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北师大版数学必修四课件：3.2.3两角和与差的正切函数

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高中数学必修四北师大版 第3章 2.3 两角和与差的正切函数ppt课件(37张)

高中数学必修四北师大版 第3章 2.3 两角和与差的正切函数ppt课件(37张)
【自主解答】 tan 60° ＋tan 15° (1)原式＝ 1－tan 60° tan 15°
＝tan 75° ＝tan(45° ＋30° ) 3 1＋ 3 3＋ 3 9＋3＋6 3 ＝ ＝ ＝ ＝2＋ 3. 6 3 3－ 3 1－ 3
(2)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° tan 37° ＋tan 23° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
名称 两角和 的正切 两角差 的正切
简记符号 T(α＋β)
公式 tan(α＋β)＝
使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k
T(α－β)
tan α＋tan β tan β≠1 1－tan αtan β ∈Z)且tan α· tan(α－β)＝ π α，β，α－β≠kπ＋2(k tan α－tan β tan β≠－1 1＋tan αtan β ∈Z)且tan α·
[小组合作型]
两角和与差的正切公式的灵活运用
求下列各式的值． 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23 ° tan 37° .
【精彩点拨】 解决(1)题可考虑 3＝tan 60° ，再逆用公式，解决(2)题注意到 23° ＋37° ＝60° ，而tan 60° ＝ 3 ，故联想tan(23° ＋37° )的展开形式，并变形，即可 解决．
1.变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α＋tan β tan αtan β＝1－ . tanα＋β

高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数

高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数

=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意 两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 两角和与差的正切公式的应用
������������������α +������������������β ; 1-������������������α������������������β
������������������α-������������������β . 1+������������������α������������������β
探究一
探究二
探究三

探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
������������������ 60°-������������������ 15° 1+������������������ 60°������������������ 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们 解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的 根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它 们求 tan(α± β).

数学北师大版必修4课件：3-2-3 两角和与差的正切函数

数学北师大版必修4课件：3-2-3 两角和与差的正切函数
第三章
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)． 公式 Tα±β 的记忆规律： 公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区 则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)， 【错解】 π4或54π
【正解】 由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13， 所以 α∈(0，π4)①， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1， 而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②， 故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)， 又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.

高中数学-3.2.3两角和与差的正切函数课件-北师大必修4

高中数学-3.2.3两角和与差的正切函数课件-北师大必修4
3
(4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1.
答案：1
【要点探究】
知识点 正切的和、差角公式Tα±β 1.公式成立的条件
角α,β以及α±β均不能等于kπ+ (k∈Z)，且tanαtanβ
≠1(或tan αtan β≠-1).
2
2.结构特征 公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的 和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
【解析】(1)错误，因为tan(α±β)= tan tan . 1 tan tan
(2)错误，因为tan(α+β)= tan tan . (3)错误，tan(40°+50°)中410°+tan50°ta=n90°,不成立.
(4)错误,因为tan 90°不存在. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
3 3 x+4=0的两根，且 ＜＜， ＜＜，则α+β的值为 2 22 2
()
A. 3
C. 2 或 33
B. 2 3
D.无法确定
(2)(2014·上饶高一检测)已知tan(α-β)= 且α,β∈(0,π),
1 2
,tan
β=
1 7
,
①求tan α;
②求2α-β的值.
【解题探究】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0中，根与系数有怎样的关系？
ta反n 映了复角化单角的思想1， 即tan要求tanα± β的正 tan
切函数值，只需知道tan α和tan β的值，代入求解便可.
(2)整体意识：公式Tα±β中有两个小团体“tan α±tan β ” 及“tan αtan β ”，求解时可利用整体思想代入求解.

2020-2021学年北师大版数学必修4课件：3.2.3 两角和与差的正切函数

2020-2021学年北师大版数学必修4课件：3.2.3 两角和与差的正切函数
2
(2)注意公式的结构,尤其是符号.
【思考】 两角和与差的正切公式结构有什么特征?符号有什么规律? 提示:(1)公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与 tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. (2)
符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.
2.两角和与差的正切公式的变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). (2)1±tan αtan β= tan tan .
5
44
4
=
()
A. 13
B. 13
C. 3
D. 5
18
22
22
18
2.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于
()
A.2
B.-2
C.4
D.-4
3.若tan α= 1 ,tan(α+β)= 1 ,则tan β= ( )
3
A. 1 B. 1
C. 5
2
所以tan 2β= tan[( )－(－)]
tan( ) tan(－) 1 tan( ) tan(－)
53 1 15
1. 8
()
3.(教材二次开发:例题改编)设α,β∈ (0, ) ,且 tan 4 , tan 1 ,
2
3
7
则α-β的值为 ( )
A.
B.
C.
D.－
3
4
6
3
【解析】选B.由题意,可得tan(α-β)=
2.3 两角和与差的正切函数
必备知识·自主学习
导思
1.两角和与差的正切公式是什么? 2.两角和与差的正切公式适用条件是什么?

