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2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（下）第六次模拟数学试卷（理科）（3月份）一、选择题：木大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的.1. 在复平面内，已知复数z对应的点与复数−2−i对应的点关于实轴对称，则zi=() A.1−2i B.1+2i C.−1+2i D.−1−2i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由已知求得z，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由题意，z＝−2+i，则zi =−2+ii=(−2+i)(−i)−i2=1+2i．2. 已知集合A＝{(x, y)|2x+y＝0}，B＝{(x, y)|x+my+1＝0}．若A∩B＝⌀，则实数m＝（）A.−2B.−12C.12D.2【答案】C【考点】交集及其运算【解析】利用A∩B＝⌀，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，得出结论．【解答】因为A∩B＝⌀，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，所以m=12，3. 在等比数列{a n}中，已知a3＝6，a3−a5+a7＝78，则a5＝（）A.12B.18C.24D.36【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】根据题意，设{a n}公比为q，由等比数列的通项公式可得6−6q2+6q4＝78，解可得q2的值，计算可得答案．【解答】根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，已知a 3＝6，a 3−a 5+a 7＝78，则6−6q 2+6q 4＝78，解可得q 2＝4或q 2＝−3，舍； 故a 5＝6q 2＝24，4. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）A.f(x)＝ln (1−x)−ln (1+x)B.f(x)=2x +12x −1C.f(x)＝2x +2−xD.f(x)＝x 2ln (1+x 2)【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】由程序框图可知，函数f(x)为奇函数且存在零点，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】由程序框图可知，函数f(x)为奇函数且存在零点．对于A 、f(x)＝ln (1−x)−ln (1+x)，定义域为(−1, 1)，且f(−x)＝ln (1+x)−ln (1−x)＝−[ln (1−x)−ln (1+x)]＝−f(x)，函数为奇函数，又f(0)＝0，函数存在零点；对于B 、f(x)=2x +12x −1，∵ 在定义域内2x +1>0恒成立，∴ f(x)不存在零点； 对于C 、f(x)＝2x +2−x >0恒成立，f(x)不存在零点；对于D 、f(x)＝x 2ln (1+x 2)，定义域为R ，f(−x)＝f(x)，函数为偶函数． ∴ 可以输出的函数为f(x)＝ln (1−x)−ln (1+x)，5. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上a(a >0)得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A.这组新数据的平均不变 B.这组新数据的平均数为am C.这组新数据的方差为a 2n D.这组新数据的方差不变【答案】 D【考点】众数、中位数、平均数 极差、方差与标准差 【解析】考查平均数和方差的性质，基础题． 【解答】设这一组数据为X＝(a1,…a n)，由E(X+a)＝E(X)+a，D(X+a)＝D(X)，6. 直线x−y+m＝0与圆x2+y2−2x−1＝0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）A.0<m<1B.−4<m<0C.m<1D.−3<m<1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】圆的标准方程为(x−1)2+y2＝2，圆心为(1, 0)，半径r=√2，若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离d=√2<√2，即|1+m|<2，得−2<1+m<2，得−3<m<1，则−3<m<1的一个必要不充分条件是m<1，7. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p+2是素数，素数对(p, p+2)称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A.1 14B.17C.314D.13【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】20以内的素数共有8个，从中选两个共包含n=C82=28个基本事件，利用列举法求出20以内的孪生素数包含4个基本事件，由此能求出从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率．【解答】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含n=C82=28个基本事件，而20以内的孪生素数有(3, 5)，(5, 7)，(11, 13)，(17, 19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为p=428=17．8. 设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与圆C′:x2+(y−√3)2＝3交于MN 两点，若|MN|=√6，则P＝（）A.√22B.√32C.√2D.√3B【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】由圆的方程可得过原点，而抛物线的顶点为原点，所以抛物线与圆的取值一个交点为原点O，设另一个交点M的坐标，由MN的值可得M的坐标与p的关系，两个方程联立可得M的纵坐标，代入MN的值可得p的值．【解答】由题意可得圆C′的圆心为：(0, √3)，半径为√3，过原点O，而抛物线的顶点在原点，即抛物线与圆的其中一个交点为O与N重合，设M坐标(y022p , y0)，由题意|MN|＝6可得y044p2+y02＝6，①，联立抛物线与圆的方程{x0=y022px02+(y0−√3)2=3可得：y044p2+y02−2√3y0②，①②联立可得：y0=√3，代入①可得94p2+3＝6，p>0，解得：p=√32，9. 在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=14BB1，CF=12CC1，则（）A.D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B.D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C.D1E＝AF，且直线D1E，AF异面D.D1E＝AF，且直线D1E，AF相交【答案】A【考点】异面直线的判定【解析】作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面．【解答】∵D1E=√D1B12+B1E2=√17,AF=√AC2+CF2=√12≠D1E，如图，取点M为BC的中点，则AD1 // MF，故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，故直线D1E，AF异面．10. 己知奇函数f(x)＝2cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ≤π)满足f(π4+x)＝f(π4−x)．则ω的取值可能是（）A.4B.6C.8D.12【答案】B【考点】余弦函数的对称性根据函数的奇偶性和对称性，建立方程关系进行求解即可． 【解答】∵ f(x)＝2cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ≤π) ∴ φ=π2，则f(x)＝2cos (ωx +π2)＝−2sin ωx ，∵ f(π4+x)＝f(π4−x)． ∴ x =π4是函数的一条对称轴，则π4ω＝kπ+π2，即ω＝4k +2，k ∈Z 当k ＝0时，ω＝2， 当k ＝1时，ω＝6， 当k ＝2时，ω＝10， 当k ＝3时，ω＝14，11. 直线x ＝2与双曲线x 216−y 29=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP →=aOA →+bOB →（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A.|ab|＝2 B.a 2+b 2≥4C.|a −b|≥2D.|a +b|≥2【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可得A ，B 的坐标再由OP →=aOA →+bOB →可得P 的坐标，由P 在双曲线上可得ab ＝1，进而可得所给命题的真假，选出结果． 【解答】由题意，双曲线的渐近线方程为y =±34x ，联立直线x ＝2，解得y =±32，∴ 不妨设A(2, 32)，B(2, −32)，P(x, y)，∵ OP →=aOA →+bOB →，∴ x ＝2a +2b ，y =32a −32b ， ∵ P 为双曲线C 上的任意一点，∴(2a+2b)216−(32a−32b)29=1，∴ ab ＝1，∴ (a +b)2＝a 2+b 2+2ab ≥4ab ＝4 （a ＝b 时等号成立），可得|a +b|≥2，12. 已知函数f(x)＝ln x −12ax 2+(a −1)x +a(a >0)的值域与函数f （f(x)）的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A.(0, 1] B.(1, +∞)C.(0,43] D.[43, +∞)【答案】【考点】函数的值域及其求法【解析】求出f(x)的单调区间和值域，从而得出f(x)的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围【解答】函数f(x)＝ln x−12ax2+(a−1)x+a(a>0)，其定义域满足：x>0．则f′(x)=1x−ax+(a−1)(a>0)令f′(x)＝0，可得x=−1a（舍去），x＝1．当x∈(0, 1)时，f′(x)>0，f(x)在区间(0, 1)递增；当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0，f(x)在区间(1, +∞)递减；∴当x＝1时，f(x)取得最大值为32a−1；f(x)）的值域为(−∞, 32a−1]，∴函数f（f(x)）的值域为(−∞, 32a−1]，则32a−1≥1；解得：a≥43．则a的取值范围为[43, +∞)；二、填空题：本大共4小题.每小题5分．已知(1x+√x)n的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为________．【答案】15【考点】二项式定理及相关概念【解析】令x＝1得所有项的系数之和为2n＝64，解得n＝6，再根据通项公式可得其展开式中的常数项．【解答】令x＝1，可得(1x+√x)n的展开式的所有项的系数和为2n＝64，n＝6．故已知(1x +√x)n=(1x+√x)6，故它的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅x32r−6，令3r2−6＝0，求得r＝4，可得其展开式中的常数项为C64=15，如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．【答案】√2【考点】异面直线及其所成的角【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，可得C1D=√2AD，从而可得结论．【解答】解：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则∵C是圆柱下底面弧AB的中点，∴AD // BC∴直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角∵C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，∴C1D⊥圆柱下底面∴C1D⊥AD∵圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，∴C1D=√2AD∴直线AC1与AD所成角的正切值为√2∴异面直线AC1与BC所成角的正切值为√2故答案为：√2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2＝1，S5+S7>31，则S10的取值范围是________．【答案】(45, +∞)【考点】等差数列的性质【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式，解不等式可得d的范围，进而可求．【解答】∵a2＝1，S5+S7>31，∴ S 5+S 7＝5a 3+7a 4＝5(1+d)+7(1+2d)>31， ∴ d >1，∴ S 10＝10a 1+45d ＝10(1−d)+45d ＝10+35d >45．已知函数f(x)={2x ,x ≤ax 2,x >a，①若a ＝1，则不等式f(x)≤2的解集为________；②若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)−b 有两个零点，则a 的取值范围是________． 【答案】(−∞, √2],(−∞, 2)∪(4, +∞) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】第一空：将a ＝1代入可得f(x)解析式，进而可解得f(x)≤2的解析； 第二空：分类讨论a 的情况即可． 【解答】①当a ＝1时，f(x)={2x ,x ≤1x 2,x >1 ，则令f(x)≤2，即有2x ≤2或x 2≤2，解得x ≤1或1<x ≤√2，故f(x)≤2的解集为(−∞, √2]；②由函数g(x)＝f(x)−b 只有一个零点时，2x ＝x 2时，x ＝2或x ＝4， 当a ＝2时，f(x)={2x ,x ≤2x 2,x >2 ，此时g(x)＝f(x)−b 只有一个零点；当a <2时，g(x)有2个零点；同理当a ＝4时，f(x)={2x ,x ≤4x 2,x >4，g(x)＝f(x)−b 只有一个零点；当a >4时，有2个零点，故可得a 的取值范围是(−∞, 2)∪(4, +∞)，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题；共60分.在①3c 2＝16S +3(b 2−a 2)；②5b cos C +4c ＝5a ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，已知 ① ． （1）求tan B 的值；（2）若S ＝42，a ＝10，求b 的值． 