高中数学 第三章 用数形结合法解一元二次不等式要点解读素材 北师大版必修5

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．( × ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × ) (4)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ )
1．不等式组x32x－－1x＜2＞0， 0 的解集是(
)
A．(－1，1)
B．(0，3)
C．(0，1)
D．(－1，3)
解析：选 C.x32x－－1x＜2＞0， 0 ⇒xx22－ －13＜ x＜0， 0 ⇒－ 0＜1＜ x＜x＜ 3 1，⇒0＜x＜ 1.
2．函数 y＝ 7－61x－x2的定义域为(
与 m 是方程 ax2－6x＋a2＝0 的根．
则1＋m＝6a，即 m＝a，
1＋m＝m6 .
所以 m2＋m－6＝0，解得 m＝－3 或 m＝2，
当 m＝－3 时，a＝m<0(舍去)，故 m＝2.
(2)由 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}知 a>0，且－2，4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两实根， 所以－－22＋×44＝＝a－c，ba， 可得bc＝＝－－82aa，， 所以 f(x)＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)．
3.(1)若关于 x 的不等式 ax2－6x＋a2<0 的非 空解集为{x|1<x<m}，则 m＝________． (2)如果 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}，那么对于函 数 f(x)＝ax2＋bx＋c，f(－1)，f(2)，f(5)的大小关系是________．

x2
x
x


b
2a

ax2 bx c 0
(a 0)的解集 x x1 x x 2

0
无实根
R

例题讲解（已知不等式解集，求参数）
例4. 已知不等式 x2 + ax + b < 0的解集为 {x | 1 x 1},
试求a,b的值.
32
解：由一元二次方程的解和一元二次不等式解集的
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启发引导 形成结论
△=b2- 4ac
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0）的 x1
x2
图象
对应二次方程 的根
x1, x2( x1 x2 )
b x1 = x2 = - 2a
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x
x

x1或x
一元二次不等式解的端点值是函数图像与x轴 交点的横坐标也是对于二次方程的解。
思考•交流•总结
1.“三个二次”有怎样的关系？
y = ax2 + bx + c与x轴交点横坐标x1, x2
ax2 + bx + c = 0 的解x1, x2
ax2 + bx + c < 0的解集 {x|x1< x < x2}端点值
y=h(x)
o
x
R
o
-3
x o
-1
4x
x 3 x 0
x x 4或x 1
湖南省长沙市一中卫星远程学校
当堂训练 巩固深化
练习2：解下列不等式：

①(－∞，0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2，＋∞)．
提示：①f(x)＜0；②f(x)＞0；③f(x)＜0；④f(x)＞0.
高次不等式的解法
对于形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0(＜0)的不等式，可
以把函数f(x)的图像与x轴的交点形象地看成“ 针眼 ”， 函数f(x)的图像看成“ 线 ”，穿线后观察图像得到不等式 解集的方法称为 穿针引线法 ．
于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车
的车速超过40 km/h，超过规定限速．综上所述，甲车无 超速现象，而乙车有超速现象．
8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成
本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品 档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增 加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比 例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
母的正负进行讨论．
2．应用一元二次不等式解决实际问题 的关键是把实际问题转化为数学模型，解
不等式时，要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意变量的实际意义．
答案：(－4,2)
x＋1 3．解不等式 ≤2. x－2
x＋1 解：法一：移项得 －2≤0， x－2 左边通分并化简得 －x＋5 x－5 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
x－2x－5≥0， 可转化为 x－2≠0
∴x＜2 或 x≥5， ∴原不等式的解集为{x|x＜2，或 x≥5}．
[一点通]
一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法
求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；

3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得： ，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ， 解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0） 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ； 当a<0时图象开口 向下 ； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ； 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0， 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜

法二：如图令 f(x)＝x2－2x＋m，f(x)＜ 0 对任意 x∈[1,2]恒成立，
f1＜0 ， －1＋m＜0， 即 即 ⇔m＜0. f2＜0 m＜0
答案：(－∞，0)
4x＋m 3．若关于 x 的不等式 2 ＜2 对任意实数 x 恒成立， x －2x＋3 求实数 m 的取值范围．
成立) 的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；
a＞0， 时， Δ＜ 0
当 a≠0
2．不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是 R(或恒成立) 的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0； 当 a≠0
a＜0， 时， Δ＜ 0
3．恒成立的问题也可以用等价转化的思想解决： f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立 ⇔[f(x)]min≥a.
2.1
第 三 章 不 等 式 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法
第二 课时 一元 二次 不等 式解 法的 应用
考点一 把握热点考向 考点二
应用创新演练
§2 2．1
一元二次不等式 一元二次不等式的解法
第二课时
一元二次不等式解法的应用
[例1]
(2012· 聊城高二检测)关于x的不等式(a2－1)x2－
(2)若 a2－1≠0，即 a≠± 1 时，原不等式解集为 R 的
2 a －1＜0， 条件是 2 2 Δ ＝ a － 1 ＋ 4 a －1＜0，
3 解得－ ＜a＜1. 5 3 综上所述，当－ ＜a≤1 时，原不等式解集为 R. 5
[一点通]
1.不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是 R(或恒
[例2]Байду номын сангаас
(12分)已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两