北师大版数学必修四课件：第3章§2 2.3 两角和与差的正切函数

北师大版数学必修四课件：第3章§2 2.3 两角和与差的正切函数

tan tan tan( ) 记：T + 1 tan tan
得到： tan( )
理解：
tan tan 1 tan tan
T( α + β )
1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正 切的积. 3.公式成立的条件是：
tan tan T : tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角 正切的积. 3.公式成立的条件是：
k

学会恰当赋值、逆用公式等技能.
复习
1、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差的正弦公式
C
C
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k

2
且 k

2
且 k

2
k Z .
tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
用 代替 得到
tan tan tan 1 tan tan
2.3 两角和与差的正切函数
1.知识目标：
（1）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；
（2）掌握公式的正、逆向及变形运用 ； （3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决

课件-两角和与差的正切函数

课件-两角和与差的正切函数

通过公式的变形，可以进一步推导出 其他形式的正切和差公式，如二倍角 公式等。
利用三角函数的减法公式和同角三角 函数的基本关系推导两角差的正切公 式。
03
两角和与差的正切函数的性 质
奇偶性
奇偶性
两角和与差的正切函数具有奇偶 性，即对于任意实数x，有tan(x)=-tan(x)，这是正切函数的基本
性质之一。
tan(15°)
tan(30° + 45°)
习题
tan(60° - 30°) tan(180° - 45°)
已知 tanα = 2/3，求 tan(α + 45°) 的值。
习题
若 tanα = -√3，求 tan(α + 15°) 的值。 若 tan2α = -√3，求 tan(α + 45°) 的值。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要计算一些特定条件下的物理量，例如振动 、波动等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问 题。
解决工程问题
在工程问题中，常常需要计算一些特定条件下的参数，例如机械、建 筑等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问题。
05
习题与解答
习题
计算下列各式的值
推导过程
利用三角函数的加法公式和减法公式 ，通过代数运算推导得出。
符号表示
01
tan(α±β)表示两角和与差的正切 函数，其中α和β为任意角度。
02
tanα和tanβ分别表示两个角的正 切值，tan(α±β)表示这两个角的 和或差的正切值。
特殊角的正切值
特殊角的正切值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊 角的正切值分别为0、√3/3、1、 √3、不存在等。

北师大版数学必修四课件：3.1两角和与差的三角函数

北师大版数学必修四课件：3.1两角和与差的三角函数
3
求sinA和cosA的值. 【审题指导】该题中的前提条件“在△ABC中”实际上暗示 了角A∈(0,π)，又给出 tanA 2 ， 进一步明确了角A是锐
3
角，因此,在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值 .
【规范解答】因为△ABC中 tanA 2 ＞0， 所以∠A是锐角，
22 sinA 2 sinA 由 tanA 解得 11 cosA 3 ， ， sin 2 A cos 2 A 1 cosA 3 11 11 所以 sinA 22 ,cosA 3 11 . 11 11
∴sinα＞0,cosα＜0,∴sinα-cosα＞0, sin cos 7 ,
1 sin cos 5 由 ， sin cos 7 5 4 sin 4 5 得 , tan . 3 cos 3 5
2 2 asin bcos asin bsin cos ccos 具体如下：(1)形如 、 csin dcos dsin 2 esincos fcos 2
的分式，分子、分母分别同时除以cosα 、cos2α ，将正、 余弦转化为正切或常数，从而求值. (2)形如asin2α +bsinα cosα +ccos2α 的式子，将其看成 分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α +cos2α ,转化为
25sin2α-5sinα-12=0. ∵α是三角形的内角，
4 sin 4 5 , tan . 3 cos 3 5
1 方法二： Q sin cos , 1 2 2 sin cos （ ） , 5 即 1 2sincos 1 , 2sincos 24 , 25 25 24 49 2 sin cos 1 2sincos 1 , 25 25 12 Q sincos ＜0，且0＜α＜π, 25 5

