结晶学第九讲—点式空间群
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空间点阵
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (一) 六方最紧密堆积
这个点阵相当于一个底面顶 角为60的平行六面体在三维 空间的无限堆垛
比较一下晶体结构与空间点阵
把所有的微粒都画出来的图 形表示的是晶体的结构
只给出等同微粒的图 形表示的是空间点阵
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (二) 立方最紧密堆积
顶点处的八个圆球是 等同微粒：种类相同， 所处环境也相同。
因此这个结构中的基元是由两 个同种类的圆球构成的。
因此，对空间点阵的描述是：将构成晶体的 最小结构单元 基元抽象为几何点，这些几何 点的集合就称为空间点阵。晶体的最小结构单元 基元中包括了晶体中所有种类的不等同微粒，而 且构成基元的微粒中任意两个都互为不等同微粒。
晶体中如果存在旋转轴，则其必定通过晶体的几 何中心。
倒转轴是一种复合对称要 素，由一根假想的直线和在 此直线上的一个定点组成。 相应的对称操作是绕此直线 旋转一定角度以及对此定点 的倒反。
根据晶体对称轴定律，倒转 轴也只有 1 次、2 次、3 次、 4 次和 6 次等 5 种
倒反轴的表示方法
在晶体研究中经常遇到两个名词：
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶 体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点 群。
空间群：晶体结构中还有一些微观的对称要素， 微观对称要素的核心是平移轴，微观对称要素的集 合构成平移群。晶体结构中存在的一切对称要素 (包括平移轴在内) 的集合称为空间群。晶体中可能 存在的空间群只有 230 种
吊扇叶片每旋转一周就重复 3 次，相应的对称轴为三 次对称轴
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角
称为基转角。轴次 n 可以写成
点群空间群
230种晶体学空间群的记号
Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups
晶系(Crystal system)
点群
(Point group)
空间群(Space group)
国际符号(HM)
圣佛利斯符号(Schfl.)
三斜
晶系
1
C1
P1
Ci
P
单斜
晶系
2
P2
Imma
四方
晶系
4
P4
P41
P42
P43
I4
I41
P
I
4/m
P4/m
P42/m
P4/n
P42/n
I4/m
I41/a
422
P422
P4212
P4122
P41212
P4222
P42212
P4322
P43212
I422
I4122
4mm
P4mm
P4bm
P42cm
P42nm
P4cc
P4nc
P42mc
P42bc
I4mm
I4cm
I41md
I41cd
2m
P2m
P2c
P21m
P21c
Pm2
Pc2
Pb2
Pn2
Im2
Ic2
I2m
I2d
4/mmm
P4/mmm
P4/mcc
P4/nbm
P4/nnc
P4/mbm
P4/mnc
P4/nmm
P4/ncc
P42/mmc
P42/mcm
P42/nbc
P42/nnm
Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups
晶系(Crystal system)
点群
(Point group)
空间群(Space group)
国际符号(HM)
圣佛利斯符号(Schfl.)
三斜
晶系
1
C1
P1
Ci
P
单斜
晶系
2
P2
Imma
四方
晶系
4
P4
P41
P42
P43
I4
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P
I
4/m
P4/m
P42/m
P4/n
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I41/a
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P4122
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P4322
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I4122
4mm
P4mm
P4bm
P42cm
P42nm
P4cc
P4nc
P42mc
P42bc
I4mm
I4cm
I41md
I41cd
2m
P2m
P2c
P21m
P21c
Pm2
Pc2
Pb2
Pn2
Im2
Ic2
I2m
I2d
4/mmm
P4/mmm
P4/mcc
P4/nbm
P4/nnc
P4/mbm
P4/mnc
P4/nmm
P4/ncc
P42/mmc
P42/mcm
P42/nbc
P42/nnm
点群空间群和晶体结构介绍
交换律，即
ai ·bj=bj ·ai
两个群的直接积G以 G G AGB 表示：
G G AG B {a1b1, a1b2 ,...a1bm ,...a2bm ,...anbm}
G是n×m阶群。群的直接积是扩大群的一种最简单的方法。
子群、母群及生殖元素
子群：若群GA的全部元素是群G中的元素，并且两者的结合律 相同，称GA是群G的子群，而G是群GA的母群。如果对称元素GA和 GB能够得到G的全部对称元素，则称这两个对称元素为群G中的两 个生殖元素(Generating Element).
