一元二次方程的概念题目

一元二次方程专题讲练一、知识点归纳及题型：概念——解法——实际应用——根的判别式、根系关系——二次函数 （一）概念：)0(02≠=++a c bx ax 叫一元二次方程。

相关题型：1、判断一个方程是否是一元二次方程；2、求一个一元二次方程中相关字母的值。

例：○1、下列方程中，不是一元二次方程的是_________．[ ] A ．2x 2+7=0 B ．2x 2+23x +1=0 C ．5x 2+x1+4=0 D ．3x 2+(1+x ) 2+1=0 小结：判断一个方程是否是一元二次方程的条件是：○1是整式方程；○2未知数的指数为2；○3二次项系数不等于0，即a ≠0。

○2、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是_________． 判断a 的取值范围需要把方程整理为一般形式后才进行解答。

（二）解法：1、 直接开平方法：方程有根的前提：A ≥02、 配方法：（适用所有方程，但方程易化成022=++C kx x 的形式）3、 公式法：02=++c bx ax 有根的前提⊿≥0，aac b b x 2422,1-±-=一元二次方程根02=++c bx ax 的判别式：⊿另外：⊿≥0时，方程有实数根；4、因式分解法：提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法、5、换元法解方程解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以化高次为低次、化分式为整式。

换元法体现了数学中的转化思想。

6、解含绝对值的方程。

相关题型：1、解方程；2、利用配方法求代数式的最值或证明恒为正（负）；3、利用根的判别式判断根的几种情况或相关字母的取值范围；4、用换元法解方程。

5、解含绝对值的方程 例：1、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程ac b 42-=1、3x ² -1=02、x （2x +3）=5（2x +3）3、x ² - 3 x +2=04、2 x ² -5x+1=0小结：○1、形如（x-k ）²=h 的方程可以用直接开平方法求解○2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了，要利用因式分解法求解。

一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。

3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。

4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。

(x+1)^3=2(x+1)B。

2√x+1-11=0C。

ax^2+bx+c=0D。

x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。

例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。

例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。

一元二次方程的重难点及题型【重难点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

【思路点拨】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【题型】①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x+3＝1/x属于分式方程，故错误；⑤√x+1＝x﹣1属于无理方程，故错误；故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。

【重难点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【思路点拨】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0【题型】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，得m²﹣9＝0，解得m＝﹣3或3，当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，故选：B【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念【重难点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤【思路点拨】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【重难点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；（2）将a的值代入得出方程，解之可得．【题型】（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）²﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；（2）由题意知a＝3，则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac的关系是解答此题的关键．【重难点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【思路点拨】（1）将所求的代数式进行变形处理：x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂。

九年级上《211. 一元二次方程的定义：方程两边差不多上整式，只含有一个未知数，同时未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

举例：2230x x +-=；20x x -=；22x =。

2. 一元二次方程的一样形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

举例：2230x x +-=。

3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也能够叫做一元二次方程的根。

例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有 。

（填序号）①25x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=；④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x-+=；⑥204y y -=。

（2）若关于x 的方程(a －5)3a x -+2x －1=0是一元二次方程，则a 的值是_______。

思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判定：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④通过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得32a -=，因此5a =±；然而当5a =时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故5a =应舍去；当5a =-时，原方程为210210x x -+-=，因此5a =-。

答案：（1）①③⑥；（2）5-点评：做概念辨析题要紧扣定义，关于一元二次方程要把握如此几个关键点：①方程两边差不多上整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。

例题2 把方程x(2x －1)=5(x+3)化成一样形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。

思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由()()2153x x x -=+得22515x x x -=+，移项得225150x x x ---=，合并同类项得226150x x --=。

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。

2x^2+11x-2=0B。

ax^2+bx+c=DC。

2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。

针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。

3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。

m=n=2B。

m=2.n=1C。

n=2.m=1D。

m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

根的概念可用于求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。

九年级一元二次方程常见题型及解析一、基础概念和定义1. 一元二次方程的定义在数学中，一元二次方程是指一个未知数的二次方程，它的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数且a≠0。

2. 一元二次方程的解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、公式法等多种方法求解。

二、一元二次方程的基本形式1. 一元二次方程的标准形式通常把一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式，其中a、b、c分别为系数。

2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是指包含a、b、c的未知数x的二次方程。

三、一元二次方程的常见题型及解法1. 二次方程的求解通过因式分解、配方法或者使用求根公式可以求解一元二次方程。

2. 一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有许多应用，比如物体的抛射运动、面积和周长的问题等。

四、习题及解析1）例题一求解方程x^2+3x-4=0。

解析：使用因式分解法，将x^2+3x-4=（x-1）（x+4），得到x=1或x=-4两个解。

2）例题二一个长方形的长比宽多3米，长方形的面积是30平方米，求长和宽各是多少米？解析：设长为x+3，宽为x，根据面积公式x(x+3)=30，解一元二次方程得到x=5，长为8，宽为5。

3）例题三某人闲逛河边捡到一叶扁舟，用量尺测得船头离船尾22cm，水面外露8cm，则该船的吃水深度是多少？解析：设船的全长为x，吃水深度为（x-22），根据勾股定理得到（x-22）^2+64=x^2，解一元二次方程得到x=40，吃水深度为18cm。

五、总结与回顾1. 通过以上例题的解析，我们可以发现一元二次方程的求解需要掌握多种方法，而且能够应用到实际问题中。

2. 在解题过程中，我们需要灵活运用因式分解、配方法、公式法等多种方法，并且要注意问题转化和模型建立的能力。

3. 九年级一元二次方程作为数学的重要内容，需要我们在学习中多加练习，加强对知识的理解和掌握。

六、个人观点在学习九年级一元二次方程的过程中，我认为重点在于掌握基本解法的要能够将数学知识与实际生活相结合，灵活运用公式和方法解决问题，这样才能更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力。

