树的基本性质

测树学考试试题在测树学考试中，试题是评估学生对树的概念、性质和应用的理解能力以及解决问题的能力的重要工具。

本文将从树的基本概念、树的性质和树的应用三个方面来探讨测树学考试试题。

一、树的基本概念在测树学考试试题中，往往会出现一些涉及树的基本概念的问题。

树是一种非线性的数据结构，它由节点（node）和边（edge）组成。

树的一个节点称为根节点（root），根节点下面可以有多个子节点（child node），子节点可以再有子节点，形成树的分支结构。

树的节点之间通过边相连，边表示了节点之间的关系。

二、树的性质在测树学考试试题中，通常会涉及树的一些重要性质的问题。

其中一些常见的性质包括：1. 树的节点个数等于边的个数加一。

这是因为在树中，每个节点除了根节点外，都有唯一的一条边与之相连。

2. 树中不存在环。

这是因为树是一种无向无环图，其中任意两个节点之间只存在唯一的一条路径。

3. 在树中，从根节点到任意一个节点，存在唯一的一条路径。

这是因为树中任意两个节点之间不存在多条路径。

三、树的应用树作为一种重要的数据结构，被广泛应用于各个领域。

在测树学考试试题中，也常会出现一些与树相关的应用问题。

以下是一些常见的树的应用：1. 文件系统：计算机的文件系统可以看作是一棵树，每个文件夹都是一个节点，文件夹之间的关系由边连接。

2. 数据库查询：数据库中的索引结构通常采用树的结构，例如B树、B+树等，以提高查询效率。

3. 网络路由：在计算机网络中，路由器使用树状的路由表来决定数据包的转发路径。

4. 分析算法：在算法设计中，很多问题可以使用树的形式来建模和解决，例如最小生成树、最短路径等。

通过对树的基本概念、树的性质和树的应用的介绍，可以更好地理解和解答测树学考试试题。

在准备考试时，建议多做一些相关的练习题以加深对树的理解和应用。

同时，要注重对树的基本概念和性质的掌握，这将有助于解决各类与树相关的问题。

总结：在测树学考试中，试题是评估学生对树的概念、性质和应用的理解能力以及解决问题的能力的重要工具。

图论中的树与树的性质图论是研究图及其性质的数学分支。

在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。

一、树的定义与基本性质树是一个连通且无环的无向图。

具体定义如下：1. 一个只有一个顶点的图是一个树。

2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。

树具有以下基本性质：1. 一棵树有且只有一个连通分量。

2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。

3. 一棵树的边数比顶点数少1。

树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。

下面将介绍树的一些重要性质。

二、树的性质1. 最小生成树最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。

常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。

最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。

2. 无向树与有向树的转化无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。

3. 树的直径树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。

求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。

树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。

4. 中心与半径树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。

树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。

中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。

5. 树的遍历树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。

常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。

6. 散射树散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的最小生成树与散射关键路径组成。

散射树在光纤传输等领域有着广泛的应用。

以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。

从最小生成树到树的遍历，树的性质在各个领域都有着广泛的应用。

树的诞生故事(数学)【最新版4篇】目录（篇1）1.引言：介绍树的概念及其在数学中的应用2.树的基本结构：节点、边、叶子节点、度、生成树等3.树的种类：满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树（AVL 树）和二叉搜索树4.树的遍历：前序遍历、中序遍历和后序遍历5.树的应用：图论、数据结构和算法6.结论：总结树的重要性和在数学领域的发展正文（篇1）树的诞生故事 (数学)树的概念在生活中非常常见，它既是生物学中的基本结构，也是数学中的一个重要研究对象。