【答案】∵ 3c 2＝16S +3(b 2−a 2)，∴ 3(c 2+a 2−b 2)＝16s 即3×2ac cos B ＝16×12ac sin B ， 所以3cos B ＝4sin B 即tan B =34； 由（1）可得sin B =35，cos B =45，∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14，由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2．选②5b cos C +4c ＝5a ，（1）5b ×a 2+b 2−c 22ab+4c ＝5a ，5a 2+5b 2−5c 2+8ac ＝10a 2， 5a 2+5c 2−5b 2＝8ac ， cos B =a 2+c 2−b 22ac =45，B ∈(0, π)，sin B =35，故tan B =34．（2）由（1）可得sin B =35，cos B =45， ∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14， 由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2． 【考点】 正弦定理 【解析】（1）先对选项结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求tan B ，（2）结合（1）可求cos B ，然后利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解． 【解答】∵ 3c 2＝16S +3(b 2−a 2)，∴ 3(c 2+a 2−b 2)＝16s 即3×2ac cos B ＝16×12ac sin B ， 所以3cos B ＝4sin B 即tan B =34；由（1）可得sin B =35，cos B =45，∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14， 由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2．选②5b cos C +4c ＝5a ，（1）5b ×a 2+b 2−c 22ab+4c ＝5a ，5a 2+5b 2−5c 2+8ac ＝10a 2， 5a 2+5c 2−5b 2＝8ac ， cos B =a 2+c 2−b 22ac =45，B ∈(0, π)，sin B =35，故tan B =34．（2）由（1）可得sin B =35，cos B =45， ∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14， 由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2．如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB // CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90∘，BC ＝CD =AB 2=2．（1）证明：BD ⊥PD ；（2）若△PAD 为正三角形，求二面角A −PB −C 的余弦值． 【答案】证明：∵ BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形， ∴ AD =2√2,BD =2√2,AD 2+BD 2=AB 2， ∴ BD ⊥AD ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴ 由面面垂直性质可知，BD ⊥平面PAD ， 而PD 在平面PAD 内， ∴ BD ⊥PD ；如图所示，建立空间直角坐标系，D(0,0,0),A(2√2,0,0),B(0,2√2,0),C(−√2,√2,0)，则AP →=(−√2,0,√6),AB →=(−2√2,2√2,0)，PC →=(−2√2,√2,−√6),BC →=(−√2,−√2,0)，设平面PAB 的法向量为n →=(x,y,z)，则{−√2x +√6z =0−2√2x +2√2y =0，可取n →=(1,1,√33)，设平面PCB 的法向量为m →=(x,y,z)，则{−√2x +√2y −√6z =0−√2x +√2y =0，可取m →=(1,−1,−√3)，设二面角A −PB −C 的平面角为α，由图观察可知α为钝角， ∴ cos α=−|n →⋅m →||n →||m →|=−√10535．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】（1）先证明BD ⊥平面PAD ，再证明 BD ⊥PD ；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A −PB −C 的余弦值． 【解答】证明：∵ BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形， ∴ AD =2√2,BD =2√2,AD 2+BD 2=AB 2， ∴ BD ⊥AD ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴ 由面面垂直性质可知，BD ⊥平面PAD ， 而PD 在平面PAD 内， ∴ BD ⊥PD ；如图所示，建立空间直角坐标系，D(0,0,0),A(2√2,0,0),B(0,2√2,0),C(−√2,√2,0)，则AP →=(−√2,0,√6),AB →=(−2√2,2√2,0)，PC →=(−2√2,√2,−√6),BC →=(−√2,−√2,0)，设平面PAB 的法向量为n →=(x,y,z)，则{−√2x +√6z =0−2√2x +2√2y =0，可取n →=(1,1,√33)，设平面PCB 的法向量为m →=(x,y,z)，则{−√2x +√2y −√6z =0−√2x +√2y =0，可取m →=(1,−1,−√3)，设二面角A −PB −C 的平面角为α，由图观察可知α为钝角， ∴ cos α=−|n →⋅m →||n →||m →|=−√10535．某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60, 140），按照[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)，[100, 110)，[110, 120)，[120, 130)，[130, 140)的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70, 90)内的所有数据的茎叶图如图2所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表( c )．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【答案】由题意可知，样本容量n =30.006×10=50⋯解得x =550×10=0.01⋯y =1−(0.04+0.06×2+0.1×2+0.2+0.3)10=0.014⋯成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)×10＝15人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是1550=310，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为310⋯记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E ； 则P(E)=1−(1−310)3=6571000⋯成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2＝7人，故随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3 所以，P(ξ=0)=C 73C 223=144，P(ξ=1)=C 72C151C 223=944，P(ξ=2)=C 71C152C 223=2144，P(ξ=3)=C 70C153C 223=1344⋯故随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×144+1×944+2×2144+3×1344=4522⋯ 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）由题意可知，样本容量n =30.006×10，再根据频率分布直方图的性质即可得出x ，y ． （2）成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)×10人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是1550，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为310．记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E ；进而得出P(E)＝1−(1−310)3即可得出．（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2＝7人，可得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布列即可得出． 【解答】由题意可知，样本容量n =30.006×10=50⋯ 解得x =550×10=0.01⋯y =1−(0.04+0.06×2+0.1×2+0.2+0.3)10=0.014⋯成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)×10＝15人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是1550=310，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为310⋯记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E ； 则P(E)=1−(1−310)3=6571000⋯成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2＝7人，故随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3 所以，P(ξ=0)=C 73C 223=144，P(ξ=1)=C 72C151C 223=944，P(ξ=2)=C 71C152C 223=2144，P(ξ=3)=C 70C153C 223=1344⋯故随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×144+1×944+2×2144+3×1344=4522⋯已知A(x 0, 0)，B(0, y 0)两点分别在x 轴和y 轴上运动，且|AB|＝1，若动点P(x, y)满足OP →=2OA →+√3OB →．（1）求出动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆x 2+y 2＝7相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），求直线OP 1，OP 2的斜率之积． 【答案】因为OP →=2OA →+√3OB →．即(x, y)＝2(x 0, 0)+√3(0, y 0)＝(2x 0, √3y 0) 所以x ＝2x 0，y =√3y 0；， 所以x 0=12x ，y 0=√33y ；又因为|AB|＝1，所以x 02+y 02＝1，即x 24+y 23=1．所以曲线C 的标准方程为x 24+y 23=1．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +m ． 由方程组{y =kx +m x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12＝0．∵ 直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴ △1＝(8km)2−4(4k 2+3)(4m 2−12)＝0，即m 2＝4k 2+3．① 由方程组{y =kx +mx 2+y 2=7 得(k 2+1)x 2+2kmx +m 2−7＝0， 则△2＝(2km)2−4(k 2+1)(m 2−7)>0． 设P 1(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2kmk 2+1，②x 1x 2=m 2−7k 2+1，③设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2；将①②③代入上式，得k 1k 2=−34．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x ＝±2． 此时，圆x 2+y 2＝7与l 的交点P 1，P 2也满足k 1k 2=−34． 综上，直线OP 1，OP 2的斜率之积的斜率之积为定值−34．【考点】轨迹方程 【解析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得，进而分析x 0、y 0满足的条件，代入分析可得答案；（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +m ；与椭圆联立判别式为0得m 2＝4k 2+3．①；与圆联立得x 1+x 2=−2kmk 2+1，②x 1x 2=m 2−7k 2+1，③与斜率之积相结合即可得到结论；当斜率不存在时也成立即可．【解答】因为OP →=2OA →+√3OB →．即(x, y)＝2(x 0, 0)+√3(0, y 0)＝(2x 0, √3y 0) 所以x ＝2x 0，y =√3y 0；， 所以x 0=12x ，y 0=√33y ； 又因为|AB|＝1，所以x 02+y 02＝1，即x 24+y 23=1．所以曲线C 的标准方程为x 24+y 23=1．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +m ．由方程组{y=kx+mx24+y23=1得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12＝0．∵直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，∴△1＝(8km)2−4(4k2+3)(4m2−12)＝0，即m2＝4k2+3．①由方程组{y=kx+mx2+y2=7得(k2+1)x2+2kmx+m2−7＝0，则△2＝(2km)2−4(k2+1)(m2−7)>0．设P1(x1, y1)，P(x2, y2)，则x1+x2=−2kmk2+1，②x1x2=m2−7k2+1，③设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以k1k2=y1y2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)x1x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2；将①②③代入上式，得k1k2=−34．当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x＝±2．此时，圆x2+y2＝7与l的交点P1，P2也满足k1k2=−34．综上，直线OP1，OP2的斜率之积的斜率之积为定值−34．已知函数f(x)=ax−1+ln x（a∈R，a为常数）．