苏教版数学高一- 数学苏教必修一练习1.1集合的含义及其表示

1.1 集合的含义及其表示1、把集合{}243|0x x x -+=用列举法表示为( )A. {}1,3B. {}1|,3x x x ==C. {}2430x x -+=D. {}1,3x x ==2、已知集合{}10,A x x a =≤=则a 与集合A 的关系是( )A. a A ∈B. a A ∉C. a A =D. {}a A ∈3、给出下列关系:①12R ∈R ;③3N ∈;④Q .其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.44、下面四个说法中正确的是( )A. 10以内的质数组成的集合是{}0,2,3,5,7B.由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,1,2C.方程2210x x -+=的解集是{}1,1D. 0与{}0表示同一个集合5、已知,x y 为非零实数,则集合{}xy xyM m m x y xy ==++为( )A.{}0,3B.{}1,3C.{}1,3-D.{}1,3-6、对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“⊗”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时, m n m n ⊗=+;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m n mn ⊗=.则在此定义下,集合(){},|16M a b a b =⊗=中的元素个数是( )A.18个B.17个C.16个D.15个7、已知集合{},,A a b c =中任意2个元素的和构成的集合为{}1,2,3,则集合A 中任意2个元素的差的绝对值构成的集合是( )A. {}1,2,3B. {}1,2C. {}0,1D. {}0,1,28、方程组3{1x y x y +=-=-的解集不能表示为( )A. ()3{,}1x y x y x y +=⎧⎨-=-⎩B. ()1{,}2x x y y =⎧⎨=⎩C. {}1,2D. (){,1,2}x y x y ==9、对集合{}1,5,9,13,17用描述法来表示,其中正确的是() A. {x x 是小于18的正奇数} B. {41,,x x k k Z =+∈且5}k < C. {43,,x x t t N =-∈且5}t ≤ D. *{43,,x x s s N =-∈且5}s ≤10、集合(){}1, 2y y x x =-表示( )A.方程21y x =-B.点(),x yC.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.一次函数21y x =-图象上的所有点组成的集合11、若集合2{|10}x ax x ++=有且只有一个元素,则实数a 的取值集合是___________;12、给出下列说法:①集合{}3|? x N x x ∈=用列举法表示为{}1,0,1-;②实数集可以表示为{|x x 为所有实数}或{} R ;③方程组3,{1x y x y +=-=-的解集为{}1,2?x y ==. 其中不正确说法的个数为__________.13、以方程2560x x -+=和方程220x x --=的根为元素的集合中共有__________个元素.14、已知集合(){}(){},21,,|3|,A x y y x B x y y x a A ==+==+∈,且a B ∈,则a 为________.15、下列命题中正确的是__________(填序号).①0与{}0表示同一集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1;③方程()()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2;④集合{}|25x x <<可以用列举法表示.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：解方程2430x x -+=得1x =或3,应用列举法表示解集即为{}1,32答案及解析：答案：A10,所以a A ∈故选A.3答案及解析：答案：B解析：①12R ∈R ,错误;③3Q ∈正确;④Q ,错误,所以正确的个数为2,故选B4答案及解析：答案：B解析：10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7,故A 错误;由集合元素的互异性知{}1,2,3和{}3,1,2相等,故B 正确;方程2210x x -+=的解集应为{}1故C 错误;由集合的表示方法知0不是集合,故D 错误.故选B,5答案及解析：答案C解析 当0x >,0y > 时,3m =;当0x <,0y < 时,1m =-;当0x >,0y < 时,1m =-;当0x <,0y > 时,1m =-.故{}1,3M =-6答案及解析：解析：因为11516+=,21416+=,31316+=,41216+=,51116+=,61016+=,7916+=,8816+=,11616⨯=,集合M 中的元素是有序数对(),a b ,所以集合M 中的元素共有82117⨯+=个,故选B.考点:集合元素的概念、对新定义的理解和计数原理.7答案及解析：答案：B解析：由题意,不妨令 1?23a b b c a c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得 1?02a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以集合{}0,1,2A =.则集合A 中任意2个元素的差的绝对值是1,2,故集合A 中任意2个元素的差的绝对值构成的集合是{}1,2 :.故选B.8答案及解析：答案：C解析：原方程组的解为1{2x y == 其解集中只含有一个元素,可表示为A,B,D. C 不符合,故选C.9答案及解析：答案：D解析：A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有 3,7,11,15;B 中除给定集合中的元素外,还有-3, -7, -11,…;C 中0t =时,3x =-,不属于给定的集合;只有D 是正确的.故选D.10答案及解析：解析：本题中的集合是点集.其表示一次函数21y x =-图象上的所有点组成的集合.故选D.11答案及解析：答案：{|0a a =或1}4a =解析：12答案及解析：答案：①②③解析：对于①,集合{}3|? x N x x ∈=中的元素是指满足3x x =的自然数,故有0,1x =,用列举法表示即为{}0,1,故错误;对于②,实数集不能表示成{} R ,它表示的是有一个元素的集合,故不正确;对于③,方程的解集为(){}1,2?,故不正确.13答案及解析：答案：3解析：方程2560x x -+=的根是2,3,方程220x x --=的根是1,2-.根据集合中元素的互异性知,以两方程的根为元素的集合中共有3个元素.14答案及解析：答案：()2,5解析：集合,A B 都表示直线上点的集合, a A ∈表示a 是直线21y x =+上的点, a B ∈表示a 是直线3y x =+上的点,所以a 是直线21y x =+与3y x =+的交点,即a 为()2,5.15答案及解析：答案：②解析：对于①,0表示元素与{}0不同;对于③,不满足集合中元素的互异性,故不正确;对于④,无法用列举法表示,只有②满足集合中元素的无序性,是正确的.由Ruize收集整理。

苏教版高一数学必修一知识点归纳总结一】一、集合及其表示1、集合的含义：在数学中，“集合”指的是由一些特定的对象组成的整体，其中每个对象被称为元素。

例如，高一二班的所有同学构成了一个集合，每个同学都是这个集合的元素。

2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，例如集合A={a，b，c}，其中a、b、c是集合A中的元素，记作a∈A，反之，d不属于集合A，记作d∉A。

有一些特殊的集合需要记忆：自然数集N，正整数集N*或N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

集合的表示方法：列举法与描述法。

①列举法：{a,b,c……}②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。

例如{x∈R|x-3>2}，{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}③语言描述法：例如{不是直角三角形的三角形}例如，不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素。

A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。

集合A中是元素(x，y)，集合B中只有元素y。

3、集合的三个特性1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，例如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。

例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。

解：A=B，所以a=1，b=2.注意：该题有两组解。

2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}。

3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。

二、集合间的基本关系1.子集，A包含于B，记为A⊆B，有两种可能1)A是B的一部分。

2)A与B是同一集合，A=B，A、B两集合中元素都相同。

反之:集合A不包含于集合B,记作A⊈B。

例如，集合A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,3,4}，三个集合的关系可以表示为A⊆C，B=C。

[学业水平训练]一、填空题1.(2021·江阴市一中高一期中试题)假设1∈{x ,x 2} ,那么x ＝________．解析：由1∈{x ,x 2} ,那么x ＝1或x 2＝1 ,∴x ＝±1 ,当x ＝1时 ,x ＝x 2＝1 ,不符合元素的互异性 ,∴x ＝－1.答案：－12.给出以下关系：①12∈R ；② 2∉Q ；③|－5|∉N *； ④|－3|∈Q .其中正确的选项是________．(填序号)解析：|－5|＝5∈N * ,故③不正确；|－3|＝3∉Q ,故④不正确．其他两个均正确． 答案：①②3.集合A ＝{x 2 ,3x ＋2 ,5y 3－x } ,B ＝{周长等于20 cm 的三角形} ,C ＝{x |x －3＜2 ,x ∈R } ,D ＝{(x ,y )|y ＝x 2－x －1} ,其中用描述法表示集合的有________．解析：集合A 是用列举法描述的．答案：B 、C 、D4.如图 ,是用Venn 图表示的集合 ,用列举法表示为________；用描述法表示为________．解析：其中元素为－2 ,－1 ,0 ,1 ,2 ,3. 答案：{－2 ,－1 ,0 ,1 ,2 ,3} {x |－3<x <4 ,x ∈Z }5.假设集合{1 ,a ,b }与{－1 ,－b ,1}是同一个集合 ,那么a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 b ＝－1.当a ＝1 ,b ＝－1时 ,集合中有重复元素舍去．故a ＝－1 ,b ＝0.答案：－1 ,06.集合A ＝{x |x ＝|a |a ＋|b |b,a ,b 为非零实数}的元素个数为________． 解析：假设a >0 ,b >0 ,那么x ＝2；假设a <0 ,b <0 ,那么x ＝－2；假设a ,b 异号 ,那么xA ＝{－2 ,0 ,2}．答案：3二、解答题7.判断以下对象能否构成一个集合．如果能 ,请采用适当的方法表示该集合；如不能 ,请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级|体重超过75 kg 的同学；(3)方程x ＋y ＝3的非负整数解；(4)与π非常接近的有理数．解：(1)能．{x |x <5 ,x ∈Z }．(2)能．{高一年级|体重超过75 kg 的同学}．(3)能．{(0 ,3) ,(1 ,2) ,(2 ,1) ,(3 ,0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确 ,不符合集合元素确定性的特点． 8.用适当的方法表示以下集合 ,并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合．(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合．解：(1)满足条件的数为3 ,5 ,7 ,所以所求集合为B ＝{3 ,5 ,7}．集合B 是有限集．(2)所求集合可表示为C ＝{(x ,y )|x <0且y <0}．集合C 是无限集．(3)因为方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0 ,故无实根 ,所以由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合是空集．[（高|考）水平训练]一、填空题1.(2021·黄桥中学高一期中试题)集合M ＝{x 2－5x －5≠1} ,那么实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2－5x －5≠1 ,∴x 2－5x －6≠0 ,∴(x ＋1)(x －6)≠0 ,∴x ≠－1且x ≠6.故x 的取值范围为{x |x ∈R ,x ≠－1且x ≠6}．答案：{x |x ∈R ,x ≠－1且x ≠6}2.集合A ＝{x |x ∈N ,126－x∈N }, 那么集合A 用列举法表示为________． 解析：∵126－x∈N ,x ∈N ,∴6－x ＝1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,得x ＝5 ,4 ,3 ,2 ,0.∴集合A ＝{0 ,2 ,3 ,4 ,5}．答案：{0 ,2 ,3 ,4 ,5}二、解答题3.集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0 ,x ∈R } ,a 为实数．(1)假设A 是空集 ,求a 的取值范围；(2)假设A 是单元素集 ,求a 的值；(3)假设A 中至|多只有一个元素 ,求a 的取值范围．解：(1)假设A 是空集 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ＝22－4a <0 所以a >1. (2)假设A 是单元素集 ,那么①当a ＝0时 ,此时A ＝{x |2x ＋1＝0 ,x ∈R }＝{－12}； ②当a ≠0时 ,有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ＝22－4a ＝0 即a ＝1 , 此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0 ,x ∈R }＝{－1}．所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)假设A 中至|多只有一个元素 ,那么A 为空集或单元素集 ,所以a ＝0或a ≥1.4.集合A＝{x|x＝a＋2b ,a∈Z ,b∈Z} ,试判断以下元素x与集合A间的关系：(1)x＝0；(2)x＝12＋1；(3)x＝x1＋x2 ,其中x1∈A ,x2∈A；(4)x＝x1·x2 ,其中x1∈A ,x2∈A.解：(1)∵x＝0＝0＋0×2 ,取a＝b＝0 ,0∈Z ,∴x∈A；(2)∵x＝12＋1＝2－1＝(－1)＋1×2 ,－1∈Z ,1∈Z.∴x∈A；(3)∵x1∈A ,x2∈A.∴有a1 ,a2 ,b1 ,b2∈Z , 使得x1＝a1＋2b1 ,x2＝a2＋2b2 ,那么x＝x1＋x2＝(a1＋a2)＋2(b1＋b2) ,而a1＋a2∈Z ,b1＋b2∈Z ,∴x∈A；(4)由(3) ,x＝x1·x2＝(a1＋2b1)(a2＋2b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋2(a1b2＋a2b1) ,而a1a2＋2b1b2∈Z ,a1b2＋a2b1∈Z ,故x∈A.。

