24.4相似三角形的判定(3)

EAB C DCDA BGA B CDFDEB CABED§24.4（1）相似三角形的判定1、已知一个三角形内角分别为︒︒70,30，另一个三角形内角分别为︒︒70,80，则这两个三角形…… ( )(A)一定相似 (B) 不一定相似 (C) 一定不相似 (D) 不能确定 2、如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有…… ( ) (A)1对 (B) 2对 (C) 3对 (D) 4对3、如图(1)，△ABC 中，DG 、DF 、EG 分别平行于BC 、AC 、AB ，图中与△ADG 相似的三角形共有 个4、如图(2)，△ABC 中，D 在AB 上，若∠ACD=∠B,AD=4,AB=6,则AC=5、如图(3),E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中 对相似三角形。

图（1） 图（2） 图（3）6、如图，矩形ABCD 中，BP⊥PQ，(1)求证: △ABP ∽△DPQ; (2)写出对应边成比例的式子.7、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B,若AE=2,BE=3,AD=3,求CD 的长。

§24.4（2）相似三角形的判定A BCD EABCPABCDE1、下列能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） （A ）∠A=40°，∠B =∠E=58°，∠D=82°；（B ）∠A=∠E ，AB DFBC EF=； （C ）∠A=∠B ，∠D =∠E ； （D ）AB=BC=DE=EF. 2、如图，AD 和BE 分别是三角形的高，则图中相似三角形有（ ） （A ）4对； （B ）5对； （C ）6对； （D ）7对. 3、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能 使△AC P ∽△ABC 的是（ ） （A ）AC AP AB AC =； （B ）PC ACBC AB=； （C ）∠A CP =∠B ； （D ）∠A PC =∠A CB. 4、下列说法中，正确的是（ ）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等 的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似. （A ）①，②；（B ）②，③；（C ）③，④；（D ）①，④.第2题图 第3题图 第5题图5、如图，在△ABC 中，DE∥BC，13AD BD =，则△ABC∽ ，其相似比为 . 6、如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长.OADFO7、如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.§24.4 （3）相似三角形的判定1、在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）（A）AD AEBD EC=；（B）∠ADE=∠ACB；（C）AE﹒AC=AB﹒AD；（D）AD DE AB BC=.2、已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）（A）2ac；（B）2ba；（C）a bc；（D）2bac.3、下列各组图形有可能不相似的是（）（A）各有一个角是45°的两个等腰三角形；（B）各有一个角是60°的两个等腰三角形；（C）各有一个角是105°的两个等腰三角形；（D）两个等腰直角三角形.4、点D在△ABC的边AB上，且AC2=AD﹒AB，则△ABC∽△ACD，理由是 .5、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE= .6、在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE 与原三角形相似，则AE= .7、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==，求证：△ABD∽△ACE.AB C EDABCDEAB CDE§24.4 （4）相似三角形的判定1、RT △ABC，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列等式成立的是（ ） （A ）AD 2=AB ﹒AC ； （B ）AC 2=AB ﹒AD ； （C ）AB ﹒AC=BD ﹒DC ； （D ）AB ﹒CD=BD ﹒AC.2、在RT △ABC 和RT △DEF 中，∠C =∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是（ ）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12， DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15.（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个.3、点P 是RT △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的直线共有 条.4、如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥DC ，DC=6，AD=8， AC ⊥BC ，则AB= .5、如图2，在矩形ABCD 中，AB=2，CB=1，E 是DC 上一点，∠DAE= ∠BAC ，则EC 的长为 .6、如图，AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BD 2=AB ﹒BC.求证：∠ABD=∠DBC.7、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△B GF ∽△DCF.§24.4 （5）相似三角形的判定1、将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）AB CD图1ABCDE图2A B CDABCD EFG（A ）2:1； （B ）：1； （C ）3:1； （D ）：1.2、下列命题中，假命题是（ ）（A ）正方形都相似； （B ）对角线和一边对应成比例的矩形相似； （C ）等腰直角三角形都相似； （D ）底角为60°的两个等腰梯形相似. 