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3.1.2 函数的表示方法教学设计教 学 过 程知 识 师生活动设计意图一、小测检验（检测上节课所学内容）题目:画出下列函数.54;22--=-=x x y x y 二、新授课 （一）创设情景，启发思考 活动一 教材例题 表3.1-4是某校高一 （1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 表3.1-4 姓名 测试序号 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均分 8 .278.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.思考：可以用什么函数表示方法分析问题？解：从表3.1-4中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的 “成绩”与 “测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为６个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级教师展示题目，学生作答。
教师组织，学生思考。
学生口述，教师总结评价。
回忆上节课所学知识点。
建立联系。
通过具体例题，巩固函数表示方法的特征。
加深理解并巩固函数表示法特征。
（2）小王全年综合所得收入额为189６00元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8％，2％， 1％，9％，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是45６0元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步，根据②计算出应纳税所得额t ；第二步，由t 的值并根据表3.1-5得出相应的税率与速算扣除数；第三步，根据①计算出个税税额y 的值. 由于不同应纳税所得额t 对应不同的税率与速算扣除数，所以y 是t 的分段函数.解：（1）根据表3.1-5，可得函数y ＝f （t ）的解析式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<-≤<-≤<-≤<-≤≤=.960000,18192045.0,960000660000,8592035.0,660000420000,529203.0,420000300000,3192025.0,300000144000,169202.0,14400036000,25201.0,360000,03.0t t t t t t t t t t t t t t y 函数图象如图3.1-7所示.教师引导并口述思路，学生自主作答。
函数的三种表示方法函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种特殊的关系，即对于每一个自变量，都有唯一确定的因变量与之对应。
在数学中，函数的表示方法有很多种，本文将介绍函数的三种表示方法，显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
首先，我们来看显式表示法。
显式表示法是指通过一个公式或者表达式来明确地表示函数。
例如，对于函数y = 2x + 3，这就是一个显式表示的函数。
在这个表示方法中，我们可以直接通过公式或者表达式来求解函数的值，而不需要进行其他的转换或者计算。
其次，我们来介绍参数方程表示法。
参数方程表示法是一种将自变量用参数表示的函数表示方法。
通常情况下，参数方程表示法常常用于描述曲线或者曲面。
例如，对于二维平面上的一条曲线，可以用参数方程表示为x = f(t)，y = g(t)，其中t为参数。
通过参数方程表示法，我们可以更加直观地描述曲线的形状和特征。
最后，我们来讨论隐式表示法。
隐式表示法是一种将自变量和因变量之间的关系用方程式表示的函数表示方法。
在隐式表示法中，通常会出现方程中同时包含自变量和因变量的情况，例如x^2 + y^2 = 1。
通过这种表示方法，我们可以描述一些复杂的函数关系，例如圆、椭圆等。
综上所述，函数的三种表示方法分别是显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
每种表示方法都有其适用的场景和特点，我们可以根据具体的问题和需求来选择合适的表示方法。
通过灵活运用这三种表示方法，我们可以更加深入地理解和应用函数的概念，为数学建模和问题求解提供更多的可能性。
希望本文的介绍能够帮助读者更加清晰地理解函数的表示方法，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
分段函数Q 情景引入ing jing yin ru某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A 为1，J 为11，Q 为12，K 为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？分段函数所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．[知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．预习自测1．函数y ＝|x |的图象是( B )[解析] 因为y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，所以B 选项正确．2．y ＝f (x )的图象如图所示，则函数的定义域是( D )A ．[－5,6)B ．[－5,0]∪[2,6]C ．[－5,0)∪[2,6)D ．[－5,0]∪[2,6)[解析] 根据分段函数定义域的确定原则：将每一段上函数的自变量的范围取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( B )A ．1B ．0C ．－1D ．π[解析] 由题设，g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，3，x ＝0，2x ＋3，x ＜0，求f (f (12))的值.[解析] f (12)＝12×2－3＝－2，f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f (f (12))＝f (－2)＝－1.命题方向1 ⇨分段函数的求值问题 典例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (－4)，f (3)，f [f (－2)]； (2)若f (a )＝10，求a 的值.[思路分析] 分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值． [解析] (1)f (－4)＝－4＋2＝－2， f (3)＝2×3＝6，f (－2)＝－2＋2＝0， f [f (－2)]＝f (0)＝02＝0.(2)当a ≤－1时，a ＋2＝10，可得a ＝8，不符合题意； 当－1<a <2时，a 2＝10，可得a ＝±10，不符合题意； 当a ≥2时，2a ＝10，可得a ＝5，符合题意； 综上可知，a ＝5.