（苏教版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总第1章集合1.1 集合的含义及其表示A级基础巩固1．下列关系正确的是()①0∈N；②2∈Q；③12∉R；④－2∉Z.A．③④B．①③C．②④D．①解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N；②不正确，因为2是无理数，所以2∉Q；③不正确，因为12是实数，所以12∈R；④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z.答案：D2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．答案：D3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、第四象限内的点集解析：集合M 为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集．答案：D4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .答案：B5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1，1)}D ．(1，1)解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D.答案：C6．下列集合中为空集的是( )A ．{x ∈N|x 2≤0}B ．{x ∈R|x 2－1＝0}C ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}D ．{0}答案：C7．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a 的值是( )A ．－3或－1或2B ．－3或－1C ．－3或2D ．－1或2解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}．当a 2－a ＋2＝4时，得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{2，2，4}，不满足互异性；当a＝2时，A＝{2，4，－1}．所以a＝－3或a＝2.答案：C8．下列各组集合中，表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{(3，2)}，N＝{3，2}解析：A中集合M，N表示的都是点集，由于横、纵坐标不同，所以表示不同的集合；B中根据集合元素的互异性知表示同一集合；C中集合M表示直线x＋y＝1上的点，而集合N表示直线x＋y＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合．答案：B9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A．a＋b∈PB．a＋b∈QC．a＋b∈MD．a＋b不属于P，Q，M中任意一个解析：因为a∈P，b∈Q，所以a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z.所以a＋b∈Q.答案：B10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．解析：方程x2－2x－3＝0的两根分别是－1和3.由题意可知，a＋b＝2.答案：211．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________________．解析：由集合元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠±1.答案：a∈R且a≠±112．点(2，11)与集合{(x，y)|y＝x＋9}之间的关系为__________________．解析：因为11＝2＋9，所以(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}．答案：(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}13．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A，且a∈B，则a为________．解析：集合A，B都表示直线上点的集合，a∈A表示a是直线y ＝2x＋1上的点，a∈B表示a是直线y＝x＋3上的点，所以a是直线y＝2x＋1与y＝x＋3的交点，即a为(2，5)．答案：(2，5)14．下列命题中正确的是________(填序号)．①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．解析：对于①，0表示元素与{0}不同；对于③，不满足集合中元素的互异性，故不正确；对于④，无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的．答案：②B 级 能力提升15．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解：(1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R.集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条y ＝x 2＋1，表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；即满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|点(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 017的值．解：由题知a ≠0，故b a＝0，所以b ＝0.所以a 2＝1， 所以a ＝±1.又a ≠1，故a ＝－1.所以a 2 016＋b 2 017＝(－1)2 016＋02 017＝1.17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.又因为2∈A，所以11－2＝－1∈A.因为－1∈A，所以11－（－1）＝12∈A.因为12∈A，所以11－12＝2∈A.所以A中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．所以集合A不可能是单元素集合．第1章集合1.2 子集、全集、补集A级基础巩固1．下列集合中，不是集合{0，1}的真子集的是()A．∅B．{0} C．{1} D．{0，1}解析：任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集．答案：D2．(2014·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2} C．{5} D．{2，5}解析：因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}，故∁U A＝{2}．答案：B3．若集合A＝{a，b，c}，则满足B⊆A的集合B的个数是() A．1 B．2 C．7 D．8解析：把集合A的子集依次列出，可知共有8个．答案：D4．(2014·湖北卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，5，6}，所以∁U A＝{2，4，7}．答案：C5．已知M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N 之间关系的Venn图是()解析：M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，所以N M.答案：C6．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4解析：由A B，结合数轴，得a≥4.答案：D7．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________________．解析：集合A和B的数轴表示如图所示．由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}8．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则实数a的值为________．解析：由A⊇B，得a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B 的包含关系是________．解析：因为∁U A＝{x|x＜0}，∁U B＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}，所以∁U A∁U B.答案：∁U A∁U B10．集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|a＋1≤x<4a＋1}，若B A，则实数a的取值范围是________．解析：分B＝∅和B≠∅两种情况．答案：{a|a≤1}11．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x|x2－x＋a＝0}，所以方程x2－x＋a＝0有实根．则Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14. 答案：a ≤1412．已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，B ⊆A ，求a 的值．解：因为B ⊆A ，A ≠∅，所以B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ， 所以－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上所述，a ＝0或a ＝12. B 级 能力提升13．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，所以C 中必须含有1，2，即求{3，4}的子集的个数，为22＝4.答案：D14．已知：A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，定义某种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中最大的元素是________，集合A *B 的所有子集的个数为________．解析：A *B ＝{2，3，4，5}，故最大元素为5，其子集个数为24＝16.答案：5 1615．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}．若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，则a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }，U ＝R ， 所以∁U B ＝{x |x ＜a }．要使A ⊆∁U B ，只需a ＞－2(如图所示)．答案：{a |a ＞－2}16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：①若B ＝∅，则应有m ＋1>2m －1，即m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，⇒2≤m ≤3.综上即得m 的取值范围是{m |m ≤3}．17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B A ，求a 的值．解：A ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1，3}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B A .若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a . 由B A ，可知1a ＝－1或1a＝3， 即a ＝－1或a ＝13. 综上可知a 的值为0，－1，13. 18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．解：由题意得∁R A＝{x|x≥－1}．(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁R A.(2)若B≠∅，则由B⊆∁R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－12≤a＜3.综上可得a≥－12.第1章集合1.3 交集、并集A级基础巩固1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x －2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}．答案：B2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝()A．∅B．{x|－3<x<3}C．{x|－3<x<2} D．{x|2<x<3}答案：C3．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}, A∩∁U B＝{9}，则A＝()A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}答案：D4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B 为()A．{x＝1或y＝2} B．{1，2}C．{(1，2)} D．(1，2)（x，y）|4x＋y＝6，3x＋2y＝7＝{(1，2)}．解析：A∩B＝{}答案：C5．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2解析：因为A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，…}又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}．故A∩B中有2个元素．答案：D6．(2014·辽宁卷)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}解析：易知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}．所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．答案：D7．已知集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1，2，3}．答案：{1，2，3}8．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则(∁S A)∩B ＝________．解析：∁S A＝{x|x>1}．答案：{x|1<x≤5}9．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，则a的取值范围为________．解析：如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.答案：{a|1＜a≤3}10．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解分别为M和S，且M∩S＝{3}，则pq＝________．解析：因为M∩S＝{3}，所以3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p＝8，q＝6.则pq＝4 3.答案：4 311．满足条件{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A的个数是________．解析：A可以是集合{5}，{1，5}，{3，5}或{1，3，5}．答案：412．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{}x |2x ＋a ＞0，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)因为C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， 所以－a 2＜2.所以a ＞－4. B 级 能力提升13．集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B 为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析：因为A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．答案：C14．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB )B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：阴影部分的元素属于集合B 而不属于集合A ，故阴影部分可表示为B ∩(∁U A )．答案：B15．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x＜k ＋1，k ＜2}，且B ∩(∁U A )≠∅，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得∁U A ＝{x |1＜x ＜3}，又B ∩∁U A ≠∅，故B ≠∅，结合图形可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜k ＋1，1＜k ＋1＜3，解得0＜k ＜2. 答案：0＜k ＜216．已知集合A ＝{1，3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？实数x 若存在，求出集合A 和B ；若不存在，说明理由．解：假设存在x ，使B ∪(∁U B )＝A .所以B A .(1)若x ＋2＝3，则x ＝1符合题意．(2)若x ＋2＝－x 3，则x ＝－1不符合题意．所以存在x ＝1，使B ∪(∁U B )＝A ，此时A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}．17．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .若B ＝∅时，2a ＞a ＋3，则a ＞3；若B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2或a ＞3}．18．设集合A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≤－1. 所以a ＝2或a ≤－12. 所以实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤－12或a ＝2. (2)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①B ＝∅时，满足B ⊆A ，则2a >a ＋2⇒a >2.②B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≥4. 解之得a ≤－3或 a ＝2.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤－3或a ≥2}．章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来． 解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求． ②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4.又因为因为A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B⊆A，利用数轴所以－p4≤－1.所以p≥4，故实数p的取值范围为{p|p≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P＝{(x，y)|x＋y＜4，x，y∈N*}，则集合P 的非空子集的个数是()A．2 B．3 C．7 D．8解析：当x＝1时，y＜3，又y∈N*，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y＜2，又y∈N*，因此y＝1；当x＝3时，y＜1，又y∈N*，因此这样的y不存在；当x≥4时，y＜0，也不满足y∈N*.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a －3≤5，即a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}．(2)当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R}＝R.综上可知，当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合∁A (A ∩B )＝________．解析：因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x <1或x >3}，所以A ∩B ＝{x |－4<x <1或3<x <4}．所以∁A (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}四、利用集合的运算求参数[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解．解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅； 当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析：每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：因为Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.答案：B2．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝()解析：由于A是数集，B是点集，故A∩B＝∅.答案：D3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是() A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．0∉A解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.答案：A4．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝() A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}解析：因为A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B ＝{0，2}．答案：C5．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为()A．1 B．0C．0或1 D．以上答案都不对解析：当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k ＝1.故k＝0或k＝1.答案：C6．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()解析：空集是任何集合的子集，故④正确，②错误；③不正确，如∅只有一个子集，即它本身；结合空集的定义可知①不正确；故只有1个命题正确．答案：B7．(2015·山东卷)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}．则A ∩B ＝( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)解析：易知B ＝{x |1＜x ＜3}，又A ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2，3)．答案：C8．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，5≤a ＋2⇒3≤a ≤4. 答案：B9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪∁U B 等于( )A ．{x |x <－1或x >0}B ．{x |x <－1或x >1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |x <－2或x ≥0}解析：∁U B ＝{x |x <－1或x >0}，所以A ∪∁U B ＝{x |x <－1或x >0}．答案：A10．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅解析：由题意A ∪B ＝{1，2，3}，又B ＝{1，2}．所以∁U B ＝{3，4}，故A ∩∁U B ＝{3}．答案：A11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则(∁U A )∪B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：因为A ＝{x |x ≤1}，所以∁U A ＝{x |x ＞1}．所以(∁U A )∪B ＝{x |x ＞0}．答案：D12．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2，3)∈A ∩(∁U B )，则下列选项正确的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：由P (2，3)∈A ∩(∁U B )得P ∈A 且P ∉B ，故⎩⎪⎨⎪⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M ∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．答案：{1，3，5}14．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1，2)∈A ∩B ，则a ＋b ＝________．解析：因为(1，2)∈A ∩B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73. 故a ＋b ＝4.答案：415．设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合{x |x ∈A ，且x ∉A ∩B }＝________．解析：A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >3或x <1}，A ∩B ＝{x |3<x <4或－4<x <1}，所以{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}16．设集合M ＝{x |2x 2－5x －3＝0}，N ＝{x |mx ＝1}，若N ⊆M ，则实数m 的取值集合为________．解析：集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12.若N ⊆M ，则N ＝{3}或⎝ ⎛⎭⎬⎫－12或∅.于是当N ＝{3}时，m ＝13；当N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12时，m ＝－2；当N ＝∅时，m ＝0.所以m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2.0，13 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)17．(本小题满分10分)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1，2}， 所以2a ＝1或2a＝2，从而a ＝1或a ＝2. 故集合C ＝{0，1，2}．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(2)当a ＞1时，满足A ∩C ≠∅.因此a 的取值范围是{a |a ＞1}．19．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B ≠A 时：①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件．综上可知a ＝1或a ≤－1.20．(本小题满分12分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}. 所以A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)因为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3. 所以所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜3}.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何值时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解：因为B ＝{2，3}，C ＝{2，－4}，由A ∩B ≠∅且A ∩C ＝∅知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解， 所以a 2－3a －10＝0.解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{3，－5}，适合A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立；当a ＝5时，A ＝{2，3}，A ∩C ＝{2}≠∅，故舍去．所求a 的值为－2.22．(本小题满分12分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}．(1)已知a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝3，所以集合P ＝{x |4≤x ≤7}．所以∁R P ＝{x |x ＜4或x ＞7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x ＜4}．(2)因为P ∪Q ＝Q ，所以P ⊆Q .①当a ＋1＞2a ＋1，即a ＜0时，P ＝∅，所以P ⊆Q ；②当a ≥0时，因为P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5.所以0≤a ≤2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．第2章 函数2.1 函数的概念2.1.1 函数的概念和图象A 级 基础巩固1．下列各图中，不可能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案：B2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤1. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，适合题意．答案：A4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )A ．[2a ，a ＋b ]B ．[0，b －a ]C ．[a ，b ]D ．[－a ，a ＋b ] 答案：C5．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：A 、C 、D 的定义域均不同． 答案：B6．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1，4]上的值域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(0，3] C ．[－1，3] D ．(－1，3)解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，再结合二次函数的图象(如右图所示)可知，－1≤y ≤3.答案：C7．已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．(－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由于f (x )的定义域为(－3，0) 所以－3＜2x －1＜0，解得－1＜x ＜12.故y ＝f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.答案：B8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋x 2－1x ＋2的定义域是__________________．解析：要使f (x )有意义，必有⎩⎨⎧x －12≠0，x ＋2＞0，解得x ＞－2且x ≠12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．解析：因为f (x )的定义域为[0，1]，所以0≤x ＋2≤1.所以－2≤x ≤－1，即f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]10．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：因为点(－1，4)在y ＝f (x )的图象上， 所以4＝－a ＋2.所以a ＝－2. 答案：－211．若f (x )＝ax 2－2，a 为正常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________．解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2， 所以f ()f （2）＝a ·(2a －2)2－2＝－ 2. 所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正常数，所以2a －2＝0.所以a ＝22.答案：2212．已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， 所以f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0. 所以f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1. B 级 能力提升13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解析：因为f (x )的定义域为[0，2]，所以g (x )＝f （2x ）x －1需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x ＜1.所以g (x )的定义域为[0，1)． 答案：B14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：因为汽车先启动，再加速、匀速，最后减速，s 随t 的变化是先慢，再快、匀速，最后慢，故A 图比较适合题意．答案：A15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______． 解析：因为f (x )＝x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1，所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.所以f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.答案：7216．已知函数f (x )＝2x －1－7x .(1)求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111； (2)求函数的定义域．解：(1)f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝217＝277， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝2111－1－711＝411－411＝0. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，解得⎩⎨⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17. 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤17.17．已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值．解：已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)， 因为1ax ＋1≥0，a ＜0，所以x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]． 因为函数在区间(－∞，1]上有意义， 所以(－∞，1]⊆(－∞，－a ]． 所以－a ≥1，即a ≤－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]．18．试画出函数f (x )＝(x －2)2＋1的图象，并回答下列问题： (1)求函数f (x )在x ∈[1，4]上的值域； (2)若x 1＜x 2＜2，试比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 解：由描点法作出函数的图象如图所示．(1)由图象知，f (x )在x ＝2时有最小值为f (2)＝1， 又f (1)＝2，f (4)＝5.所以函数f (x )在[1，4]上的值域为[1，5]． (2)根据图象易知，当x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＞f (x 2)．第2章 函数 2.1 函数的概念 2.1.2 函数的表示方法A 级 基础巩固1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，所以f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100. 答案：A2．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－3解析：f (f (x ))＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3. 答案：B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：由题意设f (x )＝a (x －1)2＋b (a ＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a ＋b ＝0，a ＝－b ，故符合条件的是D.答案：D4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.答案：D5．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x 2x 2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15. 答案：C6．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32解析：f (－2)＝(－2)2＝4. 所以f (f (－2))＝f (4)＝1－4＝－1. 答案：A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：38.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f (f (f (2))＝________．解析：由图象及已知条件知f (2)＝0，即f (f (f (2)))＝f (f (0))， 又f (0)＝4，所以f (f (0))＝f (4)＝2. 答案：29．若某汽车以52 km/h 的速度从A 地驶向260 km 远处的B 地，在B 地停留32h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地．则汽车离开A 地后行走的路程s 关于时间t 的函数解析式为________________．解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212. 答案：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212 10．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，1x ，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＞a 恒成立． 当a ＜0时，f (a )＝1a ＞a ，所以a ＜－1.综上a 的取值范围是a ≥0或a ＜－1. 答案：{a |a ≥0或a ＜－1}11．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，所以9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5. 比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.所以f (x )＝x 2－4x ＋8.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：易知f (0)＝2，所以f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：A14．任取x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可． 答案：D15．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( ) A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60， f (A )＝60A＝15⇒A ＝16. 答案：D16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f (f (2))的值；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23∉[0，2]，故无解． 当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.因此f (x 0)＝8时，x 0的值为4.17．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2 元/km ，超过18 km 的部分1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？解：(1)设车费为y 元，出租车行驶里程为x km.由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6.所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4.所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：t /天 5 15 20 30Q /件 35 25 20 10(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式；(2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N.(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．所以日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N. 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N. 若0＜t ＜25(t ∈N)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N)，则当t ＝25时，y max ＝1 125.因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．第2章 函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性A 级 基础巩固1.函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1，2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1，2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1，4]上是减函数D ．函数f (x )在[2，4]上是增函数解析：增函数具有“上升”趋势；减函数具有“下降”趋势，故A正确．答案：A2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则() A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a＋3)＞f(a－2) D．f(6)＞f(a)解析：因为a＋3＞a－2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a＋3)＞f(a－2)．答案：C3．y＝2x在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是()A．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析：因为函数y＝2x在[2，4]上是单调递减函数，所以y max＝22＝1，y min＝24＝12.答案：A4．函数y＝x2－6x的减区间是() A．(－∞.2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故函数的单调减区间是(－∞，3]．答案：D5．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数； ④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，由f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0知f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，①正确；②③④均不正确．答案：B6．已知函数f (x )＝4x －3＋x ，则它的最小值是( )A ．0B ．1 C.34 D ．无最小值解析：因为函数f (x )＝4x －3＋x 的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，且是增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34. 答案：C7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________________．解析：由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．答案：(－∞，1]和(1，＋∞)8．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (2x －1)＞f (1)的实数x 的取值范围是________．解析：因为f (x )在R 上是减函数，且f (2x －1)＞f (1)，所以2x －1＜1，即x ＜1.答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为直线x ＝1，所以当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1.又因为f (0)＝3，所以f (2)＝3.所以m ≤2.故1≤m ≤2.答案：[1，2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924， 所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：12011．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2，2]上的单调性．解：因为函数图象的对称轴x ＝2a ＋1，所以当2a ＋1≤－2，即a ≤－32时，函数在[－2.2]上为增函数．当－2＜2a ＋1＜2，即－32＜a ＜12时， 函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1，2]上是增函数．当2a ＋1≥2，即a ≥12时，函数在[－2，2]上是减函数． 12．已知f (x )＝x ＋12－x，x ∈[3，5]． (1)利用定义证明函数f (x )在[3，5]上是增函数；(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )在区间[3，5]上是增函数，证明如下：设x 1，x 2是区间[3，5]上的两个任意实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12－x 1－x 2＋12－x 2＝3（x 1－x 2）（2－x 1）（2－x 2）. 因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＜0，2－x 2＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间[3，5]上是增函数．(2)因为f (x )在区间[3，5]上是增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值为－4，当x ＝5时，f (x )取得最大值为－2.B 级 能力提升13．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40)B ．[40，64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)。