立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴， 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等 效点系共有48个点。
5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看 到立方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另 外，立方晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的 点群D4h-4／mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就 比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
上述的两种导出方法有一个共同的缺点，就是导出点群后， 还要再确定每一种点群分属于哪一种晶系。
C)用推导7种晶系的方法也可以推导出32种点群。对每一种晶 系在保证晶系的对称性不变的前提下，加入可能的对称操 作，这种导出方法的优点在于使点群与晶系的关系十分明 确。
下面将用这种方法导出32种点群。 在导出点群时应该注意到在每一个点群中都有主导生
群的阶数相等。
在极射投影时，点群中所有对称操作都经过投影基圆中心。
3.3点群的推导方法
通过对晶体外形的研究，人们发现共有32种晶态，每一种晶态 对应着一种点群。可以用不同方法导出32种点群。
点群空间群和晶体结构介绍
空 间 群 可 分 为 230种
点式空间群(symmorphic space Group)
对称操作全部作用于同一个公共点上的，不包含任何一个比初基平移还要小的
平移τ。
73种
非点式空间群(Nonsymmorphic space Group)
157种
对称操作全部作用于同一个公共点上的，至少包含一个比初基平移还要小的平 移τ。
滑移面 由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面，简称滑移面。滑移面的基本操作可表示为{m·t}， 其对称群为{m·t}p，P=0，±1，±2……。
晶体中有3种不同的滑移面，即轴向滑移、对角线滑移（又称n滑移）和金刚石滑移。 所有滑移中，都是经镜面操作后再平移单胞周期的某一分数的距离。和螺旋轴的操作相同，镜面和 平移两步操作的先后次序是不重要的。
以合适的取向放到阵点上的含义 如果希望每个阵点都具有正交对称性，那么放置物体时就必须使它的镜面和2次轴沿单胞某一轴方
向放置。这样导出的晶体结构，才会既有平移对称性又能使任何一个阵点都有C2v-mm2 的对称性。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。
图 (a)是正交点阵的阵点上放上对称性 为C2v-mm2的物体的空间群的俯视图。
附图1
除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操作而使 物体仍属于三斜晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有两种。 Ci-1点群的对称操作最多(不严格地说它具有最高的对称性)，称 这种点群为该晶系的全对称点群。
附图1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的正规点系的数目和点群具有对称操作 的数目相同，即与点群的阶数相同。
讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。 3.1 群的概念和基本性质
2.2.3点群和空间群
该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中 心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心，不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面，相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子，把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 垂直于对称面作任意直线，位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 晶体中如果存在有对称面，则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称 要素，由一根假想的直线 和在此直线上的一个定点 组成。相应的对称操作是 绕此直线旋转一定角度以 及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律，倒 转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴 中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶
体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中，某些点群均含有一种相同的对称元素， 这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征，晶体结构可以分为 7 类， 称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成
点群空间群和晶体结构
点群空间群和晶体结构晶体是由原子、分子或离子组成的固态物质。
在结晶过程中，这些粒子以一种有序的方式排列，形成了晶体的特定结构。
晶体结构的研究是固体科学的重要分支之一，可以帮助我们理解固体的物理、化学性质以及它们在各种应用中的作用。
点群是空间中对称性的一种表示方式。
点群描述了一个结构中的元素在一组操作下保持不变的方式。
这些操作可以是旋转、翻转或镜像。
常见的点群包括旋转群、镜面群和反演群。
每个点群由一组操作组成，这些操作在结构中的每个点上施加时，都可以保持结构的不变性。
点群对于确定晶体结构的对称性非常重要，因为它可以帮助我们预测晶体的物理性质，例如电学性、磁学性、光学性等。
空间群是点群在三维空间中的扩展。
它描述了一个晶体结构在所有操作下的对称性。
空间群由点群以及平移操作组成。
