤≤.(1)求1z 的值以及1z 实部的取值范围；(2)若1111z z ω-=+，求证：ω为纯虚数.【正确答案】(1)11z =，11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【分析】（1）待定系数法设出1i z a b =+，代入到上式，利用共轭复数进行化简，由2z 是实数可求得221a b +=，且22z a =，故而11z =，再根据21122z -≤≤，即可求得实部a 的范围；（2）直接将（1）中1i z a b =+代入，结合复数的除法运算化简1111z z ω-=+，再由a ，b 范围即可得证.【详解】（1）设1i z a b =+(,R a b ∈，且0b ≠)，则()()()22222i 1i i i i i ia b a b z a b a b a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=++=++=++- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭，∵2z 是实数，0b ≠，∴221a b +=，即11z =，则22z a =，又∵21122z -≤≤，∴11222a -≤≤，即1144a -≤≤，∴1z 的实部的取值范围为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()()()()()()2212211i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 11a b a b b aa b z a b a b a b b z a ω-++++---+====+-+-+++++()222212i 12i 1i121211b a b b b a a b a a +-++-==++++++，因为0b ≠，1144a -≤≤，所以ω为纯虚数.20．如图，一个直径为5m 的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心O 距离水面的高度为1.25m ，水车上的盛水筒P 到水面的距离为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计时，则h 与时间t （单位：s ）之间的关系为()πsin 0,0,2h A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭.(1)求h 与t 的函数解析式；(2)求在一个旋转周期内，盛水筒P 在水面以上的时长.【正确答案】(1)()53π5sin 25064h t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)200s 9【分析】（1）依题意可得52A R ==， 1.25b =，由周期求出ω，再结合图形可得1sin 2ϕ=-，即可求出ϕ，从而得到函数解析式；（2）令()0h t >，即3π1sin 5062t π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）依题意52A R ==， 1.25b =，1.8160T =，即1003T =，则2π2π3π100503Tω===，由给定的图形知， 1.251sin 2.52ϕ=-=-，又||2ϕπ<，即有π6ϕ=-，所以h 与t 的函数解析式是()53π5sin 25064h t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）令()53π5sin 025064h t t π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，即3π1sin 5062t π⎛⎫->- ⎪⎝⎭所以3π765066t πππ-<-<，解得20009t <<，所以水车在一个旋转周期内，盛水筒P 在水面以上的时长为200s 9．21．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足()sin sin sin 2sin b B c C A a b C +=⋅-.(1)求角A 的余弦值；(2)若D 是边AB 的中点且2CD =，求b 的取值范围.【正确答案】(1)2-(2)(2,【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到sin cos A A =-，即可求出A ，从而得解；（2）设ACD α∠=，利用正弦定理表示出AD ，AC ，设()f b α=，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理有sin sin sin a b cA B C==，sin sin sin (2sin )b B c C A a b C +=⋅- ，22sin sin sin (sin 2sin sin )B C A A B C ∴+=⋅-，即2222sin b c a bc A +=-，在ABC 中，由余弦定理，有2222cos a b c bc A =+-，2sin 2cos bc A bc A ∴=-，则sin cos A A =-，即tan 1A =-，(0,)A π∈ ，∴34A π=，则cos 2A =-；（2）如图，设ACD α∠=，则4ADC πα∠=-，(0,)4πα∈，在ACD 中,根据正弦定理，有sin sin sin CD AD ACA ACD ADC==∠∠，2c AD α∴==，sin()4AC b πα==-，设()sin()8sin 2cos 6sin 4f b πααααα==-+=+cos sin )sin()αααθ==+，（其中sinθ=，cos θ=(0,)6πθ∈）又()(,)(0,42ππαθθθ+∈+∈，所以()f α在(0,)2πα∈上单调递增，所以(),))4f παθθ∈+，又sin()(sin cos )425πθθθ+=+=，所以b 的取值范围为(2,．22．设正ABC 的边长为1,O 为ABC 的外心，12,,,n P P P 为BC 边上的1n +等分点，12,,,n Q Q Q 为AC 边上的1n +等分点，12,,,n L L L 为AB 边上的1n +等分点.(1)当2023n =时，求122023OC OP OP OP OB +++++的值；(2)当4n =时.（i ）求i j OC CP OC CQ ⋅+⋅的值（用,i j 表示）；（ii ）求()1,,4,,,i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP i j k i j k N⋅+⋅+⋅≤≤∈的最大值与最小值.【正确答案】(2)（i ）510i j --；（ii ）最大值为225-，最小值为1350-．【分析】（1）根据,,i B P C 共线，将i OP uuu r 用OB OC ，uu u r uuu r表示，求和后再求模长；（2）（i ）根据数量积定义计算；（ii ）将i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅用,,i j k 表示，依次视为,,i j k 的函数讨论单调求最值.【详解】（1）当2023n =时，12023120242024OP OB OC =+ ，22022220242024OP OB OC =+，……，20231202320242024OP OB OC =+ ，122023202320221122023(()202420242024202420242024OP OP OP OB OC ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 2023202322OB OC=+uu u r uuu r1220232023202322OC OP OP OP OB OB OB OC OC∴+++⋅⋅⋅++++=+uuu r uuu r uuu r uuuuu r uu uu u r uu u r uuu r u r uuu r 20252OB OC=+uu u r uuu r又ABC 为等边三角形，且边长为1，O 为外接圆的圆心，OB ∴=,120OB OC =o uu u r uuu r ，22222112(()2()333323OB OC OB OC OB OC ∴+=++⋅=++⨯-= ，则3OB OC += ，12202320252OB OC OC OP OP OP OB ∴+++⋅⋅⋅+++=uuu r uuu r uuu r uu uu u r uu uuu r uur u u r ；(2)(ⅰ)ABC 为等边三角形，O 为外接圆的圆心，30OCB OCA ∴∠=∠= ，则,150i OC CP =ouuu r uu u r ，,150j OC CQ =o uuu r uuu u r ，又4n =，,i j P Q ∴分别为BC ，CA 的5等分点，又1BC CA ==，55i i CP -∴=，5j jCQ =；cos150cos150i i j j OC CP OC CQ OC CP OC CQ ∴⋅+⋅=⋅+⋅555((352352101010i j i j i j ----=⨯⨯-+⨯⨯-=--=（ⅱ）2()()i j i j i j i j OP OQ OC CP OC CQ OC OC CP OC CQ CP CQ ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ，155cos150cos150cos 6035555i j i j i j OP OQ --∴⋅=++⨯155115355552650i j i j i ij---=⨯⨯=-+；同理可得：15650j kj jk OQ OL -⋅=-+ ；15650k i k ki OL OP -⋅=-+ ；15()()250i j j k k i i j k ij jk ik OP OQ OQ OL OL OP ++-++∴⋅+⋅+⋅=-+ ；令()()5515()()1250250j k i j k jki j k ij jk ik S --++-++-++=-+=-+①当5j k +≥时，1i =时，()()max 5454411250250j k jk k j kS ++-+-+=-+=-+，4k ≤ ，4j ∴=时取最大值，则()max 54441422505025k k S +-+=-+=-=-；4i =时，()()min 2020111250250j k jk k j k S ++-+-+=-+=-+，1k ≥ ，4j ∴=时取最小值，则()min 204113125050k k k S +-+--=-+=，则当4k =时，min 1350S =-；②当5j k +<时，4i =时，()()max 2020111250250j k jk k j k S ++-+-+=-+=-+，1k ≥ ，1j ∴=时取最大值，则max 1201422505025k k S +-+=-+=-=-；1i =时，()()min 5454411250250j k jk k j kS ++-+-+=-+=-+，4k ≤ ，1j ∴=时取最小值，则min 193250kS +=-+，则当1k =时，min 1121325050S =-+=-；综上所述：i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 的最大值为225-，最小值为1350-．关键点点睛：求5()()i j k ij jk ik ++-++的最值利用函数的单调性求最值，先整理为()()55j k i j k jk --++-的形式，视为关于i 的一次函数，讨论5j k --的正负确定单调性，确定在1i =或4i =时取得最值，类似的，下一步再视为关于j 的一次函数求最值，最后再视为关于k 的一次函数求最值.。

