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结构力学——3静定梁和静定刚架

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李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 静定梁与静定刚架【圣才出品】

李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 静定梁与静定刚架【圣才出品】

第3章　静定梁与静定刚架
3.1　复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、单跨静定梁　★★★★
1．内力
表3-1-1　内力的基本概念
图3-1-1
图3-1-22．内力与外力间的微分关系及积分关系（1）由平衡条件导出的微分关系式
计算简图如图3-1-3所示，微分关系式为
（Ⅰ）
d d d d d d s
s N
F q x
x M F
x F p x
x ⎧=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩-（）（）
图3-1-3
（2）荷载与内力之间的积分关系
如图3-1-4
所示，结合式（Ⅰ）可得梁的内力积分公式，积分公式及其几何意义见表3-1-2。

图3-1-4
表3-1-2　内力的积分公式及几何意义
3．叠加法作弯矩图
表3-1-3　常用叠加法及其作图步骤
图3-1-5
图3-1-6
二、多跨静定梁　★★★★
多跨静定梁是由构造单元（如简支梁、悬臂梁）多次搭接而成的几何不变体系，其计算简图见图3-1-7，几何构造、计算原则、传力关系见表3-1-4。

李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(静定梁与静定刚架)【圣才出品】

李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(静定梁与静定刚架)【圣才出品】

第3章静定梁与静定刚架复习思考题1．用叠加法作弯矩图时，为什么是竖标的叠加，而不是图形的拼合？答：因为有时叠加弯矩图时的基线与杆轴不重合，如果用图形拼合，不能完全保证叠加后弯矩值是实际同一点的两个弯矩相加后的值。

2．为什么直杆上任一区段的弯矩图都可以用简支梁叠加法来作？其步骤如何？答：（1）因为根据内力分析可以求出直杆任一区段两端的内力，所以直杆任一区段两端均可以看成两端有外力（集中力或集中力偶）的简支梁。

（2）设有直杆任一区段简支梁AB，具体步骤如下①分解作用区段AB上的荷载；②分别作出分解荷载下的弯矩图；③求解出区段AB两端的弯矩M A和M B；④将两端弯矩M A和M B绘出并连以直线（虚线）；⑤以步骤④中的虚线为基线叠加各个分解荷载下的弯矩图（竖标叠加），得最终弯矩图。

3．试判断图3-1所示刚架中截面A、B、C的弯矩受拉边和剪力、轴力的正负号。

图3-1答：轴力以受压为负，受拉为正；剪力以使截面顺时针旋转为正。

（1）截面A：左边受拉，剪力为负，轴力为负；（2）截面B：右边受拉，剪力为正，轴力为正；（3）截面C：左边受拉，剪力为正，轴力为正。

4．怎样根据静定结构的几何构造情况（与地基按两刚片、三刚片规则组成，或具有基本部分与附属部分等）来确定计算反力的顺序和方法？答：（1）与地基按两刚片，例如简支梁，支座反力只有三个，对某一端点取矩直接解除约束反力。

（2）与地基按三刚片规则组成，例如三铰刚架，支座反力有四个，考虑结构整体的三个平衡方程外，还需再取刚架的左半部（或右半部，一般取外荷载较少部分）为隔离体建立一个平衡方程方可求出全部反力。

（3）具有基本部分与附属部分时，按先附属后基本的计算顺序，求解支座反力。

5．当不求或少求反力而迅速作出弯矩图时，有哪些规律可以利用？答：当不求或少求反力而迅速作出弯矩图时，如下规律可以利用（1）结构上若有悬臂部分及简支梁部分（含两端铰接直杆承受横向荷载）弯矩图可先行绘制出；（2）直杆的无荷区段弯矩图为直线和铰处弯矩为零；（3）刚结点的力矩平衡条件；（4）外力与杆轴重合时不产生弯矩；（5）外力与杆轴平行及外力偶产生的弯矩为常数；（6）对称性的合理利用；（7）区段叠加法作弯矩图。

