如图矩形ABCD中折叠问题

2020中考数学 几何培优之图形折叠与拼接问题（含答案）【例1】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的面积为＿＿＿＿＿.例1题图 例2题图【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（ ）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）【例3】 如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.【例4】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．A（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.（1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图.【例6】 将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长用含CM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由．图1能力训练1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.4、如图，EF为正方形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG＝_______度.5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使80，则∠EGC的度数点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝0为________.第4题图第5题图第6题图6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是______cm.7、如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .68、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ( )A .12B 、2C 、3D 、4第7题图 第8题图 第9题图9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案. 10、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕(对角线)BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长.EA12、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点G.C ；(1) 求证：AG＝G(2) 如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.B级1、如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME 的长为__________.2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(0，n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点C的坐标是_________.第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.7、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长.9、如图，已知三角形纸片ABC的面积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐角，M是AB 边上的一动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）用x表示△AMN的面积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？10、如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形．具体操作过程如下：第一次分割：将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行．（1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割3次）；（2）设正方形的边长为a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么关系？用数学表达式表示出来．11、如图1，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点， ① △AEM 的周长＝_________cm ； ② 求证：EP ＝AE ＋DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x的取值范围），当y 取最大值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.参考答案 例1 10例2 A 提示：作RE ⊥y 轴于E ，RF ⊥x 轴于F ，则Rt △QRE ∽Rt △PRF ，从而PFQERF RE PR QR ==，设R (x ，y )，又PR ＝OP ＝3，QR ＝OQ ＝6，于是3636--==x y y x ，得x ＝524，y ＝512． 例3 7 提示：过F 作FM ⊥BC 于M ，证明△FGM ≌△ADE ，则FG ＝AE ＝13，DE ＝5 例4 （1）OP ＝6－t ，OQ ＝t ＋32（2）D (1，3) （3）①PQ 能与AC 平行，若PQ ∥AC ，则OC OA OQ OP =，即326+-t t ＝36．得t ＝914，而0≤t ≤37，∴t ＝914． ②PE 不能与AC 垂直．若PE ⊥AC ，延长QE 交OA 于F ，则OC OQ AC QF =，即33253+=t QF，QF ＝5(t ＋32)．∴EF ＝QF －QE ＝QF －OQ ＝5(t ＋32)－(t ＋32)＝(5－1)t ＋32(5－1)． 又Rt △EPF ∽Rt △OCA ，∴OA OC EF PE =，即63)32)(15(6=+--t t ，t ≈3.45，而0≤t ≤37，∴t 不存在． 例5 （1）10个正方形的面积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47． 因为所拼成的长方形面积是3055．长方形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提示：（1）证明：设正方形边长为a ，DE 为x ，则DM =，EM=EA=a-x .在Rt △DEM 中，∠D=90°，∴2+2=2，∴2+22=，∴，=58，∴DE：DM：EM=：：58=3:4:5（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.△ 周长△ 周长==△CMG的周长 △周长，在△DEM中，由勾股定理得（2）2=2+（2）2，化简得4ay=x（4a-x）即. ∴△CMG的周长=44（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.656 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提示：长方形纸片折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。

23.（2011贵州遵义，23，10分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。

（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH≌△DFG；（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，∵△BEH是△BAH翻折而成，∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，∵△DGF是△DGC翻折而成，∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，∴△BEH与△DFG中，∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3，∴△BEH≌△DFG，（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∴BD= = =10，∵由（1）知，BD=CD，CG=FG，∴BF=10-6=4cm，设FG=x，则BG=8-x，在Rt△BGF中，BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．22.（2011广西崇左，22）矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形．因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．回答下列问题：（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系的下图中．（2）要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是．（3）某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．考点：正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．分析：（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系，即可求得答案；（2）由正方形的的判定定理，即可求得答案；（3）根据正方形的性质，即可的对角线相等，又由菱形面积计算公式，即可推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2．解答：解：（1）（2）邻边，直角；（3）正确．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC =BD =a ，S 正方形ABCD =21AC •BD ， ∴S =0.5a 2．点评：此题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系，正方形的性质．此题难度不大，解题的关键熟记定理．20. （2011广东肇庆，20， 分）如图，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，（1）求证：△BEC ≌△DEC ：（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

矩形的折叠与剪拼专题训练1、如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，那么AG 的长为〔 〕A ．1B ．34C ．23D ．22、如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔 〕A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm3、形纸片ABCD 按如下图的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．那么BC 的长为〔 〕．A 、3B 、2C 、3D 、324、四边形ABCD 是矩 ，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，那么DE :AC =A ′GDBCAA BCD图2A ．1:3B ．3:8C ．8:27D ．7:255、图5，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D C 、分别落在11 D C 、的位置．假设65EFB ∠=°，那么1AED ∠等于_______度．6、，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒ 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为A ．15︒或者30︒B ．30︒或者45︒C ．45︒或者60︒D ．30︒或者60︒7、 方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,假设M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，那么A ′N =; 假设M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点〔2n ≥,且n 为整数〕，那么A ′N =〔用含有n 的式子表示〕CA BCDE AEDCFB D 1C 1 图58、，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.〔1〕试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.〔2〕假设AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.9、个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原那么是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大间隔．．．．〔看守点到本区域内最远处的间隔〕相等．按照这一原那么，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心〔对角线交点〕，看守自己的一块牧场．过了一段时间是，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大间隔相等．请答复：〔1〕牧童B 的划分方案中，牧童 ▲ 〔填A 、B 或者C 〕在有情况时所需走的最大间隔 较远；〔2〕牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原那么？为什么？〔提示：在计算时可取正方形边长为2〕10、问题解决：如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C ，D 重合〕，压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳在图〔1〕中，假设13CE CD =，那么AM BN 的值等于 ；假设14CE CD =，那么AMBN 的值等于 ；假设1CE CD n =〔n 为整数〕，那么AMBN的值等于 ．〔用含n 的式子表示〕 联络拓广如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，那么AMBN的值等方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 F图〔1〕A BCDEFMN，的式子表示〕于．〔用含m n11、以下材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决以下问题：〔1〕现有5个形状、大小一样的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形〔画出一个符合条件的平行四边形即可〕；〔2〕如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小〔画图并直接写出结果〕.12、将正方形沿图中虚线〔其中x ＜y 〕剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．能拼成一个．．．．．矩形〔非正方形〕． 〔1〕画出拼成的矩形的简图；〔2〕求xy的值．13、正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能互相全等的四个三角形外，你还能用三种不同的．．．方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。

中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题（距离问题）专题二矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'P A的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A 的落点A '，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ 的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2 【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP 的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A ′D =A ′C 时，过A ′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB∴A 'A =A 'B ，由折叠得，AB =A 'B ，∠ABP =∠A 'BP ，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABP =30°，∴AP =2 3333==； ②如图，当A 'D =DC 时，A 'D =2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'D =2+2=4连接BD ，则R t △ABD 中，BD =2222 2425AB AD +=+= ，∴A 'B +A 'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD =CA '时，CA '=2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处此时，∠ABP =12∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP 与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△B G C＝3S△A G P【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段C G、A G之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，AC，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，B G＝P G，∴G C＝√3B G＝√3P G，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；B G，C G＝3A G，∴S△BC G＝3S△AB G；由射影定理得：B G2＝C G•A G，∴A G＝√33由题意得：S△AB G＝S△A G P，∴S△B G C＝3S△A G P，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在R t△ABC中，由勾股定理得：AC在R t△EBC中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE ，再证明CF =CE 即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝，故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE 的等腰三角形，属于中考常考题型．==7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．。

