最新高考-2018年高考数学子集、全集、补集复习 精品

集合专题复习（知识点+2018年高考题）1、集合（1）把研究的对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。

集合中元素的特性： 、 、 。

(2)只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合 。

（3）元素与集合的关系集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 ，相反，a 不属于集合A 记作 。

①列举法：把集合中的 一一列举出来，然后用一个大括号括上。

②描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 。

(6)集合间的基本关系① 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的____________,记作____________.②如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的____________.记作：_____________.③把不含任何元素的集合叫做____________.记作：∅.并规定：________是任何集合的子集.④如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有 子集， 个真子集， 个非空真子集。

(7)集合间的基本运算①一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的____________,记作：B A Y .②一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的____________ ,记作：B A I .③全集、补集: =A C U ______________________.（8）交集、并集和补集的性质①交集性质：=A A I ，=φI A ，=B A I ；A I （A C U ）= ， ②并集性质：=A A Y ，=φY A ，=B A Y ；A Y （A C U ）= 。

③ 德摩根律： （课本P11练习4题）（A C U ）I （B C U ）= ，（A C U ）Y （B C U ）= 。

高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=，则C s A= {0}）A A ⊆A ⊆φB A ⊆A B ⊆C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，+N③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则C B A=，C A B =C S（C A B）=D（注：C A B =）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n－1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：①若应是真命题.，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②.1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.∅∅∅}⎩⎨⎧=-=+1323yxyxφ∅⇔⇔325≠≠≠+baba或，则且1≠x3≠y1≠∴yx且3≠+yx21≠≠yx且255xxx或，⇒{|,}{|}{,}A B x x A x BA B x x A x BA x U x A⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U交：且并：或补：且C,,,,,;,;,.UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇CUA B A B A A B B A B U⊆⇔=⇔=⇔=C.;ABBAABBA==)()();()(CBACBACBACBA==)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：等幂律：求补律：A∩C U A=φA∪C U A=U C U U=φ C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪(C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩(C U B)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card( U A)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.>∆0=∆0<∆二次函数cbxaxy++=2（0>a）的图象,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A Bcard A B C card A card B card Ccard A B card B C card C Acard A B C=+-=++---+x)0)((002211><>++++--aaxaxaxa nnnn原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

1.1集合【考纲要求】1、集合的含义与表示① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系。

② 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

2、集合间的基本关系① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。

3、集合的基本运算① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

③ 能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算。

【基础知识】一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性。

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

3、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

4、集合的表示：常见的有四种方法。

（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。

如：英才中学的所有团员组成一个集合。

（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

如：{0,1,2,3}（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法。

它的一般格式为)}(|{x P x ，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性。

如2{|230}x x x --=、 2{|23}x y x x =--、2{|23}y y x x =--、2{(,)|23}x y y x x =--。

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣； （2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或； （4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 （1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案 （1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评 对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣； （2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 （1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析： 首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ； 若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二） 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB ，求a 的取值范围.答案 （1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（ ）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析 （1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意； 若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解； 当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

第2课时全集、补集1．了解全集与空集的意义，理解补集的含义．(重点)2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)[基础·初探]教材整理补集、全集的概念阅读教材P9思考至例3，完成下列问题．1．补集(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁S A(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：图1­2­22．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)一个集合的补集中一定含有元素．( )(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集．( )(3)一个集合的补集的补集是其自身．( )【答案】(1)×(2)√(3)√2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁U A＝________.【解析】根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以∁U A＝{x|－1＜x≤0}．【答案】{x|－1＜x≤0}[小组合作型](1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则∁U A等于________；(2)已知集合U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则∁U A ＝__________，∁U B＝________.【精彩点拨】(1)利用数轴将集合表示出来再求补集；(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．【自主解答】(1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知∁U A ＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以∁U A＝{0,2,4,6,8,10}．因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以∁U B＝{0,1,4,6,8,9,10}．【答案】(1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}(2){0,2,4,6,8,10} {0,1,4,6,8,9,10}1．求补集∁U A的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法有：(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．(3)利用Venn图求解．2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集，∁U A也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．[再练一题]1．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－2<x≤4}，则∁U A＝________.【解析】将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．∴∁U A＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．【答案】{x|－3≤x≤－2或x>4}[探究共研型]探究1 若M U U【提示】由Venn图可知，若M⊆N，∁U M⊇∁U N.反之，若∁U M⊇∁U N，则M⊆N，即M⊆N⇔∁U M⊇∁U N.探究2 若M⊆N，针对M应考虑的两种情况是什么？【提示】两种情况是M＝∅和M≠∅.已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁U B，求实数a的取值范围．【精彩点拨】首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁U B，然后再利用A⊆∁U B得关于a的不等式求解即可．【自主解答】若B＝∅，则a＋1>2a－1，∴a<2.此时∁U B＝R，∴A⊆∁U B；若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁U B＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A⊆∁U B，如图，则a＋1>5，∴a>4，∴实数a的取值范围为a<2或a>4.解决此类问题应注意以下几点：(1)空集作为特殊情况，不能忽略；(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；(3)端点值能否取到，应注意分析．[再练一题]2．设全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤a}，若∁U M∁U N，则a的取值范围是________．【解析】因为∁U M＝{x|x≥2}，∁U N＝{x|x>a}，于是由∁U M∁U N，得a<2，所以a的取值范围是a<2.【答案】a<21．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则∁U B＝________.【解析】根据补集的定义∁U B＝{x|x∈U且x∉B}＝{1,2}．【答案】{1,2}2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.【解析】A＝{x|x≥1}，∴∁U A＝{x|x<1}．【答案】{x|x<1}3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3<x≤2}，则∁U A＝________.【解析】∁U A＝{x|－4≤x≤－3，或2<x<5}．【答案】{x|－4≤x≤－3，或2<x<5}4．设S＝{x∈N|0≤x≤4}，A＝{x∈N|0<x<4}，则∁S A＝________.【解析】S＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，∴∁S A＝{0,4}．【答案】{0,4}5．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．(1)求∁U A，∁U B;(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．【解】(1)∵A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}，∴借助于数轴知∁U A＝{x|x<3，或x≥10}，∁U B＝{x|x≤2，或x>7}．∴a的取值范围为{a|a<3}．。

