2014南京清江花苑严老师第3讲 函数的单调性(学案)
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x
1
x2－4x
的增减情况。
x2 (a＞1).证明：函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x 1
变式：已知函数 f（x）在定义域 M 内为减函数，且 f（x）＞0，判断 g（x）＝1＋ 况，并证明你的结论。
2
f（x）
在 M 内的增减情
题型 3：单调性的应用： ax＋1 例 3.已知函数 f（x）＝ 在区间（－2，+∞）上单调递增，求 a 的取值范围。 x＋2
能力训练题 1.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数，则 f(x)=0 根的个数 2.已知 f(x)是 R 上的增函数，若令 F（x）=f（1-x）-f（1+x） ，则 F（x）是 R 上的 单调性是 2 2 3.若函数 f(x)=x +(a -4a+1)x+2 在区间（-∞，1］上是减函数，则 a 的取值范围是 3 2 2 4.函数 f(x)=x +ax +bx+c，其中 a、b、c∈R，则 a -3b＜0 时，f(x) 的单调性是 2 5.已知函数 f(x)=x -2x+3 在闭区间［0,m］上最大值为 3，最小值为 2，则 m 的取值范围为 6．函数 y ax2 (3a 1) x a 2 在[1,+∞ ) 递增,则 a 的取值范围是 7.若函数 y=x -3x-4 的定义域为［0，m］ ，值域为
2
。
25 ,4 ，则 m 的取值范围是 4
8．函数 y f ( x) 在区定义域 (1,1) 上是单调递减，且 f (1 a) f (a2 1) 0 ，则实数 a 的取值范围
9．求证：函数 y x
2 在区间 (0, 2) 上是单调减函数。 x
10.已知 f(x)的定义域为（0，＋∞） ，且在其定义域内为增函数，满足 f（xy）＝f（x）＋f（y） ，f（2）＝1， 试解不等式 f（x）－f（x－2）＞3.
2 3
例 7..设 f（x）定义在 R+上，对于任意 a、b∈R+，有 f（ab）＝f（a）＋f（b） 求证： （1）f（1）＝0； （2）f（ 1
x
）＝－f（x） ；
（3）若 x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则 f（x）在（1，+∞）上是减函数.
题型 5：综合应用 例 8.（09 江苏卷 20 题） 设 a 为实数，函数 (1)若 (2)求
f ( x) 2 x 2 ( x a ) | x a | .
f (0) 1 ，求 a 的取值范围；
f ( x) 的最小值；
(不需给出演算步骤)不等式 h( x) 1 的解集. f ( x), x (a, ) ，直接写出 ．．．．
(3)设函数 h( x)
3 南京清江花苑严老师
11．已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、n∈R，恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)－1，且 f(－
1 1 )=0,当 x>－ 时， 2 2
f(x)>0。 (1)求证
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特级教师 王新敞
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2
4. 已知函数
f ( x) x2 2ax 2, x 5,5 上是单调函数. a 的取值范围是
2
5.函数 f（x）在上是减函数,求 f（a －a＋1）与 f（ 三、例题精讲： 题型 1：单调性的判断：
3 ）的大小关系 4
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例 1． （1）求函数 y x2 2 | x | 3 的单调区间。 （2）判断函数 f（x）＝ 题型 2：单调性的证明： 例 2.已知函数 f(x)=a +
1 在其定义域内为减函数 ； f ( x)
k ， x
（3） y ax bx c .
2
2．已知 f ( x) (k 2 3k 4) x 2k 1 在 R 上是增函数,则 k 的取值范围 3．函数 f ( x) x (m 1) x 2 在 (, 4] 上是减函数,则求 m 的取值范围
第三讲 函数的单调性
一、知识要点： 1、函数单调性定义：对于给定区间 D 上的函数 f(x)，若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D, 当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 ) <f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的增函数，D 叫 f(x)单调递增区间. 当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 )> f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的减函数，D 叫 f(x)单调递减区间. 2、函数单调性的判断方法： （1）定义法。步骤是： ①任取 x 1 ，x 2 ∈D，且 x 1 <x 2 ②作差 f(x 1 )－ f(x 2 )或作商
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f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证。
4 南京清江花苑严老师
增函数 f ( x) 减函数 g ( x) 是增函数 ； 减函数 f ( x) 增函数 g ( x) 是减函数 。 若 f(x)为减函数， 则-f(x)为增函数 ； 若 f(x)>0 且为增函数， 则函数 二、基础练习： 1. 写出下列函数的单调区间 （1） y kx b, （2） y
变式：讨论函数 f ( x) x
a (a 0) 的单调x (x≠a). xa
（1）若 a=-2,试证 f(x)在（-∞,-2）内单调递增； （2）若 a＞0 且 f(x)在（1,+∞）内单调递减，求 a 的取值范围.
题型 4：抽象函数的单调性及其应用： 例 5.已知 f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, 试解不等式 f(x)+f(x-8)≤2.
f x2 f x1 0 ，并变形， f x1
③判定 f(x 1 )－ f(x 2 )的符号，或比较 （2）图象法；借助图象直观判断。
f x2 与 1 的大小， ④根据定义作出结论。 f x1
（3）复合函数单调性判断方法：设 y f u , u g x , x a, b , u m, n 若内外两函数的单调性相同，则 y f g x 在 x 的区间 D 内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则 y f g x 在 x 的区间 D 内单调递减。 3、常见结论 增函数 f ( x) 增函数 g ( x) 是增函数 ； 减函数 f ( x) 减函数 g ( x) 是 减函数 ；
2 南京清江花苑严老师
变式：已知 y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若 f(m-1)＜f(1-2m)，则 m 的取值范围是 例 6.已知函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 均有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x＞0 时，f(x)＜0,f(1)=- . (1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性； （2）求 f(x)在［-3，3］上的最值.