专题04 折叠问题1．（2019•江苏扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=________ .2.（2019•山东烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼的度数是________.间无缝隙)，AOB3．（2019•山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．4（2019•江苏连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心．其中正确的个数为③PC；④BP＝2A．2个B．3个C．4个D．5个5.（2019•四川资阳）如图，在△ABC中，已知AC=3，BC=4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′=______．6.（2019南通）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE= 4．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为()3A. B.C. D.7．（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．8．（2019•海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A ．12B ．15C ．18D ．219.（2019•四川攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8CE =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ．连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③FC ∥AG ；④14GFC S ∆=; 其中结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410．（2018•成都）如图，在菱形ABCD 中，tanA=，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，的值为 ．11．（2018•河南模拟）如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=15，点E 是AD 边上一点，连接BE ，把△ABE 沿BE 折叠，使点A 落在点A′处，点F 是CD 边上一点，连接EF ，把△DEF 沿EF 折叠，使点D 落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC 边上时，AE 的长为 ．12.(2019山西)综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，∠BEC的度数是，AEBE的值是；(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：.专题04 折叠问题1．（2019•江苏扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=________ .【答案】128°【解析】延长DC到F，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠∠BCF，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCF=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°.【点睛】矩形的性质，折叠问题，等腰三角形，平行线，平角2.（2019•山东烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼∠的度数是________.间无缝隙)，AOB【答案】45°【分析】根据折叠过程可知，在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.【解析】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，22.5245∠=⨯=,故答案为：45°AOB︒︒【点睛】考核知识点：轴对称.理解折叠的本质是关键.3．（2019•山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．【答案】6﹣【解析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．4（2019•江苏连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC ＝2；④BP ＝2AB ；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为 A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】由折叠可知∠MEG=∠A=90°，∠MEC=∠D=90°，故G,M,C 在同一直线上，故②错；由折叠可知∠AMP=∠PME ，∠CME=∠DMC,,且∠AMP+∠PME+∠CME+∠DMC=180°，所以∠PMC=∠PME+∠CME=180°÷2=90°，故①正确；③正确，④错；因为△MPC 为直角，所以PC 是直径，故⑤正确.故选B.【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握与圆相关的知识求解是解题的关键．5.（2019•四川资阳）如图，在△ABC 中，已知AC =3，BC =4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′=______．【答案】95【解析】如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE′C=∠AEC=90°，∠ACE=∠ACE′，∵CE′∥AB ，∴∠ACE′=∠CAD ，∴∠ACD=∠CAD ，∴DC=DA ， ∵AD=DB ，∴DC=DA=DB ，∴∠ACB=90°，∴AB==5， ∵•AB•CH=•AC•BC ，∴CH=，∴AH==，∵CE ∥AB ，∴∠E′CH+∠AHC=180°，∵∠AHC=90°，∴∠E′CH=90°，∴四边形AHCE′是矩形， ∴CE′=AH=，故答案为．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．6.（2019南通）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠BCE=43．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】设AB ＝x ，根据折叠，可证明∠AFB=90°，由tan ∠BCE=43，分别表示EB 、BC 、CE ，进而证明△AFB ∽△EBC ，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF 的面积. 【解析】设AB ＝x ，则AE ＝EB ＝12x ，由折叠，FE ＝EB ＝12x ，则∠AFB ＝90°，由tan ∠BCE ＝43，∴BC ＝23x ，EC ＝56x ，∵F 、B 关于EC 对称，∴∠FBA ＝∠BCE ，∴△AFB ∽△EBC ，∴2()EBCy AB S EC ＝，∴y ＝221366×62525x x ＝，故选D. 【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算，二次函数图像等知识，利用相似三角形的性质得出△ABF 和△EBC 的面积比是解题关键.7．（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A ′，折痕为DE ．若将∠B 沿EA ′向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B ′，则AB ＝ ．【答案】【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝＝，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x﹣）2，解得，x1＝（负值舍去），x2＝，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A'ED ＝∠A'EB＝60°．8．（2019•海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6， 由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 9.（2019•四川攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8CE =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ．连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③FC ∥AG ；④14GFC S ∆=; 其中结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】如图，连接DF ．∵四边形ABC 都是正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠ABE ＝∠BAD ＝∠ADG ＝∠ECG ＝90°，由翻折可知：AB ＝AF ，∠ABE ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，BE ＝EF ＝4，∠BAE ＝∠EAF ， ∵∠AFG ＝∠ADG ＝90°，AG ＝AG ，AD ＝AF ，∴Rt △AGD ≌Rt △AGF （HL ）， ∴DG ＝FG ，∠GAF ＝∠GAD ，设GD ＝GF ＝x ， ∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠GAF ＝12（∠BAF ＋∠DAF ）＝45°，故①正确， 在Rt △ECG 中，∵EG 2＝EC 2＋CG 2，∴（4＋x ）2＝82＋（12−x ）2，∴x ＝6， ∵CD ＝BC ＝BE ＋EC ＝12，∴DG ＝CG ＝6，∴FG ＝GC ， 易知△GFC 不是等边三角形，显然FG≠FC ，故②错误， ∵GF ＝GD ＝GC ，∴∠DFC ＝90°，∴CF ⊥DF ，∵AD ＝AF ，GD ＝GF ，∴AG ⊥DF ，∴CF ∥AG ，故③正确，∵S△ECG＝12×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝35×24＝725，故④错误，故选B．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．（2018•成都）如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN 翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．【答案】【解析】解：延长NF与DC交于点H，∵∠ADF=90°，∴∠A+∠FDH=90°，∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，∴∠A=∠DFH，∴∠FDH+∠DFH=90°，∴NH⊥DC，设DM=4k，DE=3k，EM=5k，∴AD=9k=DC，DF=6k，∵tanA=tan∠DFH=，则sin∠DFH=，∴DH=DF=k，∴CH=9k﹣k=k，∵cosC=cosA==，∴CN=CH=7k，∴BN=2k，∴=．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．11．（2018•河南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE 沿BE折叠，使点A落在点A′处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC边上时，AE的长为．【答案】或【解析】∵把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A′处，∴AE=AE′，AB=BE′=8，∠A=∠BE′E=90°，∵把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，∴DE=D′E，DF=D′F，∠ED′F=∠D=90°，设AE=A′E=x，则DE=ED′=15﹣x，∵AD∥BC，∴∠1=∠EBC，∵∠1=∠2，∴∠2=∠EBD′，∴BD′=ED′=15﹣x，∴A′D′=15﹣2x，在Rt△BA′D′中，∵BD′2=BA′2+A′D′2，∴82+（15﹣2x）2=（15﹣x）2，解得x=，∴AE=或．【点睛】本题考查了轴对称图形性质解题时注意折叠是一种对称变换，根据BD′2=BA′2+A′D′2，列出方程即可解决问题．12.(2019山西)综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上.此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一直线上，折痕分别为CE ，CF.如图2.第二步：再沿AC 所在的直线折叠，△ACE 与△ACF 重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，∠BEC 的度数是 ，AE BE的值是 ； (2)在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形： .【答案】(1)67.5°；；(2)四边形EMGF 是矩形，理由见解析；(3)菱形FGCH 或菱形EMCH(一个即可).【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=12∠BCD=45°，∠BAC=12∠BAD=45°， ∵折叠，∴∠BCE=12∠BCE=22.5°，BE=EN ，∠ENC=∠B=90°， ∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°，Rt △AEN 中，sin ∠EAN=EN AE ，∴2EN AE =，∴EN ，∴AE AE BE EN==67.5°； (2)四边形EMGF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG ，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=GF，∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF=∠GFE=90°，∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，∴四边形EMGF是矩形；(3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：由(2)∠BME=45°=∠BCA，∴EM//AC，∵折叠，∴CM=CH，EM=CM，∴EM=CH，∴EM//CH，∴四边形EMCH是平行四边形，又CM=EM，∴平行四边形EMCH是菱形.(同理四边形FGCH是菱形，如图所示).【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识是解题的关键.。

矩形的五种折叠方法折叠问题的实质是轴对称问题，折叠原理实际上是图形的全等问题，对应角相等，对应线段相等。

对应点的连线被折痕垂直平分。

矩形在日常生活中随处可见，矩形的性质又具有平行四边形的所有性质，并且具有对角线互相平分且相等的特有性质，它不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形.所以矩形的折叠问题是中考热点问题，并且折叠的方法不同，问题不同，给参加中考的考生带来各种各样的困境，为了让参加中考的孩子们轻松应考，先把矩形的折叠问题进行总结一下.一.沿对角线折叠例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。

如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。

（1）判断△OBM是什么三角形，并说明理由，并求出△OBM的面积（2）求MN的长.【分析】由矩形性质可知，AB=OC=3,BC=OA=4,∠COA=∠OAB=90°OA∥BC 所以∠AOB=∠MBO根据折叠原理得∠AOB=∠MOB，所以∠MBO=∠MOB，∴MB=MO所以△OBM是等腰三角形，二．折一角，使直角顶点到对边例2.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC ＝4.在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则点D 的坐标是 ．【分析】折叠原理知，AE=AO=5，AB=OC=4，OD=ED 由勾股先求得BE=3，∴CE=2，然后设OD=x ，则CD=4-x在Rt △DCE 中由勾股定理即可求得OD 的长，然后就得到点D 的坐标。

