二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。
一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。
假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。
离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。
二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。
假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。
从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。
三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。
对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。
对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。
1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。
第三章多维随机变量及其分布第五节二维随机变量的函数分布复习：已知一维随机变量X 的概率特性——分布函数或概率密度（分布律）Y = g ( X )求随机变量Y的概率特性方法：将与Y有关的事件转化成X的事件如果g (x k )中有一些是相同的,则Y 取该值的概率为所有g (x i )所对应的P i 之和.一般，若X 是离散型r.v ，X 的概率函数为Xn n p p p x x x 2121～则Y=g (X )～n n p p p x g x g x g 2121)()()(一维离散型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布X f x Y =g X 设为连续型随机变量,其概率密度为,则的概率密度的求解可通过求其分布函数得到.一般过程为:方法一:分布函数法Y 1.求出的分布函数.1-Y F y =P Y y =P g x y =P x g y1-g y -=f x dx.一、离散型分布的情形问题: 已知二维离散型随机变量(X,Y )的分布律, g (x,y )为已知的二元函数, 则Z =g (X,Y )也是离散型随机变量,求Z 的分布律.1kk k ij .Z =z =g x ,y2.k ki j kk k k i j g x ,y =z P Z =z =P X =x ,Y =y k =1,2,…设X ~B (n 1, p ), Y ~B (n 2, p ), 且独立，具有可加性的两个离散分布 设X ~ P ( 1), Y ~ P ( 2), 且独立，则X + Y ~ B ( n 1+n 2,p )则X + Y ~ P ( 1+ 2)二、连续型分布的情形问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率密度，g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率密度函数.方法：1）从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件的概率(分布函数法). 2）代公式(公式法).•z•z += zx（通过分布函数）则),(zFZ2,()z F z时x 1y o解法二（公式法-------图形定限法）其他,02,10,3),(xz x x x x z x fdxx z x f z f Z ),()(由公式（1）其他,00,10,3),(xy x x y x f正态随机变量的情形1）若X ,Y 相互独立,),(~),,(~222211 N Y N X 则),(~222121 N Y X 2）若(X ,Y ));,;,(~222211 N 则)2,(~22212121 N Y X ni N X ii i ,,2,1),,(~2 若n X X X ,,,21 相互独立则),(~1211ni in i i n i i N X(3)M=max(X,Y) 及N=min(X,Y) 的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX (x)和FY(y),我们来求:M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有F M (z )= F X (z )F Y (z )F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是：F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )=1-P (X >z ,Y >z )=1-P (X >z )P (Y >z )即有F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]推广:设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数,则：)(x F i X (i =0,1，…, n ),N=min(X 1,…,X n )的分布函数为:M=max(X 1,…,X n )的分布函数为:111()[()]N X F z F z …1[()]n X F z 1()()M X F z F z ()n X F z …特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有F M (z )=[F (z )] n , F N (z )=1-[1-F (z )] n 若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.例3设系统L 由相互独立的n 个元件组成，连接方式为:(1) 串联；(2) 并联；如果n 个元件的寿命分别为12,,,n X X X 12~(),,,,i X E i n 且求在以上2种组成方式下，系统L 的寿命X 的密度函数.解0,(),i xX e x f x其它100,(),i xX e x F x其它(1)},,,min{21n X X X X ni X X x F x F i 1))(1(1)(,00,)(x x en x f xn X,1,0,)(1x x e x F xX i (2)},,,max{21n X X X X ni X X x F x F i 1)()(,0,0,)1(x x e nx,00,)1()(1x x e en x f n x xXy=y=z•z•zx +y =zz -11x1•z•z1xyz2 21x= 1-z= 1-z。