平移操作使得结构在空间中移动，形成了无穷多的平行结构。
这些平行结构可以通过空间群中的平移操作进行描述。
空间群的数量非常庞大，目前已知有230个不同的空间群。
每个空间群都有一个唯一的编号和名称，用于标识它的对称性。
晶体结构是晶体中离子、原子或分子的排列方式。
不同的晶体结构由不同的元素组成，以及不同的点群和空间群类型。
它们可以由晶体学的X射线衍射实验来确定。
X射线衍射会产生一种特殊的模式，称为衍射图样。
通过对衍射图样进行分析，可以确定出晶体中的原子或离子的位置，从而推断出晶体的结构。
晶体结构是固体科学的基础，它们在材料科学、化学、凝聚态物理学等领域中有着广泛的应用。
通过对晶体结构的研究，可以优化材料的性能，设计新型材料，解释物质的性质，并探索新的应用领域。
总而言之，点群、空间群和晶体结构是固体晶体学中的重要概念。
它们描述了晶体的对称性以及晶体中原子、离子或分子的排列方式。
通过对晶体结构的研究，我们可以了解晶体物质的性质和行为，并为材料科学和应用领域提供基础性的知识。
晶体点群、空间群简要归纳
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
点群、空间群和晶体结构介绍
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可 以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质：
封闭性（Closure）
群G的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自 身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。
有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素 本身。 群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element） 使得两者相乘为其本身。 以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性 质。 两个独立群的直接积 设有两个独立群 GA和GB，其中GA是n阶群，GB是m阶群。两个 群中除了恒等元素外，没有其它共有元素，两个群的元素间相乘有 ai · bj=bj · ai 交换律，即 两个群的直接积G以 G G A G B 表示：
立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴， 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等 效点系共有48个点。 5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看 到立方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另 外，立方晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的 点群D4h-4／mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就 比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。 图 (a)是正交点阵的阵 点 上 放 上 对 称 性 为 C2vmm2 的物体的空间群的俯 视图。
(a)正交晶系的Pmm2空间群
图中画出单胞的轮廓，原点选在左上角，a轴指向页底，b 轴指向右， c 轴从页面指出来。以圆圈排列来表示它的对称性 ，在左边的图中每个阵点的对称性用一般位置点的等效点系表 示。其中每一个圆圈既可以代表晶体中单个原子，也可以代表 原子集团。在右边的图上给出对称元素的配置。在原点有一个 沿 c 方向的2次轴和 2个镜面 (用粗线表示 )。 P- 初基点阵， mm2基本操作。非基本操作（附加的2次轴和镜面）未表示。
点群和空间群ppt课件
❖ 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空 间群。
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
65
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6 2
19
20
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
21
22
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3
1 4
4
23
24
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
12
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
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重要对称元素的书写与图形记号
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(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
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(3) 4 象转轴
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结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
12
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
第十一讲—空间群(3)资料讲解
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置 (右)对称元素分布
8 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z;
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. 1 a mmm 0,0,0.