一、单选题1．已知，则（ ） 3i z =-z =A ．3B ．4CD ．10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为，所以3i z =-z ==故选：C.2．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） ()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x π6x =ϕA ．B ．C ．D ．π12π6π32π3【答案】B【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值. ()πππZ 32ϕ+=+∈k k ϕ【详解】由题得：，故，而，所以.π16f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭()πππZ 32ϕ+=+∈k k 0πϕ<<π6ϕ=故选：B.3．已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选ABC A D E F AB BC CA 项正确的是（ ）A ．B ．AB AC AE += AB AC BE -= C ．D ．12EF AB = 12DE DF ⋅= 【答案】D【分析】根据向量加法、减法、数乘向量的几何意义，结合等边三角形的性质以及图象，即可判断A 、B 、C 项；根据几何关系得出，，根据数量积的定义，即可得出D 项.12DE AC =12DF BC =【详解】对于A 项，因为是边的中点，所以，故A 项错误；E BC ()12AE AB AC =+对于B 项，因为是边的中点，所以，E BC 22CB EB BE ==-所以，故B 项错误；2AB AC CB BE -==-对于C 项，因为，分别是边，的中点，所以，且. E F BC CA EF AB ∥12EF AB =又因为反向，所以，故C 项错误；,EF AB 12EF AB =-对于D 项，因为，，分别是边，，的中点，D E F AB BC CA 所以，且,，且， ∥D E A C 12DE AC =DF BC ∥12DF BC =所以，，.12DE AC =12DF BC=因为，，所以，2AC BC ==π3ACB ∠=12222CA CB ⋅=⨯⨯= 所以， 2AC BC CA CB ⋅=⋅=所以，故D 项正确.1142CA CB DE DF ⋅==⋅ 故选：D.4．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积Rt O A B '''△OAB A O B B A ''''⊥2O A ''=OAB A 是（ ）A B ．1C D ．【答案】D【分析】由直观图得到原图可得答案.【详解】因为，所以，，2O A OA ''==O B ''=OB =90BOA ∠=所以的面积是OAB A 12OAB S OA OB =⨯⨯=A 故选：D.5．已知向量，，，则实数（ ）.()0,2a =r)b = ()()a kb ka b -⊥+k =A ． B ．0 C ．1 D ．或11-1-【答案】D【分析】由已知求出，，.由已知可得，展开代入，即可得24a = 24b = 2a b r r ×=()()0a kb ka b -⋅+= 出答案.【详解】由已知可得，，，.222024a r =+=22214b =+= 2a b rr ×=因为， ()()a kb ka b -⊥+所以，，()()0a kb ka b -⋅+=所以有，()22210ka k a b kb +-⋅-= 所以，，解得.()242140k k k +--=1k =±故选：D.6．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的1111ABCD A B C D -M N AC 1A B 是（ ）A ．平面B ． //MN 11ADD A MN AB ⊥C ．与所成角为45°D ．平面MN 1CC MN ⊥1ACD 【答案】D【分析】连接，，由中位线定理以及线面平行判定判断A ；由平面证明BD 1A D AB ⊥11ADD A ；由，得出与所成角；由与不垂直判断D.AB MN ⊥1MN A D A 11CC D D A MN 1CC MN 1CD 【详解】对于A ：如图，连接，.BD 1A D 在正方形中，为的中点,，即也为的中点， ABCD M AC AC BD M ∴⋂=M BD 在中，分别为的中点，，1A BD A ,M N 1,BD A B 1MN A D A 又平面，平面，平面，故A 正确；MN ⊄ 11ADD A 1A D ⊂11ADD A MN ∴A 11ADD A对于B ：平面，，，故B 正确；AB ⊥Q 11ADD A 1AB A D ∴⊥AB MN ∴⊥对于C ：，，与所成角为，故C 正确； 1MN A D A 11CC D D A ∴MN 1CC 1145A DD ∠=︒对于D ：连接，，11111,,,A D B C CD B D 1111B C CD B D == 1160B CD ∴∠=︒，与不垂直，即与不垂直，则不垂直平面，故D 错误；11B C A D A ∴1A D 1CD MN 1CD MN 1ACD故选：D7．（ ）2023i 2⎫+=⎪⎪⎭A ． B ． CDi2i 2i 2i 2【答案】B【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可. 21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭【详解】，即. 231i i2i i 244⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭所以. 231i 13i 13112i 22i 44i 44i i i ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=--=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭所以 26743674023i i i 1i 222i 2⎫⎫⎫⎫⎛⎫+=+=-⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎡⎤⎢⎥⨯⨯⎢⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎭⎭⎭⎣⎦. ()33723371i i i 1i 222⎫⎫⎛⎫=⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣=-+=⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎭⎦⎭故选：B8．淮阴中学高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在、处分别测得雕塑最高点的仰角B C 为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（ ）（参考数据）5cm =BC cos100.985︒=A ．4.92B ．5.076C ．6.693D ．7.177【答案】A【分析】运用正弦定理先求出BD ，再求出AD . 【详解】在中，由正弦定理得：BCD △，()sin ·2·cos10sin sin sin BD BC BCD BD BC BC BCD BDC ABD BCD ︒∠=⇒==∠∠∠-∠在中，；R t ABD A 1sin 2cos10sin 30250.985 4.922AD BD ABD BC ︒︒=∠=≈⨯⨯⨯=故选：A.二、多选题9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A ，，，其中为坐标原点，则z z i z z B C O （ ） A ．B ．C ．D ．OA OB = OA OB ⊥AB AC = OC AB ∥【答案】AB【分析】分别求得的值判断选项A ；利用向量垂直充要条件判断选项B ；分别求得,OA OB的值判断选项C ；利用向量平行充要条件判断选项D. ,AB AC【详解】设，则，， i(,R)z a b a b =+∈i i z b a =-+i z a b =-则.(,),(,),(,)A a b B b a C a b --选项A ：判断正确；(,),(,)OA a b OB b a ==- 选项B ：，则.判断正确；()0OA OB a b ab ⋅=-+= OA OB ⊥选项C ：，(,),(0,2)AB b a a b AC b =---=-=则不一定成立.判断错误； AB AC = 选项D ：，(,),(,)AB b a a b OC a b =---=-，()()()()22b a b a a b b b a a -----=+-则不一定成立.判断错误.OC AB ∥故选：AB10．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的αl m n A B C D 命题是（ ）A ．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形. ABCD AB BC CD DA ===ABCD B ．若，，则.l α∉∈A l A αÏC ．若，，，，，，则. m α⊂n ⊂αA m ∈B n ∈∈A l B l ∈l ⊂αD ．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线. l m n l n m 【答案】ABD【分析】举特例即可说明A 、D 错误；根据直线与平面的位置关系可判断B ；由已知结合基本事实2，即可得出C.【详解】对于A 项，正四面体的各个棱长均相等，但显然不是菱形，故A 项错误； 对于B 项，若，则或与相交，故B 项错误；l α∉l α∥l α对于C 项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内， A α∈B α∈l α根据基本事实2可知，故C 项正确；l ⊂α对于D 项，如图正方体中，和异面，，但是，故1111ABCD A B C D -11A B BC 11∥A B AB AB BC B ⋂=D 项错误. 故选：ABD.11．漫步在江苏省淮阴中学没理的校园中，最著名的景点是光荣之门，四面石墙围绕着喷泉，可近似的看作是正八边形的一半.在此图形中.在五边形中，，以下结论正确ABCDE AB BC CD DE ===的是（ ）A ．.OA OC +B ．2AD BC =u u u r u u u r C ．在上的投影向量为. AD AB1AB ⎫⎪⎪⎭D ．点者线段上，且，则的最大值是.P CD BP xBC yBA =+x y+2【答案】ACD【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，AB x AFy，， 1AB BC CD DE ====π3π,48AOB CBx OAB ∠=∠=∠=则且， ()()0,0,1,0,1,1,A B C D ⎛⎛+⎝⎝1122O ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，1111,12222OA OC ⎛⎫⎛⎫⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭11,122⎫-=-⎪⎪⎭ ， A 正确；OA OC ∴+=，所以 ，B 错误；1,22AD BC ⎛=== ⎝ 2AD BC ≠u u u r u u u r又，，所以，即在向量上的投影向量为1AD ⎛=+ ⎝ ()1,0AB = 2·1AD AB AB = AD AB，C 正确；1AB ⎫⎪⎪⎭若在线段（包括端点）上，设，，P DC DPDC λ=[]0,1λ∈所以，，BP BD DP BD DC λλ⎫=+=+=⎪⎪⎭ ()1,0,BA BC =-= 由，可得，BP xBC yBA =+1x y y λ=-⎪+=⎪⎩则，故，11x y λ=-+⎧⎪⎨+⎪⎩)[]21,0,1x y λλ+=-∈所以，D 正确. 1,2x y ⎡+∈⎣故选：ACD.12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ） ()sin4sin3f θθθ=+1θ2θ3θ()f θ()0,πA ．B ． {}123π,,7∈θθθ12312π7θθθ++=C ．D ．1231cos cos cos 8θθθ=1231cos cos cos 2θθθ++=-【答案】BCD【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A 、B ，将1θ2θ3θ根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可123cos cos cos θθθπ2π4π777cos cos cos -sin π7判断C ，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 123cos cos cos ++θθθsinπ7【详解】由题知，，是的三个根， 1θ2θ3θsin 4sin 30θθ+=可化为，即，sin 4sin 30θθ+=sin 4sin 3θθ=-()sin 4sin 3πθθ=+所以可得或，， 43π2πk θθ=++43ππ2πk θθ++=+Z k ∈解得或，， π2πk =+θ2π7k θ=Z k ∈因为，所以或或，()0,πθ∈2π7θ=4π76π7故可取，，，12π7θ=24π7θ=36π7θ=所以选项A 错误；因为，所以选项B 正确； 12312π7θθθ++=1237c o 2c πs 4π6π7os o cos c scos s7co θθθ=4cos cos co 2πππ77s π7⎛⎫= ⎝-⎪⎭ ππ2π4π2sin π2π4π7777π7772sin 7cos cos coscos cos cos =-=-2π2π4π2sin 777π4sin 7cos cos =-7co 4π4π2sin 77π8s sin=-， π8ππsin πsinsin1777πππ88sin 8sin 8sin777⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-=-=-=故选项C 正确；而 1237c o 2πos cos cos c sc 7os c 7os 4π6πθθθ++++= π2π4π6πsin 7777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=， π2ππ4ππ6πsin sin sin 777777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=根据积化和差公式：， ()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin272727272727πsin 7-+-+-=，故选项D 正确. 1πsin127π2sin 7-==-故选：BCD.【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有： （1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简； cos cos 2cos3cos 4ααααsin α（3）积化和差公式：，()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦. ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦三、填空题13．已知复数在复平面内对应的点都在射线的虚部为______ z ()2,0y x x =>z 【答案】2【分析】依题意可设复数得到方程，解得即可. 2i(0)z a a a =+>a 【详解】依题意可设复数，2i(0)z a a a =+>由（舍去）， 5z ==1a =1a =-所以， 12zi =+所以的虚部为. z 2故答案为：.214．已知函数的部分图像如图所示，若，则等()()(),0f x x f x ωϕω=+>，2AB BC AB ⋅=- ω于___【答案】/ 2π12π【分析】先利用条件求得，求得最小正周期为4，进而求得的值.2AB BC AB ⋅=- π3ABC ∠=ω【详解】由，，即， 2BC AB = 2AB BC AB ⋅=- 2cos ,AB BC AB BC AB ⋅=- 可得，则，1cos ,2AB BC =- 1cos ,2BA BC = 又，则， (),0,πBA BC ∈ π3ABC ∠=过点B 作于E ，则，， BE AD ⊥BE =2AD =则，则， 4T =2ππ42ω==故答案为：π215．