子集、全集、补集·典型例题能力素质例1 判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答 共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆[ ]分析作出4图形．答选C．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．答选A．说明：要注意集合中谁是元素．M与P的关系是[ ] A．M＝U PB．M＝PC M PD M P．．≠⊃⊆分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝U N＝U(U P)＝P；三是利用画图的方法．答 选B ．说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是[ ]A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ． 答 选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析 逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．学科渗透例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解． 答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．高考巡礼例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ]A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析 分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答 选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。

专题1.3 子集、全集、补集-重难点题型精讲1．子集(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；2．真子集(1)对于集合A ，B ，C ，若A ⫋B 且B ⫋C ，则A ⫋C ；3．全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.4．补集(1)A⊆S，∁A⊆S；(2)∁(∁A)＝A；(3)∁S＝∅，∁∅＝S【题型1 子集、真子集的概念】【例1】（2020秋•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（）A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A．{2，4，5}B．{1，2，5}C．{1，6}D．{1，3}【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可．【解答】解：由图可知B⊆A，而{1，3}⊆{1，2，3}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键．【变式1-2】（2020秋•东湖区校级期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（）A．②B．①②C．①②③D．①③④【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．【变式1-3】[多选题]下列命题中，正确的有（）A．空集是任何集合的真子集；B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断．【解答】解：空集是不是空集的真子集，A 错； 真子集具有传递性，B 对； 空集没有真子集，C 错；如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B ，D 对， 故选：BD ．【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题． 【题型2 集合的相等与空集】【例2】（2020秋•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（ ） A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2（n +1），n ∈Z } B ．P ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N +}C ．P ＝{x |x 2﹣x ＝0}，Q ＝{x |x =1+(−1)n2，n ∈Z }D ．P ＝{x |y ＝x +1}，Q ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可． 【解答】解：选项A ：因为集合P ，Q 表示的都是所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ； 选项B ：集合P 中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q 是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q ，所以P ≠Q ；选项C ：集合P ＝{0，1}，集合Q 中：当n 为奇数时，x ＝0，当n 为偶数时，x ＝1，所以Q ＝{0，1}，则P ＝Q ；选项D ：集合P 表示的是数集，集合Q 表示的是点集，所以P ≠Q ； 综上，选项AC 表示的集合相等， 故选：AC ．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．【变式2-1】（2020秋•五华区校级期中）已知集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a 2，a ，ab }，若A ＝B ，则a 2021+b 2020＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a 的方程组{1=ab b =a 2或{1=a 2b =ab，通过解方程组求得a 、b 的值，则易求a 2021+b 2020的值．【解答】解：由题意得①组{1=ab b =a 2或②{1=a 2b =ab， 由②得a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{1，1，b }，不符合，舍去； 当a ＝﹣1时，b ＝0，A ＝{1，﹣1，0}，B ＝{﹣1，1，0}，符合题意． 由①得a ＝1，舍去， 所以a ＝﹣1，b ＝0． ∴a 2021+b 2020＝﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查了集合相等的应用，注意要验证集合中元素的互异性，属于基础题． 【变式2-2】（2020秋•武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{x |x +3＝3} B ．{（x ，y ）|y 2＝﹣x 2，x ，y ∈R } C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2﹣x +1＝0，x ∈R }【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0； 对于选项B ，（0，0）是集合中的元素； 对于选项C ，由于x ＝0成立； 对于选项D ，方程无解． 故选：D ．【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题．【变式2-3】（2020春•保定期中）如果A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0＜a ＜4B ．0≤a ＜4C ．0＜a ≤4D ．0≤a ≤4【分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【解答】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立． 当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4． 故选：D ．【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键．【题型3 集合间关系的判断】【例3】（2021春•江油市校级期末）在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（）A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，又A＝{1﹣2，0，2}，所以A⊋B．故选：C．【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题．【变式3-1】（2021•市中区校级模拟）设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（）A．M＝P B．P∈M C．M⫋P D．P⫋M【分析】由函数得：P＝{y|y≥1}，M＝R，即P⫋M，得解【解答】解：因为y＝x2+1≥1，即P＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2+1}＝R，所以P⫋M，故选：D．【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|≤3}，集合C=≤0}，则集合A，B，C的关系为（）{x|x−4x+5A．B⊆A B．A＝B C．C⊆B D．A⊆C【分析】解出不等式，从而得出集合A，B，C，再根据子集的定义判断A，B，C的关系．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，∴﹣1≤x ≤3，则A ＝[﹣1，3]， 又|x ﹣1|≤3，即﹣3≤x ﹣1≤3， ∴﹣2≤x ≤4，则B ＝[﹣2，4]， ∵x−4x+5≤0⇔{(x −4)(x +5)≤0x +5≠0， ∴﹣5＜x ≤4，则C ＝（﹣5，4]， ∴A ⊆C ，B ⊆C ， 故选：D ．【点评】本题主要考查集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题．【变式3-3】（2020秋•湖北期中）[多选题]集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ） A ．S ⊆PB ．S ⊆MC ．M ⊆SD ．P ⊆S【分析】根据题意判断集合M ，P ，S 表示的意义，进行判断． 