Pban (D24h, No. 50)
P 2/b 2/a 2/n
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P R
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
R3, R3m, R32, R3, R3m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
6, 62m, 6/mmm
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm,P622, P6, P6m2, P62m
四个三次轴
立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
P, I, F
晶系 点群 布拉菲点阵
73种点式空间群
三 斜 1, 1
P
P1, P1
单 斜 2, m, 2/m
P
P2, Pm, P2/m
B B2, Bm, B2/m
正交
222, mm2, mmm
P C I
5/6+
+
1/3+ 1/6+
2/3+
+
1/3+
+
1/3+ 2/3+
1/3+ 2/3+
+ +
2/3+ 1/3+
1/2+ + 1/2+
+ +
1/2+
1、非点式空间群举例分析
空间群
包括了这些与平移有关的操作之后，晶体的对称运动可以全部分类成230个对称操作群，称晶体空间群，也 称空间群。
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
晶体与空间群概述
aP
m
单斜
abc
90
mP,mC
o 正交 a bc 90 oP,oC,oI,oF
t 四方 a bc 90 tP,tI
h
a b, 120
三方
90 a bc
hP hR
六方
a b, 120 90
hP
c 立方 a bc 90 cP,cI,cF
简单、体心、 侧心和面心。
晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
c
晶体空间群
222 mm2 mmm
考滤方向的 不同增加：
Amm2
a
a
四
c方
90 90 90
晶 族
PI
4
4
4/m
P,I
422 4mm
42m
4/mmm
4m2
aa
c
90 90
120
六
方
三晶
方 晶
族
系
PR
3 3 P,R 321(312) 3m1(31m) 31m(3m1)
aa
c
90 90
120
六
方
六晶
方 晶
CaCO3 167
f：36点
e位:18点
d位:18点
c位:12点
b位：6点
a位：6点
D6h
碳原子的 等效位置：
C2v
m p(D 3h ) s(C 2v )
24 6 4
所谓晶体空间群， 即“空间对称操作(元 素)系”，就是能使三 维周期物体(无限大晶 体)自身重复的几何对 称操作的集合。
空间群是保持晶 体不变的所有对称操 作(包括点群操作、平 移以及它们的联合)的 集合。
空间群总共有230种。 其中不包含滑移面或螺 旋轴的有73种，称为简 单空间群；其余157种有 滑移面或螺旋轴，称为 非简单空间群。
(1853.4.17—1928.5.27)
空间群被推导出来之 前，费德洛夫在乌拉尔矿 山工作，圣佛利斯在德国 Göttingen学习数学。圣佛 利斯的空间群工作略迟于 费德洛夫。他们原不认识， 都在独自工作。
1891年圣佛利斯发表巨 著《Crystal Systems and Crystal Structure》。但当他 得知费德洛夫的工作《The
晶体几何学点阵与群论
第24页，共42页，编辑于2022年，星期一
4、格子和晶胞
格子的类型：根据点阵点的位置。 素格子（P）; 体心格子（I）；底心格子（A，B, C）； 面心格子（F）
第25页，共42页，编辑于2022年，星期一
晶胞中原子的位置一般用分数来表示。对于立方格子
a,b,c正交等长，例如CsCl晶体结构中：Cs+ (0,0,0), Cl(1/2,1/2,1/2)，其结构基元由一个Cs+和Cl-组成。
晶体结构中原子排列的几何规律性，最基本的一条是原 子排列的周期性。
第3页，共42页，编辑于2022年，星期一
图2-2 NaCl结构平面图形
第4页，共42页，编辑于2022年，星期一
第5页，共42页，编辑于2022年，星期一
CaF2结构
二氧化硅结构
氯化铯结构
第6页，共42页，编辑于2022年，星期一
一阶群（E） 二阶群（E，A）
G2 E
A
E
EA
A
AE
第34页，共42页，编辑于2022年，星期一
三阶群：
E
A B
EA B
EA B A
B
EAB
E
EA B
A
A
E
B
B
可不可以？
第35页，共42页，编辑于2022年，星期一
G3 E A B
EEABΒιβλιοθήκη A ABEBBEA
循环群：G3
AA＝B； AB＝A(AA)＝E
C s+
Cl
第26页，共42页，编辑于2022年，星期一
结构基元由两个O2-，四个Cu2+构成，晶胞代表了晶体结构
，所以只要知道了一个晶胞中的原子的位置，就确定了整个
4、格子和晶胞
格子的类型：根据点阵点的位置。 素格子（P）; 体心格子（I）；底心格子（A，B, C）； 面心格子（F）
第25页，共42页，编辑于2022年，星期一
晶胞中原子的位置一般用分数来表示。对于立方格子
