福建省龙海市程溪中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试卷

一、选择题（本题共18小题，每小题3分，共54分，每小题只有一个选项符合题意）1．已知质量为数为A的某阳离子R n+, 核外有X个电子，则核内中子数为（）A．A-X B．A-X- n C．A-X+n D．A+X-n【答案】B【解析】试题分析：质量为数为A的某阳离子R n+, 核外有X个电子，则核内质子数为X+n，中子数为A-（X+n）= A-X- n。

答案选B。

考点：原子的组成2．X元素的阳离子和Y元素的阴离子具有与氩元素相同的电子层结构。

下列叙述正确的是（）A．X的最高正价比Y的小B．X的最高价氧化物一定是X2O，Y的气态氢化物为H2YC．X的离子半径比Y的大D．X的核电荷数比Y的小【答案】A【解析】试题分析：X元素的阳离子和Y元素的阴离子具有与氩元素相同的电子层结构，则X应比氩多一个电子层，而Y与氩有相同的电子层，则X的核电荷数比Y的大；A、X的最高正价比Y的小，A正确；B、X 的最高价氧化物可能是X2O，也可能是XO，而Y的氢化物不一定就是H2Y，B错误；C、核电荷数X 大于Y．所以X的离子半径应小于Y，C错误；D、X的核电荷数比Y的大，D错误。

答案选A。

考点：原子结构，离子半径3．下列有关环境问题的说法不正确．．．的是（）A．燃煤时加入适量石灰石，可减少废气中SO2的含量B．京津冀、长三角、珠三角雾霾的形成与煤的燃烧、化工厂大量排放含硫、含氮氧化物、颗粒物和汽车排放的尾气等有关C．pH小于7.0的降雨通常称为酸雨D．使用洁净能源、为汽车安装尾气转化装置、对硝酸厂排放的废气进行碱处理能有效控制氮氧化物对空气的污染。

【答案】C【解析】试题分析：A、高温下石灰石分解生成CaO，可与SO2以及氧气反应生成硫酸钙，减少废气中SO2的量，A 正确；B、京津冀、长三角、珠三角雾霾的形成与煤的燃烧、化工厂大量排放含硫、含氮氧化物、颗粒物和汽车排放的尾气等有关，B正确；C、pH小于5.6的降雨通常称为酸雨，C错误；D、使用洁净能源、为汽车安装尾气转化装置、对硝酸厂排放的废气进行碱处理能有效控制氮氧化物对空气的污染，D 正确。

程溪中学2015-2016学年下学期期中考高一数学试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一.选择题（每小题5分，共60分）1.下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A 、三角形B 、平行四边形C 、梯形D 、四边相等的四边形 2．若直线经过((1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A 、30︒ B 、45︒ C 、60︒ D 120︒ 3.已知圆心为(1,2)C -，半径4r =的圆方程为（ ） A 、()()22124x y ++-= B 、()()22124x y -++= C 、()()221216x y ++-= D 、()()221216x y -++=4.三角形ABC 的斜二侧直观图如图所示，则三角形ABCA 、1B 、2C D5.直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．32B ．32或0C ．0D ．－2或06.圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 外切，则m 的值为（ ） A. 2 B. -5 C. 2或-5 D. 不确定7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )． A ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n B ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βD ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β8.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为 A 、1，-1 B 、2，-2 C 、1 D 、-19．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（ ）． A ．菱形B ．梯形C ．正方形D ．空间四边形10在正方体1111ABCD A BC D -中，B A 1与平面D D BB 11所成的角的大小是（ ） A ．90° B ．30° C ．45° D ．60°11．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4 D ．以上都不对12．如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF. 正确的是（ ） A ．（1）和（3） B ．（2）和（5） C ．（1）和（4） D ．（2）和（4）二．填空题（每小题5分，共20分）13．两点A (1,1,2)、B (2,1,1)的距离等于 ．14．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB ，CD 所成角的大小为 ．(第16题)15．光线从点（―1，3）射向x 轴，经过x 轴反射后过点（4，6），则反射光线所在直线方程的一般式是 ．16.如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是___DCAB(第14题)DSG 2G 3G 1FEG三．解答题：（本题共6个小题，共70分。