正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面1111ABCD A B C D -E F G 11B C 11C D 1B B 截正方体所截面的周长为___EFG【答案】【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.EFG 【详解】连接并延长交延长线于Q ，则EG CB 12BQ CB =过Q 作，交于H ，交于K ，则， //QH BD AB AD ,BH HA AK KD ==过K 作，交于T ，连接，1//KT AD 1DD FT 则六边形即为平面截正方体所得截面， FEGHKT EFG又均为棱的中点，则截面的周长为,,,,,F E G H K T故答案为：16．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，ABC A 1AB =4AC =60A ∠=︒AD BC E F AB AC上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______EF AD G AEF △ABC A AG EF ⋅【答案】2【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设，AG AD AE mAB AF nACλ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++= 则， ()22AG xAE y AF AD AB AC xmAB ynAC xm yn λλλ=+==+=+⇒== 即，122mnλλ+=又面积为面积的一半可得：， AEF △ABC A 1sin 60112122sin 602AE AFmn AB AC ⨯⋅⋅=⇒=⨯⋅⋅ 所以.221221mm m m λλλ+=⇒=+，()()23321922242m AB AC AG E nAC mAB F n m λλλ⋅+-=-=-++= 易知(][]210,1,1423,62n m m ⎡⎤∈∴∈⇒+∈⎢⎥⎣⎦ 当时，即重合时取得最小值.1m =,E B 321226-+=故答案为：2【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、AG AD AE mAB AF nAC λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++=得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量()2AG AD AB AC λλ==+ 122m n λλ+=12mn =积为关键.AG EF ⋅四、解答题17．己知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. z 21iz z ++-i (1)求复数；z (2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 ()2m z -m 【答案】(1)2i 3z =-(2) 2(,)3+∞【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到i,R z b b ∈=0b ≠2223i 1i 22z b b z +-++=+-23=02b+，即可求解；（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解.2i 3z =-()2244(i 93m z m m -=-+2409m ->4>03m 【详解】（1）解：由题意，设，其中且， i z b =R b ∈0b ≠可得， ()()()()i 21i 2i 2223i i i 1i 1i 1i 1i 22b z b b b z b b ++++-++=+=+=+---+因为为实数，可得，解得，即. 21i z z ++-23=02b +23b =-2i 3z =-（2）解：由，则，2i 3z =-()222244(i)()i 393m z m m m -=+=-+因为复数所表示的点在第一象限，可得且，()2m z -2409m ->4>03m 解得，所以实数的取值范围为.23m >m 2(,)3+∞18．（1）求的值域sin 2cos xy x=-（2）若，求的取值范围.33sin cos 0θθ+<sin cos θθ+【答案】（1）；（2） ⎡⎢⎣)⎡⎣【分析】（1）令，根据辅助角公式结合正弦函数的性质得出所求值域； sin 2cos xy ax==- （2）令，结合立方和公式得出，进而得出的取值范围.sin cos t θθ+=()21302t t -<sin cos θθ+【详解】（1）令，则，sin 2cos xy a x==-sin cos 2x a x a +=，其中，所以.)2x a ϕ+=tan a ϕ=sin()[1,1]x ϕ+=-，则，，解得. 22411a a ≤+231a ≤a ⎡∈⎢⎣即的值域为. sin 2cos xy x =-⎡⎢⎣（2）令，因为， sin cos t θθ+=πsin cos 4θθθ⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以，因为， t ⎡∈⎣()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+所以，21sin cos 2t θθ-=所以()233221sin cos (sin cos )sin sin cos cos 12t t θθθθθθθθ⎛⎫-+=+-+=- ⎪⎝⎭，解得. ()21302t t =-<0t ≤<即的取值范围为.sin cos θθ+)⎡⎣19．《九章算术，商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，已知四棱锥为一个阳马，面，是上的一点.P ABCD -PC ⊥ABCD M CD(1)求证：；BC PM ⊥(2)若，分别是，的中点，求证：平面 M N CD PB //CN AMP 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得； BC ⊥PCD BC PM ⊥（2）利用线面平行判定定理即可证得平面//CN AMP 【详解】（1）面，面，则，PC ⊥ABCD BC ⊂ABCD PC BC ⊥又，，面， CD BC ⊥CD PC C = ,CD PC ⊂PCD 则面，又面，则 BC ⊥PCD PM ⊂PCD BC PM ⊥（2）取中点T ，连接， PA ,NT MT 又，则， PN BN =1//,=2NT AB NT AB 又，则， 1//,=2CM AB CM AB //,=CM NT CM NT 则四边形为平行四边形，则，CMTN //CN MT 又平面，平面，则平面.CN ⊄AMP MT ⊂AMP //CNAMP20．在中，的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-(1)若，求的值； cos cos a C c A=cos B (2)若，点在线段上，且满足，求的取值范围. 2AB = D BC AC AB AD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD 【答案】(1) 78(2)4(0,)3【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式，求得，得到2sin()sin()A C A B +=+2sin sin B C =，再由，求得，进而求得时，结合余弦定理，即可求解. cos cos a C c A=sin 2sin 2A C =A C =（2）由点在线段上，且满足，得到为角平分线，利用三角形的内D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD A 角平分线定理求得，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.2BD CD =1233AD AB AC =+【详解】（1）解：因为， ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-由正弦定理得， ()2sin sin cos sin cos 2sin cos C B A A B A C -=-即， 2sin cos 2sin cos sin cos sin cos C A A C A B B A +=+可得，2sin()sin()A C A B +=+又因为，可得，即， πA B C ++=2sin sin B C =2b c =由，可得，可得，可得， cos cos a C c A=sin cos cos sin A CA C =sin cos sin cos A A C C =sin 2sin 2A C =又由，所以或，即或 ,(0,π)A C ∈22A C =22πA C +=A C =π2A C +=当时，可得，因为，所以，不符合题意，舍去；π2A C +=π2B =2b c =π2B =所以时，此时，由余弦定理得，A C =2a c b ==222447cos 2228b b b B b b +-==⨯⨯综上可得，的值为 .cos B 78（2）解：由（1）知，即且，可得，， 2sin sin B C =2b c =2AB = 2c =1b =又由点在线段上，且满足， D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭因为分别是和同向的单位向量，所以为角平分线，,AC AB AC AB AC ABAD A 由三角形的内角平分线定理，可得，即， 2AB BDAC CD==2BD CD =在中，可得，ABD △2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+所以，22214244488221cos cos 99999999AD AB BC AB BC A A =++⨯⋅=++⨯⨯=+ 因为，可得，所以，所以，(0,π)A ∈cos (1,1)A ∈-216(0,)9AD∈ 4(0,3AD ∈ 即向量的取值范围是.AD 4(0,321．在直角中，，，，为边上一点，且. ABC A AB 90A ∠= 60B ∠= D BC 3BD DC =(1)若上一点满足，且，求的值.AD K 2DK KA =AK xAB y AC =+ 2x y +(2)若为内一点，且，求的最小值.P ABC A 1AP =()PA PB PC ⋅+ 【答案】(1) 7212x y +=(2) 0【分析】（1）由结合平面向量的减法可得出关于的表达式，由3BD DC = AD {},AB AC 2DK KA=可得出，可得出关于的表达式，进而可求得的值；13AK AD = AK{},AB AC 2x y +（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，A AC AB x y (),P x y 可得出，分析可得，其中，设，，利用平221x y +=π6PAC ACB ∠=∠=π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=面向量的数量积、平面向量的基本知识以及正弦型函数的值域可求得的最小值. ()PA PB PC ⋅+【详解】（1）解：因为，则，即，3BD DC =()3AD AB AC AD -=- 1344AD AB AC =+ 因为，则， 2DK KA =1113113344124AK AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭又因为，则，，故.AK xAB y AC =+ 112x =14y =1172212412x y +=+⨯=（2）解：在中，，，，ABC A 90BAC ∠= 60ABC ∠= AB =1tan 60ACAB ==以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， A AC AB x y则、、，设点，可得，()0,0A ()0,1B )C(),P x y 1=221x y +=设，若点在上且使得，且为的中点，此时，θ∠=CAP P BC 1AP = P BC π6PAC ACB ∠=∠=因为点在内，所以，，则，， P ABC A π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=，，，(),PA x y =--(),1PB x y =-- ),PC x y =-所以，，)2,12PB PC x y +=-所以，())())22212222PA PB PC xx y y x y y y ⋅+=---=+-=-+，()π2sin 22sin 3θθθ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭因为，则，故当时，取最小值.π06θ≤≤πππ332θ≤+≤ππ32θ+=()PA PB PC ⋅+ 022．已知复数的三角形式为.z cos isin z θθ=+(1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，z OZ OZ1OZy求复数（用代数形式表示）. z (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无z 2211ra a-+r 21u z z =++a 最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说r u a r 明理由.【答案】(1) z =(2)存在，时1r =a =【分析】（1）根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答1OZ 1OZ0案.（2）由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得[]2cos 10,3u θ=+∈2t a =111rt t-≠+u 出答案.【详解】（1）把按逆时针方向旋转15°，OZ所得向量， ()()1cos 15isin 15OZ θθ=+︒++︒因 ()1sin15sin 45302°=°-°， ()1cos15cos 45302︒=︒-︒==因为向量恰好在轴正半轴上，1OZy 则， ()cos 150θ+︒=()sin 151θ+︒=解得 ()cos cos 151501θθ=+︒-︒=+()sin sin 151510θθ=+︒-︒=-=故复数. z（2）存在，时 1r =a =由题知，21u z z =++()cos 2cos 1i sin2sin θθθθ=++++====，1θ==+因的实部为，则， z 2211ra a -+221cos 1ra a θ-=+令，则， ()20t a t =≥()22111111111r t r ra rt r y r a t t t+----+====-++++易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增，11y t=+[)0,∞+r 11r y r t +=-+[)0,∞+因，则， 1cos θ1-££[]2cos 10,3u θ=+∈则要使得只有最小值而无最大值，2cos 1u θ=+只需要即可，即，即，cos 1θ≠2211co 111s ra a rt t θ-==-≠++2rt t ≠+当时，，，不符合只有最小值无最大值； 0=t cos 1θ=-1u =当时，， 0t ≠21r t≠+因，则，又为正整数，则， 211t+>1r ≤r 1r ≥所以，1r =此时，当取得最小时，易得，221cos 1a a θ-=+2cos 1u θ=+01cos 2θ=-即，解得221112a a -=-+a =【点睛】关键点睛：本题主要考察复数及其三角形式，计算复数的模和辐角主值是解答的关键，特别注意：中，为的模，是的辐角，中的辐角，叫做的辐角()()cos isin 0z r r θθ=+>r z θz [)0,2πz 主值，记作，显然.arg z ()arg 2πZ z k k θ=+∈。