一元二次方程一、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程叫做一元一次方程。

例1：在下列各式中①x 2+3=x; ②2 x 2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2- 4x – 5 ; ④x 2=- x1+2是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个练习：1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________．二、一元二次方程的一般式为： ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)例2：方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.练习：1．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( )A 6B 5C -5D 02.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数例3：方程3 x 2+27=0的解是( )A x=±3B x= -3C 无实数根D 以上都不对练习1、关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.三、直接开平方解一元二次方程例4：（x+5）2=16 8（3 -x ）2 –72=0练习：方程x 2=1的解为______________.方程3 x 2=27的解为______________.四、配方法解一元二次方程1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2；②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2；④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-17．把方程x+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=011.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。

一元二次方程的概念和解法一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．判断是一元二次方程的标准：①整式方程 ②一元方程 ③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．题模一：概念例1.1.1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．223253x x x --= D ．()()121x x -+=例1.1.2方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______例1.1.3若()22230m m x x --+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________例1.1.4已知关于x 的方程：2(2)(1)60m mm x m x --+-+=是一元二次方程，试求m的值_____．例1.1.5若方程()211m x x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．例1.1.6方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例1.2.1关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为_________________．例 1.2.2已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则=-n m __________。

例1.2.3已知1x =是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为_______．随练1.1关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ，当m __________时是一元一次方程；当m __________时是一元二次方程随练1.2若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________随练 1.3已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则m n -=__________随练1.4若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ） A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012一．直接开平方法若()20x a a =≥，则x 叫做a 的平方根，表示为x =这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 二．直接开平方法的基本类型1．2(0)x a a =≥解为：x =2．2()(0)x a b b +=≥解为：x a += 3．2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += 4．22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+题模一：直接开平方法例2.1.1方程（x ﹣1）2=4的根是__． 例2.1.2方程（x+2）2﹣9=0的解为：__例2.1.3一元二次方程4（x ﹣1）2﹣9=0的解是 ． 例2.1.4求x 的值：21(51)303x --=随练2.1解下列方程：（1）2280x -= （2）225160x -= （3）()2190x --=随练2.2解关于x 的方程：2269(52)x x x -+=-随练2.3若方程()224x a -=-有实数根，则a 的取值范围是________.随练2.4解关于x 的方程：22(31)85x +=作业1若2|1|0b a -+=，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．250ax x b +-=B ．()()221350b x a x -++-=C ．()()21170a x b x -+--=D ．()2110b x ax ---=作业2已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．作业3若n （n ≠0）是关于x 方程x 2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2作业4解关于x21)x -=作业5用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）29160x -= （2）()25160x +-= （3）()()22531x x -=+ （4）()()22425931x x -=-一．配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：运用配方法解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程的一般步骤是： 1．二次项系数化1； 2．常数项右移；3．配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）； 4．化成2()x m n +=的形式；5．若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+=．题模一：配方法例1.1.1用配方法解方程：2640x x --=例1.1.2用配方法解下列方程： （1）22810x x +-= （2）2420x x ++= （3）211063x x +-= （4）231y +=例1.1.3已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值例1.1.4选用适当的方法，解下列方程： （1）（x ﹣1）2=3 （2）2x 2﹣5x+3=0．题模二：最值问题例1.2.1试用配方法说明223x x -+的值恒大于0例1.2.2已知x 、y 为实数，求代数式22247x y x y ++-+的最小值随练1.1若把代数式257x x ++化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -=_________．随练1.2已知a ，b ，c 均为实数，且4a b +=，2210c ab -=-，求ab 的值．随练1.3用配方法说明21074x x -+-的值恒小于0 随练1.4已知x ，y 为实数，求代数式2254824x y xy x +-++的最小值．一．公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则1,2x =．二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式； 2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算24b ac -的值；4．若240b ac -≥，则代入公式求方程的根； 5．若240b ac -<，则方程无解．三．判别式与根的关系1．0∆>时，原方程有两个不相等的实数解； 2．0∆=时，原方程有两个相等的实数解； 3．0∆<时，原方程没有实数解．题模一：公式法例2.1.1解方程：x 2+4x ﹣1=0．例2.1.2解方程1(61)432(2)2x x x x ++-=+ 例2.1.3用公式法解关于x 的一元二次方程()()212130m x m x m -+-+-=．例2.1.4解方程：320x x x -+=题模二：判别式与根的关系例2.2.1下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ） A ．x 2+1=0 B ．x 2﹣3x+1=0 C ．x 2﹣2x+1=0 D ．x 2﹣x+1=0例2.2.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <- B ．1m > C ．1m <且0m ≠ D ．1m >-且0m ≠例2.2.3关于x 的方程（a-6）x 2-8x+6=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9随练2.1用公式法解一元二次方程22310x x --=．随练2.2解方程(5)(7)1x x --= 随练2.3解关于x 的方程：20x px q ++=．随练2.4解关于x 的方程210x x --=．随练2.5下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+1=0 C ．x 2=2x-1 D ．x 2-4x-5=0随练2.6若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）2210kx x --=A ．B ．C ．且D ．且随练2.7已知关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+1=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥-54且m ≠1 B ．m ≤54且m ≠1 C ．m ≥54 D ．m ≤-54且m ≠0一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =．题模一：因式分解法例3.1.1用因式分解法解方程：()()23430x x x -+-=例3.1.2用因式分解法解方程：23440x x --=．1k >-1k <1k >-0k ≠1k <0k≠例3.1.3用因式分解法解方程：()()22921610x x --+=．例3.1.4用因式分解法解方程：222320x mx m mn n -+--=，（m 、n 为常数）随练3.1用因式分解法解方程：()22136x x-=-．随练3.2用因式分解法解方程：()22510531x x x -+=-随练3.3用因式分解法解方程：26350x x --=．随练 3.4用因式分解法解关于x 的一元二次方程()()221631720mx m x ---+=（21m ≠）．。

