人教版九年级数学下册学练优作业课件：专题(二)反比例函数与面积问题

点拨：点 P 的坐标为(a，1a)，则 A(a，－3a)，B(－3a，1a)，S△PAB＝ 12×[1a－(－3a)]×[a－(－3a)]＝12×4a×4a＝8.
变式10
S△AOB=S△AOC -S△BOC =63 22 =3 2
三、反比例函数与其他几何图形 变式 10.(2014·滨州)如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条 对角线的长分别是6和4.反比例函数y＝kx(x＜0)的图象经过顶点C，则k的值为_ －_6.
思考：用含k的代数式表示下列阴影部分的面积
4k
2k
k
4k
2k
k
图中面积相等的图形有哪些？
一、反比例函数与矩形的面积
变式 1.如图，点 A 在双曲线 y＝4x上，点 B 在双曲线 y＝kx(k≠0)上，AB∥x 轴，分别过 点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( A)
再 见
两点，BC⊥x 轴于点 C，则△ABC 的面积为( A)
A．1
B．2
3 C.2
5 D.2
变式 9.(2014·东营)如图，函数 y＝1x和 y＝－3x的图象分别是 l1和 l2.设点 P 在 l1上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 l2于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2于点 B， 则三角形 PAB 的面积为_ 8 _．
y
复习引入：
y 4x 1.如图,点P是反比例函数
图象上的一点,PD⊥xP
轴于D.则△POD的面积为 .
2
oD x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分
别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这

课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”

反比例函数
第1课时
1．什么是反比例函数? 2．理解反比例函数的概念，会列出实际问题的 反比例函数关系式.
1、体育课上，同学们跑800米时，每个同学跑步的平均
速度v（单位：米/分）随着此同学跑完全程的时间t （单位:分）பைடு நூலகம்变化而变化，用含t的式子表示v.
2、一次数学课上，老师要同学们画一个面积为10平方
画出函数 y 4 的图象
解：1．列 x
表： x … -8 -4 -3 -2 -1 1 … 1 1 2 3 4 8
2
2
y 4 … 1 1 4 2 4 8 … -8 -4 -2 4 -1 1
x
2
3
3
2
2．描点： 以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐 标系内描出相应的点.
3．连线： 用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到 图象.
当a≠4 时，点B不在反比例函数图象上．
反比例函数的图象和性质
1.形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的， 因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;在每 一个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,y
随x的增大而增大.
函数
的两支曲线分别
函数
y 的kx 图像是由两支双曲线组
(1)当 k>0 时，两支曲一 线三分别位于
减 在每一象限内，y的值随x值的增大而 _____；
(2)当 k<0 时，两支二曲线四小分别
位在于每第一__象_、限_内__，象y限的.值增随x值的增大
大
1、反比例函数y = - 5 的图象大致是（ D ）
y 10 s 16 800

(1)求两函数的解析式；
解： 对于直线y＝k1x＋7(k1＜0)，当x＝0时，y＝7， 7 当y＝0时，x＝－ ， k1 骣 7 ÷ ∴点A的坐标为 ç ，点B的坐标为(0，7)．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 0÷ ç ÷ ç 桫 k1 ÷ 7 ∴OA＝－ ，OB＝7. k1 1 骣 49 1 7÷ ç ， ÷ ∴S△AOB＝ OA· OB＝ × ç × 7 ＝ ÷ 2 2 ç 2 桫 k1 ÷
2．【2017· 宜宾】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比 m 例函数y＝ 的图象交于点A(－3，m＋8)，B(n，－6) x 两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
m 将点A(－3，m＋8)的坐标代入反比例函数y＝ 得， 解： x m ＝m＋8，解得m＝－6. - 3 ∴m＋8＝－6＋8＝2，∴点A的坐标为(－3，2)， 6 反比例函数解析式为y＝－ . x 6 6 将点B(n，－6)的坐标代入y＝－ ，得－ ＝－6， n x 解得n＝1，∴点B的坐标为(1，－6)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
将点A(－3，2)，B(1，－6)的坐标代入y＝kx＋b，得 ì ì - 3k + b = 2, k = - 2, ï ï ï ï 解得 í í ï ï ï î k + b = - 6, ï î b = - 4. ∴一次函数解析式为y＝－2x－4.
(2)求△AOB的面积． 解： 如图，设AB与x轴相交于点C. 令－2x－4＝0，解得x＝－2， ∴点C的坐标为(－2，0)， ∴OC＝2. ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC 1 1 ＝ ×2×2＋ ×2×6 2 2 ＝2＋6＝8.
直线上的点为(3，4)，此时可得整点为(3，3)； 3 当x＝4时，反比例函数图象上的点为 (4， ) 2 直线上的点为(4，3)，此时可得整点为(4，2)； 6 当x＝5时，反比例函数图象上的点为(5， ) ， 5 直线上的点为(5，2)，此时，不存在整点． 综上所述，符合条件的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2)．