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在(e, +∞)内有极值，试比较e a−1与a e−1的大小，并证明你的结论．【答案】定义域为(0, 1)∪(1, +∞)，f′(x)=1x −a(x−1)2=x2−(a+2)x+1x(x−1)2，设ℎ(x)＝x2−(a+2)x+1，△＝(a+2)2−4，当−4≤a<0时，△＝(a+2)2−4<0，此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a<−4时，函数ℎ(x)＝x2−(a+2)x+1图象开口向上，对称轴x=a+22<0，又ℎ(0)＝1>0，所以此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a>0时，△＝(a+2)2−4>0，设ℎ(x)＝x2−(a+2)x+1有两个不同的实根x1，x2，共中x1+x2＝a+2>0，x1x2＝1，令0<x1<1<x2，则x1=(a+2)−√a2+4a2，x2=(a+2)+√a2+4a2，令f′(x)>0，得0<x<x1或x>x2；令f′(x)<0，得x1<x<1或1<x<x2，故函数f(x)在(0, x1)上是增函数，在(x2, +∞)上是增函数，在(x1, 1)，(1, x2)上单调单调递减．当a >0时，函数f(x)在(0, (a+2)−√a 2+4a2)上是增函数，在((a+2)+√a 2+4a2, +∞)上是增函数，在((a+2)−√a 2+4a2, 1)是减函数，在(1, (a+2)+√a 2+4a2)上是减函数．当a ＝0时，函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数； 要使y ＝f(x)在(e, +∞)上有极值，由（1）知a >0，①则ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有一变号零点在区间(e, +∞)上，不妨设x 2>e ， 又因为x 1x 2＝1，∴ 0<x 1<1e <e <x 2，又ℎ(0)＝1， ∴ 只需ℎ(1e )<0，即1e 2−(a +2)1e+1<0，∴ a >e +1e−2，②联立①②可得：a >e +1e−2．从而e a−1与a e−1均为正数．要比较e a−1a e−1与的大小，同取自然底数的对数， 即比较(a −1)ln e 与(e −1)ln a 的大小，再转化为比较ln ee−1与ln aa−1的大小．构造函数φ(x)=ln xx−1(x >1)，则φ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2，再设m(x)＝1−1x −ln x ，则m ′(x)=1−x x 2，从而m(x)在(1, +∞)上单调递减，此时m(x)<m(1)＝0，故φ′(x)<0在(1, +∞)上恒成立，则φ(x)=ln xx−1在(1, +∞)上单调递减．综上所述，当a ∈(e +1e −2, e)时，e a−1<a e−1；当a ＝e 时，e a−1＝a e−1；当a ∈(e, +∞)时，e a−1>a e−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】（1）求出f(x)的导数，通过讨论a 的取值范围，确定函数的单调区间即可．（2）由（1）知a >0，①则ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有一变号零点在区间(e, +∞)上，不妨设x 2>e ，又因为x 1x 2＝1，所以0<x 1<1e <e <x 2，又ℎ(0)＝1，所以只需ℎ(1e)<0，得a >e +1e−2，②联立①②可得：a >e +1e−2．从而e a−1与a e−1均为正数．要比较e a−1a e−1与的大小⇒同取自然底数的对数，即比较(a −1)与(e −1)ln a 的大小⇒再转化为比较ln ee−1与ln aa−1的大小．构造函数φ(x)=ln xx−1(x >1)，求导，分析单调性，讨论a 的取值范围，进而得出结论． 【解答】定义域为(0, 1)∪(1, +∞)， f ′(x)=1x −a(x−1)2=x 2−(a+2)x+1x(x−1)2，设ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1，△＝(a +2)2−4，当−4≤a <0时，△＝(a +2)2−4<0，此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立， 故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a <−4时，函数ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1图象开口向上，对称轴x =a+22<0，又ℎ(0)＝1>0，所以此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a >0时，△＝(a +2)2−4>0，设ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有两个不同的实根x 1，x 2，共中x 1+x 2＝a +2>0，x 1x 2＝1，令0<x 1<1<x 2，则x 1=(a+2)−√a 2+4a2，x 2=(a+2)+√a 2+4a2，令f′(x)>0，得0<x <x 1或x >x 2；令f′(x)<0，得x 1<x <1或1<x <x 2，故函数f(x)在(0, x 1)上是增函数，在(x 2, +∞)上是增函数，在(x 1, 1)，(1, x 2)上单调单调递减．当a >0时，函数f(x)在(0, (a+2)−√a 2+4a2)上是增函数，在((a+2)+√a 2+4a2, +∞)上是增函数，在((a+2)−√a 2+4a2, 1)是减函数，在(1, (a+2)+√a 2+4a2)上是减函数．当a ＝0时，函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数； 要使y ＝f(x)在(e, +∞)上有极值，由（1）知a >0，①则ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有一变号零点在区间(e, +∞)上，不妨设x 2>e ， 又因为x 1x 2＝1，∴ 0<x 1<1e <e <x 2，又ℎ(0)＝1，∴ 只需ℎ(1e )<0，即1e 2−(a +2)1e +1<0，∴ a >e +1e −2，② 联立①②可得：a >e +1e −2．从而e a−1与a e−1均为正数．要比较e a−1a e−1与的大小，同取自然底数的对数，即比较(a −1)ln e 与(e −1)ln a 的大小，再转化为比较ln e e−1与ln aa−1的大小． 构造函数φ(x)=ln xx−1(x >1)，则φ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2，再设m(x)＝1−1x −ln x ，则m ′(x)=1−x x ，从而m(x)在(1, +∞)上单调递减，此时m(x)<m(1)＝0，故φ′(x)<0在(1, +∞)上恒成立，则φ(x)=ln xx−1在(1, +∞)上单调递减．综上所述，当a ∈(e +1e −2, e)时，e a−1<a e−1；当a ＝e 时，e a−1＝a e−1；当a ∈(e, +∞)时，e a−1>a e−1．（二）选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分，[极坐标与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−t,y=4+t（t为参数），曲线C1的方程为x2+(y−1)2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；（2）曲线C2:θ=α(ρ>0,0<α<π2)分别交直线l和曲线C1于点A，B，求|OB||OA|的最大值及相应α的值．【答案】由{x=−t,y=4+t（t为参数），得y−4＝−x，∴直线l的普通方程为x+y−4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，∵曲线C1的普通方程为x2+y2＝2y，∴由x=ρcosθ,y=ρsinθ，得C1的参数方程为ρ=2sinθ．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，令θ＝a，则|OA|=4cosα+sinα，又|OB|=2sinα，∴|OB||OA|=12sinα−(sinα+cosα)=12sin2α+12sinαcosα=14(1−cos2α+sin2α)=√24sin(2α−π4)+14，∵0<α<π2，∴−π4<2α−π4<3π4，∴当2α−π4=π2，即α=3π8时，|OB||OA|取得最大值1+√24．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）先将直线l的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；直接将C1的直角坐标方程转化为极坐标方程；（2）令θ＝a，由条件可得|OB||OA|=12sinα−(sinα+cosα)，然后利用三角函数的图象与性质，求出|OB||OA|的最大值及相应α的值．【解答】由{x=−t,y=4+t（t为参数），得y−4＝−x，∴直线l的普通方程为x+y−4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，∵曲线C1的普通方程为x2+y2＝2y，∴由x=ρcosθ,y=ρsinθ，得C1的参数方程为ρ=2sinθ．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，令θ＝a，则|OA|=4cosα+sinα，又|OB|=2sinα，∴|OB||OA|=12sinα−(sinα+cosα)=12sin2α+12sinαcosα=14(1−cos2α+sin2α)=√24sin(2α−π4)+14，∵0<α<π2，∴−π4<2α−π4<3π4，∴当2α−π4=π2，即α=3π8时，|OB||OA|取得最大值1+√24．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|3x−a|+|3+x|．（1）若a＝3，解不等式f(x)≤6；（2）若不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|，求实数a的取值范围．【答案】a＝3，f(x)＝|3x−3|+|3+x|≤6，当x≤−3时，3−3x−3−x≤6，解得x≥−32，∴x∈⌀；当−3<x≤1时，3−3x+3+x≤6，解得x≥0，∴x∈[0, 1]；当x>1时，3x−3+3+x≤6，解得x≤32，∴x∈(1, 32]．综上所述，不等式的解集为[0, 32]．不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|，等价于f(x)>1−a−|6+2x|恒成立，即|3x−a|+|9+3x|>1−a恒成立．∵|3x−a|+|9+3x|≥|3x−a−9−3x|＝|a+9|，∴|a+9|>1−a当a<−9时，−a−9>1−a，解得a∈⌀；当a≥−9时，a+9>1−a，解得a>−4．∴a>−4时，不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）运用绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集，可得所求集合；（2）由题意可得f(x)>1−a−|6+2x|恒成立，即|3x−a|+|9+3x|>1−a恒成立．运用绝对值不等式的性质可得左边的最小值，解绝对值不等式可得所求范围．【解答】a＝3，f(x)＝|3x−3|+|3+x|≤6，当x≤−3时，3−3x−3−x≤6，解得x≥−32，∴x∈⌀；当−3<x≤1时，3−3x+3+x≤6，解得x≥0，∴x∈[0, 1]；当x>1时，3x−3+3+x≤6，解得x≤32，∴x∈(1, 32]．综上所述，不等式的解集为[0, 32]．不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|，等价于f(x)>1−a−|6+2x|恒成立，即|3x−a|+|9+3x|>1−a恒成立．∵|3x−a|+|9+3x|≥|3x−a−9−3x|＝|a+9|，∴|a+9|>1−a 当a<−9时，−a−9>1−a，解得a∈⌀；当a≥−9时，a+9>1−a，解得a>−4．∴a>−4时，不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|．。
2019-2020学年上学期东北育才高三第三次模拟试卷数学（文）试卷一、单选题1．已知集合{}|21A x x =-<≤，{}|21xB x =≤，则A B I 等于（）A ．{}|21x x -<≤-B ．{}|21x x -<≤C ．{}|20x x -<≤D ．{}|10x x -<≤2．如图，在复平面中，复数1z 、2z 分别对应点A 、B ，则12z z ⋅=（）A ．255i -B ．25+5iC ．3i -D ．43i +3．已知1e u r ，2e u u r为单位向量，且满足()12220e e e +⋅=u r u u r u u r ，则12,e e =u r u u r （）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．已知圆C 的方程为226290x y x y +-++=，点M 在直线10x y +-=上，则圆心C 到点M 的最小距离为（） A ．522B ．322C ．22D ．125．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度7．已知23a =，112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>8．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（） A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP B ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβP C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为y bx a =+，则点(),a b 与直线18100x y +=的位置关系是（）A ．18100a b +<B ．18100a b +>C ．18100a b +=D ．18a b +与100的大小无法确定10．设3sin ,0()1,0x x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，则函数()f x A ．有极值B ．有零点C ．是奇函数D ．是增函数11．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线3y x =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（）A ．423+B ．525+C ．31+D ．32+12．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（） A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,2e ù-?úû C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)2,e é-+?êë二、填空题13．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，则()2.5f -=______．14．曲线sin y x x =在点(),0π处的切线方程为___________.15．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，1cos 2a Bbc +=，则角A 的大小为___________.16．已知边长为23的空间四边形ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________. 三、解答题17．等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，正方形11BCC B 与三角形ABC 所在的平面互相垂直．（Ⅰ）求证：1AB //平面1DBC ；（Ⅰ）若2AB =，求点D 到平面1ABC 的距离．18．国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）： 分组 [)5,7[)7,9[)9,11[)11,13[)13,15频数 92340226规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率.（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比.（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312S =，且124,,a a a 成等比数列. （1）求n a 及n S ；（2）设2na n n Sb n⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .20．已知函数()()211e xa x x f x ---=（e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，若12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标。
