湖南省长郡中学2020—2021学年度高二第一学期期中考试数学试题(含答案解析)

x
N
求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.
(1)求该游乐项目每天的利润y(元)关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；
(2)当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？
21. (12分) 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PD平面ABCD. 点E是AB 的中点，
过点E作平行于平面PAD的截面，与直线CD,PC,PB分别交于点F,G,H. (1)证明： GH//EF. (2)若四棱锥P-ABCD的体积为8 ，求四边形EFGH的面积． 3
符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,点 M(x0，y0)在抛物线C上，若| MF|= 4,则
A.x0= 3 C.|OM|= 21
B.y0=2 3 D.F的坐标为(0,1)
10. 巳知a,b,c是三条不重合的直线，平面 ,相交于直线c,a ,b , 若a,b为异面直线，则
进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要
10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另
投入成本f(x)
1
2
x2
20 x, 0
x
500,
x
N,
(单位：元)．同时为了满足防疫要
410x
3600000 x
100000,
x
≥
500,
下列说法可能成立的是
A.a与c相交，且b与c也相交
B.a//，且b//
C.a//c，且 b与c 相交
D. ac，且 bc
11. 已知点 P(1, −1)是角终边上的一点，则

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（ ）补全频率分布直方图；
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）

则 的最小值为36.
故答案为：36.
【点睛】
与抛物线的焦点有关问题的解题策略：
1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；
2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点 到焦点 的距离： 或 .
7．A
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】
设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
求导得到 ， ，放缩得到导函数的正负，结合特殊值排除得到答案.
【详解】
，则 ； ，则 ，
当 时， ，函数单调递增，
，函数单调递增，A满足；
，故B不满足； ，故C不满足；
当 时， ， ，故D满足.
故选：AD.
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，利用导数判断函数的单调性，意在考查学生的计算能力和应用能力.
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