练习：如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是 。

（这道题目先求BF 的长，再求CF 的长，然后再勾股定理）练习2.如图，矩形纸片ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 上折叠，使A 点恰好落在CD 上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。

题型四几何图形的折叠与动点问题试题演练1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值范围是__________.2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________．3. (’15洛阳模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF ＝90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线AE交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________．6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在矩形的对角线上时，DE的长为________．7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上，对应点为点E，若BG＝10，则折痕FG的长为________．8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为________．9. (’15商丘模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB 上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．10. (’15郑州模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，AD的中点为E，点F是AB边上一点(不与A、B重合)，连接EF，把∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG.则线段CG的取值范围是________．11. (’15江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△P AB为直角三角形时，AP的长为________．12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为_____【答案】1. 1≤x≤3【解析】通过观察图形，可得当点E与点A重合时AP最小，则AP＝EP＝AD ＝1；当点P与点B重合时，AP最大，则AP＝3，∴1＜AP≤3，则x的取值范是1≤x≤3.2. 2【解析】由题意得：DF＝DB，∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D，连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小；∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4.由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2∴AD＝5，而FD＝3，∴F A＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2.3. 4≤EF≤5【解析】∵点M为BC的中点，正方形ABCD的边长为4，∴BM＝CM＝2，∵∠EMF＝90°，∴∠BME＋∠CMF＝90°，∵∠CFM＋∠CMF＝90°，∴∠BME＝∠CFM，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BME∽△CFM，∴BMCF＝BECM，∴BE·CF＝BM·CM＝2×2＝4，∵CF最大时为4，此时BE＝1，BE最大时为4，此时CF＝1，∴0≤|CF－BE|≤3，过点E 作EG⊥CD于点G，则EG＝BC＝4，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2＝16＋(CF－BE)2，∴16≤EF2≤16＋9，∴4≤EF≤5.4. 12或32 【解析】根据题意可得△FDC 为直角三角形时分三种情况考虑：(1)如解图①，当∠FDC ＝90°时，DF ⊥AB ，在△AFD 中，∠A ＝60°，AD ＝2，∴AF ＝1，AP ＝12；(2)如解图②，当∠DCF ＝90°时，CF ⊥AB ，在△CFB 中，∠CBF ＝60°，BC ＝2，∴BF ＝1，AF ＝3，AP ＝32；(3)当∠DFC ＝90°，不存在．综上可知AP 的值为12或32.5. 2 【解析】如解图，作D 关于AE 的对称点D ′，则D ′落在对角线AC 上，过点D ′作 D ′P ′⊥AD 于点P ′，∴D ′P ′即为DQ ＋PQ 的最小值，∵DD ′⊥AE ，∴∠AFD ＝∠AFD ′，∵AF ＝AF ，∠DAF ＝∠D ′AF ，∴△DAF ≌△D ′AF ，∴AD ＝AD ′＝2，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD ′＝45°，∴AP ′＝P ′D ′，∴在Rt △AP ′D ′中，P ′D ′2＋AP ′2＝AD ′2， AD ′2＝4，∴P ′D ′＝2，即DQ ＋PQ 的最小值为 2.6. 32或94【解析】分两种情况进行讨论，设DE ＝x .ⅰ)D ′落在AC 上，如解图1，在Rt △ED ′C 中，EC ＝4－x ，D ′C ＝AC －AD ′＝5－3＝2，ED ′＝x ，根据ED ′2＋D ′C 2＝EC 2可得x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32；ⅱ)D ′落 在BD 上，如解图2，设DD ′交AE 于F 根据轴对称性质可知AE 垂直平分DD ′.在Rt △DF A 中，sin ∠ADF ＝AF AD ，∵sin ∠ADF ＝sin ∠ADB ＝AB BD ＝45，∴AF AD ＝45，又∵AD ＝3，∴AF ＝125，∴DF ＝95，又∵∠DEF ＝∠ADF ，∴sin ∠DEF ＝sin ∠ADF ＝45，∴DF DE ＝45，即95DE ＝45，∴DE ＝95×54＝94.综上DE 的长为32或94.7. 55或45 【解析】分两种情况讨论：(1)如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于点H ，则四边形ABGH 为矩形，∴GH ＝AB ＝8，由图形折叠可知△BFG ≌ △EFG ，∴EG ＝BG ＝10，∠B ＝∠FEG ＝90°，∴EH ＝6，AE ＝4，∠AEF ＋∠HEG ＝90°，∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°，∴∠HEG ＝∠AFE ，又∵∠A ＝∠EHG ＝90°，∴△EAF ∽△GHE ，∴EF EG ＝AE GH，∴EF ＝5，∴FG ＝102＋52＝55；(2)如解图②，由图形的折叠可知四边形ABGF ≌四边形HEGF ，∴BG ＝EG ，AB ＝EH ，∠BGF ＝∠EGF ，∵EF ∥BG ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EFG ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ，∴BG ＝EF ，∴四边形BGEF 为平行四边形，∵EF ＝EG ，∴平行四边形BGEF 为菱形，连接BE ，∴BE 、FG 互相垂直平分．在Rt △EFH 中，EF ＝BG ＝10，EH ＝AB ＝8，由勾股定理可得FH ＝AF ＝6，∴AE ＝AF ＋EF ＝16，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝85，∴BO ＝45，∴OG ＝BG 2－BO 2＝25，∵四边形BGEF 为菱形，∴FG ＝2OG ＝4 5.8. 1227或352【解析】在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝10，BC ＝8，∴AB ＝102－82＝6，则AE ＝6，EC ＝AC －AE ＝10－6＝4；∵AB ＝AE ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED ，∴BD ＝DE ，∠B ＝∠AED ＝90°，设BD ＝x ，则DE ＝x ，CD ＝8－x ，∴x 2＋42＝(8－x )2，解得：x ＝3，∴CD ＝5，DE ＝3.(1)如解图①，若沿∠DEC 的角平分线EG 折叠，使点C 落在ED 延长线上F 点处，过G 分别作GM ⊥EC ，GN ⊥EF ，垂足分别为M 、N .∴GN＝GM ，∵S △DEC ＝12×3×4＝6，S △DEG ＝12×3·GN ＝32GN ，S △CEG ＝12×4·GM ＝2GM ，∴2GM ＋32GN ＝6，即2GN ＋32GN ＝6，解得：GN ＝127，故EG ＝1227；(2)如解图②，若沿∠EDC 的角平分线DG 折叠，使点C 落在DE 延长线上F 点处．∴CG ＝FG ，DC ＝DF ＝5，∵DE＝3，∴EF ＝2，设CG ＝y ，则FG ＝y ，EG ＝4－y ，∴(4－y )2＋22＝y 2，解得：y ＝52，∴EG＝4－52＝32，∵DE ＝3，∴DG ＝（32）2＋32＝94＋9＝352. 9. 1或54或710【解析】本题考查三角形的折叠，等腰三角形的性质求线段的长．在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5.由折叠性质得AE ＝EF ，在△BCF 中，当BF ＝BC 时，有BF ＝AB －AF ＝AB －2AE ＝3，则AE ＝1; 当BF ＝CF 时，过BC 中点作AC 的平行线，交AB 于点F ，此时F 点满足题意，且AF ＝BF ＝52，则AE ＝54； 当CF ＝CB 时，如解图，过C 作CN ⊥AB 于点N .由等面积法得CN ＝AC ·BC AB ＝125.由△BCN ∽△BAC ，得BN BC ＝BC AB ，则BN ＝95.由等腰三角形三线合一性质得FN ＝BN ＝95，则AE ＝12AF ＝12(AB －BF )＝12×(5－185)＝710. 10. 2537＜CG ＜213 【解析】如解图所示，在Rt △ADC 中，AD ＝6，CD ＝4，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝213，把∠A 沿EB 折叠，此时CG 最小，使点A 落在点G 处，连接AG ，DG ，∴∠EAG ＝∠EGA ，AE ＝EG ，∵AE ＝DE ，∴EG ＝ED ，∴∠ADG ＝∠EGD ，∴∠AGD ＝∠AGE ＋∠EGD ＝∠DAG ＋∠ADG ＝90°，∵AE ＝3，AB ＝4，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝5，∵12AG ·BE ＝AE ·AB ，∴AG ＝245，在Rt △ADG 中，DG ＝AD 2－AG 2＝62－（245）2＝185，过G 点作MN ⊥AD ，∴∠AMG ＝∠AGD ＝90°，∵∠MAG ＝∠GAD ，∴△AMG ∽△AGD ，∴AM AG＝MG DG ＝AG AD ，即：AM 245＝MG 185＝2456，∴AM ＝9625，MG ＝7225，∵BN ＝AM ＝9625，MN ＝CD ＝4，∴CN ＝6－9625＝5425，GN ＝4－7225＝2825，在Rt △CNG 中，CG ＝CN 2＋GN 2＝2537.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝213，∴线段CG 的取值范围是2537＜CG ＜213.11. 2或23或27 【解析】由于点P 在射线CO 上运动，∴当△P AB 为直角三角形时，有三种情况：(1)当∠APB ＝90°时，①如解图①，当点P 在线段CO 上时，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∴AO ＝2，∴PO ＝AO ＝2，∵∠AOC ＝60°，∴△APO 是等边三角形，∴AP ＝AO ＝2；②如解图②所示，当点P 在CO 的延长线上时，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∠AOC ＝60°，∴OP ＝OA ＝OB ＝2，∵∠POB ＝∠AOC ＝60°，∴△POB 是等边三角形，即PB ＝OB ＝2，∴AP ＝AB 2－PB 2＝42－22＝23；(2)当∠ABP ＝90°时，如解图③所示，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∴AO ＝BO ＝2，又∵∠BOP ＝∠AOC ＝60°，∠ABP ＝90°，∴BP ＝23，在Rt △APB 中，AP ＝AB 2＋PB 2＝42＋（23）2＝27；∴AP 的长度为2或23或27.12. 92或4877【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝8，AB ＝DC ＝12，AD ∥BC ，∠C ＝90°.∵把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，∴DC ＝DF ＝12.∵AD ≠DF ，∴△AFD 为等腰三角形只有两种情况： (1)当AF ＝FD ＝12时，如解图①，过点F 作FM ⊥AD于点M ，∴AM ＝MD ＝4，在Rt △MDF 中，由勾股定理，得MF ＝122－42＝82，∵AD ∥BC ，∴∠MDF ＝∠DPC .∵∠DMF ＝∠C ＝90°，∴△MDF ∽△CPD ，∴MF CD ＝FD PD ，即：8212＝12PD，解得PD ＝92； (2)当AD ＝AF ＝8时，如解图②，DF 的延长线交CB 的延长线于点P ，过点A 作AN ⊥DF 于点N, ∴FN ＝ND ＝6，在Rt △AND 中，由勾股定理，得AN ＝82－62＝27，∵AD ∥BC ，∴∠ADN ＝∠DPC ，∵∠AND ＝∠C ＝90°， ∴△AND ∽△DCP ，∴AN CD ＝AD PD ，即：2712＝8PD ，解得PD ＝4877.综上所述，DP 的长为92或4877。

矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。

解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。

问题：根据已知信息，求翻折后各边长。

模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M ,点N 分别为DC ，AB 中点思路：模型七：点A '为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE =A 'E =x ，则BE =8-x 由勾股定理解得x =174∴BE=154由于△EBA '∽△A 'CG ∽△FD 'G ∴A 'G =3415CG =1615GD '=2615DF =D 'F =AH =134HE =1EF =17【培优过关练】1.(2022秋·山东青岛·九年级统考期末)如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 、F 分别在边AB 、CD上，∠FEB =120°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为()A.3B.33C.32D.3【答案】B 【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形ABCD 中，CD =AB =9，CD ∥AB ，∠D =90°，∴∠FEB +∠EFC =180°，∴∠EFC =∠C FE =60°，∴∠C FD =180°-∠EFC -∠C FE =60°，∴∠DC F =30°，∴C F =2DF ，又∵C F =CF ，CF +DF =9，∴DF =3，C F =6，∴C D =62-32=33，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2.(2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，沿着BE 折叠使点A 落在边CD 上的点F 处，若tan ∠ABE =13，AD =3，则DF 的长为()A.1B.2C.43D.32【答案】A 【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出EF BF=13，再证明△DEF ∽△CFB ，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，∠ABE =∠FBE ，∴tan ∠ABE =tan ∠FBE =13，∴EF BF =13，∵∠EFB =∠C =∠D =90°，∴∠DFE +∠DEF =90°，∠DFE +∠BFC =90°，∴∠DEF =∠BFC ，∴△DEF ∽△CFB ，∴EF FB =DF CB=13，∵BC =AD =3，∴DF =1，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明△DEF ∽△CFB ．3.(2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为1,3 ，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是()A.-35，83B.-35，2C.-45，145D.-45,125【答案】D【分析】过D 作DF ⊥AO 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，利用勾股定理即可求出m ，然后利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD =AB =3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了点D 的坐标．【详解】如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为1,3 ，∴AO =1，AB =3，根据折叠可知CD =BC =OA ，而∠ADC =∠AOE =90°，∠DEC =∠AEO∴△CDE ≌△AOE ，∴OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴3-m 2=m 2+12，解得m =43，∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF而AD =AB =3，∴AE =CE =3-43=53，∴AE AD =EO DF =AO AF ，即533=43DF =1AF，∴DF =125,AF =95，∴OF =95-1=45，∴D 的坐标为-45,125，故选：D ．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4.(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为()A.1B.43C.32D.2【答案】C【分析】首先设AG=x，由矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22=4-x2，解此方程即可解决问题．【详解】解：设AG=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=AD2+AB2=5，由折叠的性质可得：A D=AD=3，A G=AG=x，∠DA G=∠A=90°，∴∠BA G=90°，BG=AB-AG=4-x，A B=BD-A D=5-3=2，∵在Rt△A BG中，A G2+A B2=BG2，∴x2+22=4-x2，解得：x=3 2，∴AG=32．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5.(2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③四边形BGDE的面积等于35；④AG+DF=FG．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，利用勾股定理得到x2+42=(8-x)2，得到AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明△DEF∽△HFG，于是可对②进行判断；根据S四边形BGDE=S矩形ABCD -S△ABG-S△EBC可对③进行判断．【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=12∠CBF+12∠ABF=12∠ABC=45°，所以①正确；在Rt△ABF中，AF=BF2-AB2=102-62=8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；在△DEF中，DF=2，设DE=a，则CE=EF=6-a∴6-a2=a2+22解得a=8 3∴EC=6-83=103∵SΔABG=12×6×3=9，S△BCE=12×10×103=503，∴S四边形BGDE =S矩形ABCD-S△ABG-S△EBC=6×10-9-503=1033≠35．所以③不正确．∵DF=2,DE=83,EF=103，GH=3,HF=4,GF=5∴DF GH =DEHF=EFFG∴△DEF∽△HFG故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6.(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为()A.185B.6C.325D.365【答案】D【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF ，交AE 于H ，∵BC =12，点E 为BC 的中点，∴BE =6，又∵AB =8，∴AE =AB 2+BE 2=36+64=10，由折叠知，BF ⊥AE (对应点的连线必垂直于对称轴)，∴BH =AB ×BE AE=245，则BF =485，∵FE =BE =EC ，∴∠EFB =∠EBF ，∠EFC =∠ECF ，∵∠EFB +∠EBF +∠EFC +∠ECF =180°，∴∠BFC =90°，∴CF =BC 2-BF 2=122-485 2=365，故选：D ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.(2022秋·广西贵港·九年级统考期中)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，M 是BC 上的点，且CM =3，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C 处，折痕为MN ，当PC 与线段BC 交于点H 时，则线段BH 的长是()A.3B.5516C.4D.7316【答案】B 【分析】连接PM ，证明△PBM ≌△PC M 即可得到CM =C M =PB =3，证明△PBH ≌△C MH ，得出BH =HC =x ，然后列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：连接PM ，如图所示：∵矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，∴CD =AB =8，∠A =∠B =∠C =∠D =90°，∵CM =3，∴BM =11-3=8，根据折叠可知，CD =PC =8，∠C =∠C =90°，C M =CM =3，∴∠B =∠C ，∴BM =PC =8，∵PM =PM ，∴Rt △PBM ≌Rt △PC M HL ，∴C M =PB =3，∵∠PHB =∠C HM ，∠B =∠C ，∴△PBH ≌△C MH ，∴BH =HC ，设BH =HC =x ，则HM =8-x ，∵HM 2=HC 2+C M 2，∴8-x 2=x 2+32，解得：x =5516，∴BH =5516，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM =PC =8，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8.(2022秋·山东枣庄·九年级校考期中)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =()A.12B.2-2C.3-1D.2-1【答案】B【分析】根据题意先求BD =2AB =22，OD =2，再求BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，进而根据△ODM ∽△CDF 的线段比例关系，即可求出OM 的长．【详解】解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =BC =CD =2，∠BCD =∠COD =∠BOC =90°，OD =OC ，∴BD =2AB =22，OD =2，由折叠的性质可知，∠OEF =∠DCB =90°，∠EDF =∠CDF ，DE =CD ，∴∠BEF =90°，∴∠BFE =∠FBE =45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，∵∠DCB =∠COD =90°，∠EDF =∠CDF ，∴△ODM ∽△CDF ，∴OM CF =OD CD ，即OM 22-2=22，∴OM =2-2．故选：B ．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9.(2022·辽宁营口·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把△BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF ⊥EC ，垂足为F ，若CD =1,CF =2，则线段AE 的长为()A.5-2B.3-1C.13D.12【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=5，从而可得AD= BC=5，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵BF⊥EC，∴∠BFC=∠CDE，∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∠DEC=∠FCB ∠BFC=∠CDE BC=EC∴△BFC≌△CDE(AAS)，∴DE=CF=2，∴CE=CD2+DE2=12+22=5，∴AD=BC=CE=5，∴AE=AD-DE=5-2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10.(2022·贵州毕节·统考中考真题)矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是()525【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数(或相似)求出BF，则根据FC=BC2-BF2计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE∴△ABE与△AFE关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=12BC=3∴AE=AB2+BE2=42+32=5∵sin∠BAE=BEAE =BG AB∴BG=BE⋅ABAE =3×45=125∴BF=2BG=2×122=245∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°2=90°∴FC=BC2-BF2=62-2452=185故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11.(2022·四川宜宾·统考中考真题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为()17151715【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF= BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，∴在△AFD和△EFB中∠A=∠E=90°∠AFD=∠EFB AD=BE=3 ，∴ΔAFD≌ΔEFB(AAS)，∴AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2，即5-x2=x2+32，解得：x=85，则DF=BF=5-85=175，∴cos∠ADF=ADDF =3175=1517，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键．12.(2022·浙江湖州·统考中考真题)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是()A.BD=10B.HG=2C.EG∥FHD.GF⊥BC 【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得HD,BG，进而判断B，根据折叠的性质可得∠EGB=∠FHD=90°，进而判断C选项，根据勾股定理求得CF的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】∵BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，∴BC=AD=8,AB=CD=6∴BD=BC2+CD2=10故A选项正确，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，∴BG=AB=6，DH=CD=6∴DG=4,BH=BD-HD=4∴HG=10-BH-DG=10-4-4=2故B选项正确，∵EG⊥BD,HF⊥DB,∴EG∥HF，故C正确设AE=a，则EG=a，∴ED=AD-AE=8-a，∵∠EDG=∠ADB∴tan∠EDG=tan∠ADB即EGDG=ABAD=68=34∴a 4=34∴AE=3，同理可得CF=3若FG∥CD则CFBF=GDBG∵CF BF =35,GDBG=46=23，∴CF BF ≠GD BG，∴FG不平行CD，即GF不垂直BC，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13.(2022·江苏连云港·统考中考真题)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD =BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a2，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a，∴AB=22a=2AD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x =b 2-a 2b =a 2，即DF =FO =a 2，GE =a 2+b 2=3a ，∴GE DF =3aa 2=6，∴GE =6DF ；故③正确；∴OC OF =2a a 2=22，∴OC =22OF ；故④正确；∵∠FCO 与∠GCE 不一定相等，∴△COF ∽△CEG 不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14.