开始结束输出是否,0S S k ==?2>S kS S 2-=2+=k k k东北育才学校高中部201年高三第一次模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则 A.AB =∅ B ．B A ⊆C ．{0,1}A B =D ．A B ⊆2.复数ii -1)1(2+等于A ．i +1B ．i --1C ．i -1D ．i +-1 3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6， 则输入的整数0S 的可能值为A.5B.6C.8D.154.已知直线1sin cos :=+θθy x l ,且l OP ⊥于P ,O 为坐标原点, 则点P 的轨迹方程为A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x5.函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC.)1(-=x e yD.e x y -= 6.“等式)2sin()sin(βγα=+成立”是“γβα、、成等差数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列{}n a中，21=a ，542,2,a a a +成等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则=-410S SA.1008B.2016C.2032D.4032 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．90 B ．92 C ．98 D ．104 9.半径为4的球面上有D C B A 、、、四点，AD AC AB 、、两两互相垂直，则ADB ACD ABC ∆∆∆、、面积之和的最大值为A ．8B ．16C ．32 D.6410.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,0109<>S S ，则993322122,2,2aa a a ，中最大的是A ．12a B ．552aC ．662aD ．992a11.已知函数)()(()(321x x x x x x x f ---=）（其中321x x x <<），)12s i n (3)(++=x x x g ，且函数)(x f 的两个极值点为）（，βαβα<．设2,23221xx x x +=+=μλ，则A ．)()()()(μβλαg g g g <<<B ．)()()()(μβαλg g g g <<<C ．)()()()(βμαλg g g g <<<D ．)()()()(βμλαg g g g <<<12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若)R OB OA OP ∈+=μλμλ，（，8522=+μλ，则双曲线的离心率为（ ）A ．332B ．553C ．223D ．89第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且762++-=n n S n ，则数列{}n a 的最大项的值为___________.14.设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为___________.15. 已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为___________.16.已知函数xx a x f 22)(1+=+在]3,21[-上单调递增，则实数a 的取值范围_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ（I ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，︒=∠60DAB ，,1,==⊥AD PD ABCD PD 平面 点,E F 分别为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证：直线PEC AF 平面//； (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（I ）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率； （II ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）如图，已知直线1:+=my x l 过椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点F ，抛物线：y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于B A 、两点，点BF A 、、在直线4=x g ：上的射影依次为点E K D 、、．FE BDCAP（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且BF MB AF MA 21λλ==，，当m 变化时，探求21λλ+的值是否为定值？若是，求出21λλ+的值，否则，说明理由.21.（本小题满分12分）设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点,其中 m n <,a R ∈.(Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围; (Ⅱ) 若12a e e≥+-,求()()f n f m -的最大值.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，已知⊙O 的半径长为4，两条弦BD AC ,相交于点E ，若34=BD ，DE BE >，E为AC 的中点，AE AB 2=.(Ⅰ) 求证：AC 平分BCD ∠； (Ⅱ)求ADB ∠的度数.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为01sin cos =+-θρθρ.(Ⅰ) 分别写出曲线1C 与曲线2C 的普通方程；(Ⅱ)若曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，求线段AB 的长.24.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲 已知函数|12|)(-=x x f . (Ⅰ)求不等式2)(<x f 的解集；(Ⅱ)若函数)1()()(-+=x f x f x g 的最小值为a ，且)0,0(>>=+n m a n m ，求nn m m 1222+++的最小值. .ABCDEO东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.B8.D9.C 10.B 11.D 12.A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.12 14.31280-x 15.525- 16.[﹣1，1]三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12(k ∈Z)∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , (k ∈Z)}.18.解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. …………2分 ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ……………6分MFEBACDP(Ⅱ)60DAB ∠=，DE DC ∴⊥.如图所示，建立坐标系，则P (0,0,1),C (0,1,0),E (32,0,0),A (32，12-，0)，31(,,0)22B ， ∴31,,122AP ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AB =. …8分 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++-02123y z y x ，取1x =，则32z =， ∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =. …………………………10分 设向量n PC θ与所成角为，∵(0,1,1)PC =-，∴3422cos 14724n PC n PCθ-⋅===-⨯， ∴P C 平面PAB 所成角的正弦值为4214..…………………………12分19.FE BACDyz xP20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3 ∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0∴又由∴同理∴∵∴所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）方法1）∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点方法2）∵=∴k EN =k AN ∴A 、N 、E 三点共线， 同理可得B 、N 、D 也三点共线； ∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点．解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a mn +=+=.所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当12a e e≥+-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++.于是有 111()(1)0t e t e t e t e te +≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e-+22.（本小题满分10分）解：（1）由E 为AC 的中点，AE AB 2=得AB ACAE AB ==2 又CAB BAE ∠=∠ ABE ∆∴∽ACB ∆ ACB ABE ∠=∠∴ 又ABE ACD ∠=∠ ACB ACD ∠=∠∴故AC 平分BCD ∠………………5分（2）连接OA ，由点A 是弧BAD 的中点，则BD OA ⊥，设垂足为点F ，则点F 为弦BD 的中点，32=BF 连接OB ，则2)32(42222=-=-=BF OB OF ，224=-=-=OF OA AF ，60,2142cos =∠===∠∴AOB OB OF AOB 3021=∠=∠∴AOB ADB ………………10分.AB CDE OF23.（本小题满分10分）解：（1）曲线1C 134:22=+y x ，………………2分 曲线2C ：01=+-y x ………………4分（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1340122y x y x ，得08872=-+x x ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则78,782121-=-=+x x x x 于是7244)(2112122121=-+⋅=-+=x x x x x x AB . 故线段AB 的长为724.………………10分 24.（本小题满分10分） 解：（1）由2)(<x f 知2|12|<-x ，于是2122<-<-x ，解得2321<<-x ，故不等式2)(<x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21；……………………3分 （2）由条件得2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x g ，当且仅当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,21x 时，其最小值2=a ，即2=+n m …………………6分又()()223212*********+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n m m n n m n m n m ，…………8分 所以n n m m 1222+++()22321212++≥+++=n m n m 2227+=， 故nn m m 1222+++的最小值为2227+，此时222,224-=-=n m .……10分 12分。