．集合的含义及其表示第课时集合的含义．通过实例理解并掌握集合的有关概念．．初步理解集合中元素的三个特征．(重点)．体会元素与集合的属于关系．(重点)．掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点)[基础·初探]教材整理集合的含义阅读教材开始至倒数第四自然段，完成下列问题．．元素与集合的概念确定的一般地，一定范围内某些、不同的对象的全体构成一个集合．集合每一个中的对象称为该集合的元素，简称元．．集合中元素的特性确定性集合中元素的特性：、、．无序性互异性判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()漂亮的花可以组成集合．( ) ()在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素．( )【解析】()×.因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．()×.因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．【答案】()×()×教材整理元素与集合的关系阅读教材最后三个自然段，完成下列问题．．元素与集合的表示()元素的表示：通常用小写拉丁字母，，，表示集合中的元素．…，，，()集合的表示：通常用大写拉丁字母表示集合．…．元素与集合的关系∈)，是集合中的元素，记作()属于(符号：，读作∈．“”属于)，不是集合中的元素，记作∉()不属于(符号：或∉或．，读作”不属于“．常用数集及表示符号用“∈”、“∉”填空．．；－；；*；.【解析】因为不是自然数，故∉；因为－是整数，故－∈；因为是实数，故∈；因为不是正整数，故∉*；因为是有理数，故∈.。

