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第2章 流体静力学2.1 大气压计的读数为100.66kPa(755mmHg)，水面以下7.6m 深处的绝对压力为多少？知：a a KP P 66.100= 3/1000m kg =水ρ m h 6.7=求：水下h 处绝对压力 P解：aa KP ghP P 1756.71000807.96.100=⨯⨯+=+=ρ 2.2 烟囱高H=20m ，烟气温度t s =300℃，压力为p s ，确定引起火炉中烟气自动流通的压力差。
烟气的密度可按下式计算：p=（1.25-0.0027t s ）kg/m 3，空气ρ=1.29kg/m 3。
解：把t 300s C =︒代入3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=-得3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=-33(1.250.0027300)/0.44/kg m kg m=-⨯=压力差s =-p ρρ∆a （）gH ，把31.29/a k g m ρ=，30.44/s kg m ρ=，9.8/g N kg =，20H m =分别代入上式可得s =-20p Pa ρρ∆⨯⨯a （）gH=(1.29-0.44)9.8166.6Pa =2.3 已知大气压力为98.1kN/m 2。
求以水柱高度表示时：（1）绝对压力为117.2kN/m 2时的相对压力；（2）绝对压力为68.5kN/m 2时的真空值各为多少？解：（1）相对压力：p a =p-p 大气=117.72-98.1=19.62KN/2m以水柱高度来表示：h= p a/ g ρ=19.62* 310 /（9.807* 310）=2.0m（2）真空值：2v a p =p p=98.168.5=29.6/m KN --以水柱高度来表示：h= p a/ g ρ=29.6* 310 /（9.807* 310）=3.0m2.4 如图所示的密封容器中盛有水和水银，若A 点的绝对压力为300kPa ，表面的空气压力为180kPa ，则水高度为多少？压力表B 的读数是多少？解：水的密度1000 kg/m 3，水银密度13600 kg/m 3A 点的绝对压力为：)8.0(20g gh p p H g o h A ρρ++=300⨯310=180⨯310+1000⨯9.8 h+13600⨯9.8⨯0.8 求得：h=1.36m压力表B 的读数p (300101)199g a p p KPa KPa =-=-=2.5 如图所示，在盛有油和水的圆柱形容器的盖上加载F=5788N 已知h 1=50cm ，h 2=30cm ，d=0.4cm ，油密度ρ油=800kg/m 3水银密度ρHg =13600kg/m 3，求U 型管中水银柱的高度差H 。
第二章 流体静力学2-1 密闭容器测压管液面高于容器内液面h=1.8m,液体密度为850kg/m3, 求液面压强。
解：08509.8 1.814994Pa p gh ρ==⨯⨯=2-2 密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa,压力表中心比A 点高0.4米，A 点在液面下1.5m ，液面压强。
解：0()490010009.8(0.4 1.5) 49009800 1.15880PaM B A p p g h h ρ=+-=+⨯⨯-=-⨯=-2-3 水箱形状如图，底部有4个支座。
试求底面上的总压力和四个支座的支座反力，并讨论总压力和支座反力不相等的原因。
解：底面上总压力（内力，与容器内的反作用力平衡）()10009.81333352.8KN P ghA ρ==⨯⨯+⨯⨯=支座反力支座反力（合外力）3312()10009.8(31)274.4KN G g V V ρ=+=⨯⨯+=2-4盛满水的容器顶口装有活塞A ，直径d=0.4m ，容器底直径D=1.0m ，高h=1.8m 。
如活塞上加力为2520N(包括活塞自重)。
求容器底的压强和总压力。