【解答】解：M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }表示被2整除余1的数的集合； P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }表示被3整除余1的数的集合；S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }＝{z |z ＝3×（2m ）+1，m ∈Z }＝{z |z ＝2×（3m ）+1，m ∈Z }，表示被6整除余1的集合；故S ⫋P ，S ⫋M ．故S ⊆P ，S ⊆M ，正确，即AB 正确． 故选：AB ．【点评】本题考查了集合的交集、补集问题，属于基础题． 【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【例4】（2020秋•南昌县校级月考）已知集合M ＝{2，4，8}，N ＝{1，2}，P ＝{x |x =ab ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的子集个数为（ ） A ．4B ．6C ．16D ．63【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，∴P＝{1，2，4，8}，∴集合P的子集个数为：24＝16．故选：C．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式4-1】（2020秋•南沙区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．8C．7D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-2】（2020秋•临猗县校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．7C．8D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-3】（2020秋•海曙区校级期中）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝．【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a的值．【解答】解：∵集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，且A的子集个数为2个，∴（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，解得x=2 3，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，解得a=−1 8．∴实数a的值为1或−1 8．故答案为：1或−1 8．【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【题型5 补集的运算】【例5】（2020秋•湖北期末）设集合U＝{x|x＜5，x∈N*}，M＝{x|x2﹣5x+4＝0}，则∁U M＝（）A．{2，3}B．{1，5}C．{1，4}D．{2，3，5}【分析】可求出集合U，M，然后进行补集的运算即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4}，M＝{1，4}，∴∁U M＝{2，3}．故选：A．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-1】（2020春•烟台期末）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}【分析】可知阴影部分表示的集合为∁B（A∩B），从而进行交集和补集的运算即可．【解答】解：A∩B＝{1}，∴∁B（A∩B）＝{0，2}，∴阴影部分表示的集合为{0，2}．故选：C．【点评】本题考查了V enn图表示集合的方法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-2】（2020秋•海淀区校级月考）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若∁U M＝{1，4}，则p的值为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．6【分析】由题意推出M中方程的解，然后求出p的值．【解答】解：因为集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若∁U M＝{1，4}，所以M＝{2，3}即2，3是方程的两个根，22﹣5×2+p＝0，所以p＝6．故选：D．【点评】本题考查集合的补集的运算，考查计算能力．【变式5-3】（2020秋•张家口月考）设全集U＝{2，4，6，8，a，10}，集合A＝{2，|a﹣6|，10}，{6，8}⊆∁U A，则实数a的值是（）A．3B．10C．2D．2或10或3【分析】由集合补集的定义得到6∉A，8∉A，则有|a﹣6|＝4或|a﹣6|＝a，求解即可得到答案．【解答】解：因为全集U＝{2，4，6，8，a，10}，集合A＝{2，|a﹣6|，10}，{6，8}⊆∁U A，所以6∉A，8∉A，则|a ﹣6|＝4或|a ﹣6|＝a ，解得a ＝2（舍）或a ＝10（舍）或a ＝3，所以实数a 的值是3．故选：A ．【点评】本题考查了集合补集的理解和应用，解题时要注意集合元素互异性，考查了逻辑推理能力，属于基础题．【题型6 利用集合间的关系求参数】【例6】（2020秋•南开区校级月考）设集合A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，若A ⊇B ，则m的取值范围是 ．【分析】B ⊆A ，则说明B 是A 的子集，然后分m ≤﹣2和m ＞﹣2两种情况求出m 的取值范围．【解答】解：∵A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}＝{x |﹣2≤x ≤5}，当m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时，B ＝∅满足B ⊆A ．当m ﹣1＜2m +1，即m ＞﹣2时，要使B ⊆A 成立，需 {m −1≥−22m +1≤5，可得﹣1≤m ≤2，即﹣1≤m ≤2， 综上，m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2时有B ⊆A ．故答案为：{m |m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．【变式6-1】（2020秋•武汉期中）已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0（m ∈R ）的解集为M ．（1）[1，2]⊆M ，求实数m 的取值范围；（2）当M 不为空集，且M ⊆[1，4]时，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定实数m 的取值范围即可；（2）由题意分类讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意[1，2]⊆M 可知，令 f （x ）＝x 2﹣2mx +m +2，则{f(1)≤0f(2)≤0△＞0，解得：m ≥3．（2）∵M 不为空集，且M ⊆[1，4]，当△＞0 时，则{ f(1)≥0f(4)≥0△＞01≤m ≤4，解得：2≤m ≤187， 当△＝0 时，m ＝2也符合题目要求：综上：2≤m ≤187． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【变式6-2】（2020秋•南阳期中）集合A ＝{x |﹣3≤x ≤7}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}．（1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据B ⊆A 可讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1；B ≠∅时，{m +1≤2m −1m +1≥−32m −1≤7，解出m 的范围即可；（2）根据题意可知A ∩B ＝∅，讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m ＜2；B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，然后解出m 的范围即可．【解答】解：（1）∵B ⊆A ，∴①B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1≥−32m −1≤7，解得2≤m ≤4，综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，4]；（2）由题意知，A ∩B ＝∅，①B ＝∅时，m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，解得m ＞6， ∴实数m 的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）．【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．【变式6-3】（2020秋•浙江期中）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1≤x ≤3}．（1）求∁U A ；（2）若集合B ＝{x |2x ﹣a ＞0}，且B ⊆（∁U A ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）由全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1≤x ≤3}．利用补集定义能求出∁U A ．（2）由集合B ＝{x |2x ﹣a ＞0}＝{x |x ＞a 2}，且B ⊆（∁U A ），得到a 2≥3，由此能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1≤x ≤3}．∴∁U A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}．（2）集合B ＝{x |2x ﹣a ＞0}＝{x |x ＞a 2}，且B ⊆（∁U A ），∴a 2≥3，解得a ≥6． ∴实数a 的取值范围是[6，+∞）．【点评】本题考查补集、实数的取值范围的求法，考查补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）分类整理排列组合、二项式定理与概率统计（全国卷Ⅰ）（14）9)12(x x -的展开式中，常数项为 。