课后训练千里之行 始于足下1．下列对象能构成集合的序号是________．①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R ；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵．2．给出下列6个关系：12∈R Q ,0∈{0}，tan45°∈Z ，0∈N *，π∈Q ，其中，正确的个数为________．3．（1）“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________．（2）设集合6{}3A x x=∈∈-N N ，用列举法表示为____________． 4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是________．5．下列结论中，正确的个数是________．①cos30°∈Q ；②若a -∈N ，则a ∈N ；③方程x 2＋4＝4x 的解集中含有2个元素；④若a ∈N *，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；⑤|－3|∈N *.6．下列结论中，正确的序号是________．①若以集合S ＝{a ，b ，c }中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x ＞x 的实数x 组成一个集合；20y +=的解集为{2，－2}；④方程（x －1）2（x ＋5）（x －3）＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集．7．已知二元素集A ＝{a －3,2a －1}，若－3∈A ，求实数a 的值．8．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中最多有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．百尺竿头 更进一步设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1S ∉；②若a ∈S ，则11S a∈-，请解答下列问题：（1）若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a ∈S ，则11S a-∈；（3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由． 参考答案与解析千里之行1．②③ 解析：①中的“优秀”、④中的“鲜艳”标准不明确，不能构成集合．2．3 解析：12R ∈,0∈{0}，tan45°＝1∈Z 正确；3Q ∈，0∈N *，π∈Q 不正确． 3．（1）{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z } （2）{0,1,2}4．±1 解析：由A ＝B 得x 2＝1，∴x ＝±1.5．1 解析：只有⑤正确．∵ 3cos302=o Q ，∴①不正确．取a ＝0.1，则－0.1N,0.1N ，∴②不正确；∵方程x 2＋4＝4x 的解集中只含有一个元素2，∴③不正确；∵a ∈N *，∴a 的最小值为1，∵b ∈N ，∴b 的最小值为0，∴a ＋b 的最小值为1，故④不正确．6．①②④ 解析：由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x ＞x ，得x 为全体实数．故x 构成实数集R ，②正确；220x y -+=的解为x ＝2且y ＝－2，所以方程的解集表示不正确，应为含22x y =⎧⎨=-⎩的单元素集，③错误；④中方程有一个重根x ＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故不正确．7．解：∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时A ＝{－3，－1}，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3}，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.8．解：（1）当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0.此时12x =-，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0时，即a ＝1时，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．（2）A 中最多含有一个元素，即A 中有一个元素或A 中没有元素．当Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1时，原方程无实数解，结合（1）知，当a ＝0或a ≥1时，A 中最多有一个元素．（3）A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由Δ＞0得a ＜1，结合（1）可知，a ≤1.百尺竿头解：（1）∵2∈S,2≠1，∴1112S =-∈-.∵－1∈S ，－1≠1，∴111(1)2S =∈--.∵12S ∈，112≠，∴12112S =∈-，∴－1，12S ∈，即集合S 中另外两个数分别为－1和12.（2）证明：∵a∈S，∴11Sa∈-，∴111111Saa=-∈--（a≠0，若a＝0，则111Sa=∈-，不合题意）．（3）集合S中的元素，不能只有一个，理由：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知11aa=-，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解．∴11aa≠-.因此集合S不能只有一个元素．。

课后导练基础达标1.给出下列表述:①鲜艳的颜色;②中国古代四大发明;③比较贵的手机;④英文字母的全体.以上能构成集合的是( )A.①②B.②④C.①②④D.①③④解析：①③对于鲜艳和比较贵无明确的标准，②④中的元素能满足元素的特性，故选B. 答案：B2.给出下列关系:①21∈R;②2∉Q;③|-3|∉N *;④0∈N.其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析：①②④正确，故选C.答案：C3.已知集合S={a,b,c}中的3个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形解析：由集合元素的互异性知a 、b 、c 一定不相同，故选C.答案：C4.集合M 与N 表示同一个集合的是( )A.M={5,-6},N={-6,5}B.M={(2,3)},N={(3,2)}C.M={0},N=∅D.M={x|x ≤-1},N={x|x<-1}解析：B 中两个元素不是同一点，C 中M 集合有一元素0，而N 集合没有元素是空集，D 中集合M 比集合N 多元素-1，故选A.答案：A5.由实数x,-x,|x|,2x ,-33x 组成的集合中，最多含有元素（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个解析：已知实数即为x,-x,|x|,|x|，-x,由集合元素的互异性知，应选A.答案：A6.（1）已知M={x|x 为平行四边形}，a 是矩形，b 是梯形，则a________M,b_________M.（2）若A={x|x 2=x},则-1_________A,若B ＝{x ∈N|1≤x ≤10},则8__________B.解析：（1）有两条对角线相等的平行四边形是矩形，∴a ∈M 而梯形两组对边中只有一组对边平行，∴b ∉M.（2）由x 2=x 得x=0或x=1,∴-1∉A.而8∈B.答案：（1）∈ ∉ （2）∉ ∈7.集合A 只含有三个元素2、4和6,若a ∈A,则6-a ∈A,那么a 的值是____________. 解析：∵2∈A,6-2∈A,4∈A,6-4∈A,6∈A,6-6∉A,∴a=2或a=4.答案：2或48.集合A={x|ax 2+2x+1=0}中只有一个元素时，求a 的取值集合.解析：当a=0时，方程为2x=1，∴x=-21，符合题意. 当a ≠0时，方程为二次方程要使方程有一解，则Δ=4-4a=0,∴a=1.综上有a 的取值集合为{0,1}.9.若tt +-11∈{t}，求t 的值. 解析：由题意得 t t +-11=t, ∴1-t=t+t 2,∴t 2+2t-1=0,∴t=-1±2.10.设A={2,3,a 2+2a-3},B={|a+3|,2},已知5∈A 且5∉B,求a 的值和集合B.解析：∵5∈A,∴a 2+2a-3=5,得a=-4或a=2.而当a=2时|a+3|=5，不合题意.∴a=-4.当a=-4时，|-4+3|=1,∴B={1,2}.∴a=-4,B={1,2}.综合训练11.含有三个实数的集合可表示为{a,ab ,1}={a 2,a,0},则a 2 006+b 2 005等于（ ） A.1 B.-1 C.0 D.2 解析：由集合相等的条件知：a b =0且a 2=1, 则b=0,a=-1，故a 2 006+b 2 005=1.答案：A12.已知A={x|x<5}，a=26，则（ ）A.a ∈AB.a ∉AC.{a}∈AD.以上都不对 解析：∵(26)2=24<25,∴a ∈A.答案：A13.集合{3,x,x 2-2x}中，x 应满足的条件是_____________.解析：由集合元素的互异性知x ≠3,x 2-2x ≠3,x ≠x 2-2x 得x ≠3且x ≠0且x ≠-1.答案：x ≠3且x ≠0且x ≠-114.方程(x-1)(x 2-1)=0的解集中含有元素的个数是____________.解析：由(x-1)(x 2-1)=0得x=±1，所以元素的个数为2.答案：215.设a 、b ∈Z ，形如a+5b 的数构成的集合记作M ，若x,y ∈M ，请你验证元素x+y,x-y,xy,yx是否属于集合M.解析：令x=a 1+5b 1,y=a 2+5b 2,则x+y=a 1+a 2+5(b 1+b 2),a 1+a 2∈Z,b 1+b 2∈Z,∴x+y ∈M.同理可证x-y,xy 属于集合M ，而y x =552211b a b a ++=2222211221215)(55b a b a b a b b a a -++-∉M. ∴x+y ∈M,x-y ∈M,xy ∈M,yx ∉M. 拓展提升 16.数集A 满足：若a ∈A,a ≠1，则a-11∈A, 求证：（1）若2∈A ，则A 中另外有两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集合.证明：（1）由已知2∈A,则211-=-1∈A. ∵-1∈A,则)1(11--=21∈A. ∵21∈A,则2111-=2∈A.∴A 中另外两个元素是-1，21. （2）由已知a ∈A,a ≠1，则a-11∈A. ∴a111-=a a 1-∈A. ∵a a 1-∈A,则aa 111--=a ∈A. 故A 中含有三个元素a, a -11,aa 1-， 且a ×a -11×aa 1-=-1. 若A 是单元素集合，则必有a=a -11=a a 1-=-1，这显然不可能. 故A 不是单元素集合.。