一元二次方程基础训练题一、一元二次方程的概念类题目1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x^2+2x = x^2-1B. ax^2+bx + c = 0C. 3(x + 1)^2=2(x + 1)D. (1)/(x^2)+x - 2 = 0解析：- 对于选项A，将方程x^2+2x = x^2-1化简为2x=-1，这是一元一次方程，不是一元二次方程。

- 选项B，当a = 0时，ax^2+bx + c = 0就不是一元二次方程了，所以该选项不一定是一元二次方程。

- 选项C，将3(x + 1)^2=2(x + 1)展开得到3(x^2+2x + 1)=2x+2，即3x^2+6x+3 = 2x + 2，进一步化简为3x^2+4x+1 = 0，这是一元二次方程。

- 选项D，(1)/(x^2)+x - 2 = 0是分式方程，不是一元二次方程。

所以答案是C。

2. 方程(m - 2)x^2+3mx+1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A. m≠0B. m≠2C. m≠ - 2D. m为任意实数解析：一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)，在方程(m - 2)x^2+3mx+1 = 0中，要使其为一元二次方程，则二次项系数m - 2≠0，解得m≠2，所以答案是B。

二、一元二次方程的求解（直接开平方法）1. 解方程(x - 3)^2=16解析：对于方程(x - 3)^2=16，根据直接开平方法，可得x-3=±4。

当x - 3 = 4时，x=4 + 3=7；当x - 3=-4时，x=-4 + 3=-1。

所以方程的解为x_1=7，x_2=-1。

2. 解方程2(x + 1)^2-8 = 0解析：首先对原方程进行化简：2(x + 1)^2-8 = 0，移项得到2(x + 1)^2=8，两边同时除以2得(x + 1)^2=4。