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x2－4x
的增减情况。
x2 (a＞1).证明：函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x 1
变式：已知函数 f（x）在定义域 M 内为减函数，且 f（x）＞0，判断 g（x）＝1＋ 况，并证明你的结论。
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f（x）
在 M 内的增减情
题型 3：单调性的应用： ax＋1 例 3.已知函数 f（x）＝ 在区间（－2，+∞）上单调递增，求 a 的取值范围。 x＋2
能力训练题 1.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数，则 f(x)=0 根的个数 2.已知 f(x)是 R 上的增函数，若令 F（x）=f（1-x）-f（1+x） ，则 F（x）是 R 上的 单调性是 2 2 3.若函数 f(x)=x +(a -4a+1)x+2 在区间（-∞，1］上是减函数，则 a 的取值范围是 3 2 2 4.函数 f(x)=x +ax +bx+c，其中 a、b、c∈R，则 a -3b＜0 时，f(x) 的单调性是 2 5.已知函数 f(x)=x -2x+3 在闭区间［0,m］上最大值为 3，最小值为 2，则 m 的取值范围为 6．函数 y ax2 (3a 1) x a 2 在[1,+∞ ) 递增,则 a 的取值范围是 7.若函数 y=x -3x-4 的定义域为［0，m］ ，值域为
2
。
25 ,4 ，则 m 的取值范围是 4
8．函数 y f ( x) 在区定义域 (1,1) 上是单调递减，且 f (1 a) f (a2 1) 0 ，则实数 a 的取值范围
9．求证：函数 y x
2 在区间 (0, 2) 上是单调减函数。 x
10.已知 f(x)的定义域为（0，＋∞） ，且在其定义域内为增函数，满足 f（xy）＝f（x）＋f（y） ，f（2）＝1， 试解不等式 f（x）－f（x－2）＞3.
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例 7..设 f（x）定义在 R+上，对于任意 a、b∈R+，有 f（ab）＝f（a）＋f（b） 求证： （1）f（1）＝0； （2）f（ 1
x
）＝－f（x） ；
（3）若 x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则 f（x）在（1，+∞）上是减函数.
题型 5：综合应用 例 8.（09 江苏卷 20 题） 设 a 为实数，函数 (1)若 (2)求
f ( x) 2 x 2 ( x a ) | x a | .
f (0) 1 ，求 a 的取值范围；
f ( x) 的最小值；
(不需给出演算步骤)不等式 h( x) 1 的解集. f ( x), x (a, ) ，直接写出 ．．．．
(3)设函数 h( x)
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11．已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、n∈R，恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)－1，且 f(－
1 1 )=0,当 x>－ 时， 2 2
f(x)>0。 (1)求证
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4. 已知函数
f ( x) x2 2ax 2, x 5,5 上是单调函数. a 的取值范围是
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5.函数 f（x）在上是减函数,求 f（a －a＋1）与 f（ 三、例题精讲： 题型 1：单调性的判断：
3 ）的大小关系 4
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例 1． （1）求函数 y x2 2 | x | 3 的单调区间。 （2）判断函数 f（x）＝ 题型 2：单调性的证明： 例 2.已知函数 f(x)=a +
1 在其定义域内为减函数 ； f ( x)
k ， x
（3） y ax bx c .
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2．已知 f ( x) (k 2 3k 4) x 2k 1 在 R 上是增函数,则 k 的取值范围 3．函数 f ( x) x (m 1) x 2 在 (, 4] 上是减函数,则求 m 的取值范围
第三讲 函数的单调性
一、知识要点： 1、函数单调性定义：对于给定区间 D 上的函数 f(x)，若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D, 当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 ) <f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的增函数，D 叫 f(x)单调递增区间. 当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 )> f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的减函数，D 叫 f(x)单调递减区间. 2、函数单调性的判断方法： （1）定义法。步骤是： ①任取 x 1 ，x 2 ∈D，且 x 1 <x 2 ②作差 f(x 1 )－ f(x 2 )或作商
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f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证。
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增函数 f ( x) 减函数 g ( x) 是增函数 ； 减函数 f ( x) 增函数 g ( x) 是减函数 。 若 f(x)为减函数， 则-f(x)为增函数 ； 若 f(x)>0 且为增函数， 则函数 二、基础练习： 1. 写出下列函数的单调区间 （1） y kx b, （2） y
变式：讨论函数 f ( x) x
a (a 0) 的单调x (x≠a). xa
（1）若 a=-2,试证 f(x)在（-∞,-2）内单调递增； （2）若 a＞0 且 f(x)在（1,+∞）内单调递减，求 a 的取值范围.
题型 4：抽象函数的单调性及其应用： 例 5.已知 f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, 试解不等式 f(x)+f(x-8)≤2.
f x2 f x1 0 ，并变形， f x1
③判定 f(x 1 )－ f(x 2 )的符号，或比较 （2）图象法；借助图象直观判断。
f x2 与 1 的大小， ④根据定义作出结论。 f x1
（3）复合函数单调性判断方法：设 y f u , u g x , x a, b , u m, n 若内外两函数的单调性相同，则 y f g x 在 x 的区间 D 内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则 y f g x 在 x 的区间 D 内单调递减。 3、常见结论 增函数 f ( x) 增函数 g ( x) 是增函数 ； 减函数 f ( x) 减函数 g ( x) 是 减函数 ；
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变式：已知 y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若 f(m-1)＜f(1-2m)，则 m 的取值范围是 例 6.已知函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 均有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x＞0 时，f(x)＜0,f(1)=- . (1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性； （2）求 f(x)在［-3，3］上的最值.
