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第17讲长方形和正方形2方形和正方形，从而用相关的公式进行计算。
这一讲将继续讨论一些更为复杂的图形的解题技巧。
例1 有一块长方形的土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周围是草坪(如右图),草坪的面积是多少平方米(单位：米)? 解 20×(20÷2)-1×1=20×10-1×1=200-1=199(平方米)答：草坪的面积是199平方米。
【思路点拨】草坪的面积就是长方形土地的面积减去正方形雕塑的底面积。
求长方形的面积要知道长和宽，现在已知长是20米，是宽的2倍，可以先求出宽，再求出长方形土地的面积。
像这样的图形的面积可以用减法，它们的面积差就是我们要求的空白部分的面积。
例2 如右图，是由6个相同的等腰直角三角形拼成的图形，求这个图形的面积(单位：分米)。
解 4×4÷4×6=16÷4×6=4×6=24(平方分米)答：这个图形的面积是24平方分米。
【思路点拨】 这个图形既不是长方形，也不是正方形，像这样不规则的图形，一般是把它分解成我们学过的图形来思考和计算。
中间的正方形是由4个相同的三角形组成的，所以每个三角形的面积就只要用正方形的面积除以4即可。
中间的正方形的面积是4×4=16(平方分米);那 么一个三角形的面积就是16÷4=4(平方分米)。
由于图形是由6个相同的三角形拼成的，所以可以用一个三角形的面积乘6求出来。
例3 如右图，已知大正方形的边长比小正方形多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。
求：大正方形和小正方形的面积各是多少?解 (1)小正方形的边长：(96-4×4)÷2÷4=8O÷2÷4=10(厘米)(2)小正方形的面积是：10×10=100(平方厘米)(3)大正方形的面积是：(10+4)×(10+4)=14×14=196(平方厘米)或100+96=196(平方厘米)答：小正方形的面积是100平方厘米，大正方形的面积是196平方厘米。
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形示例体积公式相关要素长方体V abh = V Sh =三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法例题精讲长方体与正方体（二）③先补后去法④实际操作法⑤画图建模法【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于立方厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯， 6年级，第16题，6分【解析】由题意知长、宽、高的和为2847÷=，又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是1、2、4，所以体积为8立方厘米【答案】8【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】对于图c来说，每个小方块都摞了2层，最多有6块。
【答案】6【例 3】一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报，决赛【解析】0.078(1.30.3)0.2÷⨯=(米)．0.2米=2分米．⨯⨯-=(立方米)．1.30.30.30.0780.039所以这根木料的高是2分米；算错后，这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米．【答案】0.039【例 4】如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。
小学奥数讲义：长方体与正方体长方体和正方体是几何学中常见的基本图形。
其中，正方体的棱长和等于棱长的12倍，长方体的棱长和等于长、宽、高三个边长的和的4倍。
此外，长方体和正方体的表面积都是其6个面积的总和，计算方法不同。
长方体的表面积等于长乘以宽加上长乘以高再加上宽乘以高的2倍，而正方体的表面积等于棱长的平方乘以6.在特殊情况下，如计算游泳池粉刷面积、饮料包装纸面积等，可以只计算部分面积或单个面积。
正方体的体积等于棱长的立方，而长方体的体积等于长、宽、高三个边长的乘积。
通用体积公式为底面积乘以高。
例题1：一个长方体的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、6厘米。
如果从中切下一个最大的正方体，其体积应为64立方厘米。
如果将长方体切成若干个大小一样的正方体，最少能切成6块。
如果用若干个这样相同的长方体拼成一个更大的正方体，至少需要8个长方体。
例题2：一个长方体的长、宽、高分别为16厘米、6厘米、8厘米。
将其切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积和的最大值为272平方厘米，最小值为208平方厘米。
例题3：一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，此时正方体的表面积为96平方厘米。
原来长方体的体积为320立方厘米。
例题4：一个长方体纸盒的长为8厘米，宽为长的一半，其棱长总和为20厘米，因此其高为4厘米。
例题5：一个底面长为25厘米、宽为20厘米、体积为160立方厘米的长方体，其两个侧面的面积分别为20厘米和32厘米。
求其底面的面积，即阴影部分的面积。
答案为128平方厘米。
例题6：一个长方体，底面长为25厘米，宽为20厘米，盛有水。
当一个正方体木块放入水中时，水面升高了1厘米。
因此正方体木块的棱长为5厘米。
例题7：一个底面边长为8厘米、高为16厘米的长方体中，装有水和一个球形铁块。
放入铁块后，水面上升了2厘米，取出铁块后水面下降了5厘米。
求球形铁块的体积。
答案为约33.51立方厘米。
例题8：一个棱长为5的正方体，将其表面涂成红色，切成棱长为1的小正方体后，其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体分别有16、24、20块。
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．教学目标知识要点7-8-2.几何计数（二）例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数教学目标例题精讲知识要点7-8-2.几何计数（二）【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
长方形正方形总结长方形和正方形是两种常见的平面图形，它们在几何学中有着重要的地位。