1.1 集合的含义及其表示一、填空题1．下列条件能形成集合的是________．(1)充分小的负数全体 (2)爱好飞机的一些人；(3)某班本学期视力较差的同学 (4)某校某班某一天所有课程．【解析】 综观(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是(4)．【答案】 (4)2．方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x －y ＝5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．【解析】 因⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝5的解集为方程组的解． 解该方程组x ＝72，y ＝－32.则用列举法表示为{(72，－32)}；用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝5. 【答案】 {(72，－32)} ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋y ＝2x －y ＝53．函数y ＝x 2－2x －1图象上的点组成的集合为A ，试用“∈”或“∉”号填空．①(0，－1)________A ；②(1，－2)________A ；③(－1,0)________A .【解析】 把各点分别代入函数式，可知(0，－1)∈A ，(1，－2)∈A ，(－1,0)∉A .【答案】 ∈，∈，∉4．(2013·徐州高一检测)若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是________三角形．(用“锐角，直角，钝角，等腰”填空)【解析】 由集合中元素的互异性可知a ≠b ≠c ，故该三角形一定不是等腰三角形．【答案】 等腰5．用描述法表示如图1－1－1所示中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是________．图1－1－1【解析】 由图可知，所表示的集合为{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}．【答案】 {(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0} 6．(2013·南京高一检测)若集合A ＝{x |3x －a <0，x ∈N }表示二元集，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由3x －a <0得，x <a 3，又x ∈N 且满足上述条件的只有两个元素，故1<a 3≤2，解得3<a ≤6. 【答案】 3<a ≤67．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则M ＝________.【解析】 分四种情况讨论：x ，y ，z 中三个都为正，代数式的值为4；x ，y ，z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x ，y ，z 中一个为正、两个为负，代数式值为0；x ，y ，z 都为负数时代数式值为－4.∴M ＝{－4,0,4}．【答案】 {－4,0,4}8．设三元素集A ＝{x ，y x ，1}，B ＝{|x |，x ＋y,0}，其中x ，y 为确定常数且A＝B ，则x 2013－y 2 013的值等于________．【解析】 由题意，知{x ，y x，1}＝{|x |，x ＋y,0}． ∵x ≠0，∴y x ＝0，即y ＝0.又∵x ≠1，且|x |＝1，∴x ＝－1，∴x 2 013－y 2 013＝(－1)2 013－0＝－1.【答案】 －1二、解答题9．用列举法表示下列集合：(1){y |y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R ，y ∈N }；(2)方程x 2＋6x ＋9＝0的解集；(3){20以内的质数}；(4){(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ∈Z ，y ∈Z }；(5){(x ，y )}|x ∈N ，且1≤x <4，y －2x ＝0}；(6){a |65－a∈N ，且a ∈N }． 【解】 (1)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即y ≤4，又y ∈N ，∴y ＝0,1,2,3,4.故{y |y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R ，y ∈N }＝{0,1,2,3,4}．(2)由x 2＋6x ＋9＝0得x 1＝x 2＝－3，∴方程x 2＋6x ＋9＝0的解集为{－3}．(3){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．(4)因x ∈Z ，y ∈Z ，则x ＝－1,0,1时，y ＝0,1，－1.那么{(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ∈Z ，y ∈Z }＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}．(5)当x ∈N 且1≤x <4时，x ＝1,2,3，此时y ＝2x ，即y ＝2,4,6， 那么{(x ，y )|x ∈N 且1≤x <4，y －2x ＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}．(6)当a ＝－1,2,3,4时，65－a 分别为1,2,3,6，故{a |65－a∈N ，且a ∈N }＝{－1,2,3,4}．10．用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(2)大于4的全体奇数构成的集合；(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4)三角形的全体构成的集合；(5){2,4,6,8}．【解】 (1){x |x ＝5k ＋1，k ∈N }；(2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2，k ∈N }；(3){(x ，y )|xy ＝0，x ∈R ，y ∈R }；(4){x |x 是三角形}或{三角形}；(5){x |x ＝2n,1≤n ≤4，n ∈N }．11．已知p ∈R ，且集合A ＝{x |x 2－px －52＝0}，集合B ＝{x |x 2－92x －p ＝0}，12∈A ，求集合B 中的所有元素．【解】 ∵12∈A ，∴14－p 2－52＝0，∴p ＝－92.∴B ＝{x |x 2－92x ＋92＝0}．又方程x2－92x＋92＝0的两根为x＝32或x＝3.∴B＝{32，3}.。

1.1.1集合的含义及其表示教学目标：（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法;（2）初步了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;（3）初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. 教学重点：集合的含义及表示方法.教学过程：一、问题情境:1.情境:介绍自己;2.问题:像“家庭”、“学校”、“男生”、“班级”、“女生”,等概念,有什么共同的特征?二、学生活动1.介绍自己:仿照所给例子,让学生作自我介绍;2.列举生活中的集合实例;3.分析,概括各种集合实例的共同特征.在一定范围内,按一定标准对所讨论的事物进行分类,分类后,我们会用一些术语来描述它们.如“群体”、“全体”“集合”等.三、建构数学1.引导学生归纳总结并给出集合的含义(描述性概念);一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合（set ）.集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素就是北京、天津、上海和重庆. “young 中的字母”构成一个集合,该集合的元素就是y,o,u,n,g.“book 中的字母”也构成一个集合,该集合的元素就是b,o,k.2.常用数集的记法（N ,*N N +,Z ,Q ,R 以及符号∈,∉）3.介绍集合的表示方法（列举法、描述法以及Venn 图）;4.有关集合知识的历史简介.四、数学应用1.例题例1:（1）求方程2230x x --=的解集（2）求不等式235x ->的解集解完后介绍有限集、无限集、空集的概念.例2:求方程210x x ++=所有实数解构成的集合.2.练习（1）请学生各举一例有限集、无限集、空集.（2）第7页练习3填空（口答）（3）用列举法表示下列集合: ①{,}x x x N ∈是15的约数; ②{(,){1,2},{1,2}}x y x y ∈∈; ③{(,)2,24}x y x y x y +=-=; ④{,}x x n N ∈n =(-1); ⑤{(,)3216,,}x y x y x N y N +=∈∈.（4）用描述法表示下列集合:①{}1,4,7,10,13②{}2,4,6,8,10-----五、回顾小结本节课学习了以下内容:1.集合的有关概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集;2.集合的表示方法——列举法描述法以及Venn 图3.常用数集的定义及记法.4. 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.六、课外作业第7页第2题,第4题.注: （1）应区分∅，{}∅，}0{，0等符号的含义;（2）自然数集包括0.（3）非负整数集内排除0的集.记作*N ，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这 样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。

第1章集合1．1集合的含义及其表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．(2)初步了解“属于”关系的意义，理解集合相等的含义．(3)初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合．2．过程与方法(1)通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手正确地理解集合．(2)观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．(3)通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合，掌握集合的表示方法．3．情感、态度与价值观(1)了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是、扎实、严谨的科学态度．●重点、难点重点：集合的含义及集合的表示方法．难点：集合的特征性质和概念以及运用特征性质用描述法表示一些简单的集合．(教师用书独具)●教学建议1．关于集合含义的教学建议教师在教学过程中通过大量具体实例，引导学生抽象出集合的含义，这样可以培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．2．关于元素、集合及其关系的表示的教学对于元素，集合的字母表示以及元素与集合之间的“属于”或“不属于”关系．建议教师让学生在具体运用中逐渐熟悉，对于常用数集的表示也要求学生记住．3．关于列举法和描述法表示集合的教学建议教师讲清元素不多的有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，同时也要说明两种方法的优缺点．●教学流程创设问题情境，通过具体实例，引入两个集合的交集与并集的概念⇒引导学生借助Venn图，理解集合的交集与并集运算，并探究两种基本运算的性质。