东北育才学校高中部2019届高三第八次模拟数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N R =【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据子集的判定可得结果.【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，则M N ⊆ 本题正确选项：B【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2.记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（ ） A. 1- B. i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得z ，从而可得虚部. 【详解】由12iz i =+得：()212122i ii z i i i++===- ()Im 1z ∴=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到z a bi =+的形式.3.已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若210m a =，则m =（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质可求得21010a =，从而求得结果.【详解】由等比数列性质得：222155146*********a a a a a a a +=+==21010a ∴= 10m ∴=本题正确选项：B【点睛】本题考查等比数列性质的应用，属于基础题.2=表示的曲线方程为（ ） A. 221(1)-=≤-x y x B. 221(1)-=≥-x y x C. 221(1)-=≤-y x y D. 221(1)y x y -=≥【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程.(),x y 到点(的距离(),x y 到点(0,的距离2=表示动点(),x y 到(和(0,的距离之差为2符合双曲线的定义，且双曲线焦点在y 轴上又动点到(的距离大于到(0,的距离，所以动点(),x y 轨迹为双曲线的下半支则：c =1a = 2221b c a ∴=-=∴曲线方程为：()2211y x y -=≤-本题正确选项：C【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何意义.5.已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 根据12x =可知12m n =；若()0m n λλ=>，可知0x =或12x =；综合可得结果.【详解】若12x =，则1,14m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12m n ∴=则命题p 是命题q 的充分条件若()0m n λλ=>，则22x x =，解得：0x =或12x = 则命题p 是命题q 的不必要条件综上所述：命题p 是命题q 的充分不必要条件 本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定问题，涉及到向量共线定理的应用.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )A. 3B. 12x xD. 2【答案】A 【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：PB ⊥面ABC ，PB 2=，△ABC 中，AB ?AC BC 2==，，BC 边上的高为2，所以AB AC PA 3,PC ====，该三棱锥最长的棱的棱长为PA 3=. 故选A.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为( ) A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种【答案】C 【解析】 【分析】采用插空法即可求得结果.详解】采用插空法可得安排方法有：323461272A A =⨯=种本题正确选项：C【点睛】本题考查排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于基础题.8.已知257017(232)(1)+--=++x x x a a x a x ，则0246a a a a +++=( )A. 24B. 48C. 72D. 96【答案】B 【解析】 【分析】分别取1x =和1x =-，得到系数间的关系，通过作和可求得结果. 【详解】令1x =，则012345670a a a a a a a a +++++++= 令1x =-，则()5012345673296a a a a a a a a -+-+-+-=-⨯-= 两式作和得：()0246296a a a a +++= 024648a a a a ∴+++= 本题正确选项：B【点睛】本题考查二项式的系数的性质和应用，关键是能够通过赋值法求解出系数之间的关系.9.设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算将,a b 变形为31log 2+和51log 2+，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小.【详解】()333log 6log 321log 2a ==⨯=+；()555log 10log 521log 2b ==⨯=+ 又356log 2log 2log 2>> c b a ∴<< 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.10.已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ）A. 2π-B. 3π-C. 4p -D. 6π-【答案】B 【解析】 【分析】根据x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案. 【详解】函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,2x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴222,333⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x a πππ ()f x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值﹣1，根据余弦函数的性质，可得23-≤-a ππ可得3≤-a π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的图象性质的应用，属于基础题．11.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A.1320B.920C.15D.120【答案】C 【解析】 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.12.己知椭圆()222210x y a b a b+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离d，利用弦长等于,a c 的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c 设直线l方程为：)y x c =+0y -+= 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a∴圆心到直线l的距离2d ==2c ∴==，整理得：2247c a =∴椭圆的离心率为7c a ==本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于,a c 的齐次方程.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入288,123==a b 时，输出的a =_____.【答案】3 【解析】 【分析】解法一：按照程序框图运行程序，直到r 0=时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解288与123的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：288a =，123b = 则42r =，123a =，42b =，不满足r 0=，循环； 则39r =，42a =，b 39=，不满足r 0=，循环； 则3r =，39a =，3b =，不满足r 0=，循环； 则r 0=，3a =，0b =，满足r 0=，输出3a =解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数 因为288与123的最大公约数为3 3a =∴ 本题正确结果：3【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题.14.已知三棱锥P ABC -中，侧棱3PA PB PC ===,当侧面积最大时，三棱锥P ABC -的外接球体积为____ 【答案】323π 【解析】 【分析】当三棱锥侧面积最大时，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可知以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥P ABC -2APB APC BPC ∠+∠+∠ APB ∠，APC ∠，BPC ∠相互之间没有影响∴当上述三个角均为直角时，三棱锥P ABC -的侧面积最大此时PA ，PB ，PC 两两互相垂直∴以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球∴外接球半径2R == ∴三棱锥P ABC -的外接球的体积：343233V R ππ==本题正确结果：323π 【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.15.设函数ln ,0()(1),0xx x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是____.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】将问题转化为()y f x =与y b =有三个不同的交点；在同一坐标系中画出()y f x =与y b =的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =有三个不同的交点 当0x ≤时，()()1xf x x e =+，则()()()12x x xf x e x e x e '=++=+()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在(]2,0-上单调递增且()212f e-=-，()01f =，()lim 0x f x →-∞= 从而可得()f x 图象如下图所示：通过图象可知，若()y f x =与y b =有三个不同的交点，则(]0,1b ∈ 本题正确结果：(]0,1【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.16.已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的*,r t N ∈，都有2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =_____【答案】21n - 【解析】 【分析】令r n =，1t n =+，*n N ∈，可知()2211n n S n S n +=+；假设2n S n k =，()211n S n k +=+，利用11a S =可求得k ，得到n S 和1n S +；根据11n n n a S S ++=-可求得1n a +，进而得到n a .【详解】若r n =，1t n =+，*n N ∈，则()2211nn S n S n +=+ 令2n S n k =，()211n S n k +=+则111a S k === 2n S n =∴，()211n S n +=+()()2211121211n n n a S S n n n n ++∴=-=+-=+=+- 21n a n ∴=-经验证，1n =时，满足21n a n =- 综上所述：21n a n =- 本题正确结果：21n -【点睛】本题考查利用数列前n 项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到n S .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在V ABC中，a=120A∠=︒，V ABCb c<．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）13 14.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得,b c的值.（II）利用正弦定理求得sin B的的值，利用二倍角公式求得cos2B的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得2221=2=2120.S bcsinA b c bccos⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c⎧⎨+⎩解得=1,=4b c⎧⎨⎩，或=4,=1.b c⎧⎨⎩因为b c<，所以1b=．（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，即sin B=．所以2213cos2=12sin121414B B⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.18.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