3、在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC，使截得 的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（ ）（A ）2条； （B ）3条； （C ）4条； （D ）5条. 4、如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，则= .5、如图2，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，BA=12cm ，AD 、BE 是两条中线，F 为其交点，那么CF= cm.6、如图3，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么= .7、如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，过点D 作对角线AC 的垂线，交AC 于点E ，交BC 于点F ，求证：CD 是CF 和CB 的比例中项.8、 如图，DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线，交BC 及AC 的延长线于点E 、F ，已知CD=6，DE=4，求DF 的长.§24.4（1）相似三角形的判定 1.答案：AA BCDE图1ABCDFE图2ABCD 图3ABCDE F解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△ADE∽△ACD∽△ABC3.答案：5解析：图中所有其他的三角形都与△ADG相似4.答案：解析：AC2=AD×AB=24，AC=5.答案：3解析：△AEF∽△FCD∽△EBC6.答案：（1）证明过程如解析（2）AP AB BP== DQ PD PQ解析：（1）∵矩形ABCD，BP⊥PQ∴∠A=∠D=∠BPQ=90°∴∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90 ∴∠ABP=∠DPQ∴△ABP∽△DPQ（2）AP AB BP== DQ PD PQ7.答案：CD的长为3解析：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC∴AE AD= AC AB∴23= AC5∴AC=10 3∴CD=1 3§24.4（2）相似三角形的判定1.答案：A解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△AOE∽△BOD∽△ACD∽△BCE3.答案：B解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而B不是夹角相等4.答案：B解析：①必须是夹角，④必须是第三边的平行线5.答案：△A DE ；4解析：∵13AD BD =，∴1A 4AD B =6.答案：EF 的长为152解析：联结CF ∵翻折 ∴AF=CF设AF=x ，则DF=8-x2226(8)x x +-=254x =∵OC=5 ∴OF=154可证OE=OF ∴EF=1527.答案：△ADE ∽△BDA解析：∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE∴，BD=2CD ∴ED AD AD BD == ∵∠ADB=∠ADB ∴△ADE ∽△BDA§24.4 （3）相似三角形的判定1.答案：D解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而D不是夹角相等2.答案：B解析：CD AC AC BC=3.答案：A解析：45°有可能是顶角，也有可能是底角4.答案：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解析：AD ACAC AB=且∠A=∠A5.答案：DE=4解析：∵AD ACAC AB=13=，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB∴13 ED BC=∴DE=46.答案：74AE=或47AE=解析：分类讨论i.AE ADAC AB=，74AE=ii .AE ADAB AC=，47AE=7.答案：证明过程如解析解析：∵AB BC AC AD DE AE==∴△ADE∽△ABC∴∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC∵AB AD AC AE∴△ABD∽△ACE§24.4 （4）相似三角形的判定1.答案：B解析：射影定理2.答案：C解析：①③④是正确的，②没有边对应成比例3.答案：4解析：A字型或斜交型各2个4.答案：50 3解析：DC AC=AC AB，610=10AB，50AB=35.答案：3 2解析：ED AD=BC AB，ED1=12，1DE=2，3CE=26.答案：证明如解析解析：∵AB⊥AD，BD⊥DC∴△ABD和△DBC都是Rt△∵BD2=AB﹒BC∴AB BD= BD BC∴Rt△ABD∽Rt△DBC ∴∠ABD=∠DBC7.答案：证明如解析解析：∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC∵CE=CF∴△DCF ≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF ＋∠F=90°∴∠CBE ＋∠F=90°∴∠BGF=90°=∠DCF∴△B GF ∽△DCF§24.4 （5）相似三角形的判定1.答案：B解析：设矩形长2a ，宽b ，则b =b 2a a ，=b a ，2b 1a =2.答案：B解析：B 没说清楚一边是矩形的长还是宽3.答案：C解析：A 字型或斜交型各2个4.答案：=AB AD AE AC解析：三角形一边的平行线性质定理推论5.答案：4解析：AB 上的中线长为6cm ，因为点F 是重心，所以CF 长为2643⨯=cm6.答案：3解析：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A∴△ACD ∽△ACB ∴=BC DC AD AC AC AB= ∴2AC AD AB =⋅ 223AC AB AB =⋅ 2223AC AB =AC AB =∴=BC DC 37.答案：证明如解析解析：∵∠ACD= ∠ACD ，∠DEC=∠CDA∴△DEC ∽△CDA∴2CD CE AC =⋅同理可得△FEC ∽△CBA ∴=BC CE CF AC∴CF CB CE AC ⋅=⋅∴2CD CF CB =⋅∴CD 是CF 和CB 的比例中项8.答案：9解析：∵DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线∴∠BDE =90°，6AD BD CD ===∵DE=4∴BE =∵∠ACB= ∠BDE ，∠B=∠B∴△ACB ∽△BDE ∴=AC DE BE AB∴2413AC =∴3613BC =同理可得△ADF ∽△CBA∴=AC AD DFBC∴DF=9A B C D E F。