⇒借助数轴直观表示，使学生理角区间的符合表示方法⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握集合交集运算的方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握集合并集运算的方法⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用交集、并集的性质求参数范围的方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读 1.理解集合的含义，知道常用数集及其记法(重点)．2．了解属于关系和集合相等的意义(重点)．3．了解有限集、无限集、空集的意义．4．掌握集合的表示方法——列举法、描述法和Venn图法，并能正确地表示一些简单的集合(重点、难点).集合的概念观察下面的语句(1)高一(2)班的女生；(2)方程x2－2＝0的所有实根；(3)2012年7月参加伦敦奥运会的代表团；(4)高一(2)班的所有帅哥；(5)高一(2)班的好学生．1．上面语句中女生、实根、代表团、帅哥、好学生哪些能被清晰的确定出来？【提示】女生、实根、代表团．2．以上语句中为什么有的不能确定？【提示】因帅哥、好学生标准无法确定．1．元素与集合的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素与集合的符号表示通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.元素与集合的关系某中学2013级高一年级的20个班构成一个集合，则高一(6)班是这个集合的元素吗？高二(3)班呢？【提示】高一(6)班是这个集合中的元素，高二(3)班不是．1．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素．记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或∈)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或a∈A.读作“a不属于A”．2．常用数集及符号表示数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号表示N N*或N＋Z Q R集合的表示方法观察下列集合(1)中国的直辖市．(2)12的所有正因数．(3)不等式x－2≥3的解集．(4)所有偶数的集合．1．上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？【提示】(1)、(2)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．2．设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．【提示】(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈N.1．列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．2．描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．3．集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．集合的分类你班的学生人数可数吗？你能举出一个不可数的集合吗？【提示】可数自然数集．有限集：含有有限个元素的集合称为有限集．无限集：含有无限个元素的集合称为无限集．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅ .集合的有关概念下列每组对象能否构成一个集合？(1)所有的好人；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)正三角形的全体；(4)方程x2＝2的实数解；(5)不等式x＋1>0的所有实数解．【思路探究】看一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的．【自主解答】“所有的好人”无确定的标准，因此(1)不能构成集合．而(2)(3)(4)(5)的对象尽管有点、图形、实数等不同之处，但它们是确定的．所以(2)(3)(4)(5)能构成集合．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是不是确定的，若元素是确定的，又能看做一个整体，便构成一个集合，否则，就不能构成集合，同时要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性和互异性．下列对象：①不超过π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是________．【解析】由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．【答案】 ①③用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈Z }；(2)B ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2x ＋y ＝8，x －y ＝1； (3)M ＝{x |(x －2)2(x －3)＝0}；(4){自然数中五个最小数的完全平方数}； (5)P ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }．【思路探究】 解答本题首先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写． 【自主解答】 (1)∵－2≤x ≤2，x ∈Z ， ∴x ＝－2，－1,0,1,2， ∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴B ＝{(3,2)}．(3)∵2和3是方程的根，∴M ＝{2,3}． (4){0,1,4,9,16}．(5)∵y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0,1,2，y ＝6,5,2， ∴P ＝{6,5,2}．应用列举法应注意的问题：(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集；(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，判定集合是有限集还是无限集，选择适当的表示方法是关键．把本题(5)中集合P 改为“{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }”，求相应问题． 【解】 点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2∴Q ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合．(1)正奇数集；(2)使y ＝ 2 006x 2＋x －6有意义的实数x 的集合；(3)坐标平面内，在第二象限内的点所组成的集合； (4)坐标平面内，不在第一、三象限内的点所组成的集合．【思路探究】 本题主要考查集合的表示方法，可以把自然语言转化为集合语言，用描述法表示出来．【自主解答】 (1){x |x ＝2n ＋1，n ∈N }， 也可表示为{x |x ＝2n －1，n ∈N *}． (2){x |x ≠2且x ≠－3，x ∈R }． (3){(x ，y )|x <0且y >0，x ∈R ，y ∈R }． (4){(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }．使用描述法时，应注意六点： (1)写清楚集合中的代表元素； (2)说明该集合中元素的性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；(5)所有描述的内容都要写在花括号内；(6)用于描述的语句力求简明、确切．用描述法表示下列集合：(1)偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)不等式2x－3<0的解集．【解】(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，所以偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈Z}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)不等式2x－3<0，即x<32，所以不等式2x－3<0的解集可表示为{x|x<32}.运用方程的思想解决集合相等问题(12分)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．【思路点拨】要求c的值此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性列方程求解．【规范解答】①若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得：a＋ac2－2ac＝0，当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，此时无解；②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得：2ac2－ac－a＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，9分即(c－1)(2c＋1)＝0，又c≠1，故c＝－12. 11分综上所述，c＝－12.1．根据两集合中的元素完全相同，列出a，b，c满足的方程求解，这就是方程思想的应用．2．解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增根，这需要解题后进行检验．1．集合的概念可以从以下几个方面来理解：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．2．集合的表示方法：列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合；描述法应用更广泛，多适用于元素个数有无穷多的集合．3．集合的分类：集合分为有限集和无限集，根据元素的特性，还可以分为数集、点集、图形集等．1．下列各组对象不能确定一个集合的是________．①某校高一年级开设的课程；②某校高一年级任教的教师；③某校高一年级1998年出生的学生；④某校高一年级比较聪明的学生．【解析】 因为①②③中对象都是确定的，它们都能确定一个集合，而④中“比较聪明”没有明确的判断标准，故④不能确定一个集合．【答案】 ④2．下列关系式中，正确的序号是________．①a ∈{a ，b }；②0∈∅；③{x |x 2≤0}＝∅；④{x |x 2＋2x ＋5＝0}＝∅.【解析】 空集不含任何元素，故②错；0∈{x |x 2≤0}，故③错；①④正确． 【答案】 ①④3．下列叙述中，正确的个数是________．①1是集合N 中最小的数 ②若－a ∉N ，则a ∈N ③若a ∈N *，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2 ④方程x 2－4x ＝－4的解集为{2,2}．【解析】 N 中的最小数为0，故①错误；②可举反例：a ＝13，则－a ＝－13∉N ，但a ＝13∉N ，故②不正确；③可取a ＝1，b ＝0，则a ＋b ＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.【答案】 04．用适当的方法表示下列集合． (1)中国古代四大发明的集合； (2)由大于0小于2的实数组成的集合； (3)绝对值等于1的实数的集合； (4)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集； (5)不等式x 2＋2≤0的解集．【解】 (1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．(2)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x |0<x <2}．(3)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x ||x |＝1}，用列举法可表示为{－1,1}． (4)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集用描述法可表示为{x |x (x 2＋2x －3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．(5)不等式x 2＋2≤0的解集为∅.一、填空题1．下列条件能形成集合的是________． (1)充分小的负数全体 (2)爱好飞机的一些人；(3)某班本学期视力较差的同学 (4)某校某班某一天所有课程．【解析】 综观(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是(4)．【答案】 (4)2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．【解析】 因⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝5的解集为方程组的解．解该方程组x ＝72，y ＝－32.则用列举法表示为{(72，－32)}；用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝5.【答案】 {(72，－32)} ⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝53．函数y ＝x 2－2x －1图象上的点组成的集合为A ，试用“∈”或“∉”号填空． ①(0，－1)________A ；②(1，－2)________A ； ③(－1,0)________A .【解析】 把各点分别代入函数式，可知(0，－1)∈A ，(1，－2)∈A ，(－1,0)∉A .【答案】 ∈，∈，∉4．(2013·徐州高一检测)若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是________三角形．(用“锐角，直角，钝角，等腰”填空)【解析】 由集合中元素的互异性可知a ≠b ≠c ，故该三角形一定不是等腰三角形． 【答案】 等腰5．用描述法表示如图1－1－1所示中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是________．图1－1－1【解析】 由图可知，所表示的集合为{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}． 【答案】 {(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}6．(2013·南京高一检测)若集合A ＝{x |3x －a <0，x ∈N }表示二元集，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由3x －a <0得，x <a 3，又x ∈N 且满足上述条件的只有两个元素，故1<a3≤2，解得3<a ≤6.【答案】 3<a ≤67．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则M ＝________.【解析】 分四种情况讨论：x ，y ，z 中三个都为正，代数式的值为4；x ，y ，z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x ，y ，z 中一个为正、两个为负，代数式值为0；x ，y ，z 都为负数时代数式值为－4.∴M ＝{－4,0,4}． 【答案】 {－4,0,4}8．设三元素集A ＝{x ，yx ，1}，B ＝{|x |，x ＋y,0}，其中x ，y 为确定常数且A ＝B ，则x 2013－y 2 013的值等于________．【解析】 由题意，知{x ，yx，1}＝{|x |，x ＋y,0}．∵x≠0，∴yx＝0，即y＝0.又∵x≠1，且|x|＝1，∴x＝－1，∴x2 013－y2 013＝(－1)2 013－0＝－1.【答案】－1二、解答题9．用列举法表示下列集合：(1){y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；(2)方程x2＋6x＋9＝0的解集；(3){20以内的质数}；(4){(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}；(5){(x，y)}|x∈N，且1≤x<4，y－2x＝0}；(6){a|65－a∈N，且a∈N}．【解】(1)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0,1,2,3,4.故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}．(2)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}．(3){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．(4)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1,0,1时，y＝0,1，－1.那么{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}．(5)当x∈N且1≤x<4时，x＝1,2,3，此时y＝2x，即y＝2,4,6，那么{(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}．(6)当a＝－1,2,3,4时，65－a分别为1,2,3,6，故{a|65－a∈N，且a∈N}＝{－1,2,3,4}．10．用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(2)大于4的全体奇数构成的集合；(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4)三角形的全体构成的集合； (5){2,4,6,8}．【解】 (1){x |x ＝5k ＋1，k ∈N }； (2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2，k ∈N }； (3){(x ，y )|xy ＝0，x ∈R ，y ∈R }； (4){x |x 是三角形}或{三角形}； (5){x |x ＝2n,1≤n ≤4，n ∈N }．11．已知p ∈R ，且集合A ＝{x |x 2－px －52＝0}，集合B ＝{x |x 2－92x －p ＝0}，12∈A ，求集合B 中的所有元素．【解】 ∵12∈A ，∴14－p 2－52＝0，∴p ＝－92.∴B ＝{x |x 2－92x ＋92＝0}．又方程x 2－92x ＋92＝0的两根为x ＝32或x ＝3.∴B ＝{32，3}.(教师用书独具)若集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }． (1)若m ∈M ，问是否有a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b?(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定有a ＋b ＝m 且m ∈M ？证明你的结论．【思路探究】 (1)由m ∈M ，可写出m 的表达式，再根据A 、B 中元素特征，寻找a 、b ；(2)可先表示a 、b ，然后找a ＋b ，最后观察a ＋b 的形式．【自主解答】(1)由m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k、l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.∴当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时有m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l ＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m使a＋b＝m成立．在探索过程中，要紧抓各集合元素的特征，利用构造法去寻找，同时注意分类讨论．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．【解析】∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0且b＝1,2,6时，a＋b＝1,2,6；当a＝2且b＝1,2,6时，a＋b＝3,4,8；当a＝5且b＝1,2,6时，a＋b＝6,7,11.由上可知，只有一个相同的元素6，其他均不相同，故P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．其所含元素个数为8.【答案】81.2子集、全集、补集(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．(2)理解子集、真子集的概念．(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．3．情感、态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用．●重点、难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．(教师用书独具)●教学建议1．关于子集、真子集的概念，建议教师让学生从三个方面去理解它们．自然语言、符号语言、图形语言(Venn图)，特别是图形语言即Venn图表示可以形象直观地表示集合间的关系，故学时要让学生知道表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．2．关于包含符号“⊆”的理解，建议教师提醒学生符号的方向不要搞错，如A⊆B与B⊇A是相同的，而A⊆B与A⊇B是不同的，同时强调“A⊆B”包含两层含义；即“A B”或“A＝B”．3．关于补集的教学建议教师讲解时：①充分利用Venn图的直观性引进概念，讲清概念的含义．②语言表述要确切无误．“∁U A是A在全集U中的补集”，不能把它简单地说成∁U A是A的补集，因为补集是在全集的前提下建立的概念，即补集是一个相对概念．4．关于全集的教学建议教师讲解时突出强调全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题则z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．●教学流程创设问题情境，能过实例，引入子集、真子集、空集等概念及其表示法⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!课标解读1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否具有包含关系(重点)．2．了解全集与空集的含义，能在给定全集的基础上求已知集合的补集(重点)．3．能通过分析元素的特点判断集合间的关系，并能根据集合间的关系确定一些参数的取值(难点).子集的概念及其性质给出两个集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}．1．集合A中的元素都是集合B中的元素吗？【提示】是．2．集合B中的元素都是集合A中的元素吗？【提示】不全是．1．子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．可用Venn图表示为：子集的性质：(1)A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．(2)∅⊆A，即空集是任何集合的子集．2．真子集的概念真子集：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．补集、全集的概念A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．1．集合A，B，U有何关系？【提示】U＝A∪B.2．B中元素与U和A有何关系？【提示】B中元素在U中不在A中．1．补集(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记为∁S A(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：2．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.子集、真子集的概念已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4}，写出集合M.【思路探究】可按集合M中含有元素的个数分类讨论求解．【自主解答】①若M中含有3个元素时，M为{1,2,3}和{1,2,4}．②若M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}因此满足条件的集合M有3个即{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．1．本类问题实质是考查包含于“⊆”和真包含于“”的运用，解答本题首先分清两符号的含义，确定集合中元素的个数然后进行分类讨论.2.求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集，其中空集和集合本身易漏掉．将本题中条件改为{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}如何求解？【解】①当M中含有2个元素时，M为{1,2}；②当M中含有3个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；③当M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；④当M中含有5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．∴满足条件的集合M为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．集合的补集已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B.【思路探究】先由集合A与∁U A求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn 图求出集合B.【自主解答】法一A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．法二借助Venn图，如图所示，由图可知B＝{2,3,5,7}．根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(1)若U＝{1,2,3,4,5}，S＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，则∁U A＝________，∁S A＝________.(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|x>1}，则∁U A＝________.【解析】(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，结合补集的定义可知∁U A＝{3,4,5}．同理可求，当S＝{1,2,3,4}时，∁S A＝{3,4}．(2)∵U＝{x|x≥－3}，A＝{x|x>1}，如图所示：∴∁U A＝{x|－3≤x≤1}．【答案】(1){3,4,5}{3,4}(2){x|－3≤x≤1}由集合间的关系确定参数的范围已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．【思路探究】讨论集合B→列关于m的不等式(组)→求m的取值范围【自主解答】∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m－1m＋1≤42m－1<m＋1，解得－1≤m<2，综上得m≥－1.1．解答本题注意不能忽视B＝∅的情形．当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．2．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．(2013·银川高一检测)设集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|－2<x<3}，(1)若A B，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a使B⊆A?【解】 (1)借助数轴可得，a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－2，a ＋2≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2，a ＋2<3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤－2，a ＋2≥3，得a 无解，所以不存在实数a 使B ⊆A .子集、全集、补集的综合应用已知集合A ＝{x |x ≥m }，集合B ＝{x |－2<x <3}，(1)若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，求m 的取值范围；(2)若集合C ＝{x |m ＋1<x <2m }，且C ⊆∁A B ，求m 的取值范围． 【思路探究】 (1)先求∁U B ，再利用A ⊆∁U B 得m 的取值范围． (2)先求∁A B ，再利用C ⊆∁A B 得m 的取值范围．【自主解答】 (1)由题意知∁U B ＝{x |x ≤－2或x ≥3}， ∵A ⊆∁U B ，如图：∴m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)． (2)由题意知B ⊆A ，∴m ≤－2， ∴∁A B ＝{x |m ≤x ≤－2或x ≥3}，①若C＝∅，即m＋1≥2m，即m≤1时，m≤－2.②若C≠∅，即m＋1<2m，即m>1，与m≤－2矛盾，故此种情况不存在．综上，m的取值范围为(－∞，－2]．针对此类问题，已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助数轴．列出参数a应满足的关系式，具体操作时要注意端点值的“取”与“不取”．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，且B∁U A，求实数a的取值范围．【解】∵U＝R，A＝{x|x>1}，∴∁U A＝{x|x≤1}．∵x＋a<0，x<－a，∴B＝{x|x<－a}．又∵B∁U A，∴－a≤1，∴a≥－1.忽略空集的情形导致错误已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a的值．【错解】A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．由于B⊆A，因此B＝{－1}或B＝{3}．当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝23.综上所述，实数a的值为－2或23.【错因分析】B为空集时，显然也满足已知条件．解题时，需注意空集是任何一个集合的子集(这个“任何一个集合”当然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集．【防范措施】根据“A⊆B”条件，在求相关参数值时，不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况，同时还要进行检验，看是否满足元素的互异性．【正解】A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．当B≠∅时，由于B⊆A，因此B＝{－1}或B＝{3}．①当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；②当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝23.当B＝∅时，ax－2＝0无解，可得a＝0.综上所述，实数a的值为－2或2或0.31．正确地理解子集、真子集的概念：如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(A B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A B)也可以说A是B的子集(A⊆B)；A＝B也可以说成A是B的子集(A⊆B)．2．用Venn图表达集合与集合之间的关系，直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．3．全集为研究一个问题的所有元素的全体，即该问题所涉及的元素的范围，是一个相对的概念，全集因问题的不同而异．4．补集与全集密不可分．同一集合在不同全集下的补集是不同的，因而说集合的补集的前提是必须先明确全集，一个集合与它的补集是互为补集的关系，补集也是一种思想，是一种思考和处理问题的思维方式．1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则∁U A＝________.【解析】根据补集的定义，可知∁U A＝{1,3,6,7}．【答案】{1,3,6 ,7}2．集合A ＝{0,1,2}的真子集个数是________．【解析】 集合A ＝{0,1,2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}共7个． 【答案】 73．设x 、y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 的关系是________．【解析】 ∵B ＝{(x ，y )|yx ＝1}＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A .【答案】 B A4．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，求a 的取值范围． 【解】 ∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }． (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)．可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x <a }，要使A ⊆∁U B ，结合数轴(如图所示)．只需a >－2.一、填空题1．下列命题中正确的个数为________． (1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的真子集；(4)若∅A，则A≠∅.【解析】(1)不正确，∅⊆∅；(2)不正确，∅只有一个子集；(3)不正确，∅没有真子集；(4)正确，理由同(3)．【答案】 12．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.【解析】如图所示：∁U A＝{x|x<1}．【答案】{x|x<1}3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，若A B，实数a的取值范围为________．【解析】B＝{x|x≥a}，∵A B，∴结合数轴可得a≤1.【答案】a≤14．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B则实数a的取值范围是________．【解析】利用数轴易知应有a≥2.【答案】a≥25．已知集合A＝{1,3，－a3}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________.【解析】∵B⊆A，∴a＋2＝3或a＋2＝－a3，解得a＝1或a＝－1，由互异性舍去a ＝－1，∴a＝1.【答案】 16．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝______.【解析】若x＝2，则x2－2＝2，此时U＝{1,2,2}与互异性矛盾，不成立，所以x≠2.从而只能有x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－1时，U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，所以∁U A ＝{2}． 【答案】 {2}7．集合A {0,1,2,3}，且A 中的元素至少有一个奇数，这样的集合有________个． 【解析】 含有一个元素时：{1}，{3}；含有两个元素时：{0,1}，{1,2}，{0,3}，{2,3}，{1,3}； 含有三个元素时：{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}； 含有四个元素时：{0,1,2,3}． 【答案】 128．(2013·徐州高一检测)若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <3或x >22}，则能使A ⊆∁R B 成立的所有a 的集合是________．【解析】 ∵B ＝{x |x <3或x >22}， ∴∁R B ＝{x |3≤x ≤22}． 又∵A ≠∅且A ⊆∁R B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≥2a ＋1，3a －5≤22，2a ＋1≥3，∴6≤a ≤9.【答案】 {a |6≤a ≤9} 二、解答题9．已知{a }⊆A ⊆{a ，b ，c }，求所有满足条件的集合A . 【解】 A 中含有一个元素时，A 为{a }， A 中含有两个元素时，A 为{a ，b }，{a ，c }， A 中含有三个元素时，A 为{a ，b ，c }．所以满足条件的集合A 为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }． 10．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}， 若∁U A ＝{1,2}，求实数m 的值．【解】 ∵∁U A ＝{1,2}，U ＝{0,1,2,3}，∴A ＝{0,3}， ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.11．设全集U ＝R ，A ＝{x |3m －1<x <2m }，B ＝{x |－1<x <3}，若A ∁U B ，求实数m 的范围．【解】 由题意知，∁U B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}， (1)若A ∁U B ，且A ≠∅，则3m －1≥3或2m ≤－1， ∴m ≤－12或m ≥43.又A ≠∅，∴3m －1<2m ，∴m <1，即m ≤－12.(2)若A ＝∅，则3m －1≥2m ，m ≥1，综上所述：m ≤－12或m ≥1.(教师用书独具)若方程x 2＋x ＋a ＝0至少有一个根为非负实数，求实数a 的取值范围．【思路探究】 该题中“至少有一个根为非负实数”种类多，较复杂，但其反面为“无非负实根”的情况较简单．这正是运用补集的思想解题．【自主解答】 若方程x 2＋x ＋a ＝0无非负实根， 即方程无实根或有两个负根，则有： ①方程无实根， Δ＝1－4a <0，解得a >14.②方程有两个负根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a≥0，x1＋x2＝－1<0，x1x2＝a>0.解得0<a≤14.综上所述，满足题意的a的取值范围是{a|a≤0}．若集合A＝{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素，求m的取值范围．【解】当集合为∅时，方程x2＋x＋m＝0无解，即Δ＝1－4m<0，解得m>14.所以，当集合{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素时，实数m的取值范围为{m|m≤14}．当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往进行分类讨论，为了避免分类讨论，我们可以利用补集思想来求解，即采用“正难则反”的原则从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应的集合的补集．1．3交集、并集(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．。

