2017-2018学年高中数学人教B版 选修1-1教师用书：第2

2.2.2 双曲线的几何性质

1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．

2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)

3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理 双曲线的简单几何性质

阅读教材P51～P52例1以上部分，完成下列问题．

1．双曲线的简单几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1

(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1

(a＞0，b＞0)

图形

性

质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a

对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)

轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b

离心率 e＝ca且e＞1 渐近线 y＝±bax y＝±abx

2.等轴双曲线

(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0)．

(2)性质：①渐近线方程为：y＝±x.

②离心率为：e＝2.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)双曲线是中心对称图形．( )

(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长．( )

(3)方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax.( )

(4)离心率e越大，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )

【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_____________________________________________________

解惑：______________________________________________________

疑问2：_____________________________________________________

解惑：______________________________________________________

疑问3：_____________________________________________________

解惑：_______________________________________________________

[小组合作型]

双曲线的几何性质

(1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )

A.12 B.22

C．1 D.2

(2)(2014·广东高考)若实数k满足0

A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等

C．离心率相等 D．焦距相等

(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( ) 【导学号：25650067】

A.3＋1 B.2＋1

C．23 D．22

【自主解答】 (1)双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，∴x±y＝0，∴顶点到渐近线的距离为d＝|±1±0|2＝22.

(2)因为0

(3)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90°，

∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，

∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，

∴(2a＋2c)2＝2·(2c)2，

即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，

得e2－2e－1＝0.

∵e＞1，∴e＝2＋1.

【答案】 (1)B (2)D (3)B

由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤

[再练一题]

1．(1)已知双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.

【解析】 由双曲线x2－y2b2＝1，得a＝1，∴b1＝2，b＝2.

【答案】 2

(2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【导学号：25650068】

【解】 将原方程转化为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，

因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，

焦点坐标为F1(－13，0)，F2(13，0)，

实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，

离心率e＝ca＝133，

渐近线方程y＝±23x.

利用双曲线的几何性质求其标

准方程

分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；

(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质．

【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为

x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．

由题意知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.

(2)当焦点在x轴上时，由ba＝32且a＝3得b＝92.

∴所求双曲线的标准方程为x29－4y281＝1.

当焦点在y轴上时，由ab＝32且a＝3得b＝2.

∴所求双曲线的标准方程为y29－x24＝1.

(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2.

∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.

1．一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝ca列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．

2．如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±bax，那么此双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．

[再练一题]

2．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： 【导学号：25650069】

(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；

(2)双曲线过点(3,92)，离心率e＝103.

【解】 (1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，

得b2＝1.

故双曲线C的方程为x23－y2＝1.

(2)由e2＝109，得c2a2＝109，设a2＝9k(k>0)，

则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.

于是，设所求双曲线方程为x29k－y2k＝1，①

或y29k－x2k＝1，②

把(3,92)代入①，得k＝－161与k>0矛盾；

把(3,92)代入②，得k＝9，

故所求双曲线方程为y281－x29＝1.

[探究共研型]

直线与双曲线的位置关系

探究1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？

【提示】 判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系． 探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？

【提示】 直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．

已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1.

(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；

(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；

(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围．

【精彩点拨】 将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论．

【自主解答】 把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，

整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0.

(1)∵直线与双曲线有两个公共点，

∴判别式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2＞0，

且3－a2≠0，得－6＜a＜6，且a≠±3.

故当－6＜a＜6，且a≠±3时，直线与双曲线有两个公共点．

(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，

∴ Δ＝24－4a2＝0，3－a2≠0或3－a2＝0，

∴a＝±6或a＝±3.故当a＝±6或a＝±3时，直线与双曲线只有一个公共点．

(3)∵直线与双曲线没有公共点，

∴3－a2≠0，且Δ＝24－4a2＜0.∴a＞6或a＜－6.

故当a＞6或a＜－6时，直线与双曲线没有公共点．

1．研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．

2．直线与双曲线有三种位置关系

(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．

(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过