(2021·广西来宾·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD ，AD :AB =2:1，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD 于点G ，则EF AG的值为()A.22B.23C.12D.53【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出EF 是AA 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO =∠AGD ，∠FHE =∠D =90°，根据相似三角形判定推出△EFH ∽△GAD ，再利用矩形判定及性质证得FH =AB ，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵点A ，B 的对应点分别为A ，B ，∴EA =EA ，FB =FB ，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°．∴∠OAE+∠AEO=∠OAE+∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE=∠D=90°．∴△EFH∽△GAD．∴EF AG =FH AD．∵∠AHF=∠BAD=∠B=90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH=AB．∴EF AG =FHAD=ABAD=12=22；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.(2011·吉林长春·中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，CF=CE2-EF2=52-32=4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．16.(2020·广东深圳·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG⎳BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB=30°，∠DEF=12∠DEB=75°，故④正确．综合，正确的为①②④．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．17.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 、D点的对称点为D ，若∠FPG=90°，△A EP的面积为8，△D PH的面积为2，则矩形ABCD的长为()A.65+10B.610+52C.35+10D.310+52【答案】D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H=12x，由S△D′PH=12D′P·D′H=12A′P·D′H，可解得x=22，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵∠FPG=90°，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即12⋅x ⋅12x =2，∴x =22(负根舍弃)，∴AB =CD =22，D ′H =DH =2，D ′P =A ′P =CD =22，A ′E =2D ′P =42，∴PE =42 2+22 2=210，PH =22 2+2 2=10，∴AD =42+210+10+2=52+310，故选D .【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18.如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则cos ∠ADF 的值为()A.1113B.1315C.1517D.1719【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP (AAS )，根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4-x 、BF =PC =3-x ，进而可得出AF =1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∠EOF =∠BOP∠E =∠B =90°OF =OP，∴△OEF ≌△OBP (AAS )，∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =4-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即(1+x )2+32=(4-x )2，解得：x =35，∴DF =4-x =175，∴cos ∠ADF =AD DF =1517，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．19.(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为正方形，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD沿AE 折叠，得到点B 的对应点为点F ，延长EF 交线段DC 于点P ，若AB =6，则DP 的长度为___________．【答案】2【分析】连接AP ，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，可得PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP ，如图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =AD =6，∠B =∠C =∠D =90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE =12AB =3，由翻折可知：AF =AB ，EF =BE =3，∠AFE =∠B =90°，∴AD =AF ，∠AFP =∠D =90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP =AP AF =AD ，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，∴PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2=EC 2+CP 2，∴(3+x )2=32+(6-x )2，解得x =2，则DP 的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．20.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm ．【答案】53##123【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明ΔFEG ∼ΔFBM ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接DF ,如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =DA =4,∠A =∠B =∠C =∠CDA =90°.∵点M 为BC 的中点，∴BM =CM =12BC =12×4=2由折叠得，ME =CM =2,DE =DC =4,∠DEM =∠C =90°,∴∠DEF =90°，∠FEG =90°,设FE =x ,则有DF 2=DE 2+EF 2∴DF 2=42+x 2又在Rt ΔFMB 中，FM =2+x ,BM =2，∵FM 2=FB 2+BM 2∴FB =FM 2-BM 2=(2+x )2-22∴AF =AB -FB =4-(2+x )2-22在Rt ΔDAF 中，DA 2+AF 2=DF 2,∴42+4-2+x 2-22 2=42+x 2,解得，x 1=43,x 2=-8(舍去)∴FE =43,∴FM =FE +ME =43+2=103∴FB =2+43 2-22=83∵∠DEM =90°∴∠FEG =90°∴∠FEG =∠B ,又∠GFE =∠MFB .∴△FEG ∼ΔFBM∴FG FM =FE FB ,即FG 103=4383∴FG =53,故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21.(2022·浙江丽水·统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P处，折痕为EF ．(1)求证：△PDE ≌△CDF ；(2)若CD =4cm ,EF =5cm ，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm 【分析】(1)利用ASA 证明即可；(2)过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF=∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，∠P =∠CPD =CD ∠PDE =∠CDF,∴△PDE≌△CDF(ASA)；(2)如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴GF=EF2-EG2=3cm,设AE=xcm，∴EP=xcm，由△PDE≌△CDF知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，PE2+PD2=DE2,即x2+42=3+x2，解得，x=7 6，∴BC=BG+GC=76+3+76=163(cm)．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22.(2022·河南·统考中考真题)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长．【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC(2)①15，15；②∠MBQ=∠CBQ，理由见解析(3)AP=4011cm或2413cm【分析】(1)根据折叠的性质，得BE=12BM，结合矩形的性质得∠BME=30°，进而可得∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°；(2)根据折叠的性质，可证RtΔBQM≅RtΔBQC HL，即可求解；(3)由(2)可得QM=QC，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP= PM=x，分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．(1)解：∵AE=BE=12AB，AB=BM∴BE=12BM∵∠BEM=90°，sin∠BME=BEBM =12∴∠BME=30°∴∠MBE=60°∵∠ABP=∠PBM∴∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°(2)∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ=∠CBQ∵∠MBC=30°∴∠MBQ=∠CBQ=15°②∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ =∠CBQ(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =CD -DF -FQ =8-4-1=3(cm )，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm )由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+52=x +3 2解得：x =4011∴AP =4011cm ；当点Q 在点F 的上方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =5cm ，DQ =3cm ，由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+32=x +5 2解得：x =2413∴AP =2413cm ．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23.(2022·吉林长春·统考中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD =2AB ．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想△ADG ≌△AFG ．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．(用含a的代数式表示)【答案】(1)见解析(2)22.5°，2-1.(3)52a【分析】(1)根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；(2)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°;证明ΔGCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(3)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°∴∠AFG=∠D=90°又AD=AF，AG=AG∴△ADG≌△AFG(2)由折叠得，∠BAF=∠EAF,又∠BAF+∠EAF=90°∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°,由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°,∠AFG=∠ADG=90°,又∠AFB=45°∴∠GFC=45°,∴∠FGC=45°,∴GC=FC.设AB=x,则BF=x,AF=2x=AD=BC,∴FC=BC-BF=2x-x=(2-1)x∴GF=2FC=(2-2)x∴GF AF =(2-2)x2x=2-1.(3)如图，连接FD,∵DG=FG∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°∴∠APR=45°.∴AR=PR又AR2+PR2=AP2=a22=a24∴AR=PR=24a,∴DR=AD-AR=2a-24a=342a在RtΔDPR中，DP2=AR2+PR2∴DP =AR 2+PR 2=24a 2+324a 2=52a ∴PQ +FQ 的最小值为52a 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．24.(2021·湖北荆州·统考中考真题)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，F 是对角线AC 上不与点A ，C重合的一点，过F 作FE ⊥AD 于E ，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，点G 在射线AD 上，连接CG ．(1)如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC =90°，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证：△CDG ∽△GAH ；②求tan ∠GHC ．(2)如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF =90°，判断△GCF 与△AEF 是否全等，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②23；(2)不全等，理由见解析【分析】(1)①先根据同角的余角相等得出∠DCG =∠AGH ，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；②设EF =x ，先证得△AEF ~△ADC ，得出EF AE =CD AD=24=12，再结合折叠的性质得出AE =EG =2x ，AG =4x ，AH =2EF =2x ，再由△CDG ~△GAH ，得出比例式AG DC =AH DG =HG CG ，求出EF 的长，从而得出HGCG的值，即可得出答案；(2)先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF~△ACG，得出比例式AEAC =AFAG，得出EF=5 4，AE=52，AF=545，从而判定△GCF与△AEF是否全等．【详解】(1)①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG~△GAH②设EF=x∵△AEF沿EF折叠得到△GEF∴AE=EG∵EF⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF⎳CD⎳AB∴△AEF~△ADC∴EF CD =AE AD∴EF AE =CDAD=24=12∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG，EF⎳AB∴EF AH =EGAG=12∴AH=2EF=2x ∵△CDG~△GAH∴AG DC =AHDG=HGCG∴4x2=2x4-4x=HGCG∴x=34∴4x2=32=HGCG∵∠FCG=90°∴tan∠GHC=CGHG =23(2)不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC=AB2+AD2=22+42=25由②可知：AE=2EF∴AF=AE2+EF2=5EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF~△ACG∴AE AC =AF AG∴2EF 25=54∴EF=54∴AE=52，AF=545∴FC=AC-AF=25-545=345∴AE≠FC，EF≠FC∴不全等【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE= 2EF是解题的关键．。