24.4 相似三角形的判定在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形．我们可以依据相似多边形的判定方法，给出相似三角形的定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24.4.1所示的两个三角形中，C'B图24.4.1∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB BC CAA B B C C A ==''''''． 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”． 如果记AB BC CAk A B B C C A===''''''，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比．根据相似三角形的定义，我们可以得出：相似三角形的传递性 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等．通过相似三角形的定义来判定两个三角形是否相似并不方便，我们能否找到更为简捷的判定相似三角形的方法呢？在上一节学习比例线段时，我们知道三角形一边的平行线性质定理的推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．此时截得的三角形的三个角也与原三角形的三个角对应相等，因此这两个三角形是相似三角形．于是，我们得到：相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．那么，在这种情况下，这两个三角形的边对应成比例吗？如图24.4.2，在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，你能证明DE DF EFAB AC BC==吗？EBC图24.4.2可以过点A 在射线AB 上截取AE ′＝DE ，过点E ′做E ′F ′∥BC ，则可以证明△AE ′F ′∽△DEF ．又根据E ′F ′∥BC ，AE AF E F AB AC BC ''''==，因此DE DF EFAB AC BC==．因此，如果两个三角形有两对角分别对应相等，不仅第三对角也一定对应相等，这两个三角形的三条边也对应成比例．于是，我们得到：相似三角形的判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1已知：如图24.4.3，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点E、F分别是AB、BC的中点，EF 与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝6，求BM．A B图24.4.3证明（1）∵点E是AB的中点，∴AB＝2EB．∵AB＝2CD，∴CD＝EB．又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE．∴△EDM∽△EBM（相似三角形的预备定理）．解（2）∵△EDM∽△EBM，∴DM DEBM BF（相似三角形的对应边成比例）．∵点F是BC的中点，∴DE＝BC＝2BF．∴DM＝2BM．∴BM＝13DB＝2．例2已知：如图24.4.4，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．B C图24.4.4求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG·DF＝DB·EF．分析（1）要证明△DEF∽△BDE，已经有∠EDF＝∠ABE，再证一对角相等即可．又利用等腰三角形及DE∥BC，则有∠BDE＝∠DEF，即得到△DEF∽△BDE．（2）要证明等积式a·b＝c·d，可以通过证明比例式a dc b=，或通过a·b＝m·n，c·d＝m·n来得到，本题可从后者入手证明．证明（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°．∴∠BDE＝∠CED．∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE（两角对应相等，两三角形相似）．（2）由△DEF∽△BDE，得DB DEDE EF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DB·EF．由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE（相似三角形的对应角相等）．∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF（两角对应相等，两三角形相似）．∴DG DEDE DF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DG·DF．∴DG·DF＝DB·EF．练习24.4（1）1．如图，在△ABC中，如果EF∥AB，DE∥BC．那么你能找出哪几对相似三角形？2．如图，∠1＝∠2＝∠3，那么图中相似的三角形有哪几对？B3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，联结BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．4．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FB FDFD FC．FEC B5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC＝∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．（1）求证：BE·CD＝BD·BC；（2）设AD＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．AC在全等三角形的判定中，有“边角边”的判定方法．那么，在相似三角形中，如果两边对应比成比例，且夹角相等，是否能得到这两个三角形相似呢？如图24.4.5，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，DE DFAB AC=，你能证明△ABC∽△DEF吗？FEB C图24.4.5可以过点A在射线AB上截取AE′＝DE，过点E′作E′F′∥BC，则AE AFAB AC''=．又根据DE DFAB AC=且AE′＝DE，则AF′＝DF．于是△AE′F′≌△DEF．显然△ABC∽△AE′F′，因此△ABC∽△DEF．于是，我们又得到：相似三角形的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例3已知：如图24.4.6，在△ABC中，AB AC＝3，D是边AC上一点，且AD∶DC＝1∶2，联结BD．。

相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在几何学中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，它们的相似性质可以帮助我们解决许多几何问题。

本文将介绍相似三角形的判定方法，涵盖三个常用的相似性条件。

一、边比例相等法边比例相等法是最简单且常用的相似三角形判定方法。

根据边比例相等的性质，如果两个三角形的各边长度成比例，则它们是相似的。

具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应边的比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么它们就是相似的。