2022-2023学年江苏省苏州中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知灯塔A 在海洋观测站的北偏东20°的方向上，A ，C 两点间的距离为5海里．某时刻货船B 在海洋观测站C 的南偏东40°的方向上，此时B ，C 两点间的距离为3海里，该时刻货船B 与灯塔A 间的距离为（ ） A ．3海里B ．4海里C ．6海里D ．7海里2．下列说法正确的是（ ）A ．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形3．欧拉恒等式e i π+1＝0（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式e ix ＝cos x +i sin x 的特例：当自变量x ＝π时，e ix ＝cos π+i sin π＝﹣1．得e i π+1＝0．根据欧拉公式，复数z =e iπ7在复平面上所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在△ABC 中，若BC ＝5，CA ＝7，AB ＝8，则△ABC 的最大角与最小角之和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°5．已知向量a →与向量b →不共线，对任意t ∈R ，恒有|a →−tb →|≥|a →−2b →|，则（ ） A ．a →⊥b →B ．a →⊥(a →−2b →)C ．b →⊥(a →−2b →)D ．(a →+2b →)⊥(a →−2b →)6．已知α，β均为锐角，且sinα=2sinβ，cosα=12cosβ，则sin （α﹣β）＝（ ） A ．14B ．2√23C ．35D ．457．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，图象与x 轴的交点为M(52，0)，与y 轴的交点为N ，最高点P （1，A ），且满足NM ⊥NP ．若将f （x ）的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为g （x ），则g （0）＝（ ）A ．−√102B ．0C ．√102D ．√108．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，P ，Q 为线段BC 上的点，且BP →=PQ →=QC →．若AP →⋅AQ →=59，则∠BAC ＝（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列有关复数z 的叙述正确的是（ ） A ．若z ＝i 3，则z =iB ．若z ＝1+1i，则z 的虚部为﹣iC ．若z ＝a +ai （a ∈R ），则z 不可能为纯虚数D ．若|z ﹣i |＝1，则0≤|z |≤210．下列说法中正确的是（ ）A ．向量e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)不能作为平面内所有向量的一组基底 B ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →C ．△ABC 的外心O 满足OA →+OB →+√2OC →=0→，则△ABC 为等腰三角形 D ．设向量a →，b →满足|a →−b →|=4，a →⋅b →=1，则|a →+b →|=√511．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若△ABC 为钝角三角形，则a 2+b 2＞c 2 C ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有两解D ．若△ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB ＝4，AC ＝2，则下列各式正确的有（ ） A ．AG →⋅BC →=4B ．AO →⋅BC →=−6C ．OH →=OA →+OB →+OC →D ．AB →+AC →=4OM →+2HM →三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．化简sin22°+cos45°sin23°cos22°−sin45°sin23°= ．14．已知在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝4：3：2，则cos B 等于 ．15．设ω＞0，若存在a ，b （π≤a ＜b ≤2π）使得sin ωa +sin ωb ＝2，则ω的取值范围是 ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =√2，A =3π4，若λb +c 有最大值，则实数λ的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量a →=(1，1)，b →=(2，0)． （1）若a →+kb →与3a →−b →共线，求实数k 的值： （2）求向量a →与b →夹角θ的大小．18．（12分）设z 1，z 2均为复数，在复平面内，已知z 1对应的点的坐标为（m 2﹣4m +3，m ﹣1），且z 2对应的点在第一象限．（1）若复数z 1为纯虚数，求实数m 的值；（2）若|z 2|=√3，且z 2是关于x 的方程x 2﹣2ax +a 2+1＝0（a ∈R ）的一个复数根，求z 2−i z 2．19．（12分）已知函数f(x)=2√3sin(π−x)⋅cosx −2cos 2x(x ∈R)． （1）求函数f （x ）的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）＝﹣2，a =√3，求△ABC 的面积S 的最大值．20．（12分）如图，某公园改建一个三角形鱼塘，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．（1）若在△ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且∠CPB =2π3，求连廊AP +PC +PB 的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F 并连建造连廊，使得△DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，若△DEF 为正三角形，求△DEF 面积S 的最小值．21．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a+b a+c=sinC−A 2sinC+A 2． （1）若A =π4，求B ； （2）求ca+c b 的取值范围．22．（12分）设a ，b ，c ∈R ，函数f （x ）＝a cos x +b cos2x +c cos3x ． （1）当b ＝1，c ＝0时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）⩾﹣1恒成立，求a +b +c 的最大值及所对应的所有数组（a ，b ，c ）．2022-2023学年江苏省苏州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知灯塔A在海洋观测站的北偏东20°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东40°的方向上，此时B，C两点间的距离为3海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为（）A．3海里B．4海里C．6海里D．7海里解：根据题意画出简图，如图所示，可知∠BCA＝180°﹣（40°+20°）＝120°，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，由余弦定理得AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•cos∠BCA＝32+52﹣2×3×5×cos120°＝49，解得AB＝7．故选：D．2．下列说法正确的是（）A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形解：对于A，长方体是四棱柱，但是底面是平行四边形的直棱柱不是长方体，故选项A错误；对于B，有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确．故选：D ．3．欧拉恒等式e i π+1＝0（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式e ix ＝cos x +i sin x 的特例：当自变量x ＝π时，e ix ＝cos π+i sin π＝﹣1．得e i π+1＝0．根据欧拉公式，复数z =e i π7在复平面上所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：由题意z =e i π7=cos π7+isin π7，显然cos π7＞0，sin π7＞0， 所以在复平面中对应的点在第一象限． 故选：A ．4．在△ABC 中，若BC ＝5，CA ＝7，AB ＝8，则△ABC 的最大角与最小角之和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cos θ=52+82−722×5×8=12，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：180°﹣60°＝120°． 故选：B ．5．已知向量a →与向量b →不共线，对任意t ∈R ，恒有|a →−tb →|≥|a →−2b →|，则（ ） A ．a →⊥b → B ．a →⊥(a →−2b →)C ．b →⊥(a →−2b →)D ．(a →+2b →)⊥(a →−2b →)解：根据题意，对任意t ∈R ，恒有|a →−tb →|≥|a →−2b →|，即(a →−tb →)2≥(a →−2b →)2恒成立， 变形可得a →2−2a →⋅b →t +b →2t 2≥a →2−4a →⋅b →+4b →2，即b →2t 2−2a →⋅b →t −4b →2+4a →⋅b →≥0恒成立， 则有Δ=(−2a →⋅b →)2−4(−4b →2+4a →⋅b →)b →2≤0， 变形可得：(a →⋅b →−2b →2)2=[b →⋅(a →−2b →)]2≤0， ∴b →⋅(a →−2b →)=0， ∴b →⊥(a →−2b →)． 故选：C ．6．已知α，β均为锐角，且sinα=2sinβ，cosα=12cosβ，则sin （α﹣β）＝（ ）A ．14B ．2√23C ．35D ．