没有实数根
ax2＋bx＋c
＞0 (a＞0) 的解集 {x|x＜x1或x＞x2}
R
Δ＝b2－ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
Δ＞0
Δ＝0 ∅
Δ＜0 ∅
{x|x1＜x＜x2}
1．从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋
c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图 像在x轴下方的点的横坐标x的集合． 2．解一元二次不等式，要先把二次项系数化为正 数，再根据判别式的符号确定相应的方程有无实根，最
(3)原不等式可化为x(x－7)＜0， 方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，
x2＝7，
函数y＝x(x－7)的图像是开口向 上的抛物线，与x轴有两个交点(0,0)， (7,0)(如图(3))． 观察图像可得，不等式的解集为
{x|0＜x＜7}．
(4)原不等式可化为 9x2－13＞0， 13 x － ＞0， 9
1 b 法二：由已知得 a＜0 且(－ )＋2＝－a， 3 1 c (－ )×2＝a，所以 c＞ 3 (3 分)
设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝c ， (4 分)
b －a a 1 b 其中 c＝ ，－c ＝－ c 1 － × 2 a 3 1 － ＋ 2 3 1 1 ＝ ＝ ＋ ， 1 1 2 － × 2 － 3 3 1 1 所以 x1＝ ＝－3，x2＝ . 1 2 － 3 1 所以不等式 cx2＋bx＋a＜0 的解集为{x|－3＜x＜ }． 2
1 1 1 1 解：由 ax ＋2x＋c＞0 的解集为(－ ， )知 a＜0，－ ， 3 2 3 2

一元二次不等式解法的启示——数形结合解不等式相信同学们都熟知，在教材中有一个图表，这个图表深刻地揭示了：一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及一元二次函数的图像三者的密切关系。

对这个图表，很多老师可能就是要求同学们熟记其中的结论而没有更多的指导，因此同学们也就机械地进行硬背这个图表的结论。

然而没有理解又怎么能记得牢固呢？也很少同学会从这种利用二次方程的根及二次函数的图像来解一元二次不等式的方法中得到什么启示。

我认为在这个图表中，我们的重点应该是看二次函数的图像：在图（1）中函数的图像被x 轴分成两部分：在x 轴上方即0>y 对应着1x x <或2x x >，在x 轴下方即0<y 对应着21x x x <<；因此由图像直观地有一元二次不等式（0>a ）02>++=c bx ax y 的解为1x x <或2x x >，而不等式（0>a ）02<++=c bx ax y 的解为21x x x <<。

在另两个图中情况类似。

如果我们把x 轴看成函数0=y ，R x ∈，那么就可以从上面这种一元二次不等式的解法得到启示，并把这种方法推广用到解其它的不等式中去。

即一般地有：在同一直角坐标系中，画出两个函数)(11x f y =和)(22x f y =的图像，则①两图像的交点的x 坐标就是方程)()(21x f x f =的解，其中有几个交点就有几个解，没有交点就没有解；②在某些区间内均有)(11x f y =的图像在)(22x f y =的上（下）方，那么这些区间就是不等式)()(21x f x f >（或)()(21x f x f <）的解。

下面我们来看几个例子：例1、解不等式652>+-x x 。

解：易知方程652=+-x x 的解为21=x ，32=x又函数x x y 521+-=和函数62=y 的图像草图如图（2）则直观地有原不等式的解为32<<x 。

的根
x1, x2 (x1<x2)
x1

x2


b 2a
ax2

bx c 0(a
的解集

0)
x
|
x

x1,或x

x2
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
x | x1 x x2
x
|
x


b 2a


没有实根
R

例1.解不等式
2x2

3x

2

0.
(1)x2－5x <14；
{x|－2<x<7}
(2)－x2＋4x >6.