『规律方法』 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值． 〔跟踪练习1〕已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >10，f [f (x ＋5)]，x ≤10，则f (5)的值是( A )A ．24B ．21C ．18D ．16[解析] f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24. 命题方向2 ⇨分段函数与不等式的应用 典例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范是__(－∞，－3)__.[思路分析]解不等式f (a )<－3需先求f (a )的值―→讨论a 落在分段函数的哪一段上―→解得a 的取值范围[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a <－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2<a <4时，f (a )＝a ＋1<－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a <－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)．『规律方法』 解决分段函数与不等式的问题，应分段利用函数解析式求得自变量的取值范围，最后再将每段中求得的范围取并集，即可得到所求自变量的取值集合．〔跟踪练习2〕已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <0，1，x ≥0，则不等式xf (x －1)≤1的解集为( A )A ．[－1,1]B ．[－1,2]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)[解析] 当x －1<0，即x <1时，f (x －1)＝－1， ∴xf (x －1)＝－x ≤1，∴x ≥－1， ∴－1≤x <1.当x －1≥0，即x ≥1时， f (x －1)＝1，∴xf (x －1)＝x ≤1， 又∵x ≥1，∴x ＝1.综上可知，－1≤x ≤1，故选A ． 命题方向3 ⇨分段函数的图象及应用 典例3 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．[解析] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．『规律方法』 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．〔跟踪练习3〕已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1，x 2－2x ，x ≥1.(1)画出函数的图象； (2)若f (x )＝1，求x 的值． [解析] (1)函数图象如图所示．(2)由f (x )＝1和函数图象综合判断可知，当x ∈(－∞，1)时，得f (x )＝－2x ＋1＝1，解得x ＝0；当x ∈[1，＋∞)时，得f (x )＝x 2－2x ＝1，解得x ＝1＋2或x ＝1－2(舍去)． 综上可知x 的值为0或1＋2 分段函数概念的理解错误.典例4 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≥0)x (x <0)的定义域.[错解] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2－1，x <0时，f (x )＝x ， ∴当x ≥0时，f (x )的定义域为[0，＋∞)， 当x <0时，f (x )的定义域为(－∞，0)．[错因分析] 错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≤0)x (x <0)是两个函数．[正解] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，∴函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．典例5 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )； (2)画出y ＝f (x )的图象；(3)若△APB 的面积不小于2，求x 的取值范围． [思路分析] (1)点P 位置不同△ABP 的形状一样吗？ (2)注意该函数的定义域．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤4)8 (4<x ≤8)2(12－x ) (8<x ≤12).(2)y ＝f (x )的图象如图所示．(3)即f (x )≥2，当0≤x ≤4时，2x ≥2，∴x ≥1，当8<x ≤12时，2(12－x )≥2， ∴x ≤11，∴x 的取值范围是1≤x ≤11.[点评] (3)可以作直线y ＝2与函数y ＝f (x )的图象交于点A (1,2)，B (11,2)，要使y ≥2，应有1≤x ≤11.『规律方法』 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言． (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．1．已知函数已知f (1)＝0，且对任意n ∈N *，都有f (n ＋1)＝f (n )＋3，则f (3)＝( C ) A ．0 B ．3 C ．6D ．9[解析] f (3)＝f (2)＋3＝f (1)＋6＝6.2．在下列的四个图象中，是函数f (x )＝x|x |的图象的是( C )3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(x ≤－1)x 2，(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为( D )A ．1B ．1或 3C ．32D ． 34．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1(x ≥0)|x |(x <0)，且f (x 0)＝3，则实数x 0＝__－3或1__.[解析] 当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3， ∴x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝|x 0|＝3， ∴x 0＝±3， 又∵x 0<0， ∴x 0＝－3.一、选择题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≥0)1(x <0)，则f [f (－1)]＝( A )A ．3B ．1C ．0D ．－1[解析] ∵x <0时，f (x )＝1， ∴f (－1)＝1，∴f [f (－1)]＝f (1)， 又∵x ≥0时，f (x )＝x ＋2， ∴f (1)＝1＋2＝3.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)x 2＋x －2(x >1)，则f [1f (2)]的值为( A )A ．1516B ．－2716C ．89D ．