二、角度相等法角度相等法是判定相似三角形的另一种常用方法。

根据角度相等的性质，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应角度的度数相等，即∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么它们就是相似的。

三、边角对应相等法边角对应相等法是一种综合利用边长和角度信息的相似三角形判定方法。

根据边角对应相等的性质，如果两个三角形的一个角度和与其对应的两条边的比值相等，则它们是相似的。

具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，存在一个角度相等，且它与两个对应边的比值相等，即∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF 或 AB/DE = BC/EF 或 AC/DF = BC/EF，那么它们就是相似的。

相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。

例如，我们可以利用相似三角形的性质测量无法直接测量的高度，计算远离的距离以及解决一些实际建筑和工程问题。

在解决这些问题时，我们可以利用上述相似三角形判定方法来确定是否存在相似性。

然而，在应用相似三角形判定方法时，我们需要注意以下几点：1. 注意约定符号：在比较边长或角度大小时，确保使用相同的单位，并始终遵循约定的符号规范。

2. 角度的对应性：在进行边角对应相等法判定时，确保对应的边与对应的角度匹配，以免出现误判。

3. 正确标记相似标志：在证明或应用相似三角形时，可以使用符号“∼”来表示相似，例如ΔABC ∼ΔDEF。

参考答案第二十四章 相似三角形 24.1放缩与相似形1.形状相同的两个2.长度成比例相等3.不一定4.略5.有一组角对应相等6.207.C8.B9.B 10.2(102)210(05)S x x x x x =-=-+<< 11.（1）不相似.A B = 30，28A B ''=BC = 20，18B C ''=而28183020≠ （2）由题意，得3022023020x --=. 解方程，得x = 1.5，或30220x-. 解方程，得x = 9 12.不一定相似。

因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等。

梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能24.2（1）比例的性质22173511.2. 7.53.4.135. 3 i.636.27.8.9.15146x a b y a b +=--1310.15 11.12:1312.±厘米14.D 15.1207厘米 16.11 17.（1）5:4:1(2)17 18. 891719三、四 20 x = 2，24.2（2）面积比与线段比的相互转化、黄金分割1.0.52. 22333.24.215.12.36厘米69-7.3:21008.C 9.B 10.C 1.D12.∵AD∥B∥CF ,,,DMEWDDHFCHDQE FBE CHBS SSSS S S∆∆===∴,2FHE DEFBEFS SS∆=∴=13. 1111,,,,222AB AC x BD ED AD x ====∴=+在Rt △ABD 中，由勾股定理，得2222211111,1,12244x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+∴++=+∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221(1),x x AC AB BC∴=⋅-∴=⋅AC BCAB AC=，即点C 是线段AB 的一个黄金分割点。