结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架

结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架


２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学 静定梁与静定刚架习题

结构力学 静定梁与静定刚架习题


M BC 2kNm
3、取AB为研究对象
MBA
或 取B节点为研究对象
2 kNm 2 kNm MBA
MBA=0
-4 kN
练习题
2
M
2
B
A 2m 1m
D
2m L P L L L L L
P
练习题
L
P L
P
L
P L
练习题
C
1kN/m
VC A VA 4m D
3、取AD为研究对象 B 4m
4m
VA
MDA VDA
3 kNm
3、取BCD为研究对象
2 kN
B
A 2m
C
D
1m
1m
MBC
1m
MBC= -1 kNm，上侧 1
MBA
1、取整体为研究对象
VC=4 kN
HA=2 kN 2、取AB为研究对象 MBA= - 2 kNm ,右侧受拉
B
2 A
C
D
练习题 2kN/m
C
8kN
20kNm 2m
3、BC为悬臂部分 MBC= 4 kNm，左侧
20 kN/m
4m
VB
MCB
MCD=90
MCF=135
VF
3.基本部分的计算，为悬臂杆。
VB=135
ME=135×3=405 kNm,左侧受拉
4. 作出弯矩图。
90 90
405
135
45
[习题3] 作弯矩图，剪力图，轴力图。
1.取整体为研究对象， ∑MA=0 ，VC×94×5-2×5×2.5=0 ， 解得VC= 5 kN ， ∑Y=0，VA=5 kN ∑X=0，HA=8 kN 8 kN 4 kN 2 kN/m HA VA VC
结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架

结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架


YA
C
XC
YC
B
YB
XB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
C
l 2 l 2
解:1)取整体为隔离体
P
F
x
0, X B P()
A
MA
l 2 l 2
B
YB
XB
YA
2)取右部分为隔离体 l M C 0, X B l YB 2 0, YB 2P() Fy 0, YC YB 0, YC YB 2P()
l
XB
B
YB
C
E
XB
P B
N D
YB
C
E
N EF
XA
A
l l
D
l
F
3)取BCE为隔离体
YA
解:1)取BCE为隔离体 Fx 0, X B 0
M
C
0, P l YB l N EF l 0,
0, N CD 6 P()
F 0, X 0 F 0, Y Y
1 ql 2
ql 2
2ql 2
q
A B QAB QBA M A 0 QBA 11ql / 4
F
Y
0 Q AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l l ql
2l q
4l
2l
l
l ql
1 ql 2
内力计算的关键在于: 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算./ 2 ql ql
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
《静定梁与静定刚架》课件

《静定梁与静定刚架》课件

优化材料分布
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
结构力学章节习题及参考答案

结构力学章节习题及参考答案

(7)习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题2.1(6)图
习题2.2填空
(1)习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2)习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图
习题2.2(5)图
(6)习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题2.2(6)图
(7)习题2.2(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题2.2(7)图
习题2.3对习题2.3图所示各体系进行几何组成分析。
习题2.3图
第3章静定梁与静定刚架习题解答
习题7.2(4)图
习题9.3用力矩分配法计算习题7.3图所示连续梁，作弯矩图和剪力图，并求支座B的反力。
（1）（2）
习题7.3图
习题9.4用力矩分配法计算习题7.4图所示连续梁，作弯矩图。
（1）（2）
习题7.4图
习题9.5用力矩分配法计算习题7.5图所示刚架，作弯矩图。
（1）（2）
习题7.5图
第11章影响线及其应用习题解答
习题11.1是非判断题
(1)习题8.1(1)图示结构BC杆轴力的影响线应画在BC杆上。（ ）
习题8.1(1)图习题8.1(2)图
(2)习题8.1(2)图示梁的MC影响线、FQC影响线的形状如图（a）、（b）所示。
(3)习题8.1(3)图示结构，利用MC影响线求固定荷载FP1、FP2、FP3作用下MC的值，可用它们的合力FR来代替，即MC=FP1y1+FP2y2+FP3y3=FR 。( )
3,《结构力学》静定刚架