然后根据直接开平方法，x + 1=±2。

一元二次方程的概念1一．选择题（共20小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2=﹣1B．C．x2+y+1=0D．x3﹣2x2=1 2．如果方程（m﹣3）x2﹣（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m不能取的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．都不对3．在下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+x+1=0B．x2=0C．（）2++1=0D．x（x﹣1）=x2．4．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≠0C．a≠1D．a=15．下列方程中是一元二次方程的有（）（1）x3﹣2x2+5=0；（2）x2=1；（3）2x2﹣5y=0；（4）ax2+bx+c=0．A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列方程中，是一元二次方程的有（）①8x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③x2﹣=4；④x2=0；⑤x2﹣3x﹣4=0A．2个B．3个C．4个D．5个7．下列方程：①x2=0，②﹣2=0，③2x2﹣y+1=0，④x3﹣4x2+1=0中，一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若（a﹣2）+3x+4=0是关于x的一元二次方程，则a的值等于（）A．B．±2C．2D．﹣29．已知（m﹣2）x n﹣3nx+2=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠0，n=2B．m≠2，n=2C．m≠0，n=3D．m≠2，n≠0 10．若方程（m﹣1）x m2+1﹣（m+1）x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣111．一元二次方程3x2﹣6x+1=0的二次项系数、一次项系数分别是（）A．3，﹣6B．3，1C．﹣6，1D．3，612．将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，一次项系数和常数项分别是（）A．﹣1，2B．1，1C．1，﹣2D．1，213．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后一次项的系数为﹣2，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．214．方程x（x﹣5）=0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．115．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2=0B．3x2﹣4x﹣2=0C．3x2+4x+2=0D．3x2+4x﹣2=0 16．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．5D．117．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±218．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2018的值为（）A．2017B．2018C．2019D．202019．已知x=﹣1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±120．若已知2是关于x的方程x2﹣2a=0的一个根，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共20小题）21．已知（m﹣1）x﹣4x+5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为．22．关于x的方程（m2﹣4）x2﹣（m﹣2）x+1=0，当m时，原方程为一元二次方程．23．当m=时，关于x的方程（m﹣1）﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程．24．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为．25．下列方程中，①x2=0；②x2=y+4；③ax2+2x﹣3=0（其中a是常数）；④x（2x ﹣3）=2x（x﹣1）；⑤（x2+3）=x，一定是一元二次方程的有（填序号）．26．已知（a﹣2）x2+2x=0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是．27．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于．28．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2﹣1化为一般形式为．29．关于x的一元二次方程x2+2x=3，其一般形式为．30．方程2x2﹣1=3x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．31．方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是．32．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是．33．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是．34．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0的一个根是零，则m=．35．若一个一元二次方程的有一个根为﹣3，请写出一个符合题意的关于x的一元二次方程．36．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的一个实数根是m，则代数式m2﹣的值等于．37．已知方程x2﹣3x+m=0与方程x2+（m+3）x﹣6=0有一个共同根，则这个共同根是．38．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣6=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为39．x=1（填“是”或“不是”）方程4x2﹣9=2x﹣7的解．40．若a是方程x2﹣3x+1=0的根，计算：a2﹣3a+=．一元二次方程的概念1参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2=﹣1B．C．x2+y+1=0D．x3﹣2x2=1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：x2=﹣1是一元二次方程，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．如果方程（m﹣3）x2﹣（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m不能取的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．都不对【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：∵方程（m﹣3）x2﹣（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，∴m﹣3≠0，即m≠3，则m不能取的值是3，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．3．在下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+x+1=0B．x2=0C．（）2++1=0D．x（x﹣1）=x2．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．4．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≠0C．a≠1D．a=1【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，a≠1，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．5．下列方程中是一元二次方程的有（）（1）x3﹣2x2+5=0；（2）x2=1；（3）2x2﹣5y=0；（4）ax2+bx+c=0．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：（1）x3﹣2x2+5=0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程；（2）x2=1，符合一元二次方程的定义；（3）2x2﹣5y=0，含有两个未知数，不是一元二次方程；（4）ax2+bx+c=0，当a=0时，不是一元二次方程；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．6．下列方程中，是一元二次方程的有（）①8x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③x2﹣=4；④x2=0；⑤x2﹣3x﹣4=0A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：①8x2+x=20符合一元二次方程；②2x2﹣3xy+4=0含有两个未知数，不符合一元二次方程定义；③x2﹣=4不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④x2=0符合一元二次方程；⑤x2﹣3x﹣4=0符合一元二次方程；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7．下列方程：①x2=0，②﹣2=0，③2x2﹣y+1=0，④x3﹣4x2+1=0中，一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：①x2=0符合一元二次方程定义；②﹣2=0不是整式方程，不是一元二次方程；③2x2﹣y+1=0含有两个未知数，不是一元二次方程；④x3﹣4x2+1=0未知数的最高次数是3，不是一元二次方程；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．8．若（a﹣2）+3x+4=0是关于x的一元二次方程，则a的值等于（）A．B．±2C．2D．﹣2【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵（a﹣2）+3x+4=0是关于x的一元二次方程，∴a2﹣2=2，a﹣2≠0，解得：a=﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．9．已知（m﹣2）x n﹣3nx+2=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠0，n=2B．m≠2，n=2C．m≠0，n=3D．m≠2，n≠0【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可．【解答】解：∵（m﹣2）x n﹣3nx+2=0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，n=2，解得m≠2，n=2．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．10．若方程（m﹣1）x m2+1﹣（m+1）x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得：m2+1=2，m﹣1≠0，解得m=﹣1，故选：D．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．11．一元二次方程3x2﹣6x+1=0的二次项系数、一次项系数分别是（）A．3，﹣6B．3，1C．﹣6，1D．3，6【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可．【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x+1=0的二次项系数，一次项系数分别是3，﹣6．故选：A．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，一次项系数和常数项分别是（）A．﹣1，2B．1，1C．1，﹣2D．1，2【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【解答】解：将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，变为x2+x﹣2=0，故一次项系数和常数项分别是：1，﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．13．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后一次项的系数为﹣2，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】整理为一般形式后，根据一次项的系数为﹣2，列方程求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣mx+1=0，∵一次项的系数为﹣2，∴﹣m=﹣2，解得：m=2．故选：D．【点评】考查了一元二次方程的一般形式，解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．方程x（x﹣5）=0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x（x﹣5）=0∴x2﹣5x=0，∴方程x（x﹣5）=0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解答本题的关键是明确题意，可以将方程化为一般形式．15．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2=0B．3x2﹣4x﹣2=0C．3x2+4x+2=0D．3x2+4x﹣2=0【分析】方程整理为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x+2=0，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．16．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．5D．1【分析】：把x=﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3=0得到2+m﹣3=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3=0得2+m﹣3=0，解得m=1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±2【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m﹣1≠0．【解答】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2﹣1=0，解得：m=1或m=﹣1，又m﹣1≠0，即m≠1，∴m=﹣1，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m﹣1≠0这一条件．18．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2018的值为（）A．2017B．2018C．2019D．2020【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，变形m3+2m2+2018为m3+m2+m2+2018，然后整体代入得结果【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m=1∵m3+2m2+2018=m3+m2+m2+2018=m（m2+m）+m2+2018=m+m2+2018=1+2018=2019．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m的等式，变形m3+2m2+2018后整体代入．19．已知x=﹣1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±1【分析】把x=﹣1代入方程x2+mx+n=0，得到：﹣m+n=﹣1，等式两边完全平方即可得到答案．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2+mx+n=0得：（﹣1）2﹣m+n=0，解得：﹣m+n=﹣1，m2+n2﹣2mn=（﹣m+n）2=（﹣1）2=1，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法，找到m与n的关系是解决本题的关键．20．若已知2是关于x的方程x2﹣2a=0的一个根，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】把x=2代入x2﹣2a=0得×4﹣2a=0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x=2代入x2﹣2a=0得×4﹣2a=0，解得a=3．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二．填空题（共20小题）21．已知（m﹣1）x﹣4x+5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为0或3．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵（m﹣1）x﹣4x+5=0是关于x的一元二次方程，∴|m2﹣3m+2|=2，m﹣1≠0，解得：m1=0，m2=3，故答案为：0或3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．22．关于x的方程（m2﹣4）x2﹣（m﹣2）x+1=0，当m≠±2时，原方程为一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义可知：未知数的二次项不等于零，得到关于m 的不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：m2﹣4≠0，解得：m≠±2，故答案为：≠±2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．23．当m=2时，关于x的方程（m﹣1）﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程，∴，解得；m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，而b，c可以是0．24．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为﹣2．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．25．下列方程中，①x2=0；②x2=y+4；③ax2+2x﹣3=0（其中a是常数）；④x（2x ﹣3）=2x（x﹣1）；⑤（x2+3）=x，一定是一元二次方程的有①⑤（填序号）．【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：①x2=0是一元二次方程；②x2=y+4，含有两个未知数x、y，不是一元二次方程；③ax2+2x﹣3=0（其中a是常数），a=0时不是一元二次方程；④x（2x﹣3）=2x（x﹣1），整理后是一元一次方程；⑤（x2+3）=x是一元二次方程；一定是一元二次方程的有①⑤．故答案为：①⑤．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．26．已知（a﹣2）x2+2x=0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是a≠2．【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【解答】解：由题意，得a﹣2≠0，解得a≠2，故答案为：a≠2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．27．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于﹣2．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，∴m2﹣4=0，m﹣2≠0，解得：m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．28．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2﹣1化为一般形式为x2﹣9x+1=0．【分析】把方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式即可．【解答】解：去括号得，3x2﹣9x=2x2﹣1，移项得，3x2﹣9x﹣2x2+1=0，合并同类项得，x2﹣9x+1=0，故答案为x2﹣9x+1=0．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．29．关于x的一元二次方程x2+2x=3，其一般形式为x2+2x﹣3=0．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：x2+2x=3则x2+2x﹣3=0，故答案为：x2+2x﹣3=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．30．方程2x2﹣1=3x的二次项系数是2，一次项系数是﹣3，常数项是﹣1．【分析】先将已知方程转化为一般形式，然后求方程3x2=x+2的二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：由已知方程得到：2x2﹣3x﹣1=0，所以方程2x2﹣1=3x的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3、﹣1．故答案为：2；﹣3；﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．31．方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是x2﹣5x+5=0．【分析】首先利用整式是乘法法则打开括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式．【解答】解：由x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0，得x2﹣6x+4+x+1=0，整理，得x2﹣5x+5=0．故答案是：x2﹣5x+5=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．32．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是x2+2x ﹣1=0．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x的一般形式是﹣x2﹣2x+1=0，根据等式的性质方程两边同乘以﹣1得x2+2x﹣1=0．【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．33．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是2018．【分析】把x=2代入方程ax2﹣bx+4=0得到2a﹣b=﹣2，然后利用整体代入的方法计算2020+2a﹣b的值．【解答】解：把x=2代入方程ax2﹣bx+4=0得4a﹣2b+4=0，所以2a﹣b=﹣2，所以2020+2a﹣b=2020﹣2=2018．故答案为2018．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．34．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0的一个根是零，则m= 2．【分析】把x=0代入方程，求出m，再判断即可．【解答】解：把x=0代入方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0得：0+0+m2﹣4=0，解得：m=±2，∵方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，即m≠﹣2，所以m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能根据题意得出m2﹣4=0和m+2≠0是解此题的关键．35．若一个一元二次方程的有一个根为﹣3，请写出一个符合题意的关于x的一元二次方程x2+x﹣6=0．【分析】令方程的另一根为2，由此即可得出该一元二次方程可以为（x+3）（x ﹣2）=x2+x﹣6=0，此题得解．【解答】解：∵方程的另一个根为﹣3，可设另一根为2，∴该方程可以为（x+3）（x﹣2）=x2+x﹣6=0．故答案为：x2+x﹣6=0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解找出方程是解题的关键．36．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的一个实数根是m，则代数式m2﹣的值等于4．【分析】将x=m代入已知方程得到m2=2m+1，然后将其代入所求的代数式进行化简即可．【解答】解：依题意得：m2﹣2m﹣1=0，∴m2=2m+1，m2﹣1=2m，∴m2﹣=2m+1﹣====4．故答案是：4．【点评】考查了一元二次方程的解的定义，解题的技巧在于利用了整体代入的数学思想．37．已知方程x2﹣3x+m=0与方程x2+（m+3）x﹣6=0有一个共同根，则这个共同根是x=1．【分析】联立两方程，解方程组即可求得共同的根．【解答】解：存在．由题意联立两方程可得，解得x=1，故答案是：x=1．【点评】本题主要考查一元二次方程的根的定义，联立方程求得两方程的根是解题的关键．38．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣6=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为3【分析】把x=﹣1代入方程得出a﹣b=6，再将分式分解因式，约分后代入，即可求出答案．【解答】解：将x=﹣1代入方程ax2+bx﹣6=0，得：a﹣b﹣6=0，a﹣b=6．∴====3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，得到a﹣b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．39．x=1是（填“是”或“不是”）方程4x2﹣9=2x﹣7的解．【分析】把x=1分别代入方程4x2﹣9=2x﹣7的左右两边，计算即可求解．【解答】解：把x=1分别代入方程4x2﹣9=2x﹣7的左右两边，得：左边=4×12﹣9=﹣5，右边=2×1﹣7=﹣5，左边=右边，则x=1是方程4x2﹣9=2x﹣7的解．故答案为：是．【点评】此题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．40．若a是方程x2﹣3x+1=0的根，计算：a2﹣3a+=0．【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1、a2+1=3a，整体代入计算可得．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1=0的根，∴a2﹣3a+1=0，则a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a，所以原式=﹣1+1=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及整体代入思想的运用．。