45解：由sinα=2sinβ，cosα=12cosβ得sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1， 又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15， 又α，β均为锐角，所以sinβ=√55，cosβ=2√55，sinα=2√55，cosα=√55，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=2√55×2√55−√55×√55=35． 故选：C ．7．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，图象与x 轴的交点为M(52，0)，与y 轴的交点为N ，最高点P （1，A ），且满足NM ⊥NP ．若将f （x ）的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为g （x ），则g （0）＝（ ）A ．−√102B ．0C ．√102D ．√10解：由图可知，最小正周期T ＝4×（52−1）＝6， 所以ω=2πT =π3， 因为f （1）＝A ，所以sin （π3×1+φ）＝1，即π3+φ=π2+2k π，k ∈Z ， 因为|φ|＜π2，所以φ=π6， 所以f （x ）＝A sin （π3x +π6），令x ＝0，则f （0）＝A sinπ6=12A ，即N （0，12A ），所以NM →=（52，−12A ），NP →=（1，12A ），因为NM ⊥NP ，所以NM →•NP →=52−14A 2＝0，解得A ＝±√10（舍负）， 所以f （x ）=√10sin （π3x +π6），若将f （x ）的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为g （x ），则g （x ）=√10sin[π3（x +1）+π6]=√10cos π3x ，所以g （0）=√10． 故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，P ，Q 为线段BC 上的点，且BP →=PQ →=QC →．若AP →⋅AQ →=59，则∠BAC ＝（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解：在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，P ，Q 为线段BC 上的点，且BP →=PQ →=QC →， ∵AP →⋅AQ →=59，∴(AB →+BP →)⋅(AB →+BQ →)=59，∴(AB →+13BC →)⋅(AB →+23BC →)=59，∴(23AB →+13AC →)⋅(13AB →+23AC →)=59， ∴2AB →2+2AC →2+5AB →⋅AC →=5， ∴2×4+2×1+5AB →⋅AC →=5， ∴AB →⋅AC →=−1， ∴|AB →||AC →|cosA =−1， ∴cos A =−12， 即∠BAC ＝120°， 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列有关复数z 的叙述正确的是（ ） A ．若z ＝i 3，则z =iB ．若z ＝1+1i ，则z 的虚部为﹣iC ．若z ＝a +ai （a ∈R ），则z 不可能为纯虚数D ．若|z ﹣i |＝1，则0≤|z |≤2解：对于A ，z ＝i 3＝﹣i ，则z =i ，故A 正确，对于B ，z ＝1+1i =1﹣i ，则z 的虚部为﹣1，故B 错误，对于C ，若z ＝a +ai ，（a ∈R ）为纯虚数，则{a =0a ≠0，无解，所以z 不可能为纯虚数，故C 正确， 对于D ，设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ， ∵|z ﹣i |＝1，∴|a +（b ﹣1）i |＝1，即a 2+（b ﹣1）2＝1，表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆， ∴|z |表示圆上的点到原点的距离，故0≤|z |≤2，故D 正确． 故选：ACD ．10．下列说法中正确的是（ ）A ．向量e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)不能作为平面内所有向量的一组基底 B ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →C ．△ABC 的外心O 满足OA →+OB →+√2OC →=0→，则△ABC 为等腰三角形 D ．设向量a →，b →满足|a →−b →|=4，a →⋅b →=1，则|a →+b →|=√5 解：对A 选项：∵2−3=12−34，∴e 1→∥e 2→，∴这两个平面向量不能作为平面内所有向量的一组基底，∴A 选项正确； 对B 选项：∵两个向量不能比较大小，∴B 选项错误； 对C 选项：设△ABC 的外接圆的半径为r ，则OA →+OB →+√2OC →=0→⇒(OA →+OB →)2=(−√2OC →)2⇒r 2+r 2+2r 2⋅cos∠AOB =2r 2 ⇒cos ∠AOB =0⇒∠AOB =π2，由OA →+OB →+√2OC →=0→⇒(OA →+√2OC →)2=(−OB →)2⇒r 2+2r 2+2√2cos∠AOC =r 2 ⇒cos ∠AOC =−√22⇒∠AOC =3π4， 同理：∠COB =3π4，由圆的性质可知：BC ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴C 选项正确； 对D 选项：∵|a →−b →|=4，∴a →2+b →2−2a →⋅b →=16，∴可得a →2+b →2=18， ∴|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →⋅b →=√18+2=2√5，∴D 选项错误． 故选：AC ．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若△ABC 为钝角三角形，则a 2+b 2＞c 2 C ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有两解D ．若△ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C 解：对于A ：在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理可得2R sin A ＞2R sin B ，即sin A ＞sin B ，故A 正确； 对于B ：若△ABC 为钝角三角形，假设C 为钝角，由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab＜0，即a 2+b 2＜c 2，故B 错误； 对于C ：b sin A ＝4sin30°＝2，则b sin A ＜a ＜b ，如图所示：∴△ABC 有两解，故C 正确； 对于D ：∵tan （B +C ）=tanB+tanC1−tanBtanC，∴tan B +tan C ＝tan （B +C ）（1﹣tan B tan C ）， 在△ABC 中，tan （B +C ）＝tan （π﹣A ）＝﹣tan A ，∴tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ﹣tan A ，即tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，故D 正确， 故选：ACD ．12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB ＝4，AC ＝2，则下列各式正确的有（ ） A ．AG →⋅BC →=4B ．AO →⋅BC →=−6C ．OH →=OA →+OB →+OC →D ．AB →+AC →=4OM →+2HM →解：对于A ：∵G 为△ABC 的重心，∴AG →=23AM →=23（12AB →+12AC →）=13（AB →+AC →），∵BC →=AC →−AB →，∴AG →•BC →=13（AB →+AC →）•（AC →−AB →）=13（AC →²−AB →²）=13（4﹣16）＝﹣4，故A 错误，对于B ：∵O 为外心，∴AO →•AB →=12AB →²，AO →•AC →=12AC →²，∴AO →•BC →=AO →•（AC →−AB →）=12AC →²−12AB →²＝﹣6，故B 正确，对于C ：∵OG →=12GH →，∴OG →=13OH →，∵G 为重心，∴GA →+GB →+GC →=0→，∴OA →−OG →+OB →−OG →+OC →−OG →=0→，∴OG →=13（OA →+OB →+OC →），∴13OH →=13（OA →+OB →+OC →），即OH →=OA →+OB →+OC →，故C 正确； 对于D ：如图所示，由OH →=3OG →可得MG →=23MO →+13MH →，即GM →=23OM →+13HM →， 则有AB →+AC →=2AM →=6GM →=6（23OM →+13HM →）＝4OM →+2HM →，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．化简sin22°+cos45°sin23°cos22°−sin45°sin23°= 1 ．解：sin22°＝sin （45°﹣23°）＝sin45°cos23°﹣cos45°sin23°， cos22°＝cos （45°﹣23°）＝cos45°cos23°+sin45°sin23°， 则：sin22°+cos45°sin23°cos22°−sin45°sin23°=sin45°cos23°−cos45°sin23°+cos45°sin23°cos45°cos23°+sin45°sin23°−sin45°sin23°=sin45°cos23°cos45°cos23°=1，故答案为：1．14．已知在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝4：3：2，则cos B 等于1116．解：由正弦定理及sin A ：sin B ：sin C ＝4：3：2，知a ：b ：c ＝4：3：2，由余弦定理知，cos B =a 2+c 2−b 22ac =16+4−92×4×2=1116．故答案为：1116．15．设ω＞0，若存在a ，b （π≤a ＜b ≤2π）使得sin ωa +sin ωb ＝2，则ω的取值范围是 [94，52]∪[134，+∞） ．