解：压强2252010009.8 1.837.7kPa (0.4)/4G p gh A ρπ=+=+⨯⨯= 总压力 237.71/429.6KN P p A π=⋅=⨯⋅=2-5多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。
图中高程单位为m ，试求水面的绝对压强。
解：对1-1等压面02(3.0 1.4)(2.5 1.4)p g p g ρρ+-=+-汞对3-3等压面 2(2.5 1.2)(2.3 1.2)a p g p g ρρ+-=+-汞将两式相加后整理0(2.3 1.2)(2.5 1.4)(2.5 1.2)(3.0 1.4)264.8kPap g g g g ρρρρ=-+-----=汞汞绝对压强 0.0264.8+98=362.8kPa abs a p p p =+=2-6水管A 、B 两点高差h 1=0.2m ，U 形管压差计中水银液面高差h 2=0.2m 。
第一章 流体的基本概念1-1 单位换算：1.海水的密度ρ=1028公斤/米3，以达因/厘米3，牛/米3为单位，表示此海水的重度γ值。
解：2.酒精在0℃时的比重为0.807，其密度ρ为若干公斤/米3 ? 若干克/厘米3 ? 其重度γ为若干达因/厘米3 ? 若干牛/米3 ? 解：l-2 粘度的换算：1.石油在50℃时的重度γ=900达因/厘米3，动力粘度μ=58.86×10-4牛.秒/米2。
求此石油的运动粘性系数ν。
解：2.某种液体的比重为1.046，动力粘性系数μ=1.85厘泊，其运动粘性系数为若干斯? 解：3.求在1大气压下，35℃时空气的动力粘性系数μ及运动粘性系3323333w /8.790/7908/8.9/807 0.807g/cm 807kg/m 1000kg/m cm dy m N s m m kg ==⨯===⨯γ酒精√sm s cm cmdy s cm cm s dy g /104.6/1064 /900/)/980101086.58( 26233224--⨯=⨯=⨯⋅⨯==∴γμν)(/017686.0 /1046.1/1085.1 232w 斯比重s cm cmg cm s g =⨯⋅⨯=⨯=∴-ρμν33235/44.1007/4.10074/8.9/1028 101 ; cm dy m N s m m kg dyN g ==⨯=∴==γργ数ν之值。
解：1-3 相距10毫米的两块相互平行的板子，水平放置，板间充满20℃的蓖麻油(动力粘度μ=9.72泊)。
下板固定不动，上板以1.5米/秒的速度移动，问在油中的切应力τ是多少牛/米2? 解：1-4 直径为150毫米的圆柱，固定不动。
内径为151.24毫米的圆筒，同心地套在圆柱之外。
二者的长度均为250毫米。
柱面与筒内壁之间的空隙充以甘油。
转动外筒，每分钟100转，测得转矩为9.091牛米。
假设空隙中甘油的速度按线性分布，也不考虑末端效应。
流体⼒学__第⼆章习题解答第2章流体静⼒学2.1 ⼤⽓压计的读数为100.66kPa(755mmHg)，⽔⾯以下7.6m 深处的绝对压⼒为多少？知：a a KP P 66.100= 3/1000m kg =⽔ρ m h 6.7= 求：⽔下h 处绝对压⼒ P解：aa KP ghP P 1756.71000807.96.100=??+=+=ρ 2.2 烟囱⾼H=20m ，烟⽓温度t s =300℃，压⼒为p s ，确定引起⽕炉中烟⽓⾃动流通的压⼒差。
烟⽓的密度可按下式计算：p=（1.25-0.0027t s ）kg/m 3，空⽓ρ=1.29kg/m 3。
解：把t 300s C =?代⼊3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=-得3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=-33(1.250.0027300)/0.44/kg m kg m=-?=压⼒差s =-p ρρ?a （）gH ，把31.29/a k g m ρ=，30.44/s kg m ρ=，9.8/g N kg =，20H m =分别代⼊上式可得s =-20p Paρρa （）gH=(1.29-0.44)9.8166.6Pa =2.3 已知⼤⽓压⼒为98.1kN/m 2。