a,b,c正交等长，例如CsCl晶体结构中：Cs+ (0,0,0), Cl(1/2,1/2,1/2)，其结构基元由一个Cs+和Cl-组成。
晶体结构中原子排列的几何规律性，最基本的一条是原 子排列的周期性。
第3页，共42页，编辑于2022年，星期一
图2-2 NaCl结构平面图形
第4页，共42页，编辑于2022年，星期一
第5页，共42页，编辑于2022年，星期一
CaF2结构
二氧化硅结构
氯化铯结构
第6页，共42页，编辑于2022年，星期一
一阶群（E） 二阶群（E，A）
G2 E
A
E
EA
A
AE
第34页，共42页，编辑于2022年，星期一
三阶群：
E
A B
EA B
EA B A
B
EAB
E
EA B
A
A
E
B
B
可不可以？
第35页，共42页，编辑于2022年，星期一
G3 E A B
EEABΒιβλιοθήκη A ABEBBEA
循环群：G3
AA＝B； AB＝A(AA)＝E
C s+
Cl
第26页，共42页，编辑于2022年，星期一
结构基元由两个O2-，四个Cu2+构成，晶胞代表了晶体结构
，所以只要知道了一个晶胞中的原子的位置，就确定了整个
点群和空间群
7
六方晶系 正交晶系 三斜晶系
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
A4
A3
4
3
A2
A1
A
整数；T为沿u轴方向上的周期矢量)。
晶体只能有1，2，3，4，6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
2 1
26
重合。
2.滑移反映面 经过该面的镜象操作
A2
M
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是 该方向上的周期矢量，n为 2或4)，晶体中的原子和相 同的原子重合。
47
49
230种晶体学空间群
除了宏观对称要素之外，还有平移、平移与旋转结合形成
的螺旋对称轴、平移和反映结合形成的滑移面等微观对称
要素。 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空 间群。 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任
何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
单胞中结点数目： 简单(原始)点阵: 1 面心点阵： 4 底心点阵： 2 体心点阵： 2
按照结点在7大种晶系上的不同分布方式，可形成14种布拉菲点阵。
简单点阵 : 1 ［［000］］
体心点阵: 2 [000] [1/2 1/2 1/2 ]
底心点阵:2 [000] [1/2 1/2 0 ]
面心点阵: 4 [000] [1/2 1/2 0] [1/2 0 1/2] [ 0 1/2 1/2]
点群和空间群
1
晶体对称性
2
3
4
5
§1 晶体的特殊对称性——对称操作
第十一讲—空间群(3)资料讲解
+
2/3+
6 5/6+
1
64 1/3+ 2/3+1/3+ 1/6+
+
+
+
2/3+
1/2+
1/3+
+
6 六次旋转轴
无
61
c/6
62
2c/6
63 六次螺旋轴
3c/6
64
4c/6
65
5c/6
6 六次反演轴
无
滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成
的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
Pmmm (D21h, No. 47)
y
P 2/m 2/m 2/m
x
+ ,- -, + +, - - ,+
对称轴符号
符 号
对称轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征
1 一次旋转轴 无
无
1 一个反演轴
无
无
2 二次旋转轴
平行于纸面
c/2
21
二次螺旋轴
平行于纸面
a/2或b/2
3 三次旋转轴
无
31 三次螺旋轴
c/3
32
2c/3
3 三次反演轴
无
符 号
对称轴
4 四次旋转轴
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6, 62m, 6/mmm
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
P1
c b
+
+
+
a
+
P1
_
,
+
_
,
+
_
,
+
_
,
+
+
_
,
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>
第八讲
14种布拉菲格子
旋转对称性
晶系、参考轴 初基P单胞 (6)
满足点阵条件 + 晶系不变
P点阵中高对称位置加心(体心I, 全面心F, 单面心A, B或C 双面心)
六方 P
+c/2
三 方 菱 形 晶 系
体心：正交 F
全面心：正交 I +2c/3 +c/3
三方 R
(1/3, 2/3, 0)：六方 P
±(1/3, 2/3, 2/3)：R
六角单胞有心化后，已不具有6次对称性，却导出有3次对称性的
菱形初基单胞。R 点阵可由两种轴系表示：R晶系、六角晶系
正定向
+c/3 +2c/3
(C1h)
6(C6)
6/m
(C6h)