中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。

热点专题6图形折叠问题考向1矩形的折叠1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①①CMP是直角三角形；①点C、E、G不在同一条直线上；①PC＝MP；①BP＝AB；①点F是①CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】①沿着CM折叠，点D的对应点为E，①①DMC＝①EMC，①再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，①①AMP＝①EMP，①①AMD＝180°，①①PME+①CME＝180°＝90°，①①CMP是直角三角形；故①正确；①沿着CM折叠，点D的对应点为E，①①D＝①MEC＝90°，①再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，①①MEG＝①A＝90°，①①GEC＝180°，①点C、E、G在同一条直线上，故①错误；①AD＝2AB，①设AB＝x，则AD＝2x，①将矩形ABCD对折，得到折痕MN；①DM＝AD＝x，①CM＝＝x，①①PMC＝90°，MN①PC，①CM2＝CN•CP，①CP＝＝x，①PN＝CP﹣CN＝x，①PM＝＝x，①＝＝，①PC＝MP，故①错误；①PC＝x，①PB＝2x﹣x＝x，①＝，①PB＝AB，故①，①CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，①CE＝EG，①①CEM＝①G＝90°，①FE①PG，①CF＝PF，①①PMC＝90°，①CF＝PF＝MF，①点F是①CMP外接圆的圆心，故①正确；故选：B．2. (2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将①CBH 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan①HAP＝．【解析】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又①H为AB的中点，①AH＝BH，①AH＝PH＝BH，①①HAP＝①HP A，①HBP＝①HPB，又①①HAP+①HP A+①HBP+①HPB＝180°，①①APB＝90°，①①APB＝①HEB＝90°，①AP①HE，①①BAP＝①BHE，又①Rt①BCH中，tan①BHC＝＝，①tan①HAP＝，故答案为：．3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若①ABC＝26°，则①ACD ＝°．【解析】延长DC，由题意可得：①ABC＝①BCE＝①BCA＝26°，则①ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案为：128．4．(2019 江苏省盐城市)如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（①）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图①；（①）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图①，两次折痕交于点O；（①）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图①．探究（1）证明：①OBC①①OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．【解析】（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，①BCO＝①DCO＝①ADO＝①CDO＝45°①BC＝DE，①COD＝90°，OC＝OD，在①OBC①①OED中，，①①OBC①①OED（SAS）；（2）过点O作OH①CD于点H．由（1）①OBC①①OED，OE＝OB，①BC＝x，则AD＝DE＝x，①CE＝8﹣x，①OC＝OD，①COD＝90°①CH＝CD＝AB＝＝4，OH＝CD＝4，①EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4在Rt①OHE中，由勾股定理得OE2＝OH2+EH2，即OB2＝42+（x﹣4）2，①y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32．考向2平行四边形的折叠1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【解析】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′①BD，故答案为：AC′①BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，①CBD＝①C'BD，①AD①BC，①①ADB＝①CBD，①①EDB＝①EBD，①BE＝DE．2. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）ECB FCG∠=∠；（2）EBC FGC∆≅∆．【解析】证明：（1）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，A BCD由折叠可得，A ECG∠=∠，∴∠=∠，BCD ECG∴∠-∠=∠-∠，BCD ECF ECG ECF∴∠=∠；ECB FCG（2）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，AD BCD B=，由折叠可得，D G=，∠=∠，AD CG=，B G∴∠=∠，BC CG又ECB FCG∠=∠Q，∴∆≅∆．EBC FGC ASA()考向3正方形的折叠1．(2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求①AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将①APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG①MN，FH①MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．【解析】线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：①四边形ABCD是正方形，①①ABE＝①BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB①CD，过点B作BF①MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：①四边形MBFN为平行四边形，①NF＝MB，①BF①AE，①①BGE＝90°，①①CBF+①AEB＝90°，①①BAE+①AEB＝90°，①①CBF＝①BAE，在①ABE和①BCF中，，①①ABE①①BCF（ASA），①BE＝CF，①DN+NF+CF＝BE+EC，①DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI①AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：①四边形ABCD是正方形，①四边形ABIH为矩形，①HI①AD，HI①BC，HI＝AB＝AD，①BD是正方形ABCD的对角线，①①BDA＝45°，①①DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，①MN是AE的垂直平分线，①AQ＝QE，在Rt①AHQ和Rt①QIE中，，①Rt①AHQ①Rt①QIE（HL），①①AQH＝①QEI，①①AQH+①EQI＝90°，①①AQE＝90°，①①AQE是等腰直角三角形，①①EAQ＝①AEQ＝45°，即①AEF＝45°；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则①APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，①AO＝OD，①AOD＝90°，①①ODA＝①ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG①CD于点G，过点P′作P′H①CD交CD延长线于点H，连接PC，①点P在BD上，①AP＝PC，在①APB和①CPB中，，①①APB①①CPB（SSS），①①BAP＝①BCP，①①BCD＝①MP A＝90°，①①PCN＝①AMP，①AB①CD，①①AMP＝①PNC，①①PCN＝①PNC，①PC＝PN，①AP＝PN，①①PNA＝45°，①①PNP′＝90°，①①P′NH+PNG＝90°，①①P′NH+①NP′H＝90°，①PNG+①NPG＝90°，①①NPG＝①P′NH，①PNG＝①NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在①PGN和①NHP'中，，①①PGN①①NHP'（ASA），①PG＝NH，GN＝P'H，①BD是正方形ABCD的对角线，①①PDG＝45°，易得PG＝GD，①GN＝DH，①DH＝P'H，①①P'DH＝45°，故①P'DA＝45°，①点P'在线段DO'上运动；过点S作SK①DO'，垂足为K，①点S为AD的中点，①DS＝2，则P'S的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EG＝AG＝，PH＝FH，①AE＝5，在Rt①ABE中，BE＝＝3，①CE＝BC﹣BE＝1，①①B＝①ECQ＝90°，①AEB＝①QEC，①①ABE①①QCE，①＝＝3，①QE＝AE＝，①AQ＝AE+QE＝，①AG①MN，①①AGM＝90°＝①B，①①MAG＝①EAB，①①AGM①①ABE，①＝，即＝，解得：AM＝，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，①B'＝①B＝90°，①C'＝①BCD＝90°，①B'M＝＝，AC'＝1，①①BAD＝90°，①①B'AM＝①C'F A，①①AFC'①①MAB'，①＝＝，解得：AF＝，①DF＝4﹣＝，①AG①MN，FH①MN，①AG①FH，①AQ①FP，①①DFP①①DAQ，①＝，即＝，解得：FP＝，①FH＝FP＝．考向4三角形的折叠(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边①ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把①ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1①AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，①ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求①ACB′面积的最大值．【解析】（1）如图1中，①①ABC是等边三角形，①①A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，①PB＝4，①PB′＝PB＝P A＝4，①①A＝60°，①①APB′是等边三角形，①AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．①PE①AC，①①BPE＝①A＝60°，①BEP＝①C＝60°，①①PEB是等边三角形，①PB＝5，①①B，B′关于PE对称，①BB′①PE，BB′＝2OB①OB＝PB•sin60°＝，①BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．①B，B′关于直线l对称，①BB′①直线l，①直线l①AC，①AC①BB′，①S①ACB′＝S①ACB＝•82＝16．（4）如图4中，当B′P①AC时，①ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt①APE中，①P A＝2，①P AE＝60°，①PE＝P A•sin60°＝，①B′E＝6+，①S①ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．。