求以⽔柱⾼度表⽰时：（1）绝对压⼒为117.2kN/m 2时的相对压⼒；（2）绝对压⼒为68.5kN/m 2时的真空值各为多少？解：（1）相对压⼒：p a =p-p ⼤⽓=117.72-98.1=19.62KN/2m以⽔柱⾼度来表⽰：h= p a/ g ρ=19.62* 310 /（9.807* 310）=2.0m（2）真空值：2v a p =p p=98.168.5=29.6/m KN -- 以⽔柱⾼度来表⽰：h= p a/g ρ=29.6* 310 /（9.807* 310）=3.0m2.4 如图所⽰的密封容器中盛有⽔和⽔银，若A 点的绝对压⼒为300kPa ，表⾯的空⽓压⼒为180kPa ，则⽔⾼度为多少？压⼒表B 的读数是多少？解：⽔的密度1000 kg/m 3，⽔银密度13600 kg/m 3A 点的绝对压⼒为：)8.0(20g gh p p Hg o h A ρρ++=300?310=180?310+1000?9.8 h+13600?9.8?0.8 求得：h=1.36m压⼒表B 的读数p (300101)199g a p p KPa KPa =-=-=2.5 如图所⽰，在盛有油和⽔的圆柱形容器的盖上加载F=5788N 已知h 1=50cm ，h 2=30cm ，d=0.4cm ，油密度ρ油=800kg/m 3⽔银密度ρHg =13600kg/m 3，求U 型管中⽔银柱的⾼度差H 。
流体力学第二章作业（流体力学与流体机械）思考题1流体力学的平衡有哪些？共同特点是什么？答：流体的平衡状态有两种，一种是绝对平衡，即重力场的平衡，流体对地球没有相对运动，另一种平衡是相对平衡，即流体相对与运动容器或流体质点相互之间没有相对运动。
这分为匀加速运动，以及流体处于等角速度旋转状态。
处于平衡状态的流体的共性是流体质点之间没有相对运动，流体的黏性作用表现不出来，切向应力等于 0.。
2什么是流体的静压强，试述其特性。
答：流体处于平衡时的压强称为流体的静压强。
他有两个特性：第一是流体的静压强的方向与作用面相互垂直，并指向作用面的内法线方向；第二平衡流体中任意一点处各个方向上作用的静压强大小相等，与作用面的方位无关，只是坐标的函数3什么是等压面，等压面有何性质？答：流体中压强相等的各点组成的平面或曲面称为等压面。
第一等压面也是等势面，第二等压面与质量力垂直，第三两种互不相混的液体平衡时，交界面必是等压面。
4写出流体静力学基本方程，并阐述其物理几何意义？答：物理意义：z+P/pg=单位重量流体的位置势能+单位重量流体的压强势能=常数，该方程式表示静止流体中各点单位重量流体的重势能保持不变。
几何意义：方程式中的 z 表示某一点在基准面以上的高度，P/pg 代表一定的液柱高度，即两者都可以用线段高度表示。
计算题流体力学第二次作业思考题：1什么是面积矩与惯性矩？能否为零？等于零的条件是什么？答：假定某块面积具有均匀的面密度，于是具有均匀的质量分布；对某固定点求该面积的重力的力矩，最后把这个力矩值除以面密度，就得到了面积对该点的面积矩。
惯性矩是物体相对与一个点而言的(围绕旋转的点)惯性矩是物体相对与一个点而言的(围绕旋转的点) 质量M*质心到该点的距离 L，角动惯量=惯性矩*角速度。
惯性矩的数值恒大于零，面积矩可以等于零。
面积矩为零的条件：若截面图形有对称轴，则对于对称轴的面积矩必为零。
2简述压力体的概念及其特性。
吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案一、基本概念1．连续介质假设适用条件：在研究流体的宏观运动时，如果所研究问题的空间尺度远远大于分子平均间距，例如研究河流、空气流动等；或者在研究流体与其他物体（固体）的相互作用时，物体的尺度要远远大于分子平均间距，例如水绕流桥墩、飞机在空中的飞行（空气绕流飞机）。
若不满足上述要求，连续介质假设不再适用。