在数学领域，树被广泛应用于图论、数据结构和算法等方面，为我们理解和解决许多实际问题提供了有力的工具。

接下来，我们将探讨树的诞生故事，了解其在数学中的基本结构、种类和应用。

首先，让我们来了解一下树的基本结构。

在数学中，树是由节点（vertex）和边（edge）组成的一种非线性数据结构。

树的节点表示元素，边表示元素之间的关系。

树中还存在叶子节点（leaf node），即没有子节点的节点。

度（degree）是树中节点的子节点数量，根节点的度为 0，而叶子节点的度为 1。

生成树（spanning tree）是指一个树覆盖一个图的所有节点，且保持图的连通性。

接下来，我们来探讨树的种类。

满二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的每一层都充满了节点，且最后一层可能不完全填充。

完全二叉树是一种特殊的平衡二叉树（AVL 树），它的每一层都充满了节点，且最后一层可能不完全填充。

平衡二叉树是一种保持左右子树高度差不超过 1 的二叉树，它的调整操作使其保持平衡。

二叉搜索树是一种特殊的平衡二叉树，它的左子树中的所有节点的值都小于根节点的值，右子树中的所有节点的值都大于根节点的值。

在树的遍历方面，有前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。

前序遍历是指先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

中序遍历是指先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。

后序遍历是指先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。

图论作业 1⼀、填空题1. ⾮同构的阶和阶树的个数分别为和⽅法：按照树中存在的最⻓路进⾏枚举 (从开始)注意：对于的树来说，路的最短⻓度为234 阶树2345 阶树2. 阶正则图的补图的边数为考点⼀：完全图每个点的度数是✨考点⼆：⼀个图和其补图的并是完全图⼀个点在原图和补图中的度数和为图是正则，那么图的补图为正则。

故补图的度数之和为根据握⼿定理：3. 设图中各顶点度数均为，且，则 n = ，m =考点：握⼿定理根据握⼿定理：4. 设简单图的邻接矩阵为，且则图的边数为考点：邻接矩阵的性质定理 10：令是⼀个有推⼴邻接矩阵的阶标定图，则的⾏列元素等于由到的⻓度为的途径的数⽬推论：设为简单图的邻接矩阵，则：的元素是的度数。

的元素是含的三⻆形的数⽬的两倍 （考过填空）5. 设是⼀个完全部图，是第部分的顶点数，则它的边数为考点：完全多部图的概念与结构完全部图的点数：；边数：（考过填空）6. 设是阶简单图，且不含完全⼦图，则其边数⼀定不会超过考点：Turán 定理定理 18 (T urán)：若是阶简单图，并且不包含，则边数。