18[解析] ∵x >1时，f (x )＝x 2＋x －2， ∴f (2)＝22＋2－2＝4， ∴1f (2)＝14∴f [1f (2)]＝f (14)，又∵x ≤1时，f (x )＝1－x 2， ∴f (14)＝1－(14)2＝1－116＝1516，故选A ．3．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km 价为1.8元(不足1 km 按1 km 计价)，则乘坐出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为下列图中的( B )[解析] 由已知得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(0<x ≤3)5＋[x －3]×1.8(x >3).故选B ．4．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x >0)0(x ＝0)－1(x <0)，则( D )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析] 当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x ，故选D ．5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，x ，x ＜0，φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x ＜0，则当x ＜0时，f [φ(x )]( B )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2[解析] x ＜0时，φ(x )＝－x 2＜0，∴f (φ(x ))＝－x 2.6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( D )[解析] ∵纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，∴当t ＝0时，纵坐标表示家到学校的距离，不能为零，故排除A ，C ；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，∴刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D ．二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，x ∉[－1，1]，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是__{2}∪[－1,1]__.[解析] 设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解，当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2即－1≤x ≤1或x ＝2.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__{x |x ≤1}__.[解析] 当x ≥0时，f (x )＝1，由xf (x )＋x ≤2，知x ≤1，∴0≤x ≤1； 当x ＜0时，f (x )＝0，∴x ＜0. 综上，不等式的解集为{x |x ≤1}． 三、解答题9．若方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根，求m 的取值范围.[解析] 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.作其图象，如图所示由图可知1<m <5.10．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左向右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左侧部分的面积y 关于x 的函数解析式.[解析] 如图所示，过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝22cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. 当点F 在BG 上时，即x ∈(0,2]时，y ＝12x 2；当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时， y ＝12×2×2＋2(x －2)＝2x －2； 当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈(0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].。
函数的表示法（第2课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容实际问题中的函数表示.2.内容解析数学教育的终极目标是让学生：会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界.其中“会用数学的语言表达世界”体现的是数学的应用价值，即利用数学模型解决实际问题.通过第1课时的学习，学生已基本掌握了函数的三种表示法及其特点，并且初步体会了在具体的问题（分段函数）中如何选择适当的表示法解决数学问题.那么，如何选择适当的表示法解决实际问题呢？通过本节课的学习，学生应有所体会.在本节课中不仅可以进一步研究函数本身，将实际问题数学化，应用函数解决实际问题，而且可以加深对函数概念的理解，学会比较选择最优解法.例7是关于数学成绩的问题，贴近学生生活，体现了列表法向图象法的转化，通过对三名同学成绩的简单分析，学生可进一步体会图象法的直观性，可提倡学生用科学的方法看待自身成绩.例8是2019年国家热点问题——个税的新计算方式.函数以列表法给出，可通过对条件的分析，转化成解析法和图象法，体现了分段函数的应用价值.基于以上分析，确定本节课的教学重点：选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.二、目标和目标解析1.目标选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.2.目标解析达成上述目标的标志是：学生会正确选择合适的表示法解决教科书例7、例8所示的问题，结合例7，例8的学习，初步体会建立函数模型解决实际问题的过程，发展数学建模素养。