解：由sin ωa +sin ωb ＝2，知sin ωa ＝sin ωb ＝1， 而[ωa ，ωb ]⊆[ωπ，2ωπ]，存在a ，b （π≤a ＜b ≤2π），使得sin ωa +sin ωb ＝2，等价于存在整数m ，n （m ＜n ）使得ωπ≤2m π+π2＜2n π+π2≤2ωπ①，当ω≥4时，区间[ωπ，2ωπ]的长度不小于4π， 故必存在m ，n 满足①式；当0＜ω＜4时，注意到[ωπ，2ωπ]⊆（0，8π）， 故仅需考虑如下几种情况：（i ）ωπ≤π2＜5π2≤2ωπ，此时ω≤12且ω≥54，无解； （ii ）ωπ≤5π2＜9π2≤2ωπ，此时94≤ω≤52；（iii ）ωπ≤9π2＜13π2≤2ωπ，此时134≤ω≤92，又0＜ω＜4， 所以134≤ω＜4，综上，ω的取值范围为[94，52]∪[134，+∞）．故答案为：[94，52]∪[134，+∞）．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =√2，A =3π4，若λb +c 有最大值，则实数λ的取值范围是 （√22，√2） ． 解：由正弦定理得：b sinB=c sinC=a sinA=√2√22=2，所以λb +c ＝2（λsin B +sin C ）＝2λsin B +2sin （π4−B ）＝2λsin B +2（√22cos B −√22sin B ）＝（2λ−√2）sin B +√2cos B ， 当2λ−√2=0，即λ=√22时，λb +c =√2cos B ，没有最大值，所以λ≠√22，则λb +c =√(2λ−√2)2+2•sin （B +φ），其中tan φ=√22λ−2，要使λb +c 有最大值，则B +φ＝2k π+π2，可得φ＝2k π+π2−B ， 由于0＜B ＜π4，所以π4＜π2−B ＜π2，所以tan φ＝tan （π2−B ）＞1，即√22λ−√2＞1，解得√22＜λ＜√2，所以λ的取值范围是（√22，√2）．故答案为：（√22，√2）． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量a →=(1，1)，b →=(2，0)． （1）若a →+kb →与3a →−b →共线，求实数k 的值： （2）求向量a →与b →夹角θ的大小．解：（1）由已知a →+kb →=(1，1)+k(2，0)=(1+2k ，1)， 3a →−b →=3(1，1)−(2，0)=(1，3)， ∵a →+kb →与3a →−b →共线， ∴3（1+2k ）＝1，解得k =−13；（2）由已知cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=222=√22， 又θ∈[0，π]，∴θ=π4．18．（12分）设z 1，z 2均为复数，在复平面内，已知z 1对应的点的坐标为（m 2﹣4m +3，m ﹣1），且z 2对应的点在第一象限．（1）若复数z 1为纯虚数，求实数m 的值；（2）若|z 2|=√3，且z 2是关于x 的方程x 2﹣2ax +a 2+1＝0（a ∈R ）的一个复数根，求z 2−i z 2．解：（1）∵z 1对应的点的坐标为（m 2﹣4m +3，m ﹣1）， ∴z 1=m 2−4m +3+(m −1)i ，其中m ∈R ， ∵复数z 1为纯虚数，∴{m 2−4m +3=0m −1≠0，解得m ＝3， ∴m ＝3．（2）∵x 2﹣2ax +a 2+1＝0，∴（x ﹣a ）2＝﹣1，解得x ﹣a ＝±i ，即关于x 的方程x 2﹣2ax +a 2+1＝0的两根分别为a +i ，a ﹣i ， ∵z 2对应的点在第一象限， ∴z 2＝a +i ，且a ＞0， ∵|z 2|=√3，∴|z 2|=√a 2+12=√3，解得a =√2或a =−√2，由a ＞0，则a =√2， ∴z 2=√2+i ，即共轭复数z 2=√2−i ， ∴z 2−i z 2=√2−2i √2+i=(√2−2i)(√2−i)3=−√2i ．19．（12分）已知函数f(x)=2√3sin(π−x)⋅cosx −2cos 2x(x ∈R)． （1）求函数f （x ）的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）＝﹣2，a =√3，求△ABC 的面积S 的最大值．解：（1）f(x)=2√3sinx ⋅cosx −2⋅1+cos2x 2=√3sin2x −cos2x −1=2sin(2x −π6)−1， ∵﹣1≤sin （2x −π6）≤1， 所以﹣3≤f （x ）≤1， ∴f （x ）的值域为[﹣3，1]．（2）f(A)=2sin(2A −π6)−1=−2， 即sin(2A −π6)=−12，且−π6＜2A −π6＜11π6， ∴2A −π6=7π6，即A =2π3， 又3=a 2=b 2+c 2−2bccos 2π3=b 2+c 2+bc ≥3bc ，即bc ≤1，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴S △ABC =12bcsinA ≤12⋅1⋅√32=√34， ∴(S △ABC )max =√34．20．（12分）如图，某公园改建一个三角形鱼塘，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．（1）若在△ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且∠CPB =2π3，求连廊AP +PC +PB 的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F 并连建造连廊，使得△DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，若△DEF 为正三角形，求△DEF 面积S 的最小值．解：（1）∵点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且∠CPB =2π3，BC ＝1，∴∠PCB =π6且由余弦定理可得：cos ∠CPB =PB 2+PC 2−BC 22PB⋅PC =2PC 2−12PC2=−12， 解得PC =√33，又∵∠ACB =π2，∴∠ACP =π3，∵在Rt △ACB 中，AB ＝2，BC ＝1，∴AC =√3，在△ACP 中，由余弦定理得AP 2＝AC 2+PC 2﹣2AC •PC cos π3，解得AP =√213， ∴AP +PC +PB =√213+2√33=√21+2√33， ∴连廊的长为√21+2√33百米； （2）设正三角形DEF 的边长a ，∠CEF ＝α（0＜α＜π）， 则CF ＝a sin α，AF =√3−a sin α， 设∠EDB ＝∠1，可得∠1＝π﹣∠B ﹣∠DEB =2π3−∠DEB ，α＝π−π3−∠DEB =2π3−∠DEB ， ∴∠ADF ＝π−π3−∠1=2π3−α， 在△ADF 中，由正弦定理得：DF sin∠A =AF sin∠ADF，即asinπ6=√3−asinαsin(2π3−α)，即2a =√3−asinαsin(2π3−α)，化简得：a •[2sin （ 2π3−α）+sin α]=√3，∴a =32sinα+3cosα=3√7sin(α+θ)≥3√7=√217（其中，θ为锐角，且tan θ=√32），∴（S △ABC ）min =√34a min 2=√34×37=3√328．21．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a+b a+c=sinC−A2sinC+A 2． （1）若A =π4，求B ； （2）求ca+c b 的取值范围．（1）由正弦定理得a+b a+c=sinA+sinB sinA+sinC，又a+b a+c=sinC−A2sinC+A2，所以sinA+sinB sinA+sinC =sinC−A 2sinC+A 2， 因为sinA +sinC =2sinC+A 2cos C−A2， 所以sinA +sinB =2sin C+A 2cos C−A 2⋅sin C−A 2sin C+A 2=2cos C−A 2sin C−A2=sin(C −A)，因为sin B ＝sin （π﹣B ）＝sin （C +A ），所以sin A ＝sin （C ﹣A ）﹣sin （C +A ）＝﹣2cos C sin A ， 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，故cosC =−12， 又0＜C ＜π，所以C =2π3， 因为A =π4，所以B =π−A −C =π12． （2）由（1）得C =2π3， 所以由余弦定理得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2+ab ，记T =c a +c b =c(a+b)ab ，则T 2=c 2ab ⋅(a+b)2ab =(a b +b a +1)(a b +b a +2)，因为a ＞0，b ＞0，所以b a+a b≥2√b a ⋅ab=2，当且仅当ba=a b，即a ＝b 时，等号成立，即ba+a b≥2，故T 2≥3×4＝12，则T ≥2√3， 所以ca +c b≥2√3，即c a+c b∈[2√3，+∞)．22．（12分）设a ，b ，c ∈R ，函数f （x ）＝a cos x +b cos2x +c cos3x ． （1）当b ＝1，c ＝0时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）⩾﹣1恒成立，求a +b +c 的最大值及所对应的所有数组（a ，b ，c ）．解：（1）当b ＝1，c ＝0时，f （x ）＝a cos x +cos2x ＝2cos 2x +a cos x ﹣1＝2（cos x +a 4）2−a 28−1，设cos x ＝t ∈[﹣1，1]，y ＝2（t +a4）2−a 28−1，当−a4≤−1，即a ≥4时，y min ＝2（﹣1+a4）2−a 28−1＝﹣a +l ；当﹣1＜−a 4＜1，即﹣4＜a ＜4时，y min =−a 28−l ；当−a 4≥1，即a ≤﹣4时，y min ＝2（1+a4）2−a 28−1＝a +1． 综上所述：a ≥4时，f （x ）的最小值为﹣a +l ；﹣4＜a ＜4时，f （x ）的最小值为−a 28−l ；a ≤﹣4时，f （x ）的最小值为a +1．（2）f （π2）＝﹣b ≥﹣1，f （π）＝﹣a +b ﹣c ≥﹣1，故b ≤1，a +c ≤b +1≤2，a +b +c ≤3，取等号时b ＝1，a +c ＝2． 若a +b +c ＝3，则b ＝1，a +c ＝2，记cos x ＝t ∈[﹣1，1]，则cos3x ＝cos （x +2x ）＝cos x cos2x ﹣sin x sin2x ＝cos x （2cos 2x ﹣1）﹣2（1﹣cos 2x ）cos x ＝4t 3﹣3t ，则f （x ）＝at +b （2t 2﹣1）+c （4t 3﹣3t ）≥﹣1，将b ＝1，a ＝2﹣c 代人上式，4ct 3+2t 2+（2﹣4c ）t ≥0，即t （t +1）（2ct +1﹣2c ）≥0，即t （2ct +1﹣2c ）≥0，2ct 2+（1﹣2c ）t ≥0对于∀t ∈[﹣l ，1]恒成立，故{2c ＞01−2c =0，解得c =12，a =32．综上所述：当且仅当（a ，b ，c ）＝（32，1，12）时，有最大值3．。