本文将对长方形和正方形的定义、性质、计算方法、应用以及其他相关知识进行总结，总结长度为1000字。
首先，长方形是一种有四个直角的四边形，它的四条边的长度可以分为两对相等的边。
长方形是一种特殊的平行四边形，两对对边分别平行。
另外，长方形的对角线长度相等。
长方形的特殊情况是正方形，也是一种长方形，它的四条边的长度相等，每个角都是直角。
正方形也可以看作是一种特殊的长方形，具有更多的对称性。
长方形和正方形有许多相似的性质。
首先，长方形和正方形的面积可以通过边长计算得出。
长方形的面积是宽度乘以长度，正方形的面积是边长的平方。
其次，长方形和正方形的周长也可以通过边长计算得出。
长方形的周长是宽度乘以2加上长度乘以2，正方形的周长是边长乘以4。
另外，长方形和正方形的对角线长度也可以用边长求得。
长方形的对角线长度可以通过宽度和长度的平方和开平方得出，正方形的对角线长度是边长的平方根乘以根号2。
此外，长方形和正方形还有其他特殊的性质，比如相邻边是垂直的，对角线相互垂直等等。
长方形和正方形在几何学中有着广泛的应用。
首先，它们是建筑设计中常见的平面形状，在房屋和建筑物的设计和规划中得到广泛应用。
其次，长方形和正方形在地理学中也有重要的应用，比如地图的绘制和测量中，将地球表面划分为方形网格可以简化计算和测量。
此外，长方形和正方形还有许多其他应用，比如画框设计、布局规划、图形设计等等。
除了上述的基本定义和应用，长方形和正方形还有一些有趣的特征和定理。
例如，正方形具有最大的面积和最小的周长，这是由于正方形的边长相等。
另外，长方形的对角线还满足勾股定理，即对角线的平方等于宽度的平方加上长度的平方。
这些特征和定理都是几何学中的重要知识，对于解决实际问题和理解几何形状的属性都具有重要意义。
综上所述，长方形和正方形是几何学中常见的平面图形，它们具有许多重要的性质和应用。
【篇一】小学三年级数学《长方形和正方形》知识点1、有4条直的边和4个角封闭图形我们叫它四边形。
2、四边形的特点：有四条直的边，有四个角。
3、长方形的特点：长方形有两条长，两条宽，四个角都是直角，对边相等。
4、正方形的特点：有4个直角，4条边相等。
5、长方形和正方形是特殊的平行四边形。
6、平行四边形的特点：①对边相等、对角相等。
②平行四边形容易变形。
（三角形不容易变形）7、封闭图形一周的长度，就是它的周长。
8、公式：长方形的周长=（长+宽）×2或长×2+宽×2长方形的长=周长÷2-宽长方形的宽=周长÷2-长正方形的周长=边长×4正方形的边长=周长÷4【篇二】小学三年级数学《长方形和正方形》教案教学内容：人教版教科书第85页例题4及做一做练习十九第1、2、3题。
教学目标：1、让学生探索长方形、正方形的周长计算公式，并能熟练地计算长方形、正方形的周长。
让学生学会解决有关长方形、正方形周长计算的简单实际问题。
培养学生的观察比较、分析推理能力和空间想象力。
2、经历探索活动，进行归纳，概括出长方形、正方形周长的计算公式。
3、让学生体会数学与日常生活的密切联系，初步了解数学的价值，发现日常生活中的数学现象，并有探究的欲望。
教学重点：探索并发现长方形和正方形周长的计算方法，会求长方形和正方形的周长。
教学难点：引导学生在探究活动中感悟和发现长方形和正方形周长计算的特殊性。
教学准备：多媒体课件、教具教学过程：一、导（3分钟）1、（课件出示长方形和正方形图片）同学们，你们认识这两个图形吗？你能说一说它们分别有什么特点吗？2、你能分别指出这个长方形和正方形的周长吗？3、看来同学们上节课的知识掌握得不错，今天这节课我们一起来探究长方形和正方形的周长计算方法。
板书课题“长方形、正方形的周长计算”二、思（10分钟）（一）探究长方形周长1、计算长方形的周长，需要知道什么？2、可以怎样知道长和宽的长度？需要测量哪几条边？为什么？3、学生活动：请同学们拿出学具长方形进行测量并记录数据。
暑期三升四数学思维讲义之一长方形、正方形的周长 姓名：绕物体表面或平面图形外围一周的度，叫做周长。
（一般是平面图形外围一周的长度）1、 把外围一周的所有线段的长度全部相加；2、 利用平移法将“凹凸”图形平移成规则图形，再加上没有计算的部分；3、 发生分割周长和变大，分割一次增加两条边；4、 《5、 发生拼合周长和变小，拼合一次减少两段。
例题1、如图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A 路线走，小玲沿B 路线走，如果两人速度一样，谁先到少儿书店，为什么)例题2、如图所示，两个大小一样的正方形拼成一个长方形后周长比原来两个正方形的周长和少了6厘米，现在长方形的周长是多少厘米例题3、如图所示，是6个边长为2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米~例题4、如图所示，将一个边长为36厘米的正方形剪成4个完全一样的小正方形纸片，问这4个小正方形的周长和比原来的大正方形的周长多了多少厘米例题5、把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长臂宽多18厘米，长和宽各是多少厘米:例题6、如图所示，有一张长方形的纸片长是28厘米，宽15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从剩下的纸片中再剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形的周长是多少厘米,1、求下面图形的周长（单位：米）(学校少儿书店A B150米200米28厘米15厘米第二次剪下第一次剪下2米3米12126040方法技巧 例题精讲习题精练2、如图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。
,3、把6个长4厘米，宽3厘米的小长方形拼成一个大长方形，这个大长方形的周长是多少4、一个正方形，边长是5厘米，将9个这样的正方形拼成一个大正方形，大正方形的周长比所有小正方形的周长和少了多少厘米%5、把一个边长为20厘米的正方形剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形的周长和比原来正方形的面积增加了多少厘米~6、小华家给长方形的院子装上篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆共长16米，而长方形的长是宽的2倍，长和宽各是多少米7、一根铁丝长100厘米，围成一个边长为10厘米的正方形，余下的铁丝围成一个宽为10厘米的长方形，这个长方形的长是多少厘米]8、一根绳子长78厘米，围成一个长12厘米宽9厘米的长方形，余下的围成一个正方形，正方形的边长是多少厘米9、三个一样的长方形拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。