2．函数 f (x) x2 x 2的定义域是( A )
A．{x|x≤－2，或x≥1};
B．{x|－2<x<1}; C．{x|－2≤x≤1} ;
D．∅.
解一元二次不等式的一般步骤：
（1）将不等式化为标准形式
ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0 ；
思考3 我们是怎样找到一元二次不等式的解的呢？
一元二次方程的根 二次函数的图象
一元二次不等式的解
身手小试 找一找不等式 x2 x 6 0 的解集.
探究 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0的解法.
一元二次不等式的解
y
0
二次函数的图象与x轴的交点
因为= -22 413 8 0,
所以方程x2 2x 3=0无实根.
所以，原不等式的解集为.
什么情况下准备的树苗会有剩余？

反思解一元二次不等式,当二次项系数为负时,通常转化为二次项 系数为正的情形.正确计算判别式“Δ”的值,若Δ≥0,解出方程的根, 画出相应二次函数的图像,根据图像求一元二次不等式的解集.
-12-
第1课时 一元二次不等式及其解集
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
1
1 3
解析:因为 Δ=62-4×9×1=0, 1 2 方程 9x +6x+1=0 的根为 x1=x2=− , 3 1 所以原不等式的解集为 - . 3 答案:D
-8-
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IANLITOUXI
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S随堂演练
UITANGYANLIAN
解: (1)因为 Δ=72-4×2×4>0,所以方程 2x2+7x+4=0 有两个实数 根 x1 =
-7- 17 4
,x2 =
-7+ 17 4
.
二次函数 y=2x2+7x+4 的图像如图所示. 所以原不等式的解集为 ������ ������ >
-11-
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解法二 :原不等式可化为 x2-8x+3<0. 因为 Δ=(-8)2-4×1×3> 0,所以方程 x2-8x+3=0 有两个实数根 x1=4− 13, ������2 = 4 + 13. 二次函数 y=x2-8x+3 的图像如图所示 . 所以原不等式的解集为 {x|4− 13 < ������ < 4 + 13}.

Δ<0. 3．用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式
问题；
(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．
|自我尝试|
1．不等式3xx＋＋16>0的解集是(
)
A．{x|－2<x<－1}
B．{x|x≤－2或x>－1}
(2)gfxx⇔f(x)·g(x)<0；
(3)gfxx≥0⇔fgxx·≠gx0；≥0， (4)gfxx≤0⇔fgxx·≠gx0.≤0，
2．一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且 Δ<0；一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且
【解析】 (1)每辆车投入成本增加的比例为x，
则每辆车投入成本为1×(1＋x)万元，出厂价为1.2×(1＋0.75x)
万元，年销量为1 000×(1＋0.6x)辆．
≥0⇔
2x－13x＋1≥0， 3x＋1≠0
⇔
x≤－31或x≥12， x≠－13
⇔x<－13或x≥12.
所以原不等式的解集为xx<－13或x≥12

.

(2)原不等式可化为
x＋3>0， 2－x>x＋3

或
x＋3<0， 2－x<x＋3
跟踪训练 2 若关于x的不等式ax2＋(2a－1)x＋a－2≤0对任意 x∈R恒成立，求a的取值范围．
解析：①若a＝0，不等式化为－x－2≤0不能对x∈R恒成立； ②若a≠0，则有a<0时，应有Δ≤0， 即a2<a0－12－4aa－2≤0， 解得a≤－14. 综上，要使不等式对x∈R恒成立，a的取值范围是 －∞，－14.

fx·gx≤0， gx≠0 ；
fx (3) gx
≥a⇔
fx－agx gx
≥0.
6
知识点二 穿针引线法解高次不等式
思考
分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的 图 像 ， 并 观 察 它 们 与 相 应 的 x － 1>0 ， (x － 1)(x － 2)>0 ， (x － 1)(x－2)(x－3)>0的关系. 答案
13
பைடு நூலகம்
反思与感悟
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准 确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应 注意变量具有的“实际含义”.
15
跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车 距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲，乙两种车型的 刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2， S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任. 解答
10
梳理
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴 上 方.区间[a，b]是不等式f(x)>0的 解集的子集 . 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： 若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立⇔k≥ f(x)max ； 若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立⇔k≤ f(x)min .
x－3 (1)x＋2<0； 解答 x－3 x＋2 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.