在21x x =-中，整理，得2110,2x x x -±+-=∴=AC 为线段长，只能取正，AC 10.618,0.6182ACx AB-+=≈∴≈黄金比约为0.618 24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）1.32.53.4米∴..25.2厘米 6.5:17.A 8.0.5，解略9.∴EF ∥DC →AEBC =AF :DF ,DE ∥BC →AD :BD = AE :BC ，∴AF :FD = AD :DB 10.提示：PQ PR PS PI ==PBPD 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AO :OC = OD :O B.又CE ∥AB ，则BO :OEAO :OC ，∴BO :OE = AO :CC = OD :OB ，即OD :OB = BO :O .又OB = 6，OD = 4，即4：6 = 6：OE ，解得OE = 9.又OD = 4，∴DE24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质） 1.重心 2.这个顶点对边中点距离 3.404.45.4.56(1)1411（2）207.88.3:59.1:210.211.①③④12.C 13.B 14.（1）∵AD ∥BC ，∴DE FDBC FC=FD = 2，112,. 6.624(2)//,33ED DE FEFC DC AD BC BC FC BC FB=∴=∴=∴=-=∴=AE EGBC GB∴=E 是AD 中点，∴AE = DE FE EGFB GB=EF ·GB = C ·BF 15.EF mnm n=+16.略17.（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ,AD ∥BC ，,DE DM AF AMEC BC FC BC∴==∵点E 为边DC 的中点，DM = B C.∵BC = 2AD ，∴DM =2AD，∴AM=AD +DM=3AD333(2)///,, 1.222AF AD FM AM EM DE BMAD BC FC AD BF BC BE EC BF∴==∴====∴=5251,,,2144BM BE EF BE BF BF =∴=∴= 24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论 1.平行AD AEBD CE= 2.1:43.5:34.不一定平行5.2:36.67.A 8.B 9.略10.略11.略12.（1）∵AB ⊥AC ,EE ⊥AC ,PD ⊥AB ，∴PE ∥AB ,PD ∥AC ，ENBN∴=,.,,//(2)EP EM EC EN EMPE EC DB DP NM BC PNM BD PM DPBN PM===∴=∴∠=PMM ，∴PN = PM = 213.（1）如图（a ），延长AC 至点E ，使CE = CA ，连接BE .∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OC A.∴E = OA ，∠E = ∠OA C.∴B ∥OAAP ADEP EB∴=又D 为OA 中点，OA =OB 12AP AD EP AO ∴==1.222AP AP APEP PC AP PC∴==∴=+（2）如图（b ）延长AC 至点H ，使CH = CA ，连接BH .∵∴C 为OB 中点，∴△BCH ≌△CCA ，∠CBH = ∠O = 90°，BH = OA AD AO =14，设AD = t ,OD = 3t ，则BH = OA = OB = 4t .在Rt △BOD中，5BD t=4//,4BP BH tOA BH DP AD t∴===1.:1:15PD BP AD DP ∴=∴=(3) :BC BP n =24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 1.48112.真3.5:34.51020335. (1) 83(2)1636.D7.A8.B9.（1）AB = 4，BC = 10（2）BE = 910.（1）略（2）∵AD ∥BC ，DG ADBG BE∴=四边形ACED 是平行四边形，CF ∥DE ,AD = CE DF CE DG DFBD BE BG BD∴=⋅∴=11.过A 作FK ∥BC 交CE ,BD 的延长线于点F ,K ，,DA AK EA AFCD BC EB BC∴==两式相加，得到AD AE FK CD BE BC +=，再证KF = 2MN = ,1AD AEBC CD BE +=12.（1）略(2) 233(04)4y x x x =-<<阶段训练11.10:111:102.478620553. 4.235. 1) 26. 8137. 23a 8. 8 9. 110.211.6:112.D 13.B 14.A 15.B 16.略17.略18.略19.（1）证明略(2)221155510210(2)1022222PEFSEF DH t t t t t ⎛⎫=⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当t = 2秒时，PEFS存在最大值，最大值为10，此时BP = 3 = 6厘米（3）存在理由如下：①若点E 为直角顶点，如图（a ）所示，此时FE ∥AD ,PE = DH = 2，BP = 3.…∴FE ∥AD PF BP AD BD ∴=2385t t=此比例式不成立，故此种情形不存在②若点F 为直角顶点，如图（b ）所示，此时PE ∥AD ,PF = DH = 2t ,BP = 3，CP 10-3t .∵FF ∥AD PF CP AD CD ∴=210385t t-=③若点P 为直角顶点，如图（c ）所示。

相似三角形判断条件相似三角形是指两个三角形，他们彼此的所有内角和外角都相等。

相似三角形的几何原理是三角形具有相似性的基本原理，它指的是两个三角形所有内角和外角都相等。

在几何原理中，最重要的一点是如何证明两个三角形是相似的。

下面我们就来详细看看相似三角形的判断条件。

首先，相似三角形的判断条件是：（1）两个三角形的外角是相等的。

（2）两个三角形的内角是相等的。

（3）两个三角形的边长比相等。

假设三角形ABC，DEF两者的所有角和边长都是已知的，那么在证明他们是否为相似三角形的时候，可以用到几何定理，如半周长定理：两个三角形的半周长比等于它们的定点外角的正弦值的乘积；三角形外角公式：所有三角形的外角之和是180°；三角形内角公式：任何三角形的内角之和是180°；三角形边长比公式：任意一条边的长度比等于两两比的其他两边的比值的乘积；以及内部三角形内外角公式：内部三角形的外角是内角的两倍。

由以上几何定理可以推出，相似三角形存在条件即：（1）两个三角形的外角都相等。

（2）两个三角形的内角都相等。

（3）两个三角形的边长比都相等。

另外，如果有一个相似三角形，它的定点坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），可以用三个定点距离来证明它的相似性，即用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方；用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比。

总之，判断两个三角形是否为相似三角形的原则是：它们的所有外角和内角都相等，它们的边比都相等，或者可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。