1.1 集合的含义及其表示一、选择题1．下列四个集合中，是空集的是（ ）2．下列集合表示正确的是（ ）A ．{}2,4B ．{}2,4,4C ．(1,2,3)D ．{}高个子男生3．方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（ ） A ．{}(1,1) B ．{}1,1 C ．(1,1) D ．{}14．已知集合S 中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．已知{}20,1,x x ∈，则实数x 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－16．实数1不属于集合（ ）A ．ZB ．{}x x x =C ．{}11x x ∈-<<ND ．101x x x ⎧-⎫∈≤⎨⎬+⎩⎭R 7．下列所给关系正确的个数是（ ）①π∈R Q ；③0*∈N ；④4*-∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知集合{}A x x x =≤∈R ，a =，b =，则（ ）A ．,a A b A ∈∉且B ．,a A b A ∉∈且C ．,a A b A ∈∈且D ．,a A b A ∉∉且9．已知,x y 都是非零实数，x y xy z x y xy=++可能的取值组成集合A ，则下列判断正确的是（ ）A ．3,1A A ∈-∉B ．3,1A A ∈-∈C ．3,1A A ∉-∈D ．3,1A A ∉-∉10．集合{}21,1,2x x --中的x 不能取的值构成的集合是（ ）A ．{B ．{C ．{D ．{11．定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈．设集合{}1,2A =，{}0,2B =，则A B *中所有元素的和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．612．已知集合{}1,2,3,4,5A =，(,),,y B x y x A y A A x ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10二、填空题13．下列各组对象不能形成集合的是 ．（填序号）①大于6的所有整数；②高中数学的所有难题；③被3除余2的所有整数；④函数1y x =图象上所有的点．1415．已知集合{}1,3A =-，{}20B x x ax b =++=，且A B =，则ab = ． 16．设集合A ，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的三个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．三、解答题17．已知集合{}2(1)210A x a x x =∈--+=R ，a 为实数．（1）若集合A 是空集，求实数a 的取值范围；（2）若集合A 是单元素集，求实数a 的值；（3）若集合A 中元素个数为偶数，求实数a 的取值范围．参考答案与解析1．CC 2．A 【解析】B 中不满足集合中元素的互异性，错误；C 中集合不能用“（ ）”，要用“{ }”，错误；D 中元素不具有确定性，错误，故选A3．A 【解析】解方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，其解是有序实数对，表示为{}(1,1)，故选A 4．D 【解析】因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三边两两不等，故选D5．C 【解析】由集合中元素的互异性可得0x ≠且1x ≠，则由21x =得1x =-，故选C6．C 【解析】1不满足11x -<<，故选C7．B 【解析】由常见数集的意义知①②正确，③④错误，故选B8．B>，,a A b A ∉∈，故选B9．B 【解析】当0,0x y >>时，1113z =++=；当0,0x y ><时，1111z =--=-；当0,0x y <>时，1111z =-+-=-；当0,0x y <<时，1111z =--+=-，所以3,1A A ∈-∈，故选B10．D 【解析】因为集合中的元素具有互异性，故集合中元素互不相同，即22111212x x x x ⎧-≠-⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x ≠且1x ≠且3x ≠且x ≠ D11．D 【解析】根据题意，有{}1,2A =，{}0,2B =得集合A B *中的元素可能为0、2、0、4．又有集合中元素的互异性知{}0,2,4A B *=，其所有元素之和为6，故选D12．D 【解析】由题意得{}(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4),(5,5)B =，有10个元素，故选D13．②【解析】①③④中的对象是确定的，能够形成集合；②中的对象不确定，故不能形成集合的是②．14．{}(0,2),(1,1)【解析】由x ∈N 得x 取0，1，2，…，当0x =时，2y =∈N ；当1x =时，1y =∈N ；当2x =时，2y =-∉N ，不符合题意；…，故集合15．6【解析】由题意知－1，3分别是关于x 的方程20x ax b ++=的两个根，故13(1)3a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，从而23a b =-⎧⎨=-⎩，故6ab =16．6【解析】由题意得没有与k 相邻的元素是“孤立元”，则不含“孤立元”是含有与k 相邻的元素，所以不含“孤立元”的集合为{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8，共6个17．【解析】（1）若集合A 为空集，则21024(1)0a a -≠⎧⎨∆=--<⎩，解得2a > （2）①当10a -=，即1a =时，{}12102A x x ⎧⎫=∈-+==⎨⎬⎩⎭R ； ②当10a -≠，即1a ≠时，则224(1)0a ∆=--=，解得2a =，此时{}{}22101A x x x =∈-+==R 综上所述：1a =或2（3）若集合A 中元素个数为偶数，则A 中恰有0个或2个元素．当A 中恰有0个元素时，由（1）知2a >当A 中恰有2个元素时，由题意得：21024(1)0a a -≠⎧⎨∆=-->⎩，解得2a <且1a ≠ 综上所述，实数a 的取值范围为{}12a a a ≠≠且。