3(C3)
23(T)
mm2
(C2v)
4/m
(C4h)
3m (C3v) m3 (Th)
2/m mmm 4mm
(C2h) (D2h) (C4v)
6mm
(C6v)
32(D3)
43m (Td)
432 (O)
32 种 点 群 符 号
4/mmm 6/mmm 3(S6)
(D4h) (D6h)
,+ -
,+ ,+ -
x
作业： 作下面点式空间群的俯视图 （一般等效位置和对称操作）：
P4, P3, P4/m, P6, P4mm, P4/mmm, P422,
+
_
,
P2
c a
b
+
+ +
+ +
+ + +
,+ -
,+ ,+ -
P2/m
-
,+ -
,+ ,+ -
-
,+ ,+ -
反映面，镜面
Pm
-
,+
-
,+
,+ -
,+ -
Bm
1/2-
-
,+
-
,+
, 1/2+
1/2-
, 1/2+
,+ -
,+ -
1/4
单斜 B
滑移面
Cm
+
c a
+
b
,
Bm
+
c a
b
,
+
,+ , 1/2+
空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物
体（无限大晶体）自身重复的几何对称对称操作的集 合，构成数学意义上的群。
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm
正 交 222, mm2, mmm P
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
全对称点群
1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
菱形
6(C6)或6(S35)
六方
立方
a = b≠c, = = 90o, = 120o
a = b = c, = = = 90o
四个三次轴
1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 1(C) m(P) mm2
+
+
,+ ,
+
+ +
+
+
,+ ,
+
,+ ,
+
+
+
,+ ,
+
+
+
,+ ,
+
滑移面a, b 反映面
c
b a
c
b a
Amm2
+ +
Cmm2
+ +
,+ ,
1/2+
, 1/2+ ,
1/2+
,+ ,
+
+ +
,+ ,
+ +
+ +
,+ ,
+
+ 1/2+
,+ ,
+ + +
+
+ +
,+ ,
1/2+
, 1/2+ ,
+
,+ ,
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
螺旋轴,21
y
x
P4mm
c a b
+ +
+
,
,
+
+ ,+
,+
+
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
y
x
+
y
+ +
x
+
+ +
+
+ +
+
P3
+
+
P6
,+ y
,+ -
,+ ,+ -
,+ -
-
,+
,+
,+ ,+ -
晶系
三 斜 1(C1), 1(Ci)
点群
布拉菲点阵
P
2(C2)或2(m)
单 斜 2(C2), m(C1h), 2/m(C2h)
P, B P, C, I, F
P, I
两个2(C2)或2(m) 正 交 222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)
4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 四 方 4(C4), 4/m(C4h), 4mm(C4v), 4/mmm(D4h), 422 (D4), 4 (S4), 42m (D2d) 三 方 3(C3), 3m (C3v), 32(D3), 3(S6), 3m(D3d) 六 方 6(C6), 6/m(C6h), 6mm(C6v), 6/mmm (D6h), 622 (D6), 6 (C3h), 62 (D3h) 立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
第九讲
点式空间群
复习：
点对称操作、7种晶系、32种点群、
14种布拉菲格子
点对称操作
1 (E, L1) 2 (C2, L2 )
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
1 (i, C) 2 (σ, P), m
+
,
+
_
,
+
3 (C3, L3)
3 (S65, Li3) 4 (S43, Li4)
6 (S35, Li6)
4 (C4, L4) 6 (C6, L6)
旋转轴， n
旋转反演轴， n
对称条件
1(E)或1(i)
2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S6
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
P1
c b
+
+
+
a
+
P1
_
,
+
_
,
+
_
,
+
_
,
+
+
_
,
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>
第八讲
14种布拉菲格子
旋转对称性
晶系、参考轴 初基P单胞 (6)
满足点阵条件 + 晶系不变