3,《结构力学》静定刚架


只有两杆汇交的刚结点，若结 点上无外力偶作用，则两杆端 弯矩必大小相等，且同侧受拉。
40
80
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
静定刚架内力的概念分析，除用到以上介 绍的三条知识点外，补充另两点：
1、计算刚架的水平反力。 2、刚结点满足力偶矩的平衡条件。
静定平面刚架(frame)
悬臂刚架
静
A
D
定
刚
简支刚架
架
B
C
三铰刚架
D
E
刚架--具有刚结点的由 直杆组成的结构。
有基、附关系的刚架
附属部分
基本部分
刚结点处的 变形特点
保持角度不变
超静定刚架
一个多余约束
三个多余约束
静定刚架的内力图绘制方法：
一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48
144
192
126
12
图示刚架的内力图 FQ (单位：kN . m)
48
144
192
126
12
42 kN
FN
48 kN
22 kN
例二、试作图示刚架的内力图
快速作
弯矩图
3F0Bx
求反力
40 FAy
80 FBy
静定的对称结构指：结构的几何尺寸、支 承情况关于某轴对应相同。
对称结构作用荷载可分解为;正对称荷载与 反对称荷载。
对称结构在正对称荷载作用下，弯矩图、 轴力图是正对称图形，剪力图是反对称图形。
结构力学3静定刚架

结构力学3静定刚架

（）
速绘弯矩图
Pa
P
a
2m/3 m/3
m m/3
m 2m/3
a
a
a
a
↑↑↑↑↑
P
Pa a
P Pa
a
qa2/2 l
a
a
P
m
m Pa/2
m
Oa
a
m
m/2 m
m/2a
a
Pa/2
m
m/2a
m
a
m/2
m/2
m/2
0
m/2a
a
a m/2
a
a
P
2Pa Pa
2P
0
Pa
a
a
a
Pa
a
2P
m
2Pa Pa
P
Pa P
h
E

D
B
2q A
2a 2a
4a
4）杆AB
N BA
M BA
B QBA
2q 14qa2
A 8qa
10qa
3)杆BE q
M BE

N BE
QBE 4a
8qa 2
M图NBBiblioteka = 10qa QBA = 0 M BA = 2qa2
x=0
NBE q 4a sin = 0
N BE
=
4qa
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q
2q
½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qL²
2q
↓↓↓↓↓
L
q
qL²
2m
2m
L
6q
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)

结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)

FNEC FNED 33.54 kN
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
结构力学-静定梁与静定刚架

结构力学-静定梁与静定刚架


A BC
D
130 210
E
F
140
340
280 M图（kN·m）
130 D
120
40
A B C 30
E
F
FS 图（kN）
190
26
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非 图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FS图，注意荷载与内力之间的微分 关系。
B (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
32
3) 作内力图。
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
33
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
x FxA A θ
FyA
q
l /cosθ
C qlcosθ
l
ql θ qlsinθ
1.荷载与内力之间的微分关系
qy
M FN
FS
o qx dx
M+dM x
FN+dFN
FS dFS
y
Fy 0, F SdS F qyd xF S0ddFxS q y .
MO 0, M M dM F Sd 2 xF SdF Sd 2 x0,
dM dxFS,
3）定点：求控制截面在全部荷载作用下的 M 值， 将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截 面间连以直线——基线。
4）连线叠加：对于各控制截面之间的直杆段，在 基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。
18
例3-1-1 作图示静定单跨梁的M图和FS图。
8kN

结构力学第3章静定梁与静定刚架(f)


§3-2 多跨静定梁
例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。
解：不算反力 先作弯矩图
1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。
§3-2 多跨静定梁
由弯矩与剪力的微分关系画剪力图
由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。
分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再 进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力 图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，
剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。
剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座 c— 的反力 弯矩—剪力 支座反力
§3-3 静定平面刚架
常见静定刚架的型式
悬臂刚 架
简支刚 架
三铰刚 架
§3-3 静定平面刚架
R FSR F E SD 8kN
FSR F 12kN
FSR B 0
§3-1 单跨静定梁
用截面法计算 控制截面弯矩。
MC 0
M A 20kN 1m 20kN m
M D 20kN 2m 58kN 1m 18kN m M E 20kN 3m 58kN 2m 30kN 1m 26kN m M F 12kN 2m 16kN m 10kN m 18kN m