此外，仅当时，✨计算公式：，则例：阶简单图，，则最多有条边例： 9 阶简单图，，则最多有 27 条边7. 设阶图是具有个分⽀的森林，则其边数为树的边数 = 顶点数 - 1森林的边数 = 顶点数 - 连通分⽀数8. ⼀棵树有个度为的结点，，则它有个度数为的顶点考点：握⼿定理 + 树的性质（边数 = 顶点数 - 1），其中由握⼿定理：故：整理得：9. 完全图的⽣成树的个数为定理 27：⼆、不定项选择题1. 关于图的度序列，下列命题正确的是（ABCD）A. 同构的两个图的度序列相同B. ⾮负整数序列是图的度序列当且仅当是偶数C. 如果正整数序列是⼀棵树的度序列且，那么序列中⾄少有两个D. 正整数序列是⾮平凡树的度序列当且仅当E. 若图的顶点度数之和⼤于等于图的顶点度数之和，则图度优于图❌F. 如果⾮负整数序列是简单图的度序列，那么在同构意义下只能确定⼀个图❌考点：度序列 && 图序列关系：简单图的度序列简称图序列注意：判断⾮负整数序列是否为简单图的度序列暂⽆好的⽅法，只有等价转换的⽅法A 显然正确（已经默认递增或递减排列）B 正确：定理 3：⾮负整数组是图的度序列的充分必要条件是：为偶数C 正确：定理 20：每棵⾮平凡树⾄少有两⽚树叶D 正确：存在⼀棵⾮平凡树，以该序列为度序列的充要条件握⼿定理E 错误：先有度弱或度优，才有度数之和⼩于或⼤于；反过来不成⽴F 错误：不⽌确定⼀个图2. 对于序列，下列说法正确的是（BD）A. 可能是简单图的度序列❌B. ⼀定不是简单图的度序列C. 只能是简单图的度序列❌D. 只能是⾮简单图的度序列E. 不是任意图的度序列❌考点：度序列 && 图序列对于简单图，顶点的最⼤度顶点数 - 1A 错B 对C 错：对于该题，⻓度为 6，说明有 6 个点，同时最⼤度为 7，显然不是简单图！！D 对E 错：定理 3：⾮负整数组是图的度序列的充分必要条件是：为偶数3. 下列说法错误的是（ACE）A. 若⼀个图中存在闭途径，则⼀定存在圈❌B. 偶图中不存在奇圈C. 若图不含三⻆形，则为偶图❌D. 图的顶点之间的连通关系⼀定是等价关系E. 存在每个顶点的度数互不相同的⾮平凡简单图❌A 错误：闭途径（），但不存在圈B 正确：定理 9：⼀个图是偶图当且仅当它不包含奇圈C 错误：可能存在⻓度不为 3 的奇圈，如 5，7 等等D 正确：即便在有向图中，也存在弱连通E 错误：定理 5：⼀个简单图的个点的度不能互不相同4. 关于简单图的邻接矩阵，下列说法错误的是（C）A. 矩阵的⾏和等于该⾏对应顶点的度数B. 矩阵的所有元素之和等于该图边数的倍C. 矩阵的所有特征值之和等于该图边数的倍❌D. 矩阵的所有特征值的平⽅和等于该图边数的倍E. 矩阵的主对⻆线的元素之和等于该图边数的倍F. 若是⾮连通图，则相似于某个准对⻆矩阵考点：简单图邻接矩阵的性质A 正确：矩阵的「⾏和」或「列和」等于该「⾏」或「列」对应顶点的度数B 正确：所有元素之和等于度数之和，根据握⼿定理判断正确C 错误：矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹；矩阵的迹⼜是矩阵主对⻆线上的元素之和；对于简单图，邻接矩阵主对⻆线元素均为D 正确：所有特征值的平⽅和等于的所有特征值之和；的迹就是主对⻆线之和，也就是图的所有度数之和，就等于边数的两倍E 显然正确F 正确：⽆法解释，因为不懂5. 图⼀定是树的是（BDE）A. 连通图❌B. ⽆回路但任意添加⼀条边后有回路的图C. 每对顶点间都有路的图❌D. 连通且E. ⽆圈且考点：树的基本性质A 错误：树是连通的⽆圈图B 正确：回路是边不重圈的并；⽆回路肯定⽆圈，加⼀条边有回路，肯定就有圈C 错误：每对顶点间存在唯⼀的⼀条路DE 显然正确三、解答题1. 设⽆向图 有条边， 度与 度顶点各 个，其余顶点度数均⼩于 ，问 中⾄少有⼏个顶点？在顶点数最少的情况下，写出 的度序列，该度序列是⼀个图序列吗？考点：握⼿定理 + 图序列解：由于求顶点数量最少，故假设 0 度顶点为 0 个，1 度顶点为 0 个，同时设 2 度顶点有 个根据握⼿定理得：；解得：所以 中⾄少有 7 个顶点；图 的度序列为 根据 Havel-Hakimi 定理，可得下⾯推导过程：显然 是可图的，所以 是可图的2. 证明整数序列是简单图的度序列，并构造⼀个对应的简单图。

第一章流体网络的基本概念与拓扑关系 名词解释:1.流体网络: 无论是矿井的通风系统（包括有风流流动的井巷通道、调节风量分配用的构筑物、作为通风动力的风机等等），还是城市集中供热系统（包括输送管路、各种调节阀门、作为动力的泵站等等），以及城市煤气输送系统、自来水供应系统、集中空调系统等各种有流体流动的管路系统，它们都有一共同的特点，那就是它们都是由输送流体的管路、各种调节设施及动力设施构成，流体管路连接在一起形成流体网络。

2. 分支: 抛开流体网络的各种属性，只考虑流体管路的几何连接拓扑关系。

为此，将管路称之为分支。

3. 节点: 三条以上分支的连接点称之为节点；有时为研究问题方便，将管路的某种属性的交变点也称为节点，也就是说两条物理属性不同的分支的交点也称之为节点；还有一类分支，其一端与其他分支相连接，而另一端是自由的，不与任何分支相连接，将这类端点也称为节点。

4. 图:将流体网络中的节点和分支的集合称为图，记为),(E V G = ，式中，V 表示节点的集合，{}m v v v V ,,,21 = ，m 为节点数，V m =；E 表示分支集合，{}n e e e E ,,,21 = ，n为分支数，E n =5.有向图: 分支ke 对应着的两个节点分别为iv 和jv 。

当流体流动的方向是ji v v →，此时将分支ke 写成()j i k v v e ,=，图G 称为有向图6. 无向图:当流体流动方向尚未确定，或者流体流动方向与我们所研究的问题无关时，网络分支ke 即可写成ji k v v e ,=，也可写成ij k v v e ,=，图G 称为无向图。