如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作用时，飞行器尺度与空气分子平均自由程尺度相当。
此时单个分子运动的微观行为对宏观运动有直接的影响，分子运动论才是解决问题的正确方法。
2．（1）不可；（2）可以，因为地球直径远大于稀薄空气分子平均间距，同时与地球发生相互作用的是大量空气分子。
3．流体密度在压强和温度变化时会发生改变，这个性质被称作流体的可压缩性。
流体力学中谈到流体可压缩还是不可压缩一般要结合具体流动。
如果流动过程中，压力和温度变化较小，流体密度的变化可以忽略，就可以认为流体不可压缩。
随高度的增加而减少只能说明密度的空间分布非均匀。
判断流体是否不可压缩要看速度场的散度V ∇⋅ 。
空气上升运动属可压缩流动，小区域内的水平运动一般是不可压缩运动。
4．没有， 没有， 不是。
5 三个式子的物理意义分别是：流体加速度为零；流动是定常的；流动是均匀的。
6 欧拉观点：(),0d r t dt ρ= ，拉格朗日观点：(),,,0a b c t tρ∂=∂ 7 1）0=∇ρ，2）const =ρ，3) 0=∂∂tρ 8 不能。
要想由()t r a , 唯一确定()t r v ,还需要速度场的边界条件和初始条件。
9 物理意义分别为：初始坐标为(,)a b 的质点在任意时刻的速度；任意时刻场内任意点(,)x y 处的速度。
10 1）V s ∂∂ ，3）V V V⋅∇ 11 见讲义。
12 分别是迹线和脉线。
13 两者皆不是。
该曲线可视为从某点流出的质点在某一时刻的位置连线，即脉线。
2.3 如图，用U 型水银测压计测量水容器中某点压强，已知H 1=6cm ，H 2=4cm ，求A 点的压强。
解：选择水和水银的分界面作为等压面得11222()γγ++=+a A p H H p H故A 点压强为：511212() 1.1410Pa γγγ=++-=⨯A a p p H H2.5 水压机是由两个尺寸不同而彼此连通的，以及置于缸筒内的一对活塞组成，缸内充满水或油，如图示：已知大小活塞的面积分别为A 2，A 1，若忽略两活塞的质量及其与圆筒摩阻的影响，当小活塞加力F 1时，求大活塞所产生的力F 2。
帕斯卡定律：加在密闭液体上的压强，能够大小不变地由液体向各个方向传递。
根据静压力基本方程(p=p 0+ρgh),盛放在密闭容器内的液体，其外加压强p 0发生变化时，只要液体仍保持其原来的静止状态不变，液体中任一点的压强均将发生同样大小的变化。
这就是说，在密闭容器内，施加于静止液体上的压强将以等值同时传到各点。
这就是帕斯卡原理，或称静压传递原理。
解：由111F p A =，222Fp A =，根据静压传递原理：12p p =1221F A F A ⇒=2.6如图示高H =1m 的容器中，上半装油下半装水，油上部真空表读数p 1=4500Pa ，水下部压力表读数p 2=4500Pa ，试求油的密度ρ。
解：由题意可得abs1a 1p p p =-，abs2a 2p p p =+abs1abs222H H p gp ργ++= 解得abs2abs1213()()22836.7kg/m 22a a H Hp p p p p p gH gH γγρ--+---===2.7 用两个水银测压计连接到水管中心线上，左边测压计中交界面在中心A 点之下的距离为Z ，其水银柱高度为h 。
右边测压计中交界面在中心A 点之下的距离为Z+∆Z ，其水银柱高为h+∆h 。
（1）试求∆h 与∆Z 的关系。
（2）如果令水银的相对密度为13.6，∆Z=136cm 时，求∆h 是多少？解：（1）分别取测压计中交界面为等压面得，a 12AA 2a 1()()p h z p p z z p h h γγγγ+=+⎧⎨++∆=++∆⎩ 解得∆h 与∆Z 的关系为：h z ∆=∆12γγ （2）当∆Z=136cm 时，cm 1012=∆=∆γγzh 2.9 如图示一铅直矩形平板AB 如图2所示，板宽为1.5米，板高h =2.0米，板顶水深h 1=1米，求板所受的总压力的大小及力的作用点。
第一章 流体的基本概念1-1 单位换算：1.海水的密度ρ=1028公斤/米3，以达因/厘米3，牛/米3为单位，表示此海水的重度γ值。