北师大版高中数学必修四第3章三角恒等变形3.2.3两角和与差的正切函数课件

北师大版高中数学必修四第3章三角恒等变形3.2.3两角和与差的正切函数课件

典例透析
随堂演练
1.两角和的正切公式 tan(α+β)=1-tan ������ tan ������ .(Tα+β) 2.两角差的正切公式 tan(α-β)=1+tan ������ tan ������ .(Tα-β)
tan ������ -tan ������ tan ������ +tan ������
2.3
两角和与差的正切函数
-1-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.了解两角和与差的正切公式,并能运用它们进行简单的化简、 求值与证明. 2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的内在联系,完善知 识结构,培养逻辑思维能力.
-2-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
名师点拨 1.公式成立的条件 π 在两角和与差的正切公式中,α±β,α,β 都不等于 kπ+ (k ∈Z),否则不成立.如果遇到正切值无意义的问题不能用两 角和与差的正切公式,那么可以用诱导公式去完成.比如化 简 tan
π 2 2
-������ ,由于 tan 不存在,故不能用两角差的正切公式
2
π
化简,可以改用诱导公式化简.
-8-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型四
【例 2】 已知 sin(π+θ)=− 5 , tan ������ = 2 , 且������是第二象限角, 求 tan(������ − ������)的值. 分析首先利用诱导公式求出 sin θ, 然后利用 sin2θ+cos 2θ=1 求出

北师大版数学必修四课件：第3章§3 二倍角的三角函数(1)

北师大版数学必修四课件：第3章§3 二倍角的三角函数(1)

公式的特征与记忆
（1）左边角是右边角的二倍； （2）左边是2a的三角函数的一次式，右边是a 二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角； （3）二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
关于公式的几个说明：
1.公式S2a和C2b对任意角均成立，对于公式T2a k a + k , a + ( k Z ).
= 2cos2a - 1
= 1 - 2sin2a .
二倍角公式
sin 2a 2sin a cos a S2 α cos 2a cos 2 a - sin 2 a cos 2a 2cos a - 1
2
C 2α
cos 2a 1 - 2sin a
2
2tan a tan 2a T2 α 2 1 - tan a
A
B
sin 2 A sin( A + A) sin A cos A + cos A sin A 4 3 24 2sin A cos A 2 . 5 5 25
思考 3 两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别 地，当b＝a时，这三个公式分别变为什么形式？
二倍角公式的推导 sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a cos 2a = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2a – sin2a
例2
求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ; (2)cos 2

8
- sin 2

8
;
2tan 22.5 2 (3) ; (4)1 2sin 75 . 2 1 - tan 22.5

2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：3.2.3两角和与差的正切函数

2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：3.2.3两角和与差的正切函数

两角和与差的正切函数一、教学目标1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

教学用具:电脑、投影机 四、教学过程 【探究新知】1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答） [展示投影] ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时分子分母同时除以cos αcos β得：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+以-β代β得： 2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）[展示投影] 注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。

即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2︒注意公式的结构，尤其是符号。

高中数学 3.2.3 两角和与差的正切函数课件1(新版)北师大版必修4

高中数学 3.2.3 两角和与差的正切函数课件1(新版)北师大版必修4
两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ (Tα＋β) tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ (Tα－β)
第五页，共16页。
探究(tànjiū)点1
tan( ) tan tan 1- tan tan
上式中以 代 得
tan[ ( )] tan tan() 1 tan tan()
第七页，共16页。
探究(tànjiū)点2
正切公式的逆用及变形用 (1)注意公式的逆运用，比如： 1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝tan[(α＋β)－α]＝tan β， 又如11＋－ttaann αα＝1t－anta4n5°4＋5°ttaannαα＝tan(45°＋α)．
第八页，共16页。
tan - tanቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 tan tan
tan( - ) tan - tan 1 tan tan
记T(- )
第六页，共16页。
想一想
公式的适用条件(tiáojiàn)是什么？ 提示：适用条件：公式 Tα±β 只有在 α≠π2＋kπ，β≠π2＋kπ， α±β≠π2＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正 切函数的定义域决定的．
tan( ) tan tan 1- tan tan
tan( - ) tan - tan 1 tan tan
变形 tan tan tan( )(1- tan tan )
(biàn
xíng) tan - tan tan( - )(1 tan tan )
第十六页，共16页。
公式(gōngshì)一：
公式二：
sin(2kπ＋α)=sinα, ( k∈Z) sin(π+α)=-sinα,