（用数字作答） （20）（本大题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。

假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望。

（精确到01.0）（全国卷Ⅱ）15．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.19．（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）（全国卷Ⅲ）（3）在(x −1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是（A ）−14 （B ）14 （C ）−28 （D ）28（17）(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.18，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.（北京卷）（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A （11）6(x 的展开式中的常数项是 （用数字作答） （14）已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++,如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0，1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算．（17）（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32， （I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ；（II ）求乙至多击中目标2次的概率；（III ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（上海卷）4、在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________。

1．2子集、全集、补集第1课时子集、真子集1．理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．(重点) 2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1子集的概念及其性质阅读教材P8开始至例1，完成下列问题．1．子集(1)A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．(2)∅⊆A，即空集是任何集合的子集．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．3．集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){2,3}⊆{x|x2－5x＋6＝0}．()(2)∅⊆{0}．()(3)∅⊆{∅}．()2．{1，a}⊆{1,2,3}，则a＝________.教材整理2真子集的概念及性质阅读教材P8例1后一段至P9第一行，完成下列问题．1．真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．2．性质(1)∅是任一非空集合的真子集．(2)若A B，B C，则A C.集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．[小组合作型]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．【精彩点拨】分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．【自主解答】(1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，∴P＝Q.(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B.(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A B.判断两个集合A，B的关系，应由集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论．由A B可推出A⊆B，但由A⊆B推不出A B.[再练一题]1．下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是________，其中A为S 真子集的是________．(填序号)(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．(1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．(2)若集合{1,2}⊆M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.【精彩点拨】对于确定子集或(个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．【自主解答】(1)按子集中包含元素的个数来写：(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．1．求解有限集合的子集问题，关键有三点(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．[再练一题]2．集合M满足{4,5}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则这样的M共有________个.[探究共研型]探究1A⊆B则N⊆M成立吗？【提示】A⊆B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M，N两集合，易见N⊆M.探究2若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x<1}，则M⊆N成立吗？【提示】不成立，因为1∈M但1∉N，故M⊆N错误．探究3集合M＝{x|2a<x<a＋1}可能是空集吗？此时a应满足什么条件？【提示】M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．【精彩点拨】【自主解答】∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎨⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论；(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．[再练一题]3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值集合．1．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y x ＝1，则A ，B 的关系是________．2．集合A ＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集共有________个3．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1，m }．若B ⊆A ，则实数m 的值是________．4．满足条件{1,2,3}M {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是________.5．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{x ＋2,1}，是否存在实数x ，使得B 是A 的子集？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．。