解：2.酒精在0℃时的比重为0.807，其密度ρ为若干公斤/米3 ? 若干克/厘米3 ? 其重度γ为若干达因/厘米3 ? 若干牛/米3 ? 解：l-2 粘度的换算：1.石油在50℃时的重度γ=900达因/厘米3，动力粘度μ=58.86×10-4牛.秒/米2。
求此石油的运动粘性系数ν。
解：2.某种液体的比重为1.046，动力粘性系数μ=1.85厘泊，其运动粘性系数为若干斯? 解：3.求在1大气压下，35℃时空气的动力粘性系数μ及运动粘性系3323333w /8.790/7908/8.9/807 0.807g/cm 807kg/m 1000kg/m cm dy m N s m m kg ==⨯===⨯γ酒精√sm s cm cmdy s cm cm s dy g /104.6/1064 /900/)/980101086.58( 26233224--⨯=⨯=⨯⋅⨯==∴γμν)(/017686.0 /1046.1/1085.1 232w 斯比重s cm cmg cm s g =⨯⋅⨯=⨯=∴-ρμν33235/44.1007/4.10074/8.9/1028 101 ; cm dy m N s m m kg dyN g ==⨯=∴==γργ数ν之值。
解：1-3 相距10毫米的两块相互平行的板子，水平放置，板间充满20℃的蓖麻油(动力粘度μ=9.72泊)。
下板固定不动，上板以1.5米/秒的速度移动，问在油中的切应力τ是多少牛/米2? 解：1-4 直径为150毫米的圆柱，固定不动。
内径为151.24毫米的圆筒，同心地套在圆柱之外。
二者的长度均为250毫米。
柱面与筒内壁之间的空隙充以甘油。
转动外筒，每分钟100转，测得转矩为9.091牛米。
假设空隙中甘油的速度按线性分布，也不考虑末端效应。
吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案一、基本概念1．连续介质假设适用条件：在研究流体的宏观运动时，如果所研究问题的空间尺度远远大于分子平均间距，例如研究河流、空气流动等；或者在研究流体与其他物体（固体）的相互作用时，物体的尺度要远远大于分子平均间距，例如水绕流桥墩、飞机在空中的飞行（空气绕流飞机）。
若不满足上述要求，连续介质假设不再适用。
如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作用时，飞行器尺度与空气分子平均自由程尺度相当。
此时单个分子运动的微观行为对宏观运动有直接的影响，分子运动论才是解决问题的正确方法。
2．（1）不可；（2）可以，因为地球直径远大于稀薄空气分子平均间距，同时与地球发生相互作用的是大量空气分子。
3．流体密度在压强和温度变化时会发生改变，这个性质被称作流体的可压缩性。
流体力学中谈到流体可压缩还是不可压缩一般要结合具体流动。
如果流动过程中，压力和温度变化较小，流体密度的变化可以忽略，就可以认为流体不可压缩。
随高度的增加而减少只能说明密度的空间分布非均匀。
判断流体是否不可压缩要看速度场的散度V ∇⋅。
空气上升运动属可压缩流动，小区域内的水平运动一般是不可压缩运动。
4．没有， 没有， 不是。
5 三个式子的物理意义分别是：流体加速度为零；流动是定常的；流动是均匀的。
6 欧拉观点：(),0d r t dtρ= ，拉格朗日观点：(),,,0a b c t tρ∂=∂7 1）0=∇ρ，2）const =ρ，3) 0=∂∂tρ8 不能。
要想由()t r a , 唯一确定()t r v ,还需要速度场的边界条件和初始条件。
9 物理意义分别为：初始坐标为(,)a b 的质点在任意时刻的速度；任意时刻场内任意点(,)x y 处的速度。
10 1）Vs ∂∂ ，3）VV V⋅∇11 见讲义。
12 分别是迹线和脉线。
13 两者皆不是。
该曲线可视为从某点流出的质点在某一时刻的位置连线，即脉线。
14 同一时刻刚体上各点的角速度相同，但流体内各涡度一般不同。