北师大必修四：3.2.3《两角和与差的正切函数》ppt课件

北师大必修四：3.2.3《两角和与差的正切函数》ppt课件

思考: tan15o ?
1.将正切转化为正余弦:
代入 sin15o, cos15o.
tan15o
sin15o cos15o
,
2.原式可化为:
sin(45o 30o) sin 45o cos 30o cos 45o sin 30o , cos(45o 30o) cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o
tan ( ) tan tan( ) tan tan .
1 tan tan( ) 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差与1加两角
三角函数值（如：sin A B 2 ,tan A B 1等），
2 再确定A B的范围即可.
证明:因为tan A 2,tan B 3, 所以 tan( A B) tan A tan B 2 3 1；
1 tan Atan B 1 2 3 又因为A，B都是锐角，所以 0 A B 180， 所以A B 135.
注意：公式的其他变形形式：
１ tan tan tan( )(1 tantan )； ２ tan tan 1 tan tan ；
tan( )
３ tan tan tan tan 1；
tan( )
４ tan( ) tan tan tan( ) tan tan ； 5 tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
是否太烦琐了?能否直接用角的正切来表示呢?
1.掌握两角和与差的正切公式的推导及公式的正、 逆向变形及运用.（重点） 2.正确寻找角之间的关系，恰当选用公式形式解决 问题.（重点） 3.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单 的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.（难点）

高中数学 323两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4

高中数学 323两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4

解 因为 α＋4π＝(α＋β)－β－π4， 所以 tan α＋π4 ＝tanα＋β－β－π4 ＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－4π4π ＝1＋25－25×14 14＝232.
规律方法 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数 值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标 角”变换成“已知角”．若角所在的象限没有确定，则应分类讨 论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征， 还要会通过分析“目标角”与“已知角”之间的关系，灵活拆 角或拼角．
自学导引
1．两角和与差的正切公式
(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝
tan α＋tan β 1－tan α tan β
.
(2)Tα－β：tan(α－β)＝
tan α－tan β 1＋tan α tan β
.
：公式 Tα±β 适用的条件是什么？ 提示 对于 Sα±β，Cα±β，对任意 α、β 都成立，而对 Tα±β 来讲， tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ成立的条件是 α，β，α＋β 都不等于 kπ ＋π2(k∈Z)；同理 Tα－β 成立的条件是 α，β，α－β 都不等于 kπ＋ π2(k∈Z)．
2．公式 Tα±β 应用时要注意的问题 (1)公式的适用范围 由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终边不能落在 y 轴上，即角不等于 kπ＋2π(k∈Z)． (2)公式的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如 tan4π＝1，tanπ6＝ 33，tanπ3＝ 3等．
【训练 2】 已知 sin α＝23，α∈π2，π，cos β＝－34，β∈π，32π， 求 sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．

