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定理 n个结点的完全图 Kn 的边数为 完全图 n(n-1)/2。 证明: 在 Kn 中，任意两个结点都有边相连， n个结点中任两个点的组合数为:
n 1 = n(n −1) 2 2
1 故Kn的边数为 E = n(n −1) 2
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第5章 图 论
School of Microelectronics, Fudan University Jing Ming’e Ming’
Leonhard Euler (1707-1783)
哥尼斯堡七桥示意图
C A D
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B
• 二元关系的关系图都是图论中的图； • 图论中的图与几何学中图形有本质区别： 图论只关心点之间是否有连线，而不关心 点的位置，连线的长度及形状； • 应用：布局布线，电网络，城市规划，交 通运输，信息传送，资源分配，工作调配 等。一个包含了某种二元关系的系统都可 以用图论的方法分析研究。
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不同构， 不同构，但很接近同构
近似同构
• 2度结点内同构（同胚的）
– 可以通过移去若干个2度结点而使边接续的 方法导致两个图是同构的。
• 2-同构的图
– 通过割裂两个结点，然后再交换粘连，或者 将图割裂以后同构的图
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5.1.5 子图
定义 给定无向图G1=<V1，E1>和G2=<V2，E2>， 于是 (1) 如果V2⊆V1和E2⊆E1，则称G2为G1的子图 子图，记 子图 为G2⊆G1。 G1为G2的母图。 母图。 母图 (2) 如果V2=V1，E2⊆E1，则称G2为G1的生成 支撑 生成(支撑 生成 支撑) 子图。 子图
第5章 图论
5.1 图的基本概念 5.2 连通和割集 5.3 图的矩阵表示 5.4 欧拉图哈密尔顿图 5.5 平面图 5.6 对偶图与图的着色 5.7 树
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5.1 图的基本概念
5.1.1 基本概念 5.1.2 结点的度 5.1.3 完全图 5.1.4 同构 5.1.5 子图 5.1.6 补图 5.1.7 二分图
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• 如图中 和G"都是 的生成子图。 如图中G'和 都是 的生成子图。 都是G的生成子图
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5.1.6 补图
• 定义 G是一个简单图。由G中所有结点以及 所有结点以及所 所有结点以及
有为使G成为完全图而需添加的边 的边组成边集合 的边 而成的图，称为G的“补图 补图”，记为G’。若G与 补图 G’ 同构，则称G为“自补图 自补图”。 自补图
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5.1.4 同构
• 定义 给定无向图 1=<V1,E1>和G2=<V2,E2>。若在V1， 无向图G 无向图 V2之间存在双射函数f，使得对任意v, u∈V1，有 (u, v)∈E1⇔(f(u),f(v))∈E2， ∈ 同构于G2，记为G1≡G2。 则称G1同构 • 定义 给定有向图 1=<V1,E1>和G2=<V2,E2>。若在V1， 有向图G 有向图 V2之间存在双射函数f，使得对任意v,u∈V1，有 <u, v>∈E1 ⇔<f(u),f(v)>∈E2， ∈ 则称G1同构 同构于G2，记为G1≡G2。
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• 解：用四维0-1向量表示 人,狼,羊,菜)在 向量表示(人 狼 羊 菜 在 用四维 向量表示 河西岸的状态(在河西岸则分量取 在河西岸则分量取1,否则 河西岸的状态 在河西岸则分量取 否则 共有2 种状态. 由题设,状态 取0),共有 4 =16 种状态 由题设 状态 共有 (0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允 是不允 许的, 许的 • 以原岸可允许的 个状态向量做顶点 以原岸可允许的10个状态向量做顶点 V={A0,A1,…,A9},将可能互相转移的状态 将可能互相转移的状态 用线段连接起来构成E={(u,v)|u,v∈V,且u 用线段连接起来构成 ∈ 且 一步可达v},二者构成一个图 二者构成一个图G=<V,E>.根 一步可达 二者构成一个图 根 据此图便可找到渡河方法. 据此图便可找到渡河方法
• 补图是相互的。
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(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
补图
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(b)
自补图
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• 定义 设图G‘=〈V’,E‘〉是图G=〈V,E〉的子图，若给定 另外一个图G“=〈V",E"〉使得E" =E-E',且V"中仅包含E" 的边所关联的结点。则称G"是子图G'的相对于图 的补 相对于图G的补 相对于图 图。
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5.1.1 基本概念