一元二次方程的概念练习题1.选B。

因为B是形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程。

2.选C。

将方程整理得到-25x^2+30x+15=0，再将其除以-5即可得到x^2-(6/5)x-(3/5)=0，即选C。

3.选C。

将方程变形得到3x^2-2x+1=0，与一般形式ax^2+bx+c=0对比，可知二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项系数为1，故选C。

4.选D。

将(x+2)(x-3)=4展开得到x^2-x-10=0，即选D。

5.选B。

将方程合并同类项得到x^2+2x+1=0，再将其化简得到(x+1)^2=0，即x=-1，故一次项系数为-1，选B。

6.选A。

要使分式的值为0，分母应该为0，即x-4=0或x-5=0，故x=4或x=5，选A。

7.选A。

设2x+1=p，2x-1=q，则p和q互为倒数，即pq=1，解得p=1/2，q=-2，故2x+1=1/2，解得x=-3/4，满足±1/2和±3/4，选A。

8.选B。

将ax^2+b+c=0化简得到(a-1)x^2-x=0，当a=0时不是一元二次方程，故无论a取何值，选B。

9.选B。

第一次降价后价格为0.8m，第二次降价后价格为0.8*0.8m=0.64m，即0.64m=m*(1-0.2)^2，解得m=1.2m/(0.8*0.8)=1.5m，故原价为1.5m，选B。

