21.1.2二次根式性质(2)

华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。

本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。

教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。

此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。

2.二次根式的运算方法。

3.将实际问题转化为二次根式问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。

2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.设计具有代表性的练习题和实际问题。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。

同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。

让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。

21.1 二次根式(2)第二课时教学内容1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a（a ≥0）．教学目标（a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．（a ≥0）是一个非负数，用具体）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1（a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2（a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导）2=a （a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a ≥0叫什么？当a<0有意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______； 2=______；2=_______；）2=_______． 是4是一个平方等于4的）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=，）2=，）2=0，所以例1计算1．22．（23．24．（）2分析）2=a（a≥0）的结论解题．解：2 =，（2 =32·2=32·5=45，2=，（）2=．三、巩固练习计算下列各式的值：）2）2（2）2（ 2四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0）2．23．）24．）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 =a2+2a+1137223256222724=422-（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0）2=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x 4-4(3) 2x2-3分析：(略) 五、归纳小结本节课应掌握：1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a （a≥0）;反之:a=）2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2）P 9 7．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a>0B ．a ≥0C ．a<0D ．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2 （2）-2 （3）（）2 （4）（- 2 (5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3） （4）x （x ≥0） 3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-51216第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9（2）-）2=-3（3）（）2=×6=（4）（-2=9×=6(5)-6 2．（1）5=2 （2）3.4=2（3）=2 （4）x=）2（x ≥0）3．x y =34=81 4.（1）x 2-2=（）（x ）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（x ）(3)略1214322316103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩。

二次根式的性质是什么
一般地，形如√a的代数式叫做二次根式。

接下来分享二次根式的性质及运算法则。

二次根式的性质
1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a，；最简形式中被开方数不能有分母存在。

2.零的平方根是零。

3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

4.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

二次根式的加减法
1.同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2.合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。

1.乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

2.除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

二次根式化简方法
1.把带分数或小数化成假分数；
2.把开方数分解成质因数或分解因式；
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
5.约分。

21．1 二次根式第一课时(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，()2a= a；能运用这个性质进行一些简单的计算。

例1、1x（x>0）、1x y+x≥0，y•≥0）．（x>0）、、x≥0，y≥0）；不是、1x、1x y+．例2．当x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥1 3当x≥1 3例3．当x+11x+在实数范围内有意义？11x+中的≥0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010 xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1+11x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy 的值．(答案:0.4)(2)=0，求a2004+b2004的值．(答案:2) 21.1 二次根式(2) 第二课时1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）．3、a （a ≥0）．例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 答案：()()()()()()()3232)3;222)2;33)12-+-++-+x x x x x x x21.1 二次根式(3) 掌握⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a （3）例题：1、=4 42、=-2)5.1( 1.53、=-2)1(x x-1 （x ≥1） 42(2)69(3)x x x ++≤-=π-3 5、=+-442x x x-2 （2≥x ） （4那么x 取值范围是（ A ）A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 （5）实数p 在数轴上的位置如图所示：·· · · 01 2p化简：22)2()1(pp-+-=p-1+2-p=1一、选择题1 C）．A．0 B．23 C．423 D．以上都不对2．a≥0确的是（A ）．AC．二、填空题1．．02_____．2m的最小值是____5____．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，____甲 ___的解答是错误的，错误的原因是____甲没有先判定1-a 是正数还是负数_．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│(10-x)第三讲二次根式的乘法教学目标：使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则b a ab ∙==b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥并进行相关计算；同时掌握积的算术平方根的性质：b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥；能熟练应用。

21．1 二次根式（共四课时）第一课时:二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．a≥0）的式子叫做二次根式的概念；a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）1、用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：（学生活动）1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0x>0）、例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x（x≥0，y•≥0）．、1+x y例2．当x三、巩固练习当x在实数范围内有意义？四、应用拓展在实数范围内有意义？例3、当x1x+1的值．例4(1)已知，求xy(2)，求a2004+b2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． C．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．15二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当xx_____．3134.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．第二课时：二次根式的意义和性质（1）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标1、（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．难点：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？2、根据算术平方根的意义填空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例1 计算（1）2；（2）2．）2（ 3）．2（ 4）．（2三、巩固练习计算下列各式的值：2）2）24）2（ 2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．23．（）2 4．2五、能力提高在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、课后练习一、选择题1次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（1）2（4）（ 22(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（4）x（x≥0）（1）5 （2）3.4 （3）163=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第三课时：二次根式的意义和性质（2）教学内容a（a≥0）教学目标1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，探究（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．a（a≥0）．难点：探究结论．讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；例1 化简（1（2（3（4三、巩固练习教材P5练习2．四、应用拓展1、当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2．五、归纳小结1（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．2、让学生认识到当0a≥时，2=六、课后练习一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│第4课时：复习二次根式的意义和性质一、教学目标1、二次根式的意义2、二次根式的性质二、教学重点：根据二次根式的性质计算难点根据二次根式的性质计算三、复习回顾：二次根式二次根式的意义11。