三、教学问题诊断分析经过义务教育阶段的数学学习，学生对具体数学知识和问题的求解比较熟悉，而解决带有情境的实际问题的能力相对欠缺，于是新版教材专门对前版教材结构进行了调整，搭建了两个与学生密切相关、应用性很强的实际问题情境，对其进行合理分析，培养学生选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系的能力.对于例7，可能有的同学觉得表3.1-4包含了三名同学的6次成绩数据，已经很直观了，教师可进行相应解释：列表法虽然具有“不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值”的优点，但是不利于发现每位同学的成绩变化情况，以及与班级平均分的关系，换句话说仍然不够直观.学生一般可自然想到更加直观的表示方式——图象法.但是当学生们在同一直角坐标系中画出了三位同学6次成绩及班级6次平均分共24个散点时，问题随之而来——无法区分每个散点数据属于哪个学生，其直观性更是无从谈起.于是教师可进行相应引导：为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接.在此基础上，可进一步引导学生对三名同学的数学学习情况进行分析.对于例8，学生首先面对的问题就是对题目的理解.带有情境的实际问题往往篇幅略长，因此需要给学生充足的时间读懂题目，明确研究对象，理清题中变量间的关系，是解决问题的前提和保障.之后就需要依据题目建立适当的数学模型，解决问题.本题是分段函数模型，每一段都是一次函数，相对简单，但要注意分段时自变量取值的原则——不重不漏.四、教学支持条件分析本节课的教学重点是选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具做出函数图象，用图象法表示函数，对问题进行直观分析.五、教学过程设计引导语：对于一个具体的问题，如果涉及函数，你会选择恰当的方法表示问题中的函数关系吗？这节课我们通过两个实例来做相关研究.（一）实际问题问题1：表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.你能直接通过表3.1-4对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析吗？师生活动：教师给出问题后让学生先简单独立思考并尝试写出结论，大部分同学无法直接通过表3.1-4所给数据分析这三位同学在高一学年的数学学习情况.如有个别同学提出可以，教师可提醒：表3.1-4不太容易分析每位同学的成绩变化情况，不够直观，因而会制约结论的形成.追问：你选择哪种表示法分析这三位同学在高一学年的数学学习情况？为什么？学生会首先想到图象法.教师让学生在同一直角坐标系中画出与表3.1-4所对应的函数图象，并让学生尝试利用图象得出结论.面对毫无规律的24个散点，学生基本没有头绪.此时教师可做适当引导：为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接.并用多媒体展示教科书第70页图3.1-6，然后让学生分组讨论，分享自己眼中的结论.最后教师找几位学生代表回答与补充，得出结论.设计意图：问题1是架设学生熟悉的数学成绩情境，引导学生直接通过列表法无法直观的看出学生成绩的变化情况，不要直接利用表格做出一些并不准确的结论，而应另寻他法；追问是为了启发学生主动选择更加直观的图象法解决问题，培养从列表法转到图象法表示函数的能力.正确合理地做出图象，问题就解决了一半.问题2：（教科书第71页练习1）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.师生活动：教师可在多媒体上展示问题，让学生独立完成，然后找学生回答.对于选项C，可给出参考：我从家出发后，发现时间还早，于是慢慢放缓了脚步.设计意图：培养学生将实际情境转化成数学图象的能力，训练思维与表达能力.问题3：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数. ①应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除. ②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元.税率与速算扣除数见表3.1-5.（1）设全年应纳税所得额为应缴纳个税税额为你能求出y=f（t）并画出图象吗？（2）小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？师生活动：给学生充足的时间阅读题目，理清计算应缴纳个税税额的计算步骤.之后可将教科书第71页前三行用PPT展示，帮助学生了解解题脉络.（1）教师用PPT展示个税计算公式及表3.1-5，给学生适当时间阅读思考.之后可进行如下追问.追问：由表3.1-5第二列，你认为y=f（t）是什么函数？学生基本都可回答出是分段函数.教师可板书y=f（t）的前两段，带领学生感受求解析式的过程，后几段可让学生自己完成，注意提示最后写成分段函数的规范形式（大括号、范围不重不漏），并让学生自己画出相应图象，之后可利用多媒体将学生代表的图象放到屏幕上展示，最终确定正确结果.（2）利用之前明确的计算步骤，结合第（1）问的解析式，让学生自己解决剩余问题.设计意图：帮助学生读懂题目，提高学生的数学阅读能力，以及将实际问题数学化的能力；引导学生将表3.1-5的函数表示方式转化成解析式的方式，建立多元表示之间的联系。
3.1.2函数的表示法课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下.可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样姓理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程.课程目标1、明确函数的三种表示方法；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数:3,通过具体实例，了解简单的分段函数.并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式：3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
重点：函数的三种表示方法•分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数•什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象.教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学•精讲多练。
教学工具：多媒体。
一，情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法.图像法.解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言.教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的留象？要求：学生独立完成•以小组为单位•组内可商星，最终选出代表回答问题。