10.选C。

由已知可得a=(a+b+c)-(a-b+c)-2b=2c，将ax^2+bx+c=0代入得到2cx^2+bx+c=0，由于a≠0，故c≠0，故方程的根为1和-1，选C。

11.选B。

将方程移项得到ax^2-5x+3=0，由于a≠0，故x的取值不影响方程为一元二次方程，将不等式化简得到a>-2/3，故选B。

12.选C。

方程x^2=0的解只有一个x=0，故选C。

13.选A。

只有①、②、③是一元二次方程，故选A。

一次项系数和常数项。

14.若方程（m^2-1）x^2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）。

- 1 - 一元二次方程一）一元二次方程的定义)0a (0c bx ax 2¹=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。

求根公式为()0ac 4b a2ac 4b b x 22³--±-=二）)0a (0c bx ax 2¹=++。

a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。

这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、ac 4b 2-D ＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根；2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；3、当Δ< 0时方程无实数根时方程无实数根. .4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）时方程有两个实数根（方程有实数根）; ;5、ac<0时方程必有解时方程必有解,,且有两个不相等的实数根且有两个不相等的实数根; ;6、c=0c=0，即缺常数项时，方程有，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.0.另一个根为另一个根为ab-7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。

8、若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2¹=++的两个实数根，即①abx x 21-=+ac x x 21=·（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。

）例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于5656，若存在，求出，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

②一元二次方程)0a (0c bx ax 2¹=++可变形为()()0x x xx a 21=++的形式。

一元二次方程的概念2一．解答题（共18小题）1．已知方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？2．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．3．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．4．关于x的方程（k+1）x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值．5．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．6．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2=1﹣3x（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．7．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．8．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？9．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）10．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．11．（1）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根，求代数式a2﹣2015a ﹣的值．（2）先化简，再求值：x=，y=，求的值．（3）已知与|a﹣2b+1|互为相反数，求（a﹣b）2013的值．12．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．13．观察下列一组方程：①x2﹣x=0；②x2﹣3x+2=0；③x2﹣5x+6=0；④x2﹣7x+12=0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．14．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣+1）的值．15．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．16．将方程（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值．17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣）（x+）=0；（2）（x﹣3）2=（x+4）2．18．观察下列一元二次方程：①x2+2x﹣3=0；②x2﹣7x+6=0；③3x2﹣2x﹣1=0；④5x2+3x﹣8=0．（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程．一元二次方程的概念2参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．已知方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程，∴，解得：m=±，所以当m为或﹣时，方程方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程，∴或m2=1解得，m=2或m=±1，故当m为2或±1时，方程方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程．【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．2．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【分析】只要证明二次项系数不为零即可．【解答】解：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4又∵（a﹣4）2≥0，∴a2﹣8a+20≠0，∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，证得二次项系数不为零是解题的关键．3．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得，|m﹣1|=2，且m+1≠0，解得：m=3，答：m的值为3．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．4．关于x的方程（k+1）x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得，，解得k=3．故k的值是3．【点评】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．5．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由题意，得m2+3m+2=0，且m+1≠0，解得m=﹣2，m的值是﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2=1﹣3x（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：（1）2x2=1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．【分析】把a（x+1）2+b（x+1）+c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照3x2+2x﹣1=0，求出a、b、c的值，再代入计算．【解答】解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c=0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，则，解得，∴a2+b2﹣c2=9+16=25，∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．【点评】此题主要考查一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），注意最后的一步是求算术平方根，容易忽略．8．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？【分析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以﹣1，﹣2，2即可变形得到正确选项；（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式．（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x=2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可；（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．【解答】解：（1）∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0为一元一次方程，∴m2﹣1=0，且m+1≠0，解得：m=1；（2）∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，即m≠±1，则二次项系数为m2﹣1；一次项系数为﹣（m+1）；常数项为m．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元一次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．【分析】根据m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，∴m2﹣m﹣2=0，∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，∴（m2﹣m）（m﹣+1）===2×（1+1）=2×2=4．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．11．（1）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根，求代数式a2﹣2015a ﹣的值．（2）先化简，再求值：x=，y=，求的值．（3）已知与|a﹣2b+1|互为相反数，求（a﹣b）2013的值．【分析】（1）利用方程解的定义得到a2=2016a﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值；（2）先进行出x+y与xy的值，再利用通分和完全平方公式得到=，然后利用整体代入的方法计算；（3）根据题意得到+|a﹣2b+1|=0，再利用非负数的性质得到，把两方程相加可得到a﹣b的值，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2016x+1=0根，∴a2﹣2016a+1=0，∴a2=2016a﹣1，∴原式=2016a﹣1﹣2015a﹣=a﹣1﹣a=﹣1；（2）∵x==2+，y==2﹣，∴x+y=4，xy=1，∴====14；（3）∵与|a﹣2b+1|互为相反数，∴+|a﹣2b+1|=0，∴，∴3a﹣3b﹣3=0，∴a﹣b=1，∴（a﹣b）2013=1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解二元一次方程组．12．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型13．观察下列一组方程：①x2﹣x=0；②x2﹣3x+2=0；③x2﹣5x+6=0；④x2﹣7x+12=0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值．【解答】解：（1）由题意可得：k=﹣15，则原方程为：x2﹣15x+56=0，则（x﹣7）（x﹣8）=0，解得：x1=7，x2=8；（2）第n个方程为：x2+（2n﹣1）x+n（n﹣1）=0，（x﹣n）（x﹣n+1）=0，解得：x1=n﹣1，x2=n．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．14．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣+1）的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义来求a的值；（2）由（1）得到该方程为x2﹣x﹣2=0，把x=m代入可以求得（m2﹣m）、（m﹣+1）的值；然后将其整体代入即可求得所求代数式的值．【解答】解：（1）由于x|a|﹣1﹣x﹣2=0是关于x的一元二次方程，所以|a|﹣1=2，解得：a=±3；（2）由（1）知，该方程为x2﹣x﹣2=0，把x=m代入，得m2﹣m=2，①又因为m2﹣1﹣=0，所以m﹣=1，②把①②代入（m2﹣m）•（m﹣+1），得（m2﹣m）•（m﹣+1）=2×（1+1）=4，即（m2﹣m）•（m﹣+1）=4．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义．解题时，利用了整体代入是数学思想，减少了繁琐的计算过程，提高了解题的正确率．15．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意，得m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0，解得m=3，m的值是3．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．16．将方程（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值．【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，再整理可得2x2+x﹣1=0，从而得到a=2，b=1，c=﹣1，再代入式子即可求值．【解答】解：（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14，3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，整理得：2x2+x﹣1=0，a=2，b=1，c=﹣1，===．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣）（x+）=0；（2）（x﹣3）2=（x+4）2．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：（1）一般形式为x2+（﹣）x﹣=0，二次项系数是1、一次项系数是（），常数项是﹣；（2）一般形式为x2+6x+5=0，二次项系数，一次项系数是6，常数项是5．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．18．观察下列一元二次方程：①x2+2x﹣3=0；②x2﹣7x+6=0；③3x2﹣2x﹣1=0；④5x2+3x﹣8=0．（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程．【分析】（1）观察方程可得到三个系数之和为0，可得出答案；（2）由（1）中所得出的结论写出一个方程即可．【解答】解：（1）在①中，a=1，b=2，c=﹣3，则a+b+c=0，在②中，a=1，b=﹣7，c=6，则a+b+c=0，在③中，a=3，b=﹣2，c=﹣1，则a+b+c=0，在④中，a=5，b=3，c=﹣8，则a+b+c=0，∴方程的系数公共的特征为a+b+c=0；（2）由（1）可知a+b+c=0，∴所写方程为x2﹣x=0．【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，观察方程得出系数之间的关系是解题的关键．。