综上所述，相似三角形的判断条件就包括了三角形的外角、内角和边比都相等，以及可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。

相似三角形是几何原理中的基本概念，在几何中有很多应用。

例如，它可以用于解决以下问题：（1）最小外接圆半径：给定三角形ABC，找出最小外接圆半径；（2）最大内接圆半径：给定三角形ABC，求出最大内接圆半径；（3）多边形面积计算：给定由三角形ABC的共同点组成的多边形，计算多边形的面积；（4）共轭多边形：给定三角形ABC，求出其共轭多边形；（5）三角形的中心：给定三角形ABC，找出它的中心点；（6）三角形的重心：给定三角形ABC，找出它的重心；以及（7）三角形的切线：给定三角形ABC，求出三条切线。

相似三角形的判定方法五种
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。

相似三角形介绍
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

证明如图24．4．2，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点， ∴21==AC AE AB AD ． ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴∠ADE ＝∠ABC ，21=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， ∴ DE ∥BC 且BC DE 21=．概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．图24.4.3已知： 如图24．4．3所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC ． 求证： AE 、DF 互相平分．证明连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC ，所以DE ∥AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）． 同理EF ∥AB ．所以四边形ADEF 是平行四边形．因此AE 、DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例2如图24．4．4，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G ．求证：31==AD GD CE GE ．图24.4.4证明连结ED ，∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，∴ DE ∥AC ，21=AC DE （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， ∴△ACG ∽△DEG ，∴21===AC DE AG GD GC GE ， ∴31==AD GD CE GE ．图24.4.5拓展如果在图24．4．4中，取AC 的中点F ，假设BF 与AD 交于G ′，如图24.4.5，那么我们同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的． 于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31． 由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）．图24.4.6分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF ，并延长AF 交BC的延长线于G ，证明的关键在于说明EF 为△ABG 的中位线．于是本题就转化为证明AF ＝GF ，AD ＝CG ，故只要证明△ADF ≌△GCF ．思考图24.4.7如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为h l l S )(2121+=． 其中1l 、2l 分别为梯形的两底边的长，h 为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？练习1． 如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 相交于点O ，AB ＝6，BC ＝10，AC ＝8．试求出线段DE 、OA 、OF 的长度与∠EDF 的大小．（第1题）（第2题）2． 如图所示的梯形梯子，AA ′∥EE ′，AB ＝BC ＝CD ＝DE ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′，AA ′＝0．5m ，EE ′＝0．8m ．求BB ′、CC ′、DD ′的长． 3． 求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．习题24．41．三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．2．梯形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证：四边形EGFH是矩形．(第3题)（第4题）4．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．§24.5 画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变．下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．现在要把多边形ABCDE放大到1．5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列步骤画出图24．5．1：图24.5.11．任取一点O；2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；3．分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1．5；4．连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？图24．5．1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心．放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．要画四边形ABCD 的位似图形，还可以任取一点O ，如图24．5．2，作直线OA 、OB 、OC 、OD ，在点O 的另一侧取点A ′、B ′、C ′、D ′，使OA ′∶OA ＝OB ′∶OB ＝OC ′∶OC ＝OD ′∶OD ＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A ′B ′C ′D ′．图24.5.2图24.5.3实际上，如图24．5．3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便．练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍．习题24．5任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形． （1） 相似比为21；（2） 相似比为2．5．阅读材料数学与艺术的美妙结合——分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形．然后以其两腰代替底边．再将六角形的每边三等分，重复上述的作法．如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线．图1雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似．只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去．观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形．图2图3是五边形的一幅自相似图形．图3图4自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等．现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何．如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术．图5§24.6 图形与坐标1.用坐标确定位置图24.6.1夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一X 地图，如图24．6．1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（－3， 5）、（4，5）、（0，3）．目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置．试一试图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：图24.6.2有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等．右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？我们还可以用其他方式来表示物体的位置．例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2．4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1．1千米的地方．根据这些信息可以画出表示各处位置的一X简图：图24.6.3看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用．练习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）．试借助刻度尺、量角器解决下列问题．（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米．2.图形的变换与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图24．6．4中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′．三个顶点的坐标有什么变化呢？。