(3)x

2 3

x

1 2
,
(4)x k x k 1
(4)( x k )( x k 1) 0
2.已知集合A x x2 3x 18 0 ,
B x ( x k )( x k 1) 0，
若A B ，求k的取值范围。 若A B 呢？
随堂练习
3.若0 a 1,则不等式（x a)( x 1 ) 0 a
的解集是C （）。
A.(a, 1 ) a
B.( 1 , a) a
C.(, a) ( 1 ,) a
D.(, 1 ) (a,) a
作业布置:
上交作业
课本P87 5,（ 7 2）（4）（6）
课外思考题
。 不同。它是分析交通事故的一个重要数据
问题设置
甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道 限制车速在40km/h以内，由于突发情况，两车相撞了。 交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m,乙车 的刹车距离刚刚超过了10m,又知这两辆汽车的刹车距s(m) 与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：
若不等式ax2 bx c 0的
x 3 x 4，求不等式
bx2 2ax c 3b 0的解集。
• 1 一元二次不等式的概念、一般形式 • 2 三个二次之间的关系 • 数学思想: （1）类比思想； • (2)数形结合的思想； （3）分类讨论的思想. 4 解一元二次不等式的步骤
求出方程ax2+bx+c=0 的实根;
(3) 画 图 ： 画 出 函 数 y=ax2+bx+c
(a>0)的图像

一元二次不等式的解法教学目标教学知识点会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.简单分式不等式求解.能力训练要求通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力.通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力.德育渗透目标通过问题求解过程，渗透..教学重点一元二次不等式求解.教学难点将已知不等式等价转化成合理变形式子.教学方法创造教学法为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破.教学过程Ⅰ 课题导入一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.一元二次不等式的解法.数形结合思想运用.Ⅱ 新课讲授1.一元二次不等式(x+a)(x+b)<0的解法:首先我们来观察这个不等式(x+4)(x-1)<0的特点，以不等式两边来观察. 特点：左边是两个x 一次因式的积，右边是0.思考：依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式？ 不等式(x+4)(x-1)<0可以实现转化，可转化成一次不等式组：与 注意：不等式(x+4)(x-1)<0的解集是上面不等式组解集的并集.x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x-1<0x+a x+b x-3x+7一元二次不等式(x+4)(x-1)<0的解法：解：将(x+4)(x-1)<0转化为与 由 x| ={x|-4<x<-1} =φ 得原不等式的解集是{x|-4<x<1}∪φ ={x|-4<x<1}步骤：从上可看出一般形式(x+a)(x+b)<0解的步骤： 将所解不等式转化为一次不等式组,求其解集的并集，即为所求不等式的解. 通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法, [例] 求解下列不等式.x2-3x-4>0解：将x2-3x-4>0分解为(x-4)(x+1)>0转化为 与 由 x|x ={x|-4<x<1} 由 x|x =φ原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-1}={x|x<-1或x>4}2、x(x-2)>8解：将x(x-2)>8变形为x2-2x-8>0化成积的形式为(x-4)(x+2)>0x| ={x|x>4} x| ={x|x<-2}原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-2} ={x|x<-2或x>4}说明：问题解决的关键在于通过正确因式分解,将不等号左端化成两个一次因式积的形式.2.分式不等式 >0的解法 x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x-1<0 x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x-1<0 x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x+4>0 x-1<0 x+4>0 x-1<0 x-4>0 x+2>0 x-4<0 x+2<0x+a x+b x-3 x+7 x+a x+b x-3 x+7 a b 2 x 2 3 2 3 2 x 比较 〈0与(x-3)(x+7)<0与的解集思考： 〈0与(x-3)(x+7)<0的解集，是否相同.它们都可化为一次不等式组与[例5] 解不等式 <0解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是 >0 ab>0 <0 ab<0 解：这个不等式解集是不等式组与 的解集的并集. 由x ={x|-7<x<3} x| =φ得原不等式的解集是{x|-7<x<3}∪φ={x|-7<x<3}由些得出不等式 >0的解法同(x+a)(x+b)>0的解法相同. [例] 求不等式3+ <0.解：3+ <0可变形为 <0.转化为（3x+2）x<0x| ∪ x|={x|- <x<0 }∪φ ={x|- <x<0 }Ⅲ 课堂练习：课本练习Ⅳ 课时小结： 1、(x+a)(x+b)<0型不等式转化方法是 与 2、 >0型不等式转化结果:(x+a)(x+b)>0 3、上述两类不等式解法相同之处及关键、 注意点. x+a >0 x+b<0 x+a <0 x+b>0 x-3>0 x+7<0 x-3<0 x+7>0 a b x-3>0 x+7<0 x-3<0 x+7>0 x-3>0 x+7<0 x-3<0 x+7>0 3x+2 x 3x+2>0 x<0 3x+2<0 x>0。