2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．103．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b88．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=09．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=．14．计算定积分：∫dx=．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）16．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．18．设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？21．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选D．2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．10【考点】排列及排列数公式．【分析】利用排列数的计算公式即可得出．【解答】解：∵A=10A，∴2n（2n﹣1）（2n﹣2）=10n（n﹣1）（n﹣2），化为：4n﹣2=5n﹣10，则n=8．故选：B．3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错【考点】演绎推理的基本方法．【分析】对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【考点】定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可．【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f（x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，所以过点P的切线的斜率k等于直线3x﹣y=0的斜率，即k=3，则f′（a）=4a3﹣1=3，解得a=1，把a=1代入得：f（1）=0，则点P的坐标为（1，0）．故选C6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8【考点】类比推理；等比数列的性质．【分析】类比等差数列{a n}与等比数列{b n}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．8．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=0【考点】复数相等的充要条件．【分析】计算复数a+bi（a，b∈R）的平方计算出来，写成代数形式，须虚部为0，再进行选择．【解答】解：（a+bi）2=（a2﹣b2）+2a b i，若是实数，则虚部a b=0，故选D9．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．【解答】解：∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故选C．11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．12．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=2﹣ī．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：因为复数===﹣i+2故答案为：2﹣ī．14．计算定积分：∫dx=．【考点】定积分．【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=﹣3所围成的图形的面积即可．【解答】解：解：由定积分的几何意义知∫dx是由曲线y=，直线x=0，x=﹣3围成的封闭图形的面积，故∫dx==，故答案为：．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：1416．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．【考点】归纳推理．【分析】设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，依此类推，可得第n个图中点的个数=n，将得到的式子，相加可得答案．比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1【解答】解：设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；由图可得：第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，…=n，第n个图中点的个数比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1则a n=1+2+3+4+…+n=；故答案为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】（1）根据题意，把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将6个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，（2）根据题意，4名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，（3）根据题意，先在7个空位中任选3个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有1种站法，由分步计数原理计算可得答案，（4）根据题意，分2种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．【解答】解：（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A 22种顺序，将6个元素进行全排列，有A 66种情况，则共有A 66A 22=1440种不同站法；（2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A 33种情况，排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A 44种情况，共有A 33A 44=144种不同站法；（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有A 73种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，则男生的顺序只有一个，将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况， 则共有1×A 73=210种不同站法；（4）根据题意，分2种情况讨论：①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A 52种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时有2×A 52×A 44=960种不同站法，②、老师不在两端，则老师有4种站法，中间还有4个位置可站女生，女生有A 42种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时共有4×A 42×A 44=1152种不同站法，则老师不站中间，女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．18．设函数f （x ）=ln （2x+3）+x 2（1）讨论f （x ）的单调性；（2）求f （x ）在区间[﹣，]的最大值和最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f ′（x ）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知f （x ）在区间[﹣，]的最小值为f （﹣）求出得到函数的最小值，又因为f （﹣）﹣f （）＜0，得到f （x ）在区间[﹣，]的最大值为f （）求出得到函数的最大值．【解答】解：f （x ）的定义域为（﹣，+∞）（1）f′（x）=+2x=当﹣＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；当x＞﹣时，f′（x）＞0从而，f（x）在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣）上单调递减（2）由（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）=ln2+又f（﹣）﹣f（）=ln+﹣ln﹣=ln+=（1﹣ln）＜0所以f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）=+ln．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．【考点】函数与方程的综合运用；定积分．【分析】（1）用待定系数法设出解析式，据△=0，和f′（x）=2x+2确定结果．（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数．【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x2+2x+c．又∵方程f（x）=0有两个相等实根，∴△=4﹣4c=0⇒c=1，∴f（x）=x2+2x+1（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点（0，1），（﹣3，4），∴两函数图象所围成的图形的面积为=．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm321．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）根据，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a1，a2，a3，a4；（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a n，然后利用数学归纳法进行证明即得．【解答】解：（1）∵，∴令n=2，，即a1+a2=3a2．∴．令n=3，得，即a1+a2+a3=6a3，∴．令n=4，得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．①当n=1时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，则当n=k+1时，=，即．∴∴．∴当n=k+1时结论成立．由①②可知，对一切n∈N+都有成立．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．【分析】（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，ln（1+）＜即可得出f（a+b）﹣f（2a）＜．【解答】解：（1）∵，∴f'（1）=1．∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．∴直线l的方程为y=x﹣1．又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，∴方程组有一解．由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①依题意，方程①有两个相等的实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0解之，得m=4或m=﹣2∵m＜0，∴m=﹣2．（2）由（1）可知，∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．∴．∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．∵0＜b＜a，∴﹣a，∴．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，ln（1+）＜．∴f（a+b）﹣f（2a）＜2016年7月3日。