高2021届高2018级高三数学复习资料§10.2 排列、组合1.排列、组合的定义排列的定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数 公式A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！C mn ＝A m n A m m＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！性质 A n n ＝n ！,0！＝1 C m n n ＝C n－mn , C m n＋C m －1n ＝C m n ＋1, C n n ＝1,C 0n ＝1概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示 元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式,如何选择使用？提示 (1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m ＝A mn .(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(×)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)(3)若组合式C x n＝C m n,则x＝m成立.(×)(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说,如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.(√)题组二教材改编2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【参考答案】D【试题解析】“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120【参考答案】C【试题解析】末位数字排法有A12种,其他位置排法有A34种,共有A12A34＝48(种)排法,所以偶数的个数为48.4.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是________. 【参考答案】24【试题解析】从4本书中选3本有C34＝4(种)选法,把选出的3本送给3名同学,有A33＝6(种)送法,所以不同的送法有C34A33＝4×6＝24(种).题组三易错自纠5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【参考答案】B【试题解析】第一类：甲在最左端,有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端,甲不在最右端,有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.所以共有120＋96＝216(种)排法.6.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为________.【参考答案】30【试题解析】分两种情况：(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C13C24种不同的选法；(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C23C14种不同的选法.所以不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种).排列问题1.用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20 000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有()A.96个B.78个C.72个D.64个【参考答案】B【试题解析】根据题意知,要求这个五位数比20 000大,则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当万位数是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有A44＝24(个)；当万位数是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3×(A44－A33)＝54(个),因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.2.(2020·惠州调研)七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数是()A.3 600B.1 440C.4 820D.4 800【参考答案】A【试题解析】除甲乙外,其余5个人排列数为A55种,再用甲乙去插6个空位有A26种,不同的排法种数是A55A26＝3 600(种).3.3名女生和5名男生站成一排,其中女生排在一起的排法种数有________.【参考答案】4 320【试题解析】3名女生排在一起,有A33种排法,把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A66种排法,故共有A33A66＝4 320(种)不同排法.思维升华(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”.②不相邻问题采用“插空法”.③有限制元素采用“优先法”.④特殊顺序问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.组合问题1.(2018·全国Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有______种.(用数字填写答案)【参考答案】16【试题解析】方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种,有2位女生参加有C22C14种.故所求选法共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种).方法二间接法：从2位女生,4位男生中选3人,共有C36种情况,没有女生参加的情况有C34种,故所求选法共有C36－C34＝20－4＝16(种).2.(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁,俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为________. 【参考答案】182【试题解析】甲、乙中裁一人的方案有C12C38种,甲、乙都不裁的方案有C48种,故不同的裁员方案共有C12C38＋C48＝182(种).3.从7名男生,5名女生中选取5人,至少有2名女生入选的种数为________.【参考答案】596【试题解析】“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”,故可用间接法,所以有C512－C1515C47－C57＝596(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例1(2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间,有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在两端,3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()A.12种B.24种C.48种D.96种【参考答案】C【试题解析】从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A,A共有C23A22＝6(种)不同排法,剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A,B之间,此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,∴共有12×4＝48(种)不同排法.命题点2相间问题例2某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【参考答案】B【试题解析】安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有A22A34＝48(种)安排方法,故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例3大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种【参考答案】B【试题解析】根据题意,分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个孩子都在甲车上,对于剩余的两个家庭,从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式,故共有12＋12＝24(种)乘坐方式,故选B.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位置).跟踪训练(1)把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.【试题解析】将产品A与B捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有A22A44种方法,将产品A,B,C捆绑在一起,且A在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有A22A33种方法.于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种).(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有________种不同的选法.(用数字作答)【参考答案】660【试题解析】方法一只有1名女生时,先选1名女生,有C12种方法；再选3名男生,有C36种方法；然后排队长、副队长位置,有A24种方法.由分步计数原理知,共有C12C36A24＝480(种)选法. 有2名女生时,再选2名男生,有C26种方法；然后排队长、副队长位置,有A24种方法.由分步计数原理知,共有C26A24＝180(种)选法.所以依据分类计数原理知,共有480＋180＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件,共有A28C26种不同的选法,而没有女生的选法有A26C24种,故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种).1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A.360种B.480种C.600种D.720种【参考答案】C【试题解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“ea”进行全排列,共有C45A55＝600(种),故选C.2.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有()A.240种B.192种C.96种D.48种【参考答案】B【试题解析】当丙和乙在甲的左侧时,共有A22C14A22A33＝96(种)排列方法,同理,当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法,所以共有192种排列方法.3.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.32【试题解析】将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有A33＝6(种)排法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中,有4种方法,故共有4×6＝24(种)方法.4.(2020·常州质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法()A.A55种B.A22种C.A24A22种D.C12C12A22A22种【参考答案】D【试题解析】红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法.5.(2020·临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A,B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A,B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为()A.6B.12C.16D.18【参考答案】B【试题解析】如果仅有A,B入住a宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时共有C23A22＝6(种)安排数,如果有A,B及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团入住b,c,此时共有C13A22＝6(种)安排数,综上,共有不同的安排种数为12.6.(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案共有()A.60种B.20种C.10种D.8种【参考答案】C【试题解析】根据题意,可分为两步：第一步,先安排四盏不亮的路灯,有1种情况；第二步,四盏不亮的路灯排好后,有5个空位,在5个空位中任意选3个,插入三盏亮的路灯,有C35＝10(种)情况.故不同的开灯方案共有10×1＝10(种).7.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车A不能停在第3道上,货车B不能停在第1道上, 则5列火车不同的停靠方法数为()A.56B.63C.72D.78【试题解析】若没有限制,5列火车可以随便停,则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上,则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上,且货车B停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为A33种,故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.8.(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数共有()A.24种B.28种C.36种D.48种【参考答案】D【试题解析】分类计数原理,按红红之间有蓝无蓝两类来分.(1)当红红之间有蓝时,则有A22A24＝24(种).(2)当红红之间无蓝时,则有C12A22C12C13＝24(种)；因此,这五个人排成一行,穿相同颜色衣服的人不能相邻,则有48种排法.9.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有________种.(用数字作答)【参考答案】11【试题解析】把g,o,o,d 4个字母排一列,可分两步进行,第一步：排g和d,共有A24种排法；第二步：排两个o,共1种排法,所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种,所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种).10.(2020·太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)【参考答案】120【试题解析】先从除了甲、乙以外的6人中选一人,安排在甲乙中间,有C16A22＝12(种),把这三个人看成一个整体,与从剩下的五人中选出的一个人全排列,有C15A22＝10(种),故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).11.某校2020年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序,若第一个节目只能排相声甲或相声乙,最后一个节目不能排相声甲,则不同的排法有________种.【参考答案】1 320【试题解析】若第一个节目排相声甲,有A66＝720(种)排法；若第一个节目排相声乙,最后一个节目不能排相声甲,有A15A55＝600(种)排法.根据分类计数原理可得共有720＋600＝1 320(种)排法.12.(2019·北京海淀区模拟)某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有________种不同的抽调方法.【参考答案】84【试题解析】 方法一 在每个车队抽调1辆车的基础上,还需抽调3辆车.可分为三类：一类是从某1个车队抽调3辆,有C 17种；一类是从2个车队中抽调,其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有A 27种；一类是从3个车队中各抽调1辆；有C 37种.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)抽调方法.方法二 由于每个车队的车辆均多于4辆,只需将10个份额分成7份.可看作将10个小球排成一排,在相互之间的9个空当中插入6个隔板,即可将小球分成7份,故共有C 69＝84(种)抽调方法.13.(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种 【参考答案】 D【试题解析】 由题意可知,其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种),或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种). 14.某宾馆安排A ,B ,C ,D ,E 五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A ,B 不能住同一房间,则共有________种不同的安排方法.(用数字作答) 【参考答案】 114【试题解析】 5个人住3个房间,每个房间至少住1人,则有(3,1,1)和(2,2,1)两种,当为(3,1,1)时,有C 35·A 33＝60(种),A ,B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种),故有60－18＝42(种),当为(2,2,1)时,有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种),A ,B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种), 故有90－18＝72(种),根据分类计数原理可知,共有42＋72＝114(种).15.(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2 017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )A.55B.59C.66D.71 【参考答案】 D【试题解析】 记千位为首位,百位为第二位,十位为第三位,由题设中提供的信息可知,和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),共五组.其中第一组(0,1,2,7)中,7排在首位有A 33＝6(种)情形,2排在首位,1或7排在第二位上时,有2A 22＝4(种)情形,2排在首位,0排在第二位,7排在第三位有1种情形,共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A33＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A33＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A33＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A33＝18(种)情形.依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).16.(2020·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动,要求男生甲和乙不能同时参加,女生中的丙和丁至少有一名参加,则不同的选法种数为________.(用数字作答)【参考答案】23【试题解析】①设甲参加,乙不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为C35－C33＝9,②设乙参加,甲不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为C35－C33＝9,③设甲,乙都不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为C45＝5,综合①②③得,不同的选法种数为9＋9＋5＝23.。