2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知f(n)=i n −i −n (i 2=−1,n ∈N)，集合f(n)的元素个数是（ ）A.2B.3C.4D.无数个2. 已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC −a ，b 2+c 2−bc −a 2，则角C =（ ）A.π6B.π4C.π3D. π23. 若i 为虚数单位，a ，b ∈R ，且a +2ii =b +i ，则复数a +bi 的模等于( )A.√2B.√3C.√5D.√64. 在边长为3的等边三角形ABC 中， →BM =12→MC ，则→BA ⋅→BM =( )A.√32B.32C.34D.125. 等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美三角形．例如，正五角星由5个最美三角形和一个正五边形组成，每一个最美三角形的顶角都是36∘，如图所示，在黄金三f(n)=−(=−1,n ∈N)i n i −n i 2f(n)234ABC A B C a b c b cos C −a +−bc −b 2c 2a 2C =π6π4π3π2i a b ∈R =b +i a +2i i a +bi ()2–√3–√5–√6–√3ABC =BM −→−12MC −→−⋅=BA −→−BM −→−3–√2323412536∘∘角形ABC 中，BCAB =√5−12，根据这些信息，可求得cos144∘的值为( )A.1−√54B.−√5−12C.−1+√54D.−3+√58 6. 已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=15，则tanαtanβ=( )A.713B.−137C.137D.−713 7. 已知△ABC 是边长为4的正三角形，O 是△ABC 内（含边界）任意一点，2→AO ⋅→AB +→AO ⋅→BC 的最大值为( )A.12B.24C.6√3D.8√38. 如图，小明想测量斜坡CD 旁一棵垂直于地面AE 的树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60∘，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30∘，已知斜坡CD 的长度为20m ，斜坡顶点D 到地面的垂直高度DE =10m ，则树AB 的高度是（ ）A.20√3m B.30√3m C.30m D.40m 二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ABC =BC AB −15–√2cos 144∘1−5–√4−−15–√2−1+5–√4−3+5–√8sin(α+β)=23sin(α−β)=15=tan αtan β713−137137−713△ABC 4O △ABC 2⋅+⋅AO −→−AB −→−AO −→−BC −→−122463–√83–√CD AE AB C B 60∘D B 30∘CD 20m DE =10m AB20m3–√30m3–√30m40m9. 下面是关于复数z =2−1+i 的四个命题：p 1:|z |=2；p 2:z 2=2i ；p 3:z 的共轭复数为1+i ；p 4:z 的虚部为−1．其中的真命题为( )A.p 1B.p 2C.p 3D.p 410. 动点P(x,y)在单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间t =0时，点P 坐标为(√32,−12)，当t ∈[0,24]时，记动点P 的横、纵坐标之和x +y 为关于t （单位：秒）的函数g(t)，则关于函数g(t)描述正确的是（ ）A.g(5)=√2B.g(t)在[5,17]上单调递减C.g(13)=g(21)D.g(t)在区间[0,24]上有3个零点 11. 已知向量→a =(2,1)，→b =(1,−1)，→c =(m −2,−n)，其中m ，n 均为正数，且(→a −→b )//→c ，下列说法正确的是( )A.→a 与→b 的夹角为钝角B.向量→a 在→b 方向上的投影为√55C.2m +n =4D.mn 的最大值为2 12. 已知F 1，F 2分别是椭圆C:x 29+y 25=1的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )A.△PF 1F 2的周长为10B.△PF 1F 2面积的最大值为2√5C.当∠F 1PF 2=60∘时， △PF 1F 2的面积为5√32D.存在点P 使得→PF 1⋅→PF 2=0卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知向量→a =(1,3)，|→a −→b |=√13，→a ⋅→b =1，则|→b |=________. z =2−1+i :|z |=2p 1:=2i p 2z 2:z p 31+i :z p 4−1p 1p 2p 3p 4P (x,y)24t =0P (,−)3–√212t ∈[0,24]P x +y t g(t)g(t)g(5)=2–√g(t)[5,17]g(13)=g(21)g(t)[0,24]3=(2,1)a →=(1,−1)b →=(m −2,−n)c →m n (−)//a →b →c→a →b→a →b →5–√52m +n =4mn 2F 1F 2C :+=1x 29y 25P C △PF 1F 210△PF 1F 225–√∠P =F 1F 260∘△PF 1F 253–√2P ⋅=0PF 1−→−PF 2−→−=(1,3)a →−=∣∣∣a →b →∣∣∣13−−√⋅=1a →b →||=b →14. 若cos (π2−α)=−45，α∈(−π2,0)，则sin2α1+cos2α=________.15. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得∠BCD =15∘，∠BDC =30∘，CD =30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60∘，则塔高AB =________米．16. 在△ABC 中，若B =π3，tanC =2√3，AC =2，则AB =________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知复数z 1=m +i ，z 2=1−i ，m ∈R ．(1)当m =1时，求¯z 1⋅z 2的值；(2)若z 1−2z 2是纯虚数，求m 的值；(3)若z 1z 2在复平面上对应的点在第二象限，求m 的取值范围． 18.(1)已知：→a =(−3,1)，→b =(1,k)(k <0)且→a 与→b 的夹角为 135∘，若(−2→a +→b)⊥(→a +λ→b)，试求实数λ的值；(2)非零向量→a ，→b 满足 (→a +→b)⊥(2→a −→b)， (→a −2→b)⊥(2→a +→b) ,求→a 、→b 的夹角的余弦值. 19. 已知sin(α+π4)=√210,α∈(π2,π).求：(1)cosα 的值；(2)sin(2α−π4)的值.20. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinB =√3bcosA.(1)求角A 的大小；(2)若→AB ⋅→AC =6，a =√13，求sinB +sinC. 21. 如图，直角△ABC 中，点M ，N 在斜边BC 上（M ，N 异于B ，C ，且N 在M ，C 之间）．(1)若AM 是角A 的平分线，AM =3，且CM =2MB ，求三角形ABC 的面积；(2)已知AB =3，AC =3√3，∠MAN =π6，设∠BAM =θ．①若sinθ=√217，求MN 的长；②求△AMN 面积的最小值．22. 在△ABC 中，已知内角A =π3，边BC ＝2√3，设内角B ＝x ，周长为y（1）求函数y ＝f(x)的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．cos(−α)=−π245α∈(−,0)π2=sin 2α1+cos 2αAB B C D ∠BCD =15∘∠BDC =30∘CD =30C A 60∘AB =△ABC B =π3tan C =23–√AC =2AB ==m +i z 1=1−i z 2m ∈R (1)m =1⋅z ¯¯¯1z 2(2)−2z 1z 2m(3)z 1z 2m (1)=(−3,1)，=(1,k)(k <0)a →b →a →b →135∘(−2+)⊥(+λ)a →b →a →b →λ(2)a →b →(+)⊥(2−)a →b →a →b →(−2)⊥(2+)a →b →a →b →a →b →.参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】虚数单位i及其性质【解析】从最小的自然数开始代入函数式进行计算，分别计算n=0，1，2，3…，到做到第四个数字时，结果开始出现相同的数字，这样看出函数值变化的周期性，根据集合元素的特性知，共有三个元素．【解答】解：f(0)=i 0−i0=0，f(1)=i−i−1=i−1i=2i，f(2)=i2−i−2=0，f(3)=i3−i−3=−2i当n=4时，依次出现相同的结果，∴共有3个元素，故选B．2.【答案】A【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）利用正弦定理以及余弦定理进行解题即可.【解答】解：在△ABC中，已知b 2+c2−bc=a2，得到b 2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=12，因为0<A<π，解得A=π3，又bcosC=a，由余弦定理得b⋅a 2+b2−c22ab=a，即a2+b2−c22a=a，所以a 2+b2−c2=2a2，即a2+c2=b2，解得B=π2，由三角形内角和定理得C=π−A−B=π6.故选A.3.。