y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
OA
x
思考
图中的这些矩形面积相等吗？
结论：
学科网
图中的这些矩形面积相 等，都等于|k|
y
y k
x
O
x
探究2
如图,点P(m,n)是反比例函数 y k 图象上
x
的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A，则
k
S△PAO=____2____.
y
B P(m,n)
PO
x
练习 由图形的面积求解析式 三变：如图，已知点A在反比例函数的图象上， AB⊥x轴于点B，点C为y轴上的一点，若△ABC
6
的面积是3，则反比例函数的解析式为_y_=__x__．
y
CA
OB x
例题讲解
例1. 如图，正比例函数 yk(xk0)与反比例函 数 y 1 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴
OABC对角线的交点D，则矩形OABC的面 积为——8—— 。
F E
当堂检测
8.如图，已知双曲线 y
k x
(x＞0)经过矩形OABC
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF
的面积为2，则k＝__2___.
当堂检测 变式一：如图，双曲线 y k (k 0)经过矩形OABC
x
的边BC的中点E，交AB交于点D，若梯形ODBC
x
点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别
过这些点作x轴，y轴的 y y 2 （x>0)
垂线，图中所构成的阴
x
影部分的面积从左到右 依次为S1，S2，S3， 则S1+S2+S3=__1_._5____.

__5_和__-_5__.
-5
-2 0 2
5
要点归纳
1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； 2.互为相反数的两个数到原点的距离相等.
几何意义
3.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是 a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和 -a，这两点关于原点对称.
归纳总结
1. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是 a的点有___两__个，它们分别在原点的__左__右__，表示 __-_a_和__a_，我们说这两点_关__于__原__点__对__称_____.
3. 填空 (1) 若 y m 1 是反比例函数，则 m 的取值范围 x
是 m≠1 .
(2)
若
mm 2
y
是反比例函数，则m的取值范
x
围是 m ≠ 0 且 m ≠ －2 .
(3)
若
y
m2 x m2 m 1
是反比例函数，则m的取值范围
是 m = －1 .
4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4.
讲授新课
活动2：请观察这两个数，它们有什么异同点？你还能 列举两个这样的数吗？
符号不同
2.5
2.5
数字相同
要点归纳
1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2.一般地，a和-a互为相反数.
代数意义
练一练
判断题：
（1）－5是5的相反数;（√ ）
（2）－5是相反数;（ × ）
（3）2
1 2
与
1 2
互为相反数;（ ×
）
（4）－5和5互为相反数；（ √ ）
（5） 相反数等于它本身的数只有0； ﹙√ ﹚ （6） 符号不同的两个数互为相反数.﹙ ×﹚

第二十四页，编辑于星期一：一点 十四分。
阶段核心应用
解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩 形 ABCD 分成四个全等的小矩形． ∵点 A 为 y＝6x的图象上的一点， ∴S 矩形 AEOH＝6.∴S 矩形 ABCD＝4×6＝24. ∴总费用为 25×24＝600(元)． 答：所需钢条一共花 600 元．
②直接写出使y1>y2>0成立的x的范围．
第二十六章 反比例函数
k (2)如图①，设函数y1，y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为16，求k的值． ∵点 B(1，2)在反比例函数 y＝x(x＞0)的图象上， (1)求一次函数的解析式；
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．
阶段核心应用
4．如图，矩形 ABOD 的顶点 A 是函数 y＝－x－(k＋ 1)的图象与函数 y＝kx在第二象限的图象的交点，B， D 两点在坐标轴上，且矩形 ABOD 的面积为 3.
(1)求两函数的解析式；
解：由图象知 k＜0，由已知条件得|k|＝3， ∴k＝－3.∴反比例函数的解析式为 y＝ －3x，一次函数的解析式为 y＝－x＋2.
第二十六页，编辑于星期一：一点 十四分。
阶段核心应用
解：∵一次函数 y＝kx＋b(k，b (3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标． 为常数，k≠0)的图象与反比
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图①，设函数y1，y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为16，求k的值．
【点拨】依据图象及已知条件求k的值是解本题的关键，只有求出k的值，才能通过解方程组求A，C两点的坐标，然后才能解决第(3)问．
(2)如图①，设函数y1，y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为16，求k的值．

y
S矩形OAPB＝k
B P(m,n)
oA x
☞ 图象上的面积
PB⊥y轴于点B,直线PC经过原点。
sPBC k
P、C两点关于原点对称，
PO CO
SPBO
S CBO
1 2
k
SPBC SPBO SCBO k
☞ 图象上的面积
SPPA 2 k
y
o P(m,n)
x
P/
A
解:设P(m,n),则P(-m,-n).
A．S1<S2<S3
B．S2<S1<S3
C．S1<S3<S2
D．S1=S2=S3
图2
☞ 小试牛刀
(3)如图3，点A、B是双曲线y 3 上的点， x
分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 若S阴影 1，则S1 S2
y
A
S1
B
S2
O
图3
x
☞ 小试牛刀
（4）如图4，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与
空白演示
在此输入您的封面副标题
函数图象
某个函数
点的集合
反比例函数图象中的 面积问题
☞ 图象上的面积
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点, x
过P作x轴的垂线 , 垂足为 A, 则
y
SOAP
1 2
k
y A P(m,n)
P(m,n)
o
x
oA
x
☞ 图象上的面积
过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B,
N MD
CO
x
B
随堂巩固 ☞
5.如图,已知反比例函数y 12的图象与一次函数 x