东北育才学校高中部2019届高三第八次模拟数学试题（文科）一．选择题1.已知集合2{|320},{|0}M x x x N x x =-+≤=>，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅D. MN R =2.已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是（ ） A. 1-B. i -C. 2D. 2i3.已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4.在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 1955.在空间中，下列命题中为真命题的是 （ ） A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 平行于同一平面的两个平面平行6.已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若210m a =，则m =（ ）A. 9B. 10C. 11D. 127.已知函数()y f x =为定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，记21(log )5a f =-，0.3(2)b f -=-，2(2log c f =，则( )A. a b c <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a <<8.已知圆C ：222x y r +=（0r >），直线l ：1x =，则“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )A. 3B. 12x xD. 210.已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11.已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）12.己知椭圆()222210x y a b a b+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）A.7B.5C.5二、填空题（将答案填在答题纸上）13.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入288,123==a b 时，输出的a =_____.14.已知三棱锥P ABC -中，侧棱3PA PB PC ===,当侧面积最大时，三棱锥P ABC -的外接球体积为____15.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b a b c ++=，且ABC ∆，则ab 最小值为_______． 16.设函数ln ,0()(1),0xx x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是____.三、解答题（本解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在V ABC 中，a =120A ∠=︒，V ABC ，且b c <．（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos2B 的值．18.随着网络和智能手机的普及，许多可以解答各科问题的搜题软件走红. 有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：将学生在一周时间内进行网络搜题的频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.（1）根据已有数据，完成下列22⨯列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否有99%的把握认为使用网络搜题与性别有关？（2）现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人参加座谈，求选出的3人中恰有2人经常使用网络搜题的概率.参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：19.在三棱锥P ABC-中，ABC∆是边长为4的等边三角形，PA PB==PC=（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）若点M，N分别为棱BC，PC的中点，求三棱锥N AMC-的体积V.20.已知抛物线C：22y px=（0p>），过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且2OA OB⋅=.（1）求抛物线C的方程；（2）点M坐标为(2,0)-，直线MA，MB的斜率分别1k，2k，求证：1211k k+为定值.21.已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈两个极值()1212,x x x x <点.（1）当5a =时，求()()21f x f x -； （2）当a ≥()()21f x f x -的最大值.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为232x m t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=． （1）求直线l 的倾斜角及曲线C 的直角坐标方程；（2）设(,3)P m 且直线l 和曲线C 的交点为A ，B ，若||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1|1|f x x x =-++. （1）求()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为M ，若0a >，0b >，且2a b M +=，求12a b+的最小值.东北育才学校高中部2019届高三第八次模拟数学试题（文科）一．选择题1.已知集合2{|320},{|0}M x x x N x x =-+≤=>，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. MN R =【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合M ，根据两个不等式关系即可判断集合M 与集合N 的关系。
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才外国语学校高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．2. 中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）.A． B. C. D.参考答案：D3. 棱台上、下底面面积比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( ) A．1∶7 B．2∶7 C．7∶19 D．5∶ 16参考答案：C4. 函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：C【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f（x）=3x+2x﹣3在R上单调递增，∴f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（1）=3+2﹣3=2＞0，∴f（0）f（1）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（0，1），故选：C．5. 已知f（x）=满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是( )A．（0，1）B．C．D．参考答案：C考点：分段函数的应用；函数恒成立问题．专题：函数思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（x）在R上为减函数，分别考虑各段的单调性，可得2a﹣1＜0，0＜a＜1，注意x=1处的情况，可得2a﹣1+3a≥a，求交集即可得到所求范围．解答：解：对任意x1≠x2都有＜0成立，即有f（x）在R上为减函数，当x＜1时，y=（2a﹣1）x+3a，递减，即有2a﹣1＜0，解得a＜，①当x＞1时，y=a x递减，即有0＜a＜1，②由于x∈R，f（x）递减，即有2a﹣1+3a≥a，解得a≥，③由①②③，可得≤a＜．故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，注意定义的运用，属于中档题和易错题．6. a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是（）A. 过A有且只有一个平面平行于a、bB. 过A至少有一个平面平行于a、bC. 过A有无数个平面平行于a、bD. 过A且平行a、b的平面可能不存在参考答案：D7. 圆的圆心坐标是（）A.(2，3)B.(－2，3)C.(－2，－3)D.(2，－3)参考答案：D8. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D略9. 如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B∵点位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故选：B．10. 函数在上是增函数，则实数的取值范围是或参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则_____________.参考答案：略12. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为参考答案：13. 函数的定义域为___________.参考答案：14. 若偶函数在内单调递减，则不等式的解集是参考答案：略15. 已知定义在上的单调函数满足对任意的，都有成立．若正实数满足，则的最小值为___________．参考答案：,故应填答案.考点：函数的奇偶性及基本不等式的综合运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知运用函数的奇偶性可得,再将变形为,从而使得问题获解.16. 如图，给出幂函数在第一象限内的图象，取四个值，则相应于曲线的依次为_ ．参考答案：17. 空间不共线的四个点可确定个平面；参考答案：一个或四个略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2019年10月第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|(2)4,M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N =( )A. {0,1,2}B. {}1,2,3C. {1,0,1,2}-D. {1,0,2,3}- 【答案】B【解析】【分析】对集合M 进行化简，根据交集运算，得到答案.【详解】集合{}2|(2)4,M x x x R =-<∈， 解不等式()224x -<得04x << 即集合{}04M x x =<<，而集合{}1,0,1,2,3N =-所以{}1,2,3M N =故选B 项.【点睛】本题考查解不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.若复数z 满足(1)z i =，则z 的虚部为( )C. D.【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简计算，得到其标准形式，然后得到答案.【详解】()12z i -===12z ==+所以复数z 的虚部为2， 故选A 项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，22()f x x x=+，则(0)(1)f f +=( )A. 2-B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】 根据奇函数的性质计算出()()11f f =--，由()00f =，再相加得到答案.【详解】因为()f x 是定义域为R奇函数，所以()00f = ()()()2211111f f ⎡⎤=--=--+=⎢⎥-⎣⎦， 所以(0)(1)1f f +=故选C 项.。
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模拟数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|x 2<36}，N ={2,4，6，8}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6} 2. (文)已知复数z =6+8i ，则−|z|=( )A. −5B. −10C. 149 D. −169 3. 定义在R 的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=−x 2+x ，则f(2)等于( )A. 4B. 6C. −4D. −64. 设函数f(x)=sin(x +π4)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. f(x)的图象关于直线x =π4对称C. f(x)的图象关于(−π4,0)对称D. f(x)在(0,π2)单调递增5. 已知a =212，b =313，c =ln 32，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a6. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若函数f(x)=2x −sinx ，则满足f(2x −1)>f(x +1)的实数x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (2,+∞)8. 已知tan(α+β)=−1，tan(α−β)=12，则sin2αsin2β的值为( )A. 13B. −13C. 3D. −39. 已知a >1，设函数f (x )=a x +x −4的零点为m ，g (x )=log a x +x −4的零点为n ，则m +n =( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知角α，β的始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(12,√32)和B(−√22,√22)，则sin(α−β)=( )A. √6−√24B. −√6−√24C. −√6+√24D. √6+√2411. 函数y =cos (2x −3π2)是( )A. 最小正周期为π2的奇函数 B. 最小正周期为π2的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数12. 在△ABC 中，若c 2=a 2+b 2+ab ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 中，已知a =4，b =6，sinB =34，则∠A = ______ ． 14. 已知tanα=2，则sinαcosα+2cos 2α= ______ ．15. 已知f′(x)是定义在R 上的函数f(x)的导数，且满足f′(x)+2f(x)>0，f(−1)=0，则f(x)<0解集为______ ．16. 已知sinα+sinβ=12，cosα+cosβ=−√22，则cos(2α−2β)=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在一项研究中，为尽快攻克某一课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495,510)之内的数据作为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表；(2)判断是否有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关；说明你的理由；(下面的临界值表供参考)(参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n =a +b +c +d)18.如图，函数f(x)=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y轴相交于点(0,√3)，且该函数相邻两零点距离为π2．(Ⅰ)求θ和ω的值；(Ⅱ)若f(12x−π12)=85，x∈(0,π)，求sinx+sin2x1+cosx+cos2x值．19.在△ABC中，已知cosC+cosAcosB−√3sinAcosB=0(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若a+c=1，求b的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx+2x −ae xx2(a∈R)．(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +ax 2−2ax(a ∈R)．(1)当a =1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)令g(x)=f(x)−12x 2，若x ∈(1,+∞)时，g(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x+2|．