第21章二次根式21.1 二次根式※教学目标※【知识与技能】1.了解二次根式的定义.￿2.会求二次根式被开方数中字母的取值范围.￿3.会利用二次根式的非负性解题.￿4.理解二次根式的基本性质：,并能利用它们进行化简或计算.【过程与方法】1.经历观察、比较，总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力.￿2.通过对二次根式性质的探究，提高数学探究能力和归纳能力.￿【情感态度】经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识.￿【教学重点】二次根式的概念，二次根式性质的应用.￿【教学难点】1.利用二次根式的非负性解决具体问题.￿2.二次根式性质的应用.￿￿※教学过程※一、复习引入1.什么是平方根、算术平方根？￿2.你能举出几个这样的代数式，并说明其意义吗？￿【教学说明】教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课.￿二、探索新知1.二次根式的概念￿（1）引导学生概括二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于等于0，这样的式子叫做二次根式.为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式.因此我们把形如的式子叫做二次根式.￿￿(2)思考：根据你已有知识，说说你对二次根式的认识.（学生分组讨论、回答，最后教师总结）￿①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号；≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果.￿￿【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？￿分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0.￿解：二次根式有：;不是二次根式的有：.￿￿交流归纳：从形式上看，一个代数式是二次根式必须具备以下两个条件：（1）必须有二次根号；（2）被开方数不能小于0.￿【例2】x是怎样的实数时，二次根式有意义？￿￿分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数.￿解：被开方数x-1≥0,即x≥1.所以，当x≥1时，二次根式有意义.￿￿交流归纳：由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于等于0，因此求二次根式被开方数中字母取值范围可列不等式求解.￿2.二次根式的性质：的探究￿￿（1）做一做：根据算术平方根的意义填空:￿（2）思考：根据上面的计算，你得出了什么结论？￿学生讨论，得出结论：.￿【例3】计算：￿分析：我们可以直接利用的结论解题.￿解：￿3.二次根式的性质的探究￿（1）做一做：根据算术平方根的意义填空：￿(2)根据上面的计算你得出了什么结论？￿学生讨论得出：一般地，(3)思考：当a<0时，还成立吗？￿￿学生小组讨论，教师举反例说明结论不成立，最后得出结论：(4)通过上面的学习，你认为等于多少？￿得出：￿【例4】化简：分析：因为所以都可运用￿去化简.￿￿解：三、巩固练习1.计算：￿2.计算：3.4.￿x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？￿5.当x是多少时，在实数范围内有意义？￿￿6.已知的值.￿￿答案：￿四、应用拓展【例5】已知2￿<x<3,化简：￿分析：先由,再判断(x-2)与(x-3)的正负，进而去掉绝对值符号，并合并同类项.￿￿解：∵￿2<x<3,∴x-2>0,x-3<0,∴原式=￿.五、归纳小结1.式子叫做二次根式，实质是一个非负实数的算术平方根的表达式.￿2.式子中，被开方数（式）必须大于等于零.￿￿3.求二次根式中字母取值范围的方法：￿（1）观察配方法;￿（2）列不等式或不等式组求解.4.区分※课后作业※教材习题21.1第1、2题.￿。

二次根式的有关概念及性质一、二次根式的有关概念：1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。

二、二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。

三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：（1）（2）（3）（4）+（5）（6）+分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。

解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。

（2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。

（3）∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。

（4）∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。

（5）∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。

（6）∵∴∴x=2∴当x=2时，原式有意义。

二次根式的概念和性质（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2(0a a a =≥）. 2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值。

2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x 为实数时，下列各式()2223,1,,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个.【答案】 3【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【高清课堂：高清ID 号：381279关联的位置名称：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =- （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32；【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）A. 23-B. ()20.3-C. 2-D. x【答案】B. 类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三【高清课堂：高清ID 号：381279关联的位置名称：二次根式及其乘除法（上）经典例题3】【变式】（1）2)252(-=_____________ （2）2)2(2a a ---=_____________【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三【变式】若整数m 2(1)1,5m m m +=+<且则m 的值是___________.【答案】m=0或m=-1.类型三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（）A．15B．0.1C．15 D.212【答案】C.类型四：同类二次根式6. （2016•巴中）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )A. 18B.13C.149D.1150【答案】 B. 【解析】故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C. a=1，b=-1 D. a=1，b=1【答案】 D.根据题意，得解之，得，故选D.。

数学人教版九年级上册知识点重难点总结21.1二次根式1、二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

★常考点：求被开方数a 的取值范围2、二次根式的性质 （1）)0(≥a a ≥0（2）)0()(2≥=a a a)0(≥a a（3）==a a 2)0(<-a a★常考点：1、2a 与（a ）2的区别2、例题：=---x x 11（x+y ）2；求x 、y 的值21.2二次根式的乘除1、二次根式乘除运算法则：（1） 二次根式乘法法则b a ab ∙==b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥（2） 积的算术平方根的性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab（3）二次根式除法法则)0,0(≥≥=b a bab a ； （4） 除法法则逆运算ab =a b （a ≥0；b>0）2、最简二次根式 若二次根式满足：（1）被开方数的因数是整数；因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；把这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式；先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式；然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式；先将他们分解因数或因式；然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、二次根式的加减（1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后；如果被开方数相同；这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）二次根式加减法步骤：a.先将二次根式化成最简二次根式b.找出同类二次根式c.合并同类二次根式（3）二次根式混合运算法则：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样；先乘方；再乘除；最后加减；有括号的先算括号里的（或先去括号）。

常考题型：1、如果2(x-2)=2-x那么x 取值范围是________2、实数p 在数轴上的位置如图所示：化简：22)2()1(p p -+-= p-1+2-p=1二十二章 一元二次方程22.1一元二次方程1、一元二次方程概念含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。