7. 关联: 在图),(E V G = 中，如果节点i v 是分支k e 的一个节点，则称分支k e 和节点i v 相关联。

8. 邻接:对于节点iv 和jv ，若Ev v j i ∈,，则称iv 和jv 是邻接的。

9．子图； 对图()E V G ,= 和()E V G ''=', 来说，若有V V ⊆' 和E E ⊆' ，则称图G ' 是G 的一个子图。

§6.3 树与支撑树
1 §6.3 树与支撑树
1、树及其基本性质
树：一个连通且无回路（除非特别声明，以后皆指初级回路）的图
k －树（森林）：有k 个连通分支且无回路的图
21H H ：子图1H 和子图2H 的边的并集
21H H ：子图1H 和子图2H 的边的交集
21\H H ：在子图1H 中但不在子图2H 中的边的集合
G + e ：在图G 中加连边e
G - e ：在图G 中去掉边e
G - i ：在图G 去掉点i 及与点i 关联的所有边
定理6.3.1 设T =(N ,E )是3|| N 的一个图，则下列六个定义是等价的：
（1）T 连通且无回路；
（2）T 有1|| N 条边且无回路；
（3）T 连通且有1|| N 条边；
（4）T 连通且每条边都是割边；
（5）T 的任两点间都有唯一的路相连；
（6）T 无回路，但在任一对不相邻的点间加连一条边，则构成唯一的一个
回路。

定理6.3.2 每个树至少有两个次为1的点。

2、支撑树及其基本性质
图G 的支撑树：G 的一个是树的支撑子图
G 的反树：T G T \* ，其中),(E N T 是),(E N G 的一个支撑树 )(e ：割集},{21S S ，其中21,S S 为e T 的两个连通分支的点集合
定理6.3.3 G 有支撑树当且仅当G 是连通的。

定理6.3.4 任给图G ，设T 是G 的支撑树， e 是T 的一条边，则存在唯一的一个割集)(e 包含于e T *中。

定理6.3.5 设1T 和2T 是G 的两个支撑树，且k T T |\|21，则2T 经过k 次迭代后就得到1T .。

树（⼀）树的基本知识树结构1） 了解树的定义、表⽰形式和基本术语2） 了解⼆叉树的概念和性质3） 掌握⼆叉树的⼏种遍历⽅法4） 理解⼆叉树的遍历⽅法的C语⾔代码实现5） 了解树的存储结构6）了解哈夫曼树和哈夫曼编码的基本概念树的定义树（Tree），是n（n≥0）个结点的有限集。

若n=0时称为空树；若n>0时为⾮空树。

在⼀个⾮空树中，有且仅有⼀个称为根的结点。

除根以外的其他结点划分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，. . .，Tm，其中每⼀个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（SubTree）。

例如下图是只有⼀个结点的树，这个唯⼀的结点也是这棵树的根节点：再⽐如下⾯这棵树：这棵树有9个结点，其中A是根，其余结点组成2个互不相交的⼦集：T1={B, D, E, I}，T2={C, F, G, H}，T1和T2都是A的⼦树，其本⾝也是⼀棵树：在树T1中，B是根节点，其余结点⼜分为两个互不相交的⼦树：T11={D, I}，T12={E}。

在树T11中D是根，其包含由结点I组成的⼦树。

从这个概念上我们可以看出树的定义是⼀个递归的定义，即在树的定义中⼜⽤到了树的定义，⽽递归也将是实现树的相关操作的⼀个重要⼿段。

树的表⽰⽅法树形表⽰法⽬录结构表⽰韦恩图表⽰法⼴义表表⽰法凹⼊表⽰法树的基本概念（※有关术语※重点※）以下图为例⼦：结点：数据元素以及指向⼦树的分⽀。

图中的A,B,C等都是结点。

根结点：⾮空树中⽆前驱结点的结点。

图中的A结点。

结点的度(Degree)：结点拥有的⼦树数量。

图中度为3的有：A、D，度为2的有：B、E、H，度为1的有：C、H。

：树内各结点的度的最⼤值。

上图中树的度为3。

叶⼦结点(终端结点)(Leaf)：树没有⼦结点，即度为0的结点。

图中的F，G，I，J，K，L，M 都是叶⼦结点。

分⽀结点(分⽀点或⾮终端结点)：不属于叶⼦结点的结点，即度不为0的结点。

A,B,C,D等都是分⽀结点。