该流动流体为团的角速度：1122kij kjv V ayk x ωε∂=∇⨯==-∂二 流线与迹线，加速度1（1）()()121212cos sin cos sin cos sin x x y y V c t c t c t c t i c t c t j ωωωωωω=+=+++=u x c 112cos sin x x c t c t ωω+， 12cos sin y y v c t c t ωω=+轨迹微分方程组：1212cos sin cos sin x x y y dxu c t c t dtdy v c t c t dtωωωω⎧==+⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩积分即可得轨迹。
流线微分方程：dx dy u v=。
积分可得流线方程。
（2）流线微分方程：2222yx cy dy yx cxdx +=+，积分可得流线方程y ax =，其中a 为常数。
（3）流线微分方程：2222yx cx dy y x cy dx +=+-，即xdy ydx =-，积分得22x y c +=。
（4）流线微分方程：22sin cos rrd rdr θθθ=，积分得θsin c r =。
（5）由21r r r v=可得 0,12==θv r v r ，0v φ= 故流线方程为射线00θθφφ=⎧⎨=⎩。
（6）流线微分方程：332cos sin dr rd k k rrθθθ=，积分得2sin r c θ=，c 是任意常数。
（7）流线微分方程：2dx dy ya x=-，积分得222a x y c +=，c 是任意常数。
（8）流线微分方程：222dx dy x yxy=--，积分得323y x y c -=，c 是任意常数。
将1,1x y ==-代入确定常数c ，可得过该点的流线方程。
（9）流线微分方程：22221cos 1sin drrd a a V V r r θθθ∞∞=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，积分得22sin r a c rθ-=。
r a =满足上述方程（0c =），因而是一条流线。
（10）(),,0r v r a θϕ==，即球面r a =上流体质点没有法向速度，可知该球面是流面。
（11）流线微分方程：dx dy x ty t=+-+，积分可得()()x t y t c +-=，c 是任意常数。
将1,1x y =-=-代入确定常数c 即可得所求流线方程。
迹线微分方程：dxx tdt dy y t dtz c⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩，积分得到1211ttx t c e y t c e z c -⎧=--+⎪=--+⎨⎪=⎩。
将初始条件代入确定积分常数12,c c ，即得所求迹线。
（12）迹线微分方程组：220dx ax t dt dy ay t dt dzdt⎧=+⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=⎪⎩， 积分得到迹线族：2213222331(22)1(22)atat x a t at c e a y a t at c e a z c -⎧=-+++⎪⎪⎪=-++⎨⎪=⎪⎪⎩，其中1c 、2c 、3c 为积分常数。
附积分公式：方程()()dxP t x q t dt +=的解为()()()P t dt P t dtx e c q t e dt -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰流线微分方程：22dx dy ax tay t=+--，积分得流线族：()()2212ax t ay t c z c ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，其中1c 、2c 为积分常数。
（13）设初始时刻在(,,)a b c 处的流体质点t 时刻到达(,,)x y z 处，于是有,,0dx dy dw x t y t dtdtdt=+=+=。