• 定义：一个有序二元组<V, E> 称为一个图, 记为G = 图 <V, E>, 其中 ① V称为G的顶点集, V≠φ, 其元素称为顶点 结点； 顶点或结点 顶点 结点 ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 边 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向边 否则, 称为 无向边, 无向边 有向边. 有向边 • 在一个图中，若两个结点由一条边关联，则称这两个 结点互为邻接点 邻接点。 邻接点 • 一个图中不与任何结点邻接的结点称为孤立结点 孤立结点，仅 孤立结点 仅由孤立结点组成的图称之为零图 零图，而只有一个孤立 零图 结点组成的图，称之为平凡图 平凡图。 平凡图
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图之间的同构关系是一个等价关系 等价关系。这个等价关系的每一个 等价关系 等价类中的图，在同构的意义之下都可以看成一个图，可以 说，在图同构的意义下，图的数学定义与图形表示是一一对 应的。在上图中，(1)(2)(3)可以看做是一个图，它们都是彼 得松图，其中(1)可看作这类图的代表。
图(c)为图(b)相对于图(a)的补图 图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图
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5.1.7 二分(部)图
• 定义：给定图G=<V，E>，且V=V1∪V2，V1∩V2=∅。而 且E中任一边所关联的两个结点必分别属于V1和V2 ，则 称G是二分图 二分图。 二分图 • 特别地，若分属于V1和V2 的两结点必邻接，则称G为完 完 全二分图。当|V1| = m，| V2 | = n时，完全二分图G记为 全二分图 Km,n。 • 简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集， 并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相 交的子集。 • 定理 无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两 个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。 • 二分图是十分有用的一种数学模型，许多问题可以用它 来刻划。例如“资源分配”、“工作安排”、“人员择 偶”等等。
• 定理：在有向图中所有结点的入度之和 等于出度之和，且等于边数。 • 定理：G=<V, E>是简单图，|V|≥2，那么 G=<V, E> |V| 2 必有v1，v2∈V v v ∈V，使deg(v1)=deg(v2). deg(v
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5.1.3 完全图
• 简单图G＝〈V,E〉中若每一对结点间都 有边相连，则称该图为完全图 完全图。有n个结 完全图 点的无向完全图记作Kn。
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标定图
• 如果在图的集合上用同构关系进行分划， 把每一个等价类称之为一个非标定图 非标定图(顶 非标定图 点或边不带标记)。并称顶点或边用字母 标定的图为标定图 标定图。 标定图 • 给定顶点和边数，求出所有的非标定图是 一个难题。给出3个顶点2条边的所有非 同构的有向简单图。
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• 例 一摆渡人欲将一只狼 一头羊 一篮菜从 一摆渡人欲将一只狼,一头羊 一头羊,一篮菜从 河西渡过河到河东.由于船小 由于船小,一次只能带 河西渡过河到河东 由于船小 一次只能带 一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能独处 羊与菜不能独处. 一物过河，并且狼与羊 羊与菜不能独处 给出渡河方法， 给出渡河方法，或者说明摆渡人最少需 要过河多少趟才能将狼， 要过河多少趟才能将狼，羊和菜从河西 渡到河东。 渡到河东。
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(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) A1 A2 A3 A4 A5
(0,1,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (0,0,0,0) A6 A7 A8 A9 A10 河西=( =(人 河西=(人,狼,羊,菜) 个顶点分别记为A 将10个顶点分别记为 1, A2, …, A10 ,则渡河问 个顶点分别记为 题化为在该图中求一条从A 题化为在该图中求一条从 1到A10的路. 从图中易得到两条路 从图中易得到两条路： A1 A6 A3 A7 A2 A8 A5 A10; A1 A6 A3 A9 A4 A8 A5 A10.
v1 e1 e2 v3
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v4 e4 v2 e3 e7 v5 e5 v6
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e6
• 握手定理：图G=<V,E>,则
• 推论：在任何图中，奇度结点的数目为 偶数。 • 应用握手定理，可知一个集会中与奇数 个人握手的人的个数是偶数。碳氢化合 物中氢原子的个数必然是偶数。
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