第八章 一元二次方程一元二次方程1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．(1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x ＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念．A ．0B ．1C ．2D ．3展示素材，创设情境1．某校要在校园内墙边的空地上修建一个平面图为矩形的存车处，要求存车处的一面靠墙（墙长15m ，如图中AB 所示），另外三面用90m 的铁栅栏围起来，并在与AB 垂直的一边上开一道2m 宽的门。

如果矩形存车处的面积为480m 2，请以矩形一边长为未知数列方程。

导入新课新知探究生成2．某住宅小区准备开辟一块面积为600m2的矩形绿地，要求长比宽多10m，设绿地宽为xm，请你列出关于x的方程。

3．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙_________m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙_______________m。

根据题意，可得方程___________________________。

归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x 2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．1.关于x的方程（k－2）x∣k∣－3=0是一元二次方程，则k的值为( )巩固新知A.±2B.2C.－2D.－12.绿苑小区住宅设计，准备在每两栋楼房之间开辟面积为900 m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？如果设其长为x 米，那么所列的方程是( )A.x(10+x)=900B.x(10－x)=900C.x 2－10x+900=0D.x 2－10x －900=03.一元二次方程x 2－4=0的根为( )A.x=2B.x=－2C.x 1=2,x 2=－2D.x=44.方程（x+4）2=2x －3化为一般式是____________,二次项系数是____________,一次项系数是____________,常数项是____________。