P点阵中高对称位置加心(体心I, 全面心F, 单面心A, B或C 双面心)
六方 P
+c/2
三 方 菱 形 晶 系
体心：正交 F
全面心：正交 I +2c/3 +c/3
三方 R
(1/3, 2/3, 0)：六方 P
±(1/3, 2/3, 2/3)：R
六角单胞有心化后，已不具有6次对称性，却导出有3次对称性的
菱形初基单胞。R 点阵可由两种轴系表示：R晶系、六角晶系
正定向
+c/3 +2c/3
(C1h)
6(C6)
6/m
(C6h)
3(C3)
23(T)
mm2
(C2v)
4/m
(C4h)
3m (C3v) m3 (Th)
2/m mmm 4mm
(C2h) (D2h) (C4v)
6mm
(C6v)
32(D3)
43m (Td)
432 (O)
32 种 点 群 符 号
4/mmm 6/mmm 3(S6)
(D4h) (D6h)
,+ -
,+ ,+ -
x
作业： 作下面点式空间群的俯视图 （一般等效位置和对称操作）：
P4, P3, P4/m, P6, P4mm, P4/mmm, P422,
+
_
,
P2
c a
b
+
+ +
+ +
+ + +
,+ -
,+ ,+ -
P2/m
-
,+ -
,+ ,+ -
-
,+ ,+ -
反映面，镜面
Pm
-
,+
-
,+
,+ -
,+ -
Bm
1/2-
-
,+
-
,+
, 1/2+
1/2-
, 1/2+
,+ -
,+ -
1/4
单斜 B
滑移面
Cm
+
c a
+
b
,
Bm
+
c a
b
,
+
,+ , 1/2+
空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物
体（无限大晶体）自身重复的几何对称对称操作的集 合，构成数学意义上的群。
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm
正 交 222, mm2, mmm P
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
全对称点群
1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
菱形
6(C6)或6(S35)
六方
立方
a = b≠c, = = 90o, = 120o
a = b = c, = = = 90o
四个三次轴
1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 1(C) m(P) mm2
+
+
,+ ,
+
+ +
+
+
,+ ,
+
,+ ,
+
+
+
,+ ,
+
+
+
,+ ,
+
滑移面a, b 反映面
c
b a
c
b a
Amm2
+ +
Cmm2
+ +
,+ ,
1/2+
, 1/2+ ,
1/2+
,+ ,
+
+ +
,+ ,
+ +
+ +
,+ ,
+
+ 1/2+
,+ ,
+ + +
+
+ +
,+ ,
1/2+
, 1/2+ ,
+
,+ ,
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
螺旋轴,21
y
x
P4mm
c a b
+ +
+
,
,
+
+ ,+
,+
+
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
y
x
+
y
+ +
x
+
+ +
+
+ +
+
P3
+
+
P6
,+ y
,+ -
,+ ,+ -
,+ -
-
,+
,+
,+ ,+ -
晶系
三 斜 1(C1), 1(Ci)
点群
布拉菲点阵
P
2(C2)或2(m)
单 斜 2(C2), m(C1h), 2/m(C2h)
P, B P, C, I, F
P, I
两个2(C2)或2(m) 正 交 222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)
4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 四 方 4(C4), 4/m(C4h), 4mm(C4v), 4/mmm(D4h), 422 (D4), 4 (S4), 42m (D2d) 三 方 3(C3), 3m (C3v), 32(D3), 3(S6), 3m(D3d) 六 方 6(C6), 6/m(C6h), 6mm(C6v), 6/mmm (D6h), 622 (D6), 6 (C3h), 62 (D3h) 立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
第九讲
点式空间群
复习：
点对称操作、7种晶系、32种点群、
14种布拉菲格子
点对称操作
1 (E, L1) 2 (C2, L2 )
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
1 (i, C) 2 (σ, P), m
+
,
+
_
,
+
3 (C3, L3)
3 (S65, Li3) 4 (S43, Li4)
6 (S35, Li6)
4 (C4, L4) 6 (C6, L6)
旋转轴， n
旋转反演轴， n
对称条件
1(E)或1(i)
2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S6