(1)解不等式2f(x)<4−|x−1|；(2)已知m+n=1(m>0,n>0)，若关于x的不等式|x−a|−f(x)⩽1m +1n恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：M={x|−6<x<6}；∴M∩N={2,4}．故选：A．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．直接利用复数的求模公式求解即可．【解答】解：复数z=6+8i，则−|z|=−√62+82=−10．故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题．根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B．4.答案：D解析：【分析】本题考查正弦函数的图像和性质，属于基础题．根据正弦函数的性质判断各选项即可．【解答】解：函数f(x)=sin(x+π4)，根据正弦函数的性质f(x)的周期为，k∈Z，令k=−1，则，∴A正确．当x=π4时，可得函数f(x)=sinπ2=1，∴f(x)的图象关于直线x=π4对称，∴B正确．当x=−π4时，可得函数f(x)=sin0=0，∴f(x)的图象关于(−π4,0)对称，∴C正确．当时，，此时函数f(x)不是单调函数，∴f(x)在(0,π2)单调递增不对．故选D．5.答案：C解析：【分析】本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用指数函数和对数函数的性质即可比较．【解答】解：因为a=212>20=1，b=313>30=1，且(212)6=8<9=(313)6，所以b>a，又，所以b>a>c，故选C．6.答案：C解析：解：由题意，得二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴为x=−b2a=0，则b=0，故选C．通过“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，”根据二次函数的对称性，得其对称轴是y轴，从而求得b.即可判断充要条件．本题考查函数的奇偶性，注意二次函数的对称轴是解题的关键．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，导数的知识，解答本题的关键是知道f′(x)=2−cosx>0，f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，x>2．【解答】解：f(x)=2x−sinx，f′(x)=2−cosx>0，∴f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，∴x>2，∴实数x的取值范围是(2,+∞)，故选D．8.答案：A解析：【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式，由sin2αsin2β=sin[(α+β)+(α−β)]sin[(α+β)−(α−β)]化简即可得出结果．【解答】解：sin2αsin2β=sin[(α+β)+(α−β)]sin[(α+β)−(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)sin(α−β)sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)sin(α−β)=tan(α+β)+tan(α−β) tan(α+β)−tan(α−β)=13．故选A．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与反函数图象间的关系，属于中档题．由题意可得，函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n.再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点(n,4−n)关于直线y=x对称，m+n2=4−m+4−n2，可得m+n=4．【解答】解：∵a>1，设函数f(x)=a x+x−4的零点为m，g(x)=log a x+x−4的零点为n，∴函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n，再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点(n,4−n)关于直线y=x对称，∴m+n2=4−m+4−n2，可得m+n=4，故m+n的值为4，故选C．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了三角函数中两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由A(12,√32)和B(−√22,√22)，求出sin(α)=√32,cos(α)=12,sin(β)=√22,cos(β)=−√22，进而求得答案．【解答】解：∵角α，β的始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(12,√32)和B(−√22,√22)，∴sin(α)=√32,cos(α)=12,sin(β)=√22,cos(β)=−√22，∴sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)=√32×(−√22)−12×√22=−√6+√24．故选C．11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了诱导公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质.属于简单题．【解答】解：∵cos(2x−3π2)=−sin2x，∴函数是最小正周期为π的奇函数，选C项．故选C．12.答案：D解析：解：∵c2=a2+b2+ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，∴C=2π3为钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选：D．由c2=a2+b2+ab，利用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，即可得出．本题考查了利用余弦定理判定三角形的形状，属于基础题．13.答案：π6解析：解：∵由正弦定理可得：sinA=asinBb =4×346=12，∵a=4<b=6，∴由三角形中大边对大角可知A为锐角，∴可解得：A=π6．故答案为：π6．由正弦定理可得：sinA=asinBb =12，由三角形中大边对大角可知A为锐角，从而可解得A=π6．本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．14.答案：45解析：解：∵tanα=2，则sinαcosα+2cos2α=sinαcosα+2cos2αsinα+cosα=tanα+2tan2α+1=45，故答案为：45．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα+2cos2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．15.答案：(−∞,−1)解析：解：设g(x)=e 2x f(x)，∴g′(x)=2e 2x f(x)+e 2x f′(x)=e 2x (f′(x)+2f(x))>0， ∴g(x)在R 上为增函数， ∵f(x)<0=f(−1) ∴g(x)<g(−1)∴x <−1，即f(x)<0解集为(−∞,−1)， 故答案为(−∞,−1)．设g(x)=e 2x f(x)，求导，判断出g(x)在R 上为增函数，利用单调性即可求出不等式的解集． 本题考查了导数的应用，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．16.答案：−732解析： 【分析】本题主要考查了两角差的余弦公式和二倍角公式，是基础题．根据题意，两等式平方相加，可得cos(α−β)的值，再根据二倍角公式计算cos(2α−2β)的值． 【解答】解：sinα+sinβ=12，cosα+cosβ=−√22，∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=14， cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=12， ∴2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=34， ∴cosαcosβ+sinαsinβ=−58，∴cos(α−β)=−58，∴cos(2α−2β)=2cos 2(α−β)−1=2×(−58)2−1=−732． 故答案为−732．17.答案：解：(I)根据以上统计数据完成2×2列联表，如下；k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=80×(120−360)266×14×40×40≈3.117>2.706，所以有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关．解析：(I)根据题意填写列联表；(II)由表中数据计算K 2的值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布表与独立性检验的应用问题，是基础题． 18.答案：解：(1)由题意可得T =2πω=2×π2，∴ω=2.将x =0，y =√3代入函数f(x)=2cos(2x +θ)得cosθ=√32，因为0≤θ≤π2，所以θ=π6，∴f(x)=2cos(2x +π6). (2)∵sinx+sin2x1+cosx+cos2x =sinx(1+2cosx)cosx+2cos x=tanx ，又f(12x −π12)=85，由(1)可知2cos[2(x2−π12)+π6]=2cosx =85⇒cosx =45， 又x ∈(0,π)，∴x ∈(0,π2)，∴tanx =34，即sinx+sin2x1+cosx+cos2x =34．解析：(1)由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．(2)利用三角恒等变换可得要求的式子为tan x ，由条件求得cos x 的值，结合x 的范围，求得tan x 的值． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图 求出φ的值，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=1−3ac ，利用基本不等式求出b ≥12，再由b <a +c =1，求出边b 的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)因为a=0，所以f(x)=lnx+2x，所以f′(x)=1x −2x2，令f′(x)=0得x=2，列表如下：因此，当x=2时，f(x)有极小值f(2)=ln2+1，无极大值．(2)因为f′(x)=1x −2x2−ae x(x−2)x3=(x−ae x)(x−2)x3，由0<x<2，得x−2x3<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，因为f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，所以g′(x)=1−ae x且a>0，令g′(x)=0，则x=−lna，①当−lna≤0，即a≥1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，至多与x轴有一个交点，不满足题意；②当−lna≥2，即0<a≤1e2时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，至多与x轴有一个交点，不满足题意；③当0<−lna<2，即1e2<a<1时，g(x)在(0,−lna)上单调递增，在(−lna,2)上单调递减；由g(0)=−a<0，要使g(x)在区间(0,2)内有两个零点，必须满足{g(x)max=g(−lna)=−lna−1>0, g(2)=2−ae2<0,解得2e2<a<1e．综上所述，实数a的取值范围是(2e2,1e )．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、不等式恒成立问题，属于难题．(1)求出导数，利用f′(x)=0，求出x的值，列出表格即可求出结果；(2)求出导数，由0<x<2，得x−2x3<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，因为f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，所以g′(x )=1−ae x 且a >0，g′(x )=0，则x =−lna ，分类讨论①当−lna ≤0，②当−lna ≥2，③当0<−lna <2，，即可求出结果．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=lnx +x 2−2x ，∴f′(x)=1x +2x −2，∴f′(1)=1+2−2=1，又f(1)=1−2=−1， ∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x −y −2=0． (2)∵g(x)=f(x)−12x 2=lnx +ax 2−2ax −12x 2， ∴g′(x)=1x +2ax −2a −x =2a(x −1)+(1−x)(1+x)x=(x−1)[(2a−1)x−1]x．①当a ≤12时，2a −1≤0，x ∈(1,+∞)时，恒有g′(x)<0， ∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是减函数，∵g(x)≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立，只需满足g(1)=−a −12≤0， 解得a ≥−12，∴−12≤a ≤12．②当12<a <1时，x ∈(12a−1,+∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(12a−1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(12a−1),+∞)，不合题意，③当a ≥1时，同理可知，g(x)在(1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(1),+∞)，不合题意， 综上可知：a ∈[−12,12]．解析：(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，确定a 的范围即可．本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =3cosϕy =3+3sinϕ(φ为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2+(y −3)2=9，即x 2+y 2−6y =0， 即x 2+y 2=6y ，即ρ2=6ρsinθ，故曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ． (Ⅱ)设直线l ：{x =1−√22ty =2+√22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，化简可得t 2−2√2t −7=0，显然△>0；设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故{t 1+t 2=2√2t 1t 2=−7，∴1|PM|+1|PN|=|PM|+|PN||PM|⋅|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=67．