§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________ 2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2}（4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈（1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？。

【高一】苏教版必修一数学全册课后测试题§1.1集合的含义及其表示（1）岗位培训【感受理解】1.给出以下命题（其中n是自然数的集合）：①n中最小的元素是1②若a∈n则-an③若a∈n,b∈n，则a+b的最小值是2（4）的解可表示为，其中正确的命题个数为.2.使用枚举表示以下集合①小于12的质数构成的集合；② 一组平方等于自身的数；③由所确定的实数的集合；④ 抛物线上的点的集合（自然数小于5）3.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为，则中元素的个数为4.一个由三个元素组成的集合可以是【思考应用】5.实数组成的集合中最多有元素6.由“”组成的集合与由“”组成的集合是同一个集合，则实数的值是否确定的？若确定，请求出，若不确定，说明理由.7.定义集合操作：集合和查找集合8．关于的方程，当分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9.已知集合(1)证明：任何整数都是的元素；(2)设求证：[扩展和改进]9.设是满足下列两个条件的实数所构成的集合：①，②若，则，请回答以下问题：（1）若，则中必有另外两个数，求出这两个数；（2）验证：如果是，则（3）在集合s中元素能否只有一个？请说明理由；（4）验证：集合中至少有三个不同的元素§1.1集合的含义及其表示（2）岗位培训1．设a，b，c均为非零实数，则x=的所有值为元素组成集合是________ 2.集合由描述表示3．下列语句中，正确的是.（填序号）（1） 0和{0}代表同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程的所有解的集合可以表示为{1,1,2,2}（4）集合可以用列举法表示.4.所有数字除以3表示为集合5．下列集合中表示同一集合的是`（填序号）（1） ={3,2}，n={2,3}（2）={（3,2）}，n={（2,3）}（3）=(4)={1，2}，n={(1,2)}6.以下可作为方程的解集（填写序列号）（1）（4）（6）7．用另一种方法表示下列集合.（1） {绝对值不大于2的整数}（2）{可除以3小于10的正数}（3）（4）（5）{}8．已知.当时，求集合b9.使用描述性方法表示图中阴影部分（包括边界）的点坐标集10．对于,现规定：设置（1）用列举法表示奇偶性不同时的集合.（2）一个集合中有多少元素具有相同的奇偶性？【拓展提高】11将元素设置为正整数以满足“if，then”（1）试写出只有一个元素的集合；（2）试着写一个只有两个元素的集合；（3）这样的集合至多有多少个元素？（4）有多少套符合条件？§1.2子集全集补集（1）岗位培训【感受理解】1.设{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}满足，则集合数为2．下列各式中，正确的个数是①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}{1，2，3}；⑤{a，b}{a，b}。

第1章 集合1．1集合的含义及其表示1．判断题：(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“全体著名的文学家”构成一个集合．()(2)小于8且不小于－2的偶数构成的集合是{0,2,4,6}．()(3)集合{0}中不含元素．()(4){0,1}，{1,0}是两个不同的集合．()(5)线段MN 上点的全体构成的集合是无限集．()2．下列对象：①2008年北京残奥会上我国获得的所有金牌；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是__________．3．用符号“∈”或“∉”填空：π________Q ，13________Q ， 0________∅，3________R ，0________N *，32________{0,1,2}， －2________Z .4．用适当的方法表示下列集合．(1)中国古代四大发明的集合；(2)直角坐标平面内第二象限的点集；(3)由大于0小于2的实数组成的集合；(4)绝对值等于1的实数的集合；(5)方程x(x 2＋2x －3)＝0的解集；(6)不等式x 2＋2≤0的解集．5．求不等式4(x ＋1)－3(x －1)>9的解集．课堂巩固1．下列各组对象：①NBA 联盟中所有优秀的球员；②平面上到点O 的距离等于1的点的全体；③2008年度所有的诺贝尔获奖者；④正方形的全体；⑤高一·三班的所有聪明学生；⑥参加2008年北京奥运会的所有运动员．其中能构成集合的有________．(只填序号)2．有下列结论：①由1,1,2,3,4,5构成的集合含有6个元素；②{a ，b}＝{b ，a}；③∅＝{0}；④太湖中的鱼所组成的集合是无限集；⑤边长为1的菱形构成的集合是无限集，其中正确的个数是__________．3．设由2,4,6构成的集合为A ，若实数a 满足a ∈A 时6－a ∈A ，则a ＝__________.4．已知A ＝{2，x}，B ＝{xy,1}，若A ＝B ，则x ＋y ＝________.5．下列叙述中，正确的个数是__________．①1是集合N 中最小的数；②若－a ∉N ，则a ∈N ；③若a ∈N *，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④方程x 2－4x ＝－4的解集是{2,2}．6．(1)“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为__________．(2)集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝5，x ∈N ，y ∈N }，则用列举法表示为A ＝__________.7．(易错题)已知集合A ＝{x|kx 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数k 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求k 的值及集合A.1．下列关系式中，正确的序号是__________．①a ∈{a ，b}②0∈∅③{x|x 2≤0}＝∅④{x|x 2＋2x ＋5＝0}＝∅2．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 一定不．等于__________． 3．集合{x|x －2<3，且x ∈N *}用另一种表示方法应是__________．4．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x|＋y |y|＋z |z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M ，则M ＝________.5．设三元素集A ＝{x ，y x，1}，B ＝{|x|，x ＋y,0}，其中x ，y 为确定常数且A ＝B ，则x 2009－y 2009的值等于__________．6．下列结论中，正确的个数是__________．①若以集合S ＝{a ，b ，c}中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x>x 的实数x 组成一个集合；③方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；④方程(x －1)2(x ＋5)(x －3)＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合是无限集．7．用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________．8．(易错题)已知A＝{a－2,2a2＋5a,6}，且－3∈A，求实数a的值．9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求实数a与b的值．10．(易错题)观察下面三个集合，回答下面问题：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？答案第1章集合1．1集合的含义及其表示课前预习1．(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(1)不满足集合中元素的确定性，错误；(2)“不小于”即“大于或等于”，集合中含“－2”；(3)集合中含有一个元素“0”；(4)是相同集合；(5)线段MN 上的点有无数个，是无限集．2．①③由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．3．∉∈∉∈∉∉∈4．解：(1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．(2)在平面直角坐标系内第二象限的点构成的集合用描述法可表示为{(x ，y)|x<0，且y>0}．(3)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x|0<x<2}．(4)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x||x|＝1}，用列举法可表示为{－1,1}．(5)方程x(x 2＋2x －3)＝0的解集用描述法可表示为{x|x(x 2＋2x －3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．(6)不等式x 2＋2≤0的解集为∅(列举法)．5．解：由4(x ＋1)－3(x －1)>9，可得x>2，所以原不等式的解集为{x|x>2}．课堂巩固1．②③④⑥①中的“优秀”与⑤中的“聪明”都无明确的界定，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．2．2由集合定义①错误；由集合相等的定义②正确；由空集定义③显然不对；∵太湖中鱼的个数是有限的，∴④不正确；菱形相邻两边夹角不同，则菱形是不同的，∴边长为1的菱形有无数个．故⑤正确．3．2或4∵A ＝{2,4,6}，∴当a ＝2时，6－a ＝4∈A.适合题意；当a ＝4时，6－a ＝2∈A 也适合题意；当a ＝6时，6－6＝0∉A ，不合题意．∴a 的值为2或4.4．3由集合相等的概念有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，xy ＝2，解得x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3. 5．0N 中的最小数为0，故①错误；②可举反例：a ＝13，则－a ＝－13∉N ，但a ＝13∉N ，故③不正确；③可取a ＝1，b ＝0，则a ＋b ＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.6．(1){x|x ＝3n ＋1，且n ∈Z }(2){(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)}7．解：(1)A ＝∅，即方程kx 2－3x ＋2＝0无解；若k ＝0，方程有一根x ＝23，不合题意；若k ≠0，方程kx 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，当Δ＝9－8k<0，即k>98时，方程无解； 故使A ＝∅的k 的取值范围是k>98. (2)当k ＝0时，由(1)知A ＝{23}，符合题意，当k ≠0时，若A 中只有一个元素，需使方程有两个相等的实数根，即Δ＝9－8k ＝0，∴k ＝98，此时方程为98x 2－3x ＋2＝0， 解得x ＝43，即A ＝{43}． 综上所述，当k ＝0时，A ＝{23}； 当k ＝98时，A ＝{43}． 点评：集合A 的代表元素x 为方程的解，所以集合中元素的个数问题可转化为探求方程解的个数问题(无解、一解)．因为二次项系数k ∈R ，所以解此类问题一定要注意讨论．当k ＝0时，方程为一元一次方程；当k ≠0时，是一元二次方程，也只有此情况下才能用判别式Δ.课后检测1．①④2．－2,2,1若a 2＝2－a ，则可得a ＝－2，或a ＝1，此时A 中含有1个或2个元素，不合题意；若a 2＝4，则得到a ＝±2，当a ＝－2时，A ＝{4}含一个元素．当a ＝2时，A ＝{0,4}只含2个元素，不合题意；若2－a ＝4，则得a ＝－2，不合题意． ∴a ≠－2,2,1.3．{1,2,3,4}4．{－4,0,4}分四种情况讨论：x ，y ，z 中三个都为正，代数式的值为4；x ，y ，z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x ，y ，z 中一个为正，两个为负，代数式值为0；x ，y ，z 都为负数时代数式值为－4.∴M ＝{－4,0,4}．5．－1由题意，知{x ，y x，1}＝{|x|，x ＋y,0}． ∵x ≠0，∴y x＝0，即y ＝0. 又∵x ≠1，且|x|＝1，∴x ＝－1.∴x 2009－y 2009＝(－1)2009－02009＝－1.6．3由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x>x 知x 为全体实数，故能构成实数集R ，②正确；③中x ＝2，y ＝－2应同时成立，解集表示不正确；④中方程有一个重根x ＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故⑤错误．7．{(x ，y)|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}8．解：∵－3∈A ，∴a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3.解得a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. 此时A ＝{－72，－3,6}，适合题意． ∴a ＝－32. 点评：集合中元素的性质既可以用于解题，又可用来检验解的正确性．特别是互异性易被忽视，所以做此类题时必须注意．9．解：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝12.代入检验得所求a 、b 之值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝12.10．解：(1)不是相同的集合．(2)集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许取到的值组成的集合，因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R ；集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象，知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}；集合③是函数y ＝x 2＋1图象上的所有点的坐标组成的集合．如图所示：点评：用描述法表示集合，一定要明确集合的代表元素是什么，弄清集合中元素满足什么条件特征，只有真正搞清其内涵，才能在解此类题时得心应手．本题中虽然条件特征都是y ＝x 2＋1，但代表元素不同：x 为自变量；y 是因变量，即函数值；(x ，y)表示有序数对，即函数y ＝x 2＋1图象上的点．。