2018年高考数学高考必备知识点汇总2017.10.20高中数学知识点回顾第一章-集合（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集；①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个.[注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题.2、集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}AB x x A x B AB x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C（三）简易逻辑构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。

1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

对数函数y=log a x （a>0且a ≠1）的图象和性质:⑴对数、指数运算：log ()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N MM N N M n M⋅=+=-=()()r sr sr s rs rrra aaa a ab a b+===⑵xa y =（1,0≠a a ）与x y a log =（1,0≠a a ）互为反函数.第三章 数列1. ⑴等差、等比数列： （2）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n第四章-三角函数一.三角函数1、角度与弧度的互换关系：360°=2π ；180°=π ； 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ；1°＝180π≈0.01745（rad ） 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 2、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形3、三角函数： r y =αsin ； r x =αcos ； xy=αtan ；4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割5、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin = 1cos sin 22=+αα 6、诱导公式：x x k x x k x x k xx k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ xx x x xx xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ xx x x x x xx cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ xx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ 7、两角和与差公式=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cosβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-8、二倍角公式是： sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21- tan 2α=αα2tan 1tan 2-。

1.2 子集、全集、补集学习目标 1.理解子集、真子集、全集、补集的概念(重、难点)；2.能用符号和Venn 图、数轴表达集合间的关系(重点)；3.掌握列举有限集的所有子集的方法，给定全集，会求补集(重点)．预习教材P8～9，完成下面问题： 知识点一 子集符号“∈”与“⊆”有什么区别？答案 (1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N ，－1∉N . (2)“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N ⊆R ，{1,2,3}⊆{3,2,1}． (3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． 知识点二 真子集AB (或B A )(1)对于集合A ，B ，C ，若AB ，且BC ，则A C ；(2)对于集合A ，B ，若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ； (3)若A ≠∅，则∅A在知识点一中，我们知道集合A 是它本身的子集，那么如何刻画至少比A 少一个元素的A 的子集？ 答案 用真子集． 知识点三 全集、补集 1．全集如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，那么这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U . 2．补集判断1 全集一定是实数集R .( )提示 ×.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R ，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z .判断2 设集合A ＝{1,2}，那么相对于集合M ＝{0,1,2,3}和N ＝{1,2,3}，∁M A 和∁N A 相等．( )提示 ×.∁M A ＝{0,3}，∁N A ＝{3}，∁M A ≠∁N A .由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同．题型一 子集、真子集的概念【例1】(1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)已知集合A满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}，求满足条件的集合A.解(1)子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}．真子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．(2)由题意可知，A中一定有a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．【例2】已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．解A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．(1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{1 a}，∵1a≠0，要使A⊇B，只有1a＝1，即a＝1.综上，a＝0或a＝1.规律方法(1)求解有限集合的子集问题，关键有三点：①确定所求集合；②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．(2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．【训练1】已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.题型二简单的补集运算【例3】(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于________．(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.解析 (1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}， ∴∁U A ＝{3,4,5}．(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A ＝{x |x ＜1}． 答案 (1){3,4,5} (2){x |x ＜1}规律方法 (1)根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn 图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，A ∪(∁U A )＝U . 【训练2】 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则∁U A ＝________. 解析 借助数轴得∁U A ＝{x |x ＝－3，或x ＞4}． 答案 {x |x ＝－3，或x ＞4}【例4】A ，求实数m 的取值范围． 解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得{m |m ≥－1}．【迁移1】 设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的取值集合．解 由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解， 即a ＝0；当N ＝{－1}时，由1a ＝－1，得a ＝－1； 当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13；故满足条件的a 的取值集合为{－1,0，13}．【迁移2】 设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 因为A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，B ⊆A ， 所以B 可能为∅，{0}，{－4}，{0，－4}． ①当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解． 所以Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 所以a <－1；②当B ＝{0}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根0， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧0＋0＝－2(a ＋1)，0×0＝a 2－1， 解得a ＝－1；③当B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根－4， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－4＋(－4)＝－2(a ＋1)，－4×(－4)＝a 2－1， 该方程组无解；④当B ＝{0，－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个不相等的实数根0和－4，由根与系数的关系， 得⎩⎨⎧0＋(－4)＝－2(a ＋1)，0×(－4)＝a 2－1， 解得a ＝1.综上可得a 的取值范围是{a |a ≤－1，或a ＝1}．【迁移3】 已知集合A ＝{x |1＜ax ＜2}，B ＝{x ||x |＜1}，是否存在实数a ，使得A ⊆B ？若存在，求出实数a 的取值范围． 解 B ＝{x |－1＜x ＜1}．①当a ＝0时，A ＝∅，显然A ⊆B ； ②当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a ＜x ＜2a . ∵A ⊆B ，如图(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2；③当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ＜x ＜1a .∵A ⊆B ，如图(2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，2a ≥－1，∴a ≤－2.综上可知，当a ≥2或a ≤－2或a ＝0时，A ⊆B .规律方法 (1)求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；(3)注意空集的特殊性，遇到“B ⊆A ”时，若B 为含字母参数的集合，一定要分“B ＝∅”和“B ≠∅两种情形讨论”.课堂达标1．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈Z }，则A 与B 的关系是A ________B (填“⊆”或“⊇”)．解析 A ＝{0,1,2，…}，B ＝{…，－1，－12，0，12，1，32，2，…}，A 中任意一个元素均在B 中． 答案 ⊆2．集合U 、S 、T 、F 的关系如图所示，下列关系正确的是________．①S ∈U ②F ⊆T ③S ⊆T ④S ⊆F ⑤S ∈F ⑥F ⊆U解析元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．答案③⑥3．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有________个．解析由题意得，含有元素0的集合A的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个．答案 44．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是________．解析∵A⊆B，∴a≥2.答案a≥25．(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁U A和∁U B；(2)U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，求∁U B 和∁A B；(3)U＝R，A＝{x|1＜x＜5}，求∁U A，并分别在数轴上表示A和∁U A.解(1)根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．(2)∁U B＝{x|x是三边不都相等的三角形}；∁A B＝{x|x是有且仅有两边相等的三角形}．(3)∁U A＝{x|x≤1，或x≥5}，A与∁U A在数轴上分别表示如下：课堂小结1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.。