2014-2015学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在某几何体的三视图中，主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R，则这个几何体的体积是（）A．πR3B．πR3C．πR3D．2．（5分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角3．（5分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A．B．C．D．4．（5分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6B．3C．12D．65．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BD C．A1D D．A1A6．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5B．x2+（y﹣2）2=5C．（x﹣2）2+y2=5D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=57．（5分）以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角C﹣AD﹣B为多大时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形（）A．30°B．60°C．90°D．45°8．（5分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2B．x+y=1C．x=1或y=1D．x+y=2或x﹣y=09．（5分）三视图如图的几何体的全面积是（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣2=0与直线l2：2x﹣5y+b=0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（）A．﹣4B．20C．0D．2411．（5分）已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，则此球的表面积为（）A．25πB．50πC．125πD．均不正确12．（5分）直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A．B．﹣1＜b≤1或C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上．13．（4分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．14．（4分）等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为．15．（4分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答案卡对应的区域内．17．（12分）某个几何体的三视图如图所示（单位：m）（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．21．（12分）已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB （如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB．（I）若M为棱AB的中点，求四面体EMCB的体积；（II）若M为棱AB上的动点，确定M的位置，使直线AD平行于平面EMC，并证明．22．（14分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．2014-2015学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在某几何体的三视图中，主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R，则这个几何体的体积是（）A．πR3B．πR3C．πR3D．【解答】解：由题意，这个几何体是球，故体积为πR3．故选：D．2．（5分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角【解答】解：直线x=tan60°与x轴垂直，倾斜角是直角．故选：A．3．（5分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A．B．C．D．【解答】解：方程y=ax+可以看作一次函数，其斜率a和截距同号，只有B 符合，其斜率和截距都为负．故选：B．4．（5分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6B．3C．12D．6【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，==12所以：S△OAB故选：C．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BD C．A1D D．A1A【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），E（，，1），∴=（﹣，﹣，1），=（1，1，0），=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣1），=（0，0，﹣1），显然•=﹣+0=0，∴⊥，即CE⊥BD．故选：B．6．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5B．x2+（y﹣2）2=5C．（x﹣2）2+y2=5D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=5【解答】解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径不变，还是2，故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故选：C．7．（5分）以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角C﹣AD﹣B为多大时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形（）A．30°B．60°C．90°D．45°【解答】解：∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠BDC为二面角C﹣AD﹣B的平面角．设AB=AC=1，则BD=CD=，若，△ABC为等边三角形，则BC=1，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，故选：C．8．（5分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2B．x+y=1C．x=1或y=1D．x+y=2或x﹣y=0【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或x﹣y=0．故选：D．9．（5分）三视图如图的几何体的全面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，∴四棱锥的表面积是1×+2×=2+故选：A．10．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣2=0与直线l2：2x﹣5y+b=0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（）A．﹣4B．20C．0D．24【解答】解；∵直线l1：ax+4y﹣2=0与直线l2：2x﹣5y+b=0互相垂直∴﹣×=﹣1解得：a=10∴直线l1：5x+2y﹣1=0∵（1，c）在直线5x+2y﹣1=0上∴5+2c﹣1=0 解得：c=﹣2又∵（1，﹣2）也在直线l2：2x﹣5y+b=0上∴2×1+5×2+b=0解得：b=﹣12∴a+b+c=10﹣12﹣2=﹣4故选：A．11．（5分）已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，则此球的表面积为（）A．25πB．50πC．125πD．均不正确【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故选：B．12．（5分）直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A．B．﹣1＜b≤1或C．D．【解答】解：化简得x2+y2=1注意到x≥0所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，﹣1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）．分别算出三个情况的B值是：﹣，﹣1，1．因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上．13．（4分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．【解答】解：∵两直线平行，∴，故答案为﹣．14．（4分）等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为．【解答】解：将等边三角形绕其一边所在直线旋转一周所得几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．圆锥的高h=，圆锥的底面半径为，∴几何体的体积V=2×=．故答案为：πa3．15．（4分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是2个．【解答】解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣13，13）．【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，c的取值范围是（﹣13，13）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答案卡对应的区域内．17．（12分）某个几何体的三视图如图所示（单位：m）（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是由半球和正四棱柱组成，棱柱是正方体棱长为：2，球的半径为1，（1）该几何体的表面积=正方体的表面积+半球面面积﹣球的底面积．∴S=6×2×2+2π×12﹣π×12=24+π（m2）．（2）该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积，V=2×2×2+×π×13=8+π（m3）18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11=0，解方程组得则C点坐标为（4，3）．设B（m，n），则M（，），，整理得，解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3=（x﹣4），即6x﹣5y﹣9=0．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．【解答】解：（1）把圆C的方程化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心为C（﹣1，2），半径r=2．当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=1，C到l的距离d=2=r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，则=2，解得k=﹣．∴l的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即3x+4y﹣15=0．综上，满足条件的切线l的方程为x=1，或3x+4y﹣15=0．（2）设P（x，y），则|PM|2=|PC|2﹣|MC|2=（x+1）2+（y﹣2）2﹣4，|PO|2=x2+y2．∵|PM|=|PO|，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣4=x2+y2，整理，得2x﹣4y+1=0，∴点P的轨迹方程为2x﹣4y+1=0．21．（12分）已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB （如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB．（I）若M为棱AB的中点，求四面体EMCB的体积；（II）若M为棱AB上的动点，确定M的位置，使直线AD平行于平面EMC，并证明．【解答】解：（I）由等腰梯形知识可得AE=DE=1，BE=2．∵DE⊥AE，AE⊥BE，BE⊂平面BCDE，DE⊂平面BCDE，DE∩BE=E，∴AE⊥平面BCDE，∴V A===，﹣BCE又M为AB的中点，∴V E=V M﹣BCE=V A﹣BCE=．﹣MCB（II）连结BD交CE于O，连结OM，∵AD∥平面MCE，AD⊂平面ABD，平面ABD∩平面MCE=OM，∴OM∥AD，∴，∵△OCD∽△OEB，∴，∴，即当M为AB靠近A点的三等分点时，AD∥平面MCE．22．（14分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，由，得5y2﹣16y+m+8=0，∴，．代入①得．（3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，∴所求圆的方程为．。