折叠问题及综合实践1.【2023石家庄十八县大联考12，2】如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把△BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF△EC ，垂足为F ，若CD=1，CF=2，则线段AE 的长为（ ） A.25- B.13- C.31 D.212.【2023深圳初三中考适应性考试10，3】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是AB 边延长线上一点，BE=2，F 是AB 边上一点，将△CEF 沿CF 翻折，使点E 的对应点G 落在AD 边上，连接EG 交折痕CF 于点H ，则FH 的长是（ ） A.34 B.310 C.1 D.353.【2023徐汇模拟17】如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处。

已知BF=6cm ，tan△BAF=43，那么折痕AE 的长是________。

4.【2023太康县城郊一模15,3】如图，在矩形ABCD 中，AB=9，AD=34，E 为射线BA 上一点，将△BEC 沿CE 翻折，使点B 落在点F 处，若39=DCF S △，则BE=_______。

5.【2022河南模拟】如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC ，若2=ABC S △，则=ACD S △________。

6.【2022河南学业水平全真模拟五14，3】如图，正方形ABCD中，点E为边BC上一点，点F为边AD上一个动点，连接EF，以EF为对称轴折叠正方形，点C，D的对应点分别为H，G，当点H落到边AB上时，若AB=9，BE=4，则AF的长为_________。

7.【2020河南模拟14，3】如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．8.【2022河南权威预测模拟卷一14，3】如图1，在矩形ABCD中，AD=5，AB=6. 第一步，如图2，在CD边上找一点E，将矩形沿AE折叠，点D落在AB边上点F处；第二步，如图3，在AB上找一点M，将△CMB沿CM折叠，得到△CMN，点N落在AE上，则MN 的长为________。

思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为()A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是()A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三 折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E .(1)求证：△AFE ≌△CDE ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5. 185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10. 7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形321FEDCBAGA'C A B D6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，（如图④）；沿GC ′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC ′，GH （如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB ′的大小；（2）图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式； (3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想．54132G D‘F C‘DB CA E二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿BC ，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB Ba 2130°B EF AC D本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；GEFD AEF DBC A B C 60cm（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将∠2看作180°-2∠CED ，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求．B'C DA B 231E B'CDB A 21图(1)C'ACBDE12C'ABCDE21GC'A BC DE由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

2022年中考数学专题复习：折叠题1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有以下四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是〔〕A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF〔ASA〕，∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．应选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，假设EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．以下结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤假设，那么．以上命题，正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，那么G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，那么有y2+〔2y﹣2x〕2=〔2y﹣x〕2，解得x1=y〔不合题意舍去〕，x2=y．那么，故正确．故正确的有3个．应选B．点评：此题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答此题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为〔〕A．3B．2C．2D．2解答：解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM〔AAS〕，∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．应选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．那么以下结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG 和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的选项是〔〕A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=〔CW+FJ〕=WC=〔BH+HE〕=BE；易证：△ABE≌△DAQ〔SAS〕，∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；应选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，MN∥AB，MC=6，NC=，那么四边形MABN的面积是〔〕A．B．C．D．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．应选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，那么∠A′的大小是〔〕A．40°B．36°C．32°D．30°解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．应选B．点评：此题考查了折叠的性质，解答此题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意此题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB 与AC重合，得△AB′D，那么△ABC与△AB′D重叠局部的面积为〔〕A．B．C．3﹣D．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=〔2﹣2〕×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC•DE=×2×=．应选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，那么BD的长度为〔〕A．B．C．D．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，那么CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．应选B．点评：此题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是〔〕A．1 B．C．D．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC•AD+AD•ED=2××1×〔﹣1〕+×〔﹣1〕〔﹣1〕=1．应选A．点评：此题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