结构力学


一、梁的弯曲内力
1.横截面上存在两种内力: 剪力FS: 相切于横截面的内力系的合力,作用线通过形心; 弯矩M: 垂直于横截面的内力系的合力偶,矩心为横截面形心;
a
A
F m B m
截面法：切、代、平
b
FA
l
FB
取左半边梁:
FS
A C
M
F B
M
C
0 : M FAb 0 0 : FA FS 0
ql 2
l
6.分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 16
B
1 ql 8
C
q
l/2
q
l/2
1 2 ql 16
l/2
q
1 2 ql 16
q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
练习: 分段叠加法作弯矩图
q
A B
l
C
1 2 ql 4
q
1 ql 2
ql
l l l
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
P
x dx
q(x) Q
p(x)
q(x)
px
Q+dQ N+dN M+dM
N M dx
dN p(x) dx dQ q(x) dx dM Q dx d 2M q(x) 2 d x
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为 斜直线。 （2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛 物线。其凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。（或接 住载荷雨） （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点； 集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。

结构力学——3静定结构的内力分析

x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
M图(kN·m) Mk
Mmax=32.4kn·N
qx2
MK=ME+QE x－ 2 =26+8×1.6－ 51
62
2
=32.4kN·m
返10回
§3—2 多跨静定梁
1.多跨静定梁的概念 若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础
相联而组成的结构。
2.多跨静定梁的特点: (1)几何组成上: 可分为基本部分和附属部分。
（5）校核: 内力图作出后应进行校核。
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
以例说明如下
返22回
E
20
20
75
45
0
例 3—7 绘制刚架的弯矩图。 解：
由刚架整体平衡条件 ∑X=0
得 ＦBＸ=5kN(←) 5kN 此时不需再求竖向反力便可
绘出弯矩图。 有：
40 30
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN·m（外）
MCD=20kN·m（外）
MB=0
MDB=30kN·m（外）

《结构力学》第三章 静定梁和静定刚架.