两角和差的正切公式课件

两角和差的正切公式课件

02
两角和的正切公式
两角和的正切公式形式
公式形式
tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
公式适用范围
适用于α、β为锐角或α、β为钝角的情况，且tanα、tanβ均存在。
两角和的正切公式的证明
证明方法
利用三角函数的加法公式和三角 函数的商数关系进行推导。
证明过程
首先利用三角函数的加法公式将 tan(α+β)表示为tanα和tanβ的函 数，然后利用三角函数的商数关系 化简得到最终结果。
两角和的正切公式的应用实例
应用实例1
求tan15°的值，可以通过两角和的正切公式将tan15°表示为tan(45°-30°)，然后利 用已知的tan45°和tan30°的值进行计算。
应用实例2
在解三角形问题中，可以利用两角和的正切公式求出边长或角度。例如，已知三 角形的两个角度和一边长，可以通过两角和的正切公式求出另一边长或角度。
应用范围
这些恒等式在三角函数计 算、三角形的角度计算等 方面有广泛应用。
两角和差正切公式的三角函数图像表示
图像表示
通过画出两角和差正切公 式的三角函数图像，可以 直观地理解这些公式的意 义和应用。
图像特点
图像呈现周期性，具有对 称性，可以用于解决涉及 角度和的正切函数问题。
应用实例
在解决涉及角度和的正切 函数问题时，可以通过图 像表示来寻找解题思路和 方法。
两角和差的正切公式 课件
• 两角和差的正切公式简介 • 两角和的正切公式 • 两角差的正切公式 • 两角和差正切公式的扩展 • 习题与解答
目录
01
两角和差的正切公式简介
两角和差公式的背景
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(2)出现了tanα+tanβ和tanαtanβ的形式，因此选用变
形形式求值.
【规范解答】(1)原式
1 tan75 tan45 tan75 1 tan75 1 tan45tan75 tan 45 75 tan120 3.
(2)∵ tan120 tan(70 50) tan70 tan50 3,
【例】已知△ABC中， tanB tanC 3tanBtanC 3， 且
3tanA 3tanB tanAtanB 1.
试判断△ABC的形状.
【审题指导】由已知可得A+B+C=π，且已知条件与
tan(A+B),tan(B+C)有关，可先由公式tan(A+B)及条件先
求出A+B,再求出C,最后求A、B，再判断其形状.
利用公式化简、求值 利用公式Tα ±β 化简求值的几点说明： (1)分析式子结构，正确选用公式形式 Tα ±β 是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因 此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正 用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、
(2)tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
1 tan tan 且 tan 1 知 0＜＜ , 又 由 （ , ） , （ 0, ） 2 4 3 2 0＜2＜ ， ＜ ＜ , 2 2 3 ＜2 ＜0, 2 . 4 tan tan 1,
公式的综合应用
公式Tα +β 与一元二次方程的联系： 在两角和的正切公式Tα +β 中，有tanα +tanβ 和 tanα tanβ 这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关 系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点.因 此tanα 、tanβ 可以看作一元二次方程的根，这样 tanα +tanβ 、tanα tanβ 、tanα -tanβ 就可以互相表示，
9 tanA tanB 2， 【规范解答】由已知得： tanA gtanB 13 2 9 所以 tan A B tanA tanB 2 3 ， 1 tanAgtanB 1 13 5 2 3 tanC tan A B tan A B . 5
进而可以利用它们求tan(α ±β ).
【例3】(2011·长春高一检测)△ABC中，已知tanA与tanB 是方程2x2+9x-13=0的两个根，求tanC的值. 【审题指导】先利用三角形的内角和将角C用角A和角B表示
出来，tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B),然后用韦达定理求
tanA+tanB、tanAtanB,最后求tanC.
(1)求tanα 的值； (2)求2α -β 的值. 【审题指导】利用角的变换α=(α-β)+β可以直接利用公 式求出tanα的值；根据(1)中求出的tanα的值，再次变换 角2α-β=α+(α-β)，然后求值，定范围找角.
【规范解答】(1)tanα=tan[(α-β)+β]
1 1 tan tan 2 7 1 . 1 1 tan tan 1 的判断， 在确定所求角的范围时要细斟酌、深挖掘 ,除了考虑给定的 大范围外,还要从给定的三角函数值上进一步缩小角的范围 , 防止出现增根.
【例2】(2011·宿州高一检测)已知 tan 1 ，tan 1 ,
且 （ 0, ） , （ , ） . 2 2 2 7
3 ”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角 3 的正切值去代换，如 “ 1＝tan ”,“ 3 tan ”，这 3 4
“ 3 ”“
样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
【例1】化简下列各式并求值 (1) cos75 sin75
cos75 sin 75
(2) tan70 tan50 3tan70gtan50 【审题指导】(1)先利用商数关系把弦化切，再利用“1” 的代换化简，
【规范解答】 Q 3tanA 3tanB tanAtanB 1，
3 tanA tanB tanAtanB 1， tanA tanB 3 ， 1 tanA gtanB 3 3 又∵0＜A+B＜π, tan A B . 3 5 3 A B , Q A B C , C , tanC . 6 6 3
1 tan70gtan50
tan70 tan50 3 3tan70gtan50，
所以原式 3 3tan70gtan50 3tan70gtan50 3.
利用公式求角 求角问题中的特别关注: (1)角的变换
前面学习Sα ±β 、Cα ±β 的过程中运用的角的变换技巧仍然
又 Q tanB tanC 3tanBtanC 3,
tanB 3 3 tanB 3, tanB . 3 3 ∵0＜B＜π， B , A 2 ， 6 3
适用于公式Tα ±β ，如2α -β =α +(α -β )，在求值过程中
要进一步掌握这些角的变换方法.
(2)函数名称的选取
在明确所求角是如何通过已知角变换之后,具体要根据题设
条件去选择恰当的函数.
(3)角的范围的界定
根据求出的三角函数值确定所求的角时,角的范围会直接影 响解的个数,因此,角的范围的确定是求角问题中最为关键 的因素.