9．若关于 x 的不等式 1＋ k10．若数列{a n }满足 a 11＝ ， － ＝5(n ∈N *)，则 a 1＝ ．5211．已知正数 a ，b 满足 ＋ ＝2，则 a ＋b 的最小值是．① － ，a ＞b ＞0, m ＞0；tan A tan B c 2B C b c 高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分．满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在 答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝ ．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ．3．在平面直角坐标系内，若角 α 的终边经过点 P (1，－2)，则 sin2α＝ ．4．在△ABC 中，若 AC ＝ 3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则 BC ＝ ． 5．在△ABC 中，若 sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则 cos C ＝ ． 6．设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝2，S 3＝12，则 a 6＝ ． 7．若等比数列{a n }满足 a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则 a 5＋a 7＝ ． 8．若关于 x 的不等式 ax 2＋x ＋b ＞0 的解集是(－1，2)，则 a ＋b ＝ ． x －1≤0 的解集是[－2，1)，则 k ＝．1 1 1 a n+1 a n 1 2a b12．下列四个数中，正数的个数是 ．b ＋m ba ＋m a②( n ＋3＋ n )－( n ＋2＋ n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R；④ x 2＋3 －2，x ∈R.x 2＋2tan C tan C a 2＋b 213．在斜三角形 ABC 中，角 A ， ， 所对的边分别为 a ， ， ，若 ＋ ＝1，则＝ ．14．若数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ，则 a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分 14 分)设 f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R)． (1)当 t ＝3 时，求不等式 f (x )＞0 的解集；(2)已知 f (x )≥0 对一切实数 x 成立，求 t 的值．16．(本题满分 14 分)设函数 f (x )＝2cos 2 x ＋2 3sin x cos x (x ∈R)．(2)在 0＜x ≤ 的条件下，求 f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且 cos(B －C )－2sin B sin C ＝－ .如图，扇形 AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角 AOB 的大小等于 ，半径 OA ＝200m ，设正项数列{a n }满足：a 1＝ ，a n ＋1＝ ， n∈N *.2(1)求函数 f (x )的最小正周期；π317．(本题满分 14 分)12(1)求角 A 的大小；(2)当 a ＝5，b ＝4 时，求△ABC 的面积．18．(本题满分 16 分)已知{a n }是等差数列，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列，a 3＋a 4＝12． (1)求 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设 b n ＝10－a n ，数列{b n }的前 n 项和为 S n ，若 b 1≠b 2，则 n 为何值时，S n 最大？S n 最大 值是多少？19．(本题满分 16 分)π3点 M 在半径 OA 上，点 N 在 AB 弧上，且 MN ∥OB ，求观光道路 OM 与 MN 长度之和的最大值．AMNOB20．(本题满分 16 分)1 1 1＋a n，则 a n ＋1＞ 2 ｜＋｜a n ＋1－(1)证明：若 a n ＜ 5－1 5－1 2 2；(2)回答下列问题并说明理由：5－1 5－1是否存在正整数 N ，当 n ≥N 时｜a n － 2｜＜0.001 恒成立?1．6 － 2 4 2 5 4 211． (3＋2 2) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋216．(1)f (x )＝2sin (2x ＋ )＋(2)0＜x ≤ 时， ＜2x ＋≤ 5π6 ]是增函数，函数 y ＝sin x 在区间[ ， ]是增函数，在区间[ ， f (x )的值域是[2sin 5π 17．(1)由 cos(B －C )－2sin B sin C ＝－ 得 cos(B ＋C )＝－∴cos A ＝－ ，∵0＜A ＜π，∴A ＝(2) 由 c 2＋42－2×c×4 cos π 高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1 4 1 1 2． 3．－ 4．2 5．－ 6．12 7．80 8．1 9．3 10． 12二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．(1)当 t ＝3 时，不等式 f (x )＞0 与不等式 x 2－4x ＋3＞0 同解，得(x －1)(x －3)＞ 0， ……………………………………….......................3 分不等式 f (x )＞0 的解集是(－∞，1)∪(3．＋ ∞); …….......................6 分(2)不等式 f (x )≥0 对一切实数 x 成立等价于△＝(t ＋1)2－ 4t ≤0，....................... 10 分即(t －1)2≤0， 即 t ＝1． .......................14 分π61， …… .......................6 分所以，函数 f(x)的最小正周期为 π;....................... 8 分π π π3 6 66 ， ….......................10 分π π π 5π6 2 2 π6 ＋1， 2sin 2 ＋1]，即[2，3]． .......................14 分121 2， .......................4 分12π3 ;....................... 7 分3 ＝52及 c ＞0 得 c ＝2＋13，.......................11 分19．连 ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜ ,在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝ ，2π sin θ 3 πsin( －θ)∴MN ＝ sin θ， OM ＝ sin( －3 MN ＋OM ＝400 [ sin θ＋sin( －θ)]3 ＝ ( sin θ＋ cos θ－ sin θ)＝ sin( ＋3 3∵0＜θ＜ ，∴ ＜ ＋θ＜ ，∴当 θ＝ 时，sin( ＋θ) 最大，MN ＋OM 最大，最大值是 3＝ 1 π△ABC 的面积 △S ABC 2×4×(2＋ 13)×sin 3 ＝2 3＋39．........................ 14 分18．(1)设{a n }的公差为 d ，∵a 1，a 2，a 5 成等比数列，∴(a 1 ＋ d )2 ＝ a 1 (a 1 ＋ 4d ) ， ∴d ＝ 0 ， 或 d ＝ 2 a 1， .......................4 分当 d ＝0 时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝30， .......................6 分当d ≠0 时 ， ∵a 3 ＋ a 4 ＝ 12 ， ∴a 1 ＝ 1 ， d ＝ 2， ........................8 分∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝ 10 － a n ＝ 10 － (2n － 1) ＝ 11 － 2n ， .......................12 分当 n ≤5 时，b n ＞0， 当 n ≥6 时，b n ＜0， 当 n ＝5 时，S n 最大，S n 最大值是 9＋7＋5＋3＋1＝ 25． .......................16 分π32π3200 MN＝ ＝ sinOM， .......................4 分3400 400 π3 3θ)， .......................8 分π3400 3 1 400 π2 23 θ)， .......................13 分π π π 2π3 3 3 3 π π6 34003m ． .......................16 分20．(1)若 0＜a n ＜ 5－1则 a n ＋1＝ ＞ ＝1＋a n5－1 2，则 0＜1＋a n ＜1＋ 2 2 ｜＋｜a n ＋1－ 1 1 ｜a n －a n －1｜1＋a n 1＋a n －1 (1＋a n ) (1＋a n －1)∵a n ＞0，∴a n ＋1＝ ＜1 ( n ∈N *)，1＋a n －1 2 2 1＋a n －12∴｜a n ＋1－a n ｜＝ ≤ ｜a n －a n －1｜≤( )2｜a n －1－a n －2｜｜ a 2 － a 1 ｜ ＝ 5 6 5 数列{ ×( )n －1}递减， ×( )7－1＜0．001，2 ｜ ＋ ｜ a n ＋ 1 －5－1 2 ， 1 11＋5－12; ....................... 4 分(2)仿(1)可得，若 a n ＞5－1，则 a n ＋1＜5－12， ....................... 6 分则 n ≥2 时｜a n －5－1 5－1 2 2 ｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜ － ｜＝ ，1 1＋a n1 1 1 1 ∴n ≥2 时， a n ＝ ＞ ，又 a 1＝ ，1 ∴n ≥2 时 ， (1 ＋ a n ) (1 ＋ a n － 1) ＝ (1 ＋ ) (1 ＋ a n － 1) ＝ 2 ＋ a n －5≥ ，.................. 8 分｜a n －a n －1｜ 2 2 (1＋a n ) (1＋a n －1) 5 52 1 2 ≤…≤( )n － 1 ×( )n1， .......................12 分1 2 1 26 5 6 5只要 N ≥7，当 n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，－5－15－1即 ｜ a n －2立． .......................16 分｜ ＜ 0 ． 001 成。

江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，，则= .2.设全集，，，则= 。

3.已知集合，，则集合中含有元素的个数为。

4.函数在上的最大值与最小值的和为。

5.函数的定义域为。

6.已知函数（为常数），若在区间上是单调增函数，则的取值范围是。

7.定义在上的偶函数，当≥0时，是单调递增的，＜0，则函数的图像与轴交点个数是。

8.已知函数的最小值是3，则。

9.若函数，则。

10.已知函数是偶函数，在内单调递减，则实数。

11.设函数若是奇函数，则的值是。

12.设函数对任意满足，且，则的值为。

13.已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，则满足＜的的范围是。

14.对于实数和，定义运算“﹡”：﹡=，设且关于的方程（恰有三个互不相等的实根，则的取值范围是。

二、解答题1.已知集合，（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．2.已知函数。

（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）讨论函数的单调性（不用证明）。

3.已知函数，（1）若是偶函数，求的值。

（2）设，，求的最小值。

4.已知函数满足0＜＜1。

（1）求的取值范围；（2）若是偶函数且满足，当时，有，求在上的解析式。

5.某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已 知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计m ∈[3,4]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．6.已知二次函数 （1）若试判断函数零点个数； （2）若对任意的,且＜，（＞0），试证明：＞成立。