返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线
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∑X =0
∑Y = 0
∑MB = 0
QBA + 20 × 4 − 80 = 0
N BA − 20 = 0
M BA + 20 × 4 × 2 − 80 × 4 = 0
40 kN D B C 20 kN/m 4m
VB = 60
QBA = 0
N BA = 20kN
M BA = 160kN ⋅ m
NBA
160 kN·m B B 20 kN/m
1
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-3 静定平面刚架
2
单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的 基构件之一，其受力分析是各种结构受力分析 的基础。这里做简略的回顾和必要的补充。 1. 单跨静定梁的反力
常见的单跨静定梁有： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
§3—1 单跨静定梁
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
Mmax=32.4kn·N
=32.4kN·m
11
几种典型弯矩图和剪力图
P m q
l /2
l /2
l /2
l /2
ql 2
l
P 2
P 2
m l
m 2
ql 2
Pl 4
2、集中力矩作用点 、 M图有突变，力矩为 图有突变， 图有突变 顺时针向下突变； 顺时针向下突变； Q 图没有变化。 图没有变化。 另无外 力作用段M、 图为直线 力作用段 、Q图为直线
6
4. 利用叠加法作弯矩图
利用叠加法作弯矩图很方便,以例说明:
MA MB
L
（a）
A
MA
B
MB
（b） A ）
B
MB
从梁上任取一段 AB 其受力如（a）图 则它相当（b） 所示， 图所示的简支梁。 因此，梁段AB的弯 矩图可以按简支梁并 应用叠加法来绘制。
7
MA
+
2 qL 8
MB
MA
4。叠加法做弯矩图
0
+
M
ο
M =M +Mo
8
4kN·m
4kN
8kN·m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
（1）集中荷载作用下 ）
（1）悬臂段分布荷载作用下 ）
4kN·m 2kN·m
6kN·m
（2）集中力偶作用下 ）
4kN·m 2kN·m
（2）跨中集中力偶作用下 ）
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
6kN·m 4kN·m
9
4kN·m
2kN·m
例 3－1 作梁的 Q、M 图。
首先计算支反力 RA=58kN（↑） RB=12kN（↑） 作剪力图（简易法） 作弯矩图：
分为CA、AD 1.分段： 、DE、EF、FG、GB 六段。 2.定点:
MC=0 MA=－20kN·m MD=18kN·m ME=26kN·m MF=18kN·m MG左=6kN·m MG右=－4kN·m MB左=－16kN·m 10
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图 M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化 有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
↓
↑
5 利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如 集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
MA q MB
假定：在外荷载作用下，结构 假定 构件材料均处于线弹性阶段。
o YA
YBo
M M
ο
MA
MB
MA
M
MB
当梁上有多个荷载作用时，任 意截面的弯矩是各荷载单独作 用时的弯矩的代数和，以图形 表示即将各荷载单独作用时的 弯矩图竖标相叠加。
弯矩图上任意两点的连线到弯矩 图曲线间的竖距， 图曲线间的竖距，等于以这段梁 为简支梁时的弯矩 M 的数值
17
求内力基本方法： 求内力基本方法：截面法
材料力学规定： --拉力为正 材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 --绕隔离体顺时针方向转动者为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正 弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正 弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M FN FQ dx dx M+dM
FN+d FN FQ+dFQ
3.联线
几点说明：
K
RA 38 8
1.6m x
RB
1.作EF段的弯矩图 用简支梁叠加法 2.剪力等于零截面K 的位置 QK=QE－qx=8－5x=0 x=1.6m 3.K截面弯矩的计算 qx 2 MK=ME+QE x－ 2 2 5 ×1⋅ 6 =26+8×1.6－
2
Q图(kN)
K
20
12
M图(kN·m) (kN m) Mk
（1）悬臂刚架
（2）简支刚架
（3）三铰刚架
16
（1）首先计算支反力,一般支反力只有三个,由平衡 方程求得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。 （2）按“分段、定点、联线”的方法，逐个杆绘制内 力图。
3. 计算刚架内力的一般步骤:
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
↙ ↑
→ ↑
↙
3 反力只有三个，由静力学平衡方程求出。
在梁的横截面上,一般有三个内力分量:轴力N、剪 力Q、弯矩M。计算内力的基本方法是截面法(见图)。 其结论是： （1）N: 其数值等于该截 P1 P2 A ↙K ↘ B 面一侧所有外力沿截面法线方 向投影的代数和。 1 （2）Q:其数值等于该截面 H A P↙ M K A N 一侧所有外力沿截面切线方向 Q VA 投影的代数和。（左上右下为 正） （3）M: 其数值等于该截面一侧所有外力对截面 4 形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）
40
A M 图 (kN·m） ）
NBA
20 60 20
80
Q图（kN) 图
N图（kN) 图
22
计算简图
求反力
作弯矩图 求控制弯矩
23
作剪力图 求控制剪力
求控制轴力
作轴力图
24
m 2
ql 2 8
1、集中荷载作用点 、 M图有一尖角，荷载向 图有一尖角， 图有一尖角 下夹角亦向下； 下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 图有一突变， 向下突变亦向下。 向下突变亦向下。
3、均布荷载作用段 、 M图为抛物线，荷载向 图为抛物线， 图为抛物线 下曲线亦向下凸； 下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向 图为斜直线， 下直线由左向右下斜 12
内力图内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标---截面位置 --内力的值 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
18
结构力学规定
正
MAB A端 FNAB FQAB B端 端 FNBA FQBA
负
杆端内力
MBA
内力图 弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧， 弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需 --习惯绘在杆件受拉的一侧 标正负号 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧， --可绘在杆件的任一侧 轴力和剪 0 QBD = −20kN
D
∑MD = 0 M BD = 160kN ⋅ m
80 20
A 2m
2m
160
40
M图 图
NBA
D
B
160
160
MBA
B 20kN/m
QBA
20 4m 60
40
40
A M图 (kN·m） 图 ）
80
A
20
80
21
Q图（kN) 图
B
160
160
D
40
B 0
20
NBD
MBA
B
QBA
160
20 kN/m
4m
4m
40
HA = 80
VA = 20
A 2m (a)
80
A
20
A
A
20
2m
(b)
(c)
(d) M图 图
40kN
NBD
MBD
B 2m
160kN·m
40kN
B D
40kN D B 20kN/m C 4m 60
2m
D 60
Q BD
∑X =0 N BD = 0
B
2m
2m
解： ：
RA 38
RB
Q图(kN) 由∑MB=0, 8 有 RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0 12 得 RA=58kN（↑） 20 再由∑Y=0, 可得 20 RB MC=0,=20+30+5×4－58=12kN（↑） 16 MA=－20×1=－20kN·m (kN·m) 4 M图(kN MD=－20×2+58×1=18kN·m m) 0 M =－20×3+58×2－30×1=26kN·m E 5 × 42 6 MF=12×2－16+10=18kN·m = 10 8 MG左=12×1－16+10=6kN·m 18 18 MG右=12×1－16=－4kN·m MB左=－16kN·m 26