高考数学专题复习：子集、全集与补集一、单选题1．已知集合P ={2，4，6，8}，则集合P 的真子集的个数是（ ） A ．4B ．14C ．15D ．162．集合M =}|1,2n x x n Z⎧=+∈⎨⎩，N =}1|,2x x m m Z ⎧=+∈⎨⎩，则两集合M ，N 的关系为（ ）A ．M ∩N =∅B ．M =NC ．M ⊆ND ．N ⊆M3．下列六个关系式：①{}{},,a b b a =；②{}{},,a b b a ⊆；③{}∅=∅；④{}0=∅；⑤{}0∅⊆；⑥{}00∈．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．3C ．4D ．64．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20212021a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．集合6{|}6x N N x∈∈-的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．166．已知集合{}2,3,1A =-，集合{}23,B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．{}1B ．{}3C ．{}1,1-D ．{}3,3-7．已知集合{}{}2|560,,|04,,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<≤∈则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知全集U R =，那么正确表示集合{}1,0,1,2M =-和{}2|0N x x x =-=的关系的韦恩图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合{1,1},{|1}M N x mx =-==，且N M ⊆，则实数m 的值可以为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．010．下列四个选项中正确的是（ ） A ．{}{},a b ∅⊆ B ．(){}{},,a b a b = C ．{}{},,a b b a ⊆D ．{}0∅⊆11．若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为（ ）A ．13-B ．0C ．12D ．112．已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =三、填空题13．如果{}{},1,2a b =，则ab=________． 14．所有满足{}{},,,a Ma b c d ⊆的集合M 的个数为________；15．已知集合2{|9140}A x x x =-+=，集合{|20}B x ax =+=，若B A ，则实数a 的取值集合为________.16．已知集合{|04}A x x =<≤，{|}B x x a =<.当A ⊆B 时实数a 的取值范围为a c >，则c =________．四、解答题17．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，B ＝{1，2，b }．（1）是否存在实数a ，使得对于任意的实数b ，都有A ⊆B ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．18．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，C ＝{x |x 2﹣mx +2＝0}． （1）若B ⊆A ，求实数a 构成的集合； （2）若A ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围．19．已知集合{}{},|325,|21U R M x a x a P x x ==<<+=-≤≤，若M ⫋U C P ，求实数a 的取值范围．20．已知22{|}}240|2{0A x x x B x x ax a =+-==++-=，，若B A ⊆，求实数a 的值.21．设全集{}22,3,23U m m =+-，{}1,2A m =+，{}5UA =，求m 的值.22．已知集合A {}25x x =-≤≤．（1）若{}621B x m x m =-≤≤-，A B ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若{}121B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】根据集合P 元素的个数确定正确选项. 【详解】集合P 元素有4个，故其真子集的个数为42115-=个. 故选：C 2．D 【分析】根据子集的定义判断． 【详解】由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n =2k （k ∈Z ），则x =k +1（k ∈Z ）， 当n 为奇数时，设n =2k +1（k ∈Z ），则x =k +1+12（k ∈Z ）， ∴N ⊆M ， 故选：D. 3．C 【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集合的关系可判定⑥. 【详解】①正确，集合中元素具有无序性； ②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{}∅表示的是含∅这个元素的集合，所以{}∅=∅不成立. ④错误，∅表示空集，而{}0表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以{}0=∅不成立； ⑤正确，空集是任何非空集合的真子集； ⑥正确，由元素与集合的关系知，{}00∈． 故选：C.4．B 【分析】先利用集合相等列式201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得a ，b ，再验证集合元素的互异性，代入计算即得结果.【详解】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩，当1a =时，不满足集合元素的互异性， 故1a =-，0b =，即()2021202120212021101a b +=-+=-.故选：B. 5．D 【分析】先化简集合，得到集合元素的个数n ，再由子集的个数为2n 求解. 【详解】6{|}{0,3,4,5}6x N N x ∈∈=-， ∴6{|}6x N N x ∈∈-的子集的个数为4216=.故选：D. 6．C 【分析】根据题意可得21m =或22m =-，解方程即可求解. 【详解】因为B A ⊆，所以21m =或22m =- 因为22m =-无解，所以22m =-不成立，由21m =得1m =±，所以实数m 的取值集合为{}1,1-.故选：C. 7．D 【分析】先求得集合A ，再由集合的包含关系求得集合C 得选项. 【详解】由已知得，{}{}2,3,1,2,3,4A B ==.因为A C B ⊆⊆，所以满足条件的集合C 有{}2,3，{}1,2,3，{}2,3,4，{}1,2,3,4，共4个.故选：D. 8．B 【分析】根据,M N 之间的关系进行判断即可. 【详解】因为{}{}1,0,1,2,1,0M N =-=，所以N ⫋M . 故选：B . 9．ABD 【分析】根据给定条件利用集合包含关系按m 值是否为0分类即可得解. 【详解】因N M ⊆，{1,1},{|1}M N x mx =-==， 则当0m =时，N M =∅⊆，符合题意，当0m ≠时，1{}N m =，于是得11m =-或11m =，解得1m =-或1m =，所以m 的值为1或1-或0. 故选：ABD 10．CD 【分析】注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD ；注意到集合元素的无序性，可以判定C ；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B. 