1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．对点讲练分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a .)＝3，求a . 的值．分析 本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能范围逐段进行讨论． 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a .≤－1时，f (a .)＝a .＋2，又f (a .)＝3，∴a .＝1(舍去)；当－1<a .<2时，f (a .)＝a .2，又f (a .)＝3，∴a .＝±3，其中负值舍去，∴a .＝3；当a .≥2时，f (a .)＝2a .，又f (a .)＝3， ∴a .＝32(舍去)．综上所述，a .＝ 3.规律方法 对于f (a .)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a . 所在范围有关，因此要对a .进行讨论．由此我们可以看到： (1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0)，若f (a .)>a .，则实数a .的取值范围是________．答案 a .<－1解析 当a .≥0时，f (a .)＝12a .－1，解12a .－1>a .，得a .<－2与a .≥0矛盾，当a .<0时，f (a .)＝1a ，解1a>a .，得a .<－1.∴a .<－1.分段函数的图象及应用【例2】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1| (x <1)－x ＋3 (x ≥1)，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y ＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．映射概念及运用【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x 为正实数}，B={y|y ∈R[}，f ：x →y=±x（2）A=R ，B={0，1},对应关系f ：x,→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x<0；（3）A=Z ，B=Q ，对应关系f ：x →y=1x；（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应， ∴是映射．(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应，故不是映射． (4)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A 中的 每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可． 变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A=R ，B=R,f:x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{a.|a.＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N ＋，f ：a.→b ＝1a；(3)A=[)0,+∞,B=R ，f:x→y 2＝x ；(4)A ＝{x|x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x|x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：(1)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集．课时作业一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝N *，f ：a .→b ＝(a .＋1)2D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ． f:x→y ＝12x B. f:x→y ＝13xC. f:x→y ＝14xD. f:x→y ＝16x答案 A由f:x →y ＝12x ，集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2}，故选项A 不是映射．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题意知f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]等于( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2 答案 B解析 当x <0时，g (x )＝－x 2<0， ∴f [g (x )]＝－x 2. 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．答案 π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤2，∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x <3)的图象． 解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)、(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).【探究驿站】9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1， 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)，若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1， 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3， 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
函数的表示法
学习任务：阅读课本19--22页至例7，并解决下列问题。
1、函数的三种表示法是什么？举例说明。
2、本节例3的图象为什么不是一条直线？回答P 20思考。
3、由例5总结，画绝对值函数图象的方法是什么？做P 23 3
4、由例6思考：分段函数解析式的特点。
必做题：P 23 1、2、 P 24 7.8.9.
试一试：
1、画出下列函数的图像,并求出函数的值域.
)30(,342)(2<≤--=x x x x f 2.⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<≤-=)5(4)52(1
)
2(1)(x x x x x x f ,则f(6)= ________,f(f(3)) =_________ 3. 函数|1|y x =-的图象是（ ）
.
A. B. C. D.
4. 设22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩
≤≥，若()3f x =，则x =（ ）
A. 1
B. 3±
C.
32
D. 3 5.(1)已知f （x ）是一次函数，其图像过点A(-2,-1),B(1,5),求f （x ）的解析式 (2) 已知f(x-1)=232
+-x x ,求f(x+1)的解析式
6. 动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动一周，设沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式，并画出函数的图象.
7. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式费用分别为12,y y （元）.
（1）写出12,y y 与x 之间的函数关系式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？。