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

判断相似三角形的五个判定方法相似三角形是一种特殊的几何概念，它指的是两个三角形有着相同的形状，但是大小不一样。

它在日常生活中十分常见，如自然界中的景观等。

了解如何判断两个三角形是否相似对学习几何学有着重要的意义。

本文将介绍判断相似三角形的五个判定方法，以便读者更好的理解相似三角形的概念。

首先，要判断两个三角形是否相似，需要了解三角形的边长和角度。

在几何中，不同的三角形有着不同的边长和角度。

因此，为了判断两个三角形是否相似，需要了解它们的边长和角度。

其次，可以把两个三角形的边长和角度相互比较，看看它们之间是否有比例关系。

如果两个三角形的边长和角度都有着相等的比例关系，则可以断定它们是相似的。

再次，根据三角形的谐比定理，可以确定两个三角形的偏移程度，也就是判断它们是否存在旋转、翻转等形态变化。

若三角形存在着这些变化，则可以断定它们依然是相似的。

第四，可以采用变形法来判断两个三角形是否相似。

即将一个三角形放大或缩小，如果放大后两个三角形依然保持着完全一致的形状，则可以断定它们是相似的。

最后，也可以采用图像处理的方法来判断两个三角形是否相似。

即通过颜色特征等信息，将两个三角形的图像建模，比较它们的相似度，最后判断它们是否相似。

总之，判断相似三角形的五个判定方法是：首先了解三角形的边长和角度；其次比较两个三角形的边长和角度，看看它们之间是否有比例关系；再次根据三角形的谐比定理，确定两个三角形的偏移程度；第四采用变形法来判断；最后采用图像处理的方法来判断。

读者可以根据这些判定方法，来确定两个三角形是否相似。

此外，为了更好的理解相似三角形的概念，读者需要深入学习三角形的边长、角度以及相关的几何概念。

只有不断积累知识，才能更好地判断两个三角形是否相似。

通过本文介绍，读者应该已经对判断相似三角形的五个判定方法有了初步的认识，并可以熟练运用这些方法来判断两个三角形是否相似。

同时，也希望读者能够坚持学习，以便在学习几何学的过程中取得更多的收获。

相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。

判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。

本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。

一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。

根据这个定义，我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。

1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形中有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法：使用AA相似定理，当我们知道两个三角形的两个角分别相等时，就可以判定它们相似。

具体判定方法是测量三角形的两个角，并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。

如果它们相等，则两个三角形相似。

2. 边边判定法：使用SSS相似定理，当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时，可以判定它们相似。

具体判定方法是测量两个三角形的三条边，并将其比较。

如果它们的比例相等，则两个三角形相似。

3. 边角边判定法：使用SAS相似定理，当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等时，可以判定它们相似。

具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例，并测量它们对应的夹角，将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。

如果它们相等，则两个三角形相似。

三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。

一些常见的应用包括：1. 测量高度：通过测量阴影的长度和实物的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。

2. 估算距离：在实际测量中，通过相似三角形的比例关系，我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。

3. 图像变换：相似三角形的性质在图像变换中也有应用。

例如，图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。

24.4 相似三角形的判定（3）[判定定理3]第一组 24-191、根据下列条件，能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） A 、∠ABC=35º，∠ACB=75º，∠EDF=80º，∠DEF=35º B 、AB=3，BC=2，∠ABC=30º，DE=6，EF=4，∠EDF=30º C 、AB=2，BC=3，AC=4，DE=12，EF=13，DF=14D 、AB =√6，BC =√2，AC =2，DE =√3，EF =1，DF =√22、△ABC 的三边长分别为2、4、5，△A ’B ’C ’的两边长分别为12 和1，如果△ABC 与△A ’B ’C ’相似的是（ ）A 、52B 、54C 、25D 、453、点P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能保证△ACP 与△ABC 相似的是（ ）A 、∠ACP=∠B B 、ACAB =APAC C 、ACAB =APAC =PCBC D 、APAC =PC BC4、如图24-19-1，小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（ ）5、相似三角形判定定理3简述：三边 ，两个三角形相似。

6、一个三角形三条边长为3、4、5，与它相似的另一个三角形的最长的边为15，则另两边的长为 。

7、在△ABC 与△DEF 中，若ABDE =BCEF ，再加上条件 或 就可以判定这两个三角形相似。

图 24 - 19 - 1BCA8、已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=4，BC=5，AC=6，EF=12，那么DF= 。

9、如图24-19-2，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1。

线段MN的两端在AD、CD上滑动。

当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。

10、如果△ABC的边长分别为2、3、4，△A1B1C1的边长分别为√2、√3、√4，那么△ABC 与△A1B1C1相似。