【详解】对于A 选项，集合{}∅的元素是∅，集合{},a b 的元素是,a b ，故没有包含关系，A 选项错误；对于B 选项，集合(){},a b 的元素是点，集合{},a b 的元素是,a b ，故两个集合不相等，B 选项错误；对于C 选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C 选项正确； 对于D 选项，空集是任何集合的子集，故D 选项正确. 故选：CD. 11．ABC 【分析】根据子集的定义求解，注意空集是任何集合的子集． 【详解】{}2{|60}{|(2)(3)0}3,2M x x x x x x =+-==-+==-，{|10}N x ax =-=，当0a =时，N =∅，N M ⊆，可取， 当0a ≠时，1x a =，令13a =-，13a =-，可取， 令12a=，12a =，可取，综上13a =-、0a =或12a =，故选：ABC. 12．CD 【分析】采用特值法，可设{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，根据集合之间的基本关系，对选项,,,A B C D 逐项进行检验，即可得到结果. 【详解】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确；由()U A B B =，知U A B ⊆，∴()()UU A A A B =⊆，∴A B U ⋃=，由U A B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.13．12或2【分析】根据已知条件可得出a 、b 的值，即可得出结果. 【详解】因为{}{},1,2a b =，则12a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩，因此，12a b =或2.故答案为：12或2. 14．7 【分析】列举出满足条件的集合M ，即可得到答案. 【详解】 满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：7 15．71,,02⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】先确定集合{2A =，7}，然后利用B A ，得到集合B 的元素和A 的关系，分类讨论，即可得出结论. 【详解】2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，因为BA ，所以若0a =，即B =∅时，满足条件. 若0a ≠，则2B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，若B A ，则22a-=或7-，解得1a =-或72-.则实数a 的取值的集合为71,,02⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.故答案为：71,,02⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.16．4利用数轴分析，可得实数a的取值范围，从而得到c的值.【详解】{|04}A x x=<≤，{|}B x x a=<，如上图所示，由A⊆B，得4a>.所以4c=.故答案为：4.17．（1）不存在，理由见解析；（2）(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)．【分析】（1）根据已知条件列方程组，根据方程组的解的情况作出结论.（2）根据A B⊆列方程组，解方程组求得对应的实数对.【详解】（1）由题意，知当且仅当集合A中的元素为1，2时，对于任意的实数b，都有A⊆B. 因为A＝{a－4，a＋4}，所以4142aa-=⎧⎨+=⎩或4241aa-=⎧⎨+=⎩，方程组均无解，所以不存在实数a，使得对于任意的实数b都有A⊆B. （2）结合（1），知若A⊆B，则有414aa b-=⎧⎨+=⎩或424aa b-=⎧⎨+=⎩或441a ba-=⎧⎨+=⎩或442a ba-=⎧⎨+=⎩，解得59ab=⎧⎨=⎩或610ab=⎧⎨=⎩或37ab=-⎧⎨=-⎩或26ab=-⎧⎨=-⎩，所以所求实数对(a，b)为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)．18．（1）{0，1，2}；（2）2222m-<<m＝3．【分析】（1）对a进行分类讨论，根据包含关系求解；（2）根据C⊆A，分类讨论求解.（1）∵A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}＝{1，2}， ①若a ＝0，则B ＝∅，满足题意．②若a ≠0，则B ＝2a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，由B ⊆A 得：2a ＝1或2a ＝2，∴a ＝1或a ＝2，∴实数a 构成的集合为{0，1，2}； （2）若A ∩C ＝C ，则C ⊆A ，若△＝m 2﹣8＜0，即m -<<若△＝m 2﹣8＝0，则C ＝{，或C ＝}不满足条件， 若△＝m 2﹣8＞0，则C ＝A ，则m ＝3，综上所述m -<m ＝3， 19．7|2a a ⎧≤-⎨⎩或13a ⎫≥⎬⎭．【分析】先由题意，得到{C 2U P x x =<-或}1x >，根据M ⫋U C P ，分别讨论分M =∅，M 两种情况讨论，即可得出结果． 【详解】由题意得，{|2U C P x x =<-或}1x >，M ⫋U C P ，∴分M =∅和M两种情况讨论．①当M =∅时，有325a a ≥+，即5a ≥． ②当M时，由M ⫋U C P ，可得325252a a a <+⎧⎨+≤-⎩，或32531a a a <+⎧⎨≥⎩，即72a ≤-或153a ≤<，综上可知，实数a 的取值范围是7|2a a ⎧≤-⎨⎩或13a ⎫≥⎬⎭．【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合基本运算的概念即可，属于常考题型． 20．1或4. 【分析】先求出A ，然后对集合B 分四种情况讨论，利用韦达定理即可求解. 【详解】解：由已知可得{2,1}A =-，因为B A ⊆，则B =∅或{2}-或{}1或{2,1}-，当B =∅时，()224248160a a a a ∆=-=+-<-，无解，当{2}B =-时，则()()222224a a --=-⎧⎨-⨯-=-⎩，解得4a =， 当{}1B =时，则111124a a +=-⎧⎨⨯=-⎩，无解， 当{2,1}B =-时，则212124a a -+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得1a =， 综上，实数a 的值为1或4.21．2或4-【分析】本题可通过{}5U A =得出213235m m m ⎧+=⎨+-=⎩，然后通过计算即可得出结果. 【详解】因为{}5U A =，所以集合A 中有元素3，全集U 中有元素5， 即213235m m m ⎧+=⎨+-=⎩，解得2m =或4m =-，通过检验满足题意， 故m 的值为2或4-.22．（1）[3，4]；（2）（﹣∞，3].【分析】（1）先判断出B ≠∅，由A B ⊆，列不等式62215m m -≤-⎧⎨-≥⎩即可解得实数m 的取值范围； （2）对B 是否为∅进行分类讨论，解出实数m 的取值范围．【详解】集合A {}25x x =-≤≤，（1）∵A ⊆B ，A ≠∅，∴B ≠∅∴62215m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得3≤m ≤4，∴实数m的取值范围为[3，4]；（2）∵B⊆A，①当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，②当B≠∅时，+12112215m mmm≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，3]．。