积分得到该流体质点运动方程：021,1,1z z e c t y e c t x tt=+--=+--=，初始条件代入确定常数21,c c 值，最后得到拉氏表述的运动方程：()()011, 11, t tx t a e y t b e z z =--++=--++=。
速度拉格朗日表述：()()11, 11, 0ttx y u a e v b e w tt∂∂==-++==-++=∂∂。
2（1）此流动由于速度只有r v 分量，即速度方向沿射线方向，所以迹线和流线都是射线（constant., constant.θφ==）。
（2）流线与迹线重合的充要条件为速度场方向定常。
3速度方向与两曲面公切线方向平行。
因为21,f f ∇∇分别沿曲面21,f f 的法向，故22f f ∇⨯∇沿两曲面公切线方向，即流线方向。
速度大小是流线上各点位置的函数，而流线上各点的位置由两曲面方程组成的方程组1122f c f c =⎧⎨=⎩确定，因而速度大小是1f 和2f 的函数。
4（1）由22d r a dt=知， 0x y z a a a ===。
将8=x 代入迹线方程确定到达该位置的时刻t ，然后将该时刻代入加速度表达式即得解。
（2）220xy z u a V u yz xz t tv a V v xz yz t t w a V w t ∂⎧=+⋅∇=+⎪∂⎪∂⎪=+⋅∇=+⎨∂⎪∂⎪=+⋅∇=⎪∂⎩， 将该点位置坐标和给定时刻代入即得所求加速度。
三运动类型判别1（1）纯剪切流动，k c cyz y x k j i v rot-=∂∂∂∂∂∂=，有旋。
流线为一组平行于x 轴的直线。
（2）单一方向均匀流动，0rotv =，无旋。
流线为一组平行于x 轴的直线。
（3）刚性圆周运动，20ij k rotv ck x y z cycx∂∂∂==∂∂∂-，有旋。
流线：cxdy cydx =-，即222x y R +=，R 为常数。
（4）()()k yxyx c y x cx yx cy z y x k j i v rot2222222220+--=++∂∂∂∂∂∂=，有旋流线：2222yx cx dy yx cy dx +=+，即c x y +=223（1）（a ）2///2211t kt kt kx x u aet k ky yv bet k k z z w cet k k-∂==-=-∂∂===∂∂===∂可见速度场定常。
（b ）2110u v w divV xyzkkk∂∂∂=++=-++=∂∂∂，故不可压缩。
（c)02=-∂∂∂∂∂∂=kz ky kx z y x k j i v rot，无旋。
4（1）流体做非定常运动；（2）流体做定常运动 同一流动在不同参照系中有不同特征。
五 其他（1）证：若流管中存在与流线垂直的横截面，在该横截面上取面元S δ，则在S δ的边界周线L 上各点速度方向平行该截面的法向，因此垂直于周线L 上各点的切向，于是有0LV dr ⋅=⎰。
根据Stokes 定理()0SLV dS V dr δ∇⨯⋅=⋅=⎰⎰⎰，即()0V S δ∇⨯⋅=。
考虑到S δ的法向平行于V 方向，因此可知在该截面的任一点上有0V rotV ⋅=。
2. 速度场给定如下（本题中黑体字代表矢量）（1）3r=r v ，其中r =（2）0c r=v θ，其中0θ为球坐标中θ方向的单位矢量。
求通过以原点为中心，半径为R 的球面S 的流体体积流量。
解：考虑半径为r 的球面S ，其上的面积微元为2sin sin d rd r d r d d θθλθθλ==s n n ，其中r=r n 为面积微元的外法线单位矢量，通过该球面的体积流量为222()sin sin SQ r d r d d d r d ππππππθθλλθθ--=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰v s v n v r（1）23() sin 4Q r d r d rπππλθθπ-=⋅=⎰⎰r r ，故求得()4Q R π=（2）因0θ与r 垂直，200() sin 0c Q r d r d rπππλθθ-=⋅=⎰⎰θr ， 故()0Q R =。