折叠问题解答技巧八道例题例1. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23，以AC 为轴翻折半平面，使二平面角B —AC —D 为120°，求：(1)翻折后，D 到平面ABC 的距离；(2)BD 和AC 所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解 分别过B 、D 作AC 的垂线，垂足是E 、F ，过F 作FB ′∥BE ，过B 作BB ′∥AC ，交点B ′，则四边形EFB ′B 是矩形.∵AC ⊥DF ，AC ⊥B ′F ，∴AC ⊥平面B ′FD ，即∠DF ′B 就是二面角B —AC —D 的平面角，亦即∠DFB ′＝120°.过D 作DO ⊥B ′F ，垂足为O.∵DO ⊂平面DFB ′，AC ⊥平面DFB ′.∴DO ⊥AF ，DO ⊥平面ABC. 在Rt ΔADC 中，CD ＝2，AD ＝23，∴DF ＝3，OD ＝DF ·sin60°＝23.(2)在ΔDFB ′中，DB ′＝︒⋅'⋅⋅-'+120cos 22F B DF F B DF ＝3.又由(1)可知，AC ∥BB ′，AC ⊥平面DFB ′⊥平面DFB ′.∴BB ′⊥平面DFB ′，∴ΔDB B ′是直角三角形，又BB ′＝EF ＝2.∴tan ∠DBB ′＝23.∵AC ∥BB ′,∴AC 与BD 所成的角就是∠DBB ′，即为arctan 23.例2. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22ANAM+＝22)12(1++＝10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝︒⋅-+120cos 222AN AM ANAM＝21312)3(122⨯⨯⨯++＝34+∵34+＜10∴min MN ＝34+.如图，ABCDEF 为正六边形，将此正六边形沿对角线AD 折叠.(1)求证：AD ⊥EC ，且与二面角F —AD —C 的大小无关； (2)FC 与FE 所成的角为30°时，求二面角F —AD —C 的余弦值. 解析：(1)正六边形ABCDEF ，在折叠前有AD ⊥EC ，设AD 与EC 交于M ，折叠后即有AD ⊥ME ，AD ⊥MC.则AD ⊥平面EMC ，无论∠EMC 的大小如何，总有AD ⊥EC.(2)利用余弦定理，有cos ∠EMC ＝97例3（2005·湖南）如图７－１，已知A B C D 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角．（Ⅰ）证明：1ACBO ⊥；（Ⅱ）求二面角1O AC O --的大小．ABOCO 1D解法1（I ）证明： 由题设知1O A O O ⊥，1OB OO ⊥．所以A O B ∠是所折成的直二面角的平面角，即O A O B⊥． 故可以O 为原点，1,,O A O B O O 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关各点的坐标是(3,0,0)A，(0,3,0)B，C ，1(0,O ．从而(3,3)AC =-，1(0,BO =-，130AC BO ⋅=-+=．所以1AC BO ⊥．解法２（I ）证明： 由题设知1O A O O ⊥，1OB OO ⊥，所以A O B ∠是所折成的直二面角的平面角，即O A O B ⊥． 从而A O ⊥平面1O B C O ，O C 是A C在面1O B C O 内的射影．因为11tan O B O O B OO ∠==，111tan 3O C O O C O O ∠==，所以13O O B π∠=，16O O Cπ∠=，从而1OC BO ⊥，由三垂线定理得1ACBO ⊥．（II ）解 由（I ）1OCBO ⊥，1AC BO ⊥，知1BO ⊥平面O A C ．设1O C O B E = ，过点E作EFAC⊥于F ，连结1O F （如图７－３），则E F是1O F 在平面A O C 内的射影，由三垂线定理得1O F AC⊥．所以1O FE ∠是二面角1O AC O --的平面角．由题设知113,1OA OO O C ===，所以ABC DFE GA'1O A==，AC ==，从而1332111=⋅=ACCO A O F O ，又11sin62O E O O π==，所以111sin 4O E O FE O F∠==， 即二面角1O ACO --的大小是arcsin 4．一、折叠与展开中的垂直问题例4.如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ，过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起， 使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC ∴A 'E ⊥FG ∴A 'E ⊥BC 设A 'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：A 'D 2=A 'E 2+ED 2-2•A 'E •EDcos60°=3a 2 ∴ED 2=A 'D 2+A 'E 2 ∴A 'D ⊥A 'E ∴A 'E ⊥平面A 'BC例5如图：D 、E 是是等腰直角三角形ABC 中斜边BC 的两个三等分点，沿AD 和AE 将△ABD 和△ACE 折起，使AB 和AC 重合，求证：平面ABD ⊥平面ABE.ＥＤＢＡＥ Ｄ ＣＢ Ａ解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝090；三、折叠与展开中的距离与体积问题例6.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，以AC为轴翻折半平面，使二平面角B—AC—D为120°，求：翻折后，D到平面ABC的距离；解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解：分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，交点B′，则四边形EFB′B是矩形.∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，∠DFB′＝120°.过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO 平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC.3. 在RtΔADC中，CD＝2，AD＝23，∴DF＝3，OD＝DF·sin60°＝2例7. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点， N 为BC 的中点，在棱柱表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22ANAM+＝22)12(1++＝10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2.则MN ＝︒⋅-+120cos 222AN AM ANAM＝21312)3(122⨯⨯⨯++＝34+∵34+＜10∴min MN ＝34+.二、折叠与展开中的空间角问题例8. 矩形ABCD ，AB=3，BC=4，沿对角线BD 把△ABD 折起， 使点A 在平面BCD 上的射影A′落在BC 上，求二面角A —BD-—C 的余弦值。

特殊平行四边形中的折叠问题1 、矩形中的折叠例1 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8.将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处.求EF 的长.例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处.（1）试说明B ′E ＝BF ；（2）设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予说理.2、 菱形中的折叠例3 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若BC ＝4，BG ＝3，则GE 的长为 ．3、 正方形中的折叠例4如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将∠ABE 沿AE 折叠至∠ABE 处，BE 与AC 交于点F ，若∠EFC ＝69°，则∠CAE 的大小为（ ）A ．10°B ．12°C ．14°D ．15°例5 如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC ＝2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6AB CDFA ′B ′EFB A CD E G O E B CA D P EN M CD BA F G E C DB A F E DCA BEFGB A HB'CDAB EGFECDBAE B CA D 跟踪练习：1．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D 1、C 1的位置，ED 1的延长线交BC 于点G ，若∠EFG ＝64°，则∠EGB 等于（ ） A ．128° B ．130° C ．132° D ．136°（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）2．如上图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将∠ABP 沿BP 翻折至∠EBP ，PE 与CD 相交于点O ，BE 与CD 相交于点G ，且OE ＝OD ，则AP 的长为_________．3．如图，菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，若菱形边长为1，则点E 到CD 的距离为 ．4. 如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，点A 关于DE 的对称点为F ，若正方形ABCD 的边长为1，且∠BFC ＝90°，则AE 的长是__________；综合练习：1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把∠CDE 沿DE 翻折，点C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（ ）A ．1B ．43C ．32D ．53（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）2．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝120°，则EF 的值是（ ） A ．√3 B ．2 C ．2√3 D ．43．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，∠ABE 沿直线BE 折叠后得到∠GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若AB ＝6，BC ＝46，则FD 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．234．如图，矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ，若∠CDN 的面积与∠CMN 的面积比为1∠4，则MN ∠BM 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．25 D ．265．在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠C ＝90°，DC ＝DA ，∠D ＝60°，AB ＝2，将四边形ABCD 折叠，使点D 和点B 重合，折痕为EF ，则EF 的长为( ) A ．2B ．3215C ．72110D ．4215（5题图） （6题图） （7题图） （8题图）6．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把紙片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝10，AF 的值为_________．7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当∠CB ′E ＝90°时，BE 的长为__________； 8．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝8．将矩形的一部分沿EF 折叠，使D 点与B 点重合，C 点的对应点为G ．则EF 的长是_________．将∠BEF 绕着点B 顺时针旋转角度α (0°＜α＜180°)，得到∠BE 1F 1，直线E 1F 1分别与射线EF 、射线ED 交于点M 、N ．当EN ＝MN 时，FM 的长是__________； 9．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝6，M 是AD 边上的一点，AM ：MD ＝1：2．将∠BMA 沿BM 对折至∠BMN ，连接DN ，则DN 的长是________．10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2．E 是AB 的中点，直线l 平行于直线CE ，且直线l 与直线EC 之间的距离为2，点F 在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 恰好落在直线l 上，则DF 的长为__________．。

专题 图形的折叠问题一．选择题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，使得点B 落在点B ′处，则点B ′到线段BC 的距离为( )．A.2572 B.1336 C. 4 D.4357 2. 如图，将矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，BE ，若△ABE 为等边三角形，且S △CDE ＝3，则CD 的长为（ ）．A.√3B. 2√3C. 3D. 23. 如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，再沿EG 折叠，使点C 落在矩形内的点H 处，且E 、F 、H 在同一直线上，若AB ＝6，BC ＝8，则CG 的长是( )．A. 3B.2C. 2.5D.4.54. 如图，在菱形ABCD 中，BD ＝211，AC ＝10，点P 在对角线AC 上，过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A ′处，A ′C ＝A ′D ，则AP 的长为( )．A.25 B.21 C. 3 D.43 二．填空题5. 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 上一点，连接AE ，将△DEC 沿DE 所在的直线对折，使得点C 落在AE 上的点F 处，连接BF ，若EF ＝13AE ，AB ＝1，则AF ＝________．6. 如图，边长为4的菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP (P 为AB 的中点)所在直线上的C ′处，得到经过点D 的折痕DE ，则CE ＝________．7. 如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A ＝60°，AD ＝4，AB ＝8，则AE 的长为________．8. 将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，且顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，F ，O 在另一条直线上，若AB ＝2，则AD 的长为 .9.如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上的点，将△ADE沿直线DE翻折，使得点A与BC边上的点G重合，连接AG交DE于点F，若AD＝6，EF＝1，则AB的长为.10.如图，正方形ABCD，E为BC边的中点，连接AE，点P是边CD上一点，沿AP折叠使D点落在AE上的H处，延长PH交BC于F点，若EF＝1，则AB的长为.三．解答题11.如图，矩形ABCD中，△BCD沿BD折叠，使点C落到点E处，BE与AD相交于点F，点O是BD的中点，连接FO并延长交BC于点G，若AB＝6，AD＝8，（1）求证：四边形BFDG是平行四边形（2）求FG的长。