17.1一元二次方程的该概念 同步练习一、选择题(本大题共8小题)1.下列方程是一元二次方程的是（ ）A.．x-2=0 B ．x 2-4x-1=0 C ．x 2-2x-3 D ．xy+1=02.把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A.．2，-3 B ．-2，-3 C ．2，-3x D ．-2，-3x3.若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ） A.．1 B ．2 C ．1或-1 D ．04.一元二次方程22(1)(1)1x a x x x -+=--化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为1-，则a 的值为（ ）.A..-1B. 1C.2D.-2 5.下列一元二次方程中常数项是0的是（ ）A.. 042=-x xB. 8122=xC. 12=-x xD. 642+=x x 6.把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式A.x 2+bx+c=0后，A.+b+c 的值是（ ） A.．8 B ．9 C ．-2 D ．-17.若关于x 的一元二次方程中02=++c bx ax 有一个根是-1，则下列结论正确的是（ ） A.. 1=++c b a B. 0=+-c b a C. 0=++c b a D. 1-=+-c b a8.若关于x 的一元二次方程为A.x 2+bx+5=0（A.≠0）的解是x=1，则2013-A.-b 的值是（ ） A.．2018 B ．2008 C ．2014 D ．2012 二、填空题(本大题共6小题)9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x xm m 是一元二次方程；10.方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .11.若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 . 12.根据题意列一元二次方程：有10个边长均为x 的正方形，它们的面积之和是200，则有14.已知关于x 的一元二次方程 A.x 2+bx+c=0（A.≠0）有一个根为1，一个根为-1，则A.+b+c= ，A.-b+c= ． 三、计算题(本大题共4小题) 15.若（m+1）x |m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．16.关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．17.一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求222a b c +-的值的算术平方根．18.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式： （1）两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数．（2）绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？（3）某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少?17.2一元二次方程的解法（1）同步练习一、选择题1. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是( )． A ．-3 B ．3 C ．0 D ．0或32．若2530ax ax -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集应是( ). A ．12a >B ．a ＜-2C ．a ＞-2D ．a ＞-2且a ≠0 3．若1x =-是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根，则代数式1006(2)a b c -++的值为（ ）.A ．2010B ．2011C ．2012D ．2013 4．对于方程（x ﹣1）（x ﹣2）=x ﹣2，下面给出的说法不正确的是（ ） A ．与方程x 2+4=4x 的解相同B ．两边都除以x ﹣2，得x ﹣1=1，可以解得x=2C ．方程有两个相等的实数根D ．移项分解因式（x ﹣2）2=0，可以解得x 1=x 2=2． 5．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )．A ．x ＝2或x ＝1B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．已知3是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）． A ．7 B ．10 C ．11 D ．10或11 二、填空题7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 .8．关于x 的方程是一元二次方程，则m .9．△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x 2﹣8x+15=0的根，则△ABC 的周长是 ．10．若方程(2012x)2-2011×2013x-1＝0的较大根为a ，方程x 2-2012x-2013＝0的较小根为b ，则2013()a b +＝________．11．已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a-+--的值为 ．12．已知a 是关于x 的一元二次方程2201210x x -+=的一个根，则22201220111a a a -++的值为 ．三、解答题13. 已知m 、n 都是方程2201020110x x +-=的根，试求代数式(m 2+2010m-2010)(n 2+2010n+1)的值．14．用适当的方法解下列方程．2(1)24)0x x +-= 2(2)0x -+-=(3) 23270x -=； (4)2(23)16y -=．15．已知222450x x y y ++-+=，求2yx x y -+的值．17.2 一元二次方程的解法（2） 同步练习一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程220x x m --=，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．2(1)1x m -=+ B ．2(1)1x m +=+ C ．22(1)1x m -=+ D ．22(1)1x m +=+ 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x += D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．若231M a a =--，232N a a =-+-，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M N =B ．M N ≤C ．M N ≥D ．无法确定4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2.8．已知223730216b a a b -+-+=，则a -的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．已知实数,m n ，满足21m n -=，则代数式22268m n m +++的最小值等于 ． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程.(1) 3x2-4x-2=0；(2)x2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：2ab x a x b x a b+=+>．(1)()x a x--=；（2）22222(1)21015．用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b17.3 一元二次方程根的判别式 同步练习一、选择题：1．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根2．下列一元二次方程有两个相等实数根的是( ) A ．x 2＋3＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．(x ＋1)2＝0D ．(x ＋3)(x －1)＝03．一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( ) A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根4.方程2x 2－x －1＝0的根的判别式的值为________．5．一元二次方程12x 2＝2x －1的根的情况是__________________．6．不解方程，判别下列方程根的情况． (1)x 2＋2x －3＝0； (2)5x 2＝－2(x －10)；(3)8x 2＋(m ＋1)x ＋m －7＝0.7．若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．m>94B ．m<94C ．m ＝94D ．m<－948．若关于x 的一元二次方程4x 2－4x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．－1B ．1C ．－4D ．4 二、解答题9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m ＝0.(1)当m 的值为17时，请利用根的判别式判断此方程的解的情况；(2)请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根，并说明你的理由．10．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.(1)当m取何值时，方程有两个实数根？(2)请你为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．11．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．12．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)求证：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？17.4 一元二次方程的应用 同步练习一、填空题1．某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，•则平均每次降价的百分数为_______．2．某农场的粮食产量，若两年内从25万公斤，增加到30.25万公斤，则平均每年的增长率为_______．3．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为__________________，解得年利率是_________．4．某市2017年底人口为20万人，人均住房面积9m 2，计划2018年、2019年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m ，则该市两年内住房平均增长率必须达到_________．=3.317，精确到1%）5．某林场原有森林木材存量为a ，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，•••则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到__________． 6．某商品连续两次降价10%后为m 元，则该商品原价为（ ） A ．1.12m 元 B ．1.12m 元 C ．0.81m 元 D ．0.81m 元 7．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x ，根据题意，得（ ）A ．5000（1+x 2）=7200B ．5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200C ．5000（1+x ）2=7200D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2=72008．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．•某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，•发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款________元．二、解答题9．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，•若每件商品售价a 元，则可卖出（350-10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？10．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，•商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193．6万元，求这两个月的平均增长率．11．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?12．乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2017年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2019年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为．13．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2017年盈利1500万元，到2019年盈利2160万元，且从2017年到2019年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2018年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2020年盈利多少万元？14.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?。

初三一元二次方程题目1. 一元二次方程的基本概念- 题目：判断方程x^2-2x + 1=(x + 1)(x - 3)是否为一元二次方程。

- 解析：- 首先将方程右边展开：(x + 1)(x - 3)=x^2-3x+x - 3=x^2-2x-3。

- 原方程x^2-2x + 1=(x + 1)(x - 3)可化为x^2-2x + 1=x^2-2x-3。

- 移项合并同类项后得到1=-3，这是一个矛盾等式，且化简后方程中二次项消去了。

- 所以该方程不是一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式及各项系数- 题目：指出方程3x^2-5 = 2x的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 解析：- 先将方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)的形式。

- 方程3x^2-5 = 2x化为3x^2-2x-5 = 0。

- 所以二次项系数a = 3，一次项系数b=-2，常数项c = - 5。

3. 一元二次方程的解法之直接开平方法- 题目：解方程(x - 3)^2=16。

- 解析：- 对于方程(x - 3)^2=16，根据直接开平方法。

- 可得x - 3=±4。

- 当x - 3 = 4时，解得x=7；当x - 3=-4时，解得x=-1。

- 所以方程的解为x_1=7,x_2=-1。

4. 一元二次方程的解法之配方法- 题目：用配方法解方程x^2+6x - 7 = 0。

- 解析：- 首先在方程两边加上一次项系数一半的平方。

- 对于方程x^2+6x - 7 = 0，一次项系数为6，一半为3，其平方为9。

- 方程变形为x^2+6x+9 - 9 - 7 = 0，即(x + 3)^2-16 = 0。

- 移项得(x + 3)^2=16。

- 然后用直接开平方法，x+3=±4。

- 解得x_1=1,x_2=-7。

5. 一元二次方程的解法之公式法- 题目：用公式法解方程2x^2-5x + 3 = 0。

- 解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。