解析：(Ⅰ)曲线C 的参数方程化为普通方程x 2+y 2−6y =0，由此能求出曲线C 的极坐标方程． (Ⅱ)直线l ：{x =1−√22ty =2+√22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，得t 2−2√2t −7=0，由此能求出1|PM|+1|PN|的值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段长的倒数和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.答案：解：(1)不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，即{x ⩽−2−2(x +2)−x +1<4或{−2<x <12(x +2)−x +1<4或{x ⩾12(x +2)+x −1<4, 解得−73<x ⩽−2或−2<x <−1或x ∈⌀， 所以不等式的解集为{x|−73<x <−1}；(2)因为|x −a|−f(x)=|x −a|−|x +2| ⩽|x −a −x −2|=|a +2|， 所以|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|， 又m +n =1(m >0,n >0)， 于是(1m +1n )(m +n)=nm +m n +2⩾2+2=4，当且仅当nm =mn ，即m =n =12时等号成立， 故1m +1n 的最小值为4，要使|x −a|−f(x)⩽1m +1n 恒成立， 则|a +2|⩽4，解得−6⩽a ⩽2， 故实数a 的取值范围是[−6,2]．解析：本题考查了不等式的恒成立问题，绝对值不等式求解，利用基本不等式求最值，属于中档题． (1)由已知不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，分三种情况即可解出不等式的解集；(2)由已知得到|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|，利用基本不等式求出1m +1n 的最小值，得到|a +2|⩽4，即可求出实数a 的取值范围．。
高三年级第六次模拟考试 数学（文科）试题参考答案CACCBD ADCADB 13.32-14.12n -16.617.解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08-++++++⨯=．（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410800.01210900.016101000.030101100.020101200.006101300.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数2510n C ==，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数22324m C C =+=，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105m p n ===．18.解：（1）22sin 30C C -++=Q ，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=，cos C ∴= 0C π<<Q ，34C π∴=．（2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=Q ，c ∴=，sin C A ∴=，sinA C ∴==，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=Q ，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C ==g g1c ∴=．19.解：（1）证明：PAB Q 为正三角形，2AB =，2PB AB ∴==， 2BC =Q ，6PC =，222PC BC PB ∴=+∴BC PB ⊥，ABCD Q 为矩形，BC AB ∴⊥，又PB Q ，AB ⊂面PAB 且交于点B ， BC ∴⊥面PAB ，BC ⊂Q 面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，H Q 为AB 的中点，PAB 为正三角形，PH AB ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂Q 平面ABCD ，PH AC ∴⊥．（Ⅱ） 解：取CD 中点E ，以H 为原点，HA 为x 轴，HB 为y 轴，HP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0P ，0，3)，(1D ，2，0)，(1A ，0，0)，13(,0,)2E ，(0H ，0，0)，(1HD =u u u r ，2，0)，13(,0,)2HE =u u u r ，(0HP =u u u r ，0，3)，设平面DEH 的法向量(n x =r，y ，)z ，则201302n HD x y n HE x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1y =，得(2n =-r ，1，)3， ∴点P 到平面DEH 的距离||66||n HP d n ==u u ur r g r ． 20.解：（Ⅰ）由||||4PM PN +=且4||2MN >=，可得P 点的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）设直线l 的方程为3x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)6330t y ty +--=，得1226334t y y t +=+，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为212121211||||3()422AOB S OQ y y y y y y =⋅-=⋅⋅+-△ 2222222163332363()4934312343434t t t t t t t -=⋅⋅-=⋅⋅++=⋅++++u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++，当且仅当u =t = 因此AOB ∆l的方程为x y =21.解：（1）定义域为(0,)+∞，2112()2mx f x mx x x-'=-=，①当0m „时()0f x '>恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，无极值，②当0m >时令()0f x '>，0x ∴<，令()0f x '<，x ∴>，所以函数()f x在上为增函数，在，)+∞为减函数，所以当x =时，有极大值，极大值为1(21)2ln m -+，无极小值，（2）：由()1F x mx -„恒成立知22(1)lnx x m x x++-…恒成立， 令22(1)()lnx x h x x x++=-，则222(1)(2)()(2)x lnx x h x x x -++'=+， 令()2x lnx x ϕ=+，因为11()4022ln ϕ=-<，ϕ（1）10=>，则()x ϕ为增函数．故存在01(2x ∈，1)，使0()0x ϕ=，即0020lnx x -=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数，当0x x <时，()0h x '<，()h x 为减函数． 所以000220002(1)1()()(2)max lnx x h x h x x x x ++===+，而01(2x ∈，1)，所以01(1,2)x ∈，所以整数m 的最小值为2．22.解：（1）由2222(cos )(sin )4x y αααα+=+-=，得曲线22:4C x y +=．直线l1cos sin 22θρθ-=，故l40y --=．（2）显然P 的坐标为(0,4)-，不妨设过点P 的直线方程为cos (4sin x t t y t αα=⎧⎨=-+⎩为参数），代入22:4C x y +=得28sin 120t t α-+=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t 所以12||||||12PA PB t t ==g 为定值．23.解：（1）若2m =时，|1||22|3x x -++„，当1x -„时，原不等式可化为1223x x -+--„解得43x -…，所以413x --剟， 当11x -<<时，原不等式可化为1223x x -++„得0x „，所以10x -<„， 当1x …时，原不等式可化为1223x x -++„解得23x „，所以x ∈Φ， 综上述：不等式的解集为4{|0}3x x -剟；（2）当[0x ∈，1]时，由()|23|f x x -„得1|2|32x x m x -++-„， 即|2|2x m x +-„，故222x x m x -+-剟得223x m x ---剟， 又由题意知：(2)(23)min max x m x ---剟， 即32m -剟，故m 的范围为[3-，2]．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题 1.复数2=（ ） A.1- B.1 C.i -D.i 答案： D 解答：2222(1)122222i i i i i i -+--====--，故选D. 2.已知全集2{|8120}U x z x x =∈-+≤,{3,4,5}A =，{5,6}U C B =,则A B =I（ ）A.{5,6}B.{3,4}C.{2,3}D.{2,3,4,5} 答案： B 解答：由2812(2)(6)0x x x x -+=--≤，得26x ≤≤，所以{2,3,4,5,6}U =.因为{5,6}U C B =，所以{2,3,4}B =，又{3,4,5}A =，所以{3,4}A B =I ，故选B. 3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，（ ）A.，B. ，C. ，D. ，答案： C 解答：由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故，故选C.4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 答案： B 解答：还原该几何体的直观图如图所示，所以截去的几何体是三棱柱.故选B.5.下列命题中真命题的是（ ）A.若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；B. “22am bm <”是“a b <”的充要条件；C.命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠；D.对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠，则p 是q 的充分不必要条件. 答案： D 解答：A 项，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，故A 项错误；B 项，当a b <且0m =时，22am bm =，故“22am bm <”不是“a b <”的充要条件”，故B 项错误；C 项，命题若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠.故C 项错误；D 项，:8p x y ⌝+=；:2q x ⌝=且6y =.当2x =且6y =时，8x y +=；当8x y +=时，x y 、取值不一定为26、.故q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，故p 是q 的充分不必要条件.故D 项正确.故选D. 6.已知1cos()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725B ．725- C ．2325 D ．2325-答案： C 解答：1cos()sin 25παα-==，2223cos 212sin 12525αα=-=-=.故选C.7.若实数,x y 满足210220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A.4B.1C.1-D.4-答案： C 解答：画出目标函数2z x y =-在约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，当直线2y x z =-经过点(0,1)时，z -有最大值，即z 有最小值，min 1z =-.故选C.8．已知函数lg(y x =是定义在R 上的奇函数，且函数2()x ag x x+=在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1D ．2 答案： A 解答：因为函数lg(y x =+是定义在R 上的奇函数，所以lg(lg(x x =--，所以x +=.所以2(1x x a -==，所以1a =±，又函数22()x a g x x +=在(0,)+∞上单调递增，所以2()10ag x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立，所以1a =-.故选A.9.某次文艺汇演，要将A B C D E F 、、、、、这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A B 、两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种C ．96种D ．72种 答案： B 解答：A B 、两个节目要相邻，可以“捆绑法”，有22A 种方法，但不能排在3号位置，所以有3种选择：1,2；4,5；5,6，其余节目可在其它3个位置任意排列，有44A 种方法，故由分步乘法原理得节目单上不同的排序方式有24243144A A =种，故选B.10.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，ϕ＜π2）的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移4π个单位长度 B.向左平移4π个单位长度 C.向右平移12π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度 答案： C 解答：因为0A >且图象最小值1-，所以1A =，由图象可知54124T ππ=-，所以23T π=， 又因2T πω=得3ω=.将(,0)4π代入()sin(3)f x x ϕ=+得4πϕ=，所以()sin(3)4f x x π=+，而()sin[3()]sin 3()12124f x x xg x πππ-=-+==，则()f x 应向右平移12π个单位长度.故选C.11.设点1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，点P 为C 右支上一点，点O 为坐标原点，若1OPF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则C 的离心率为（ ）A 1B 1CD 答案： A 解答：由题意可知1OF OP c ==，112cos30F P OF =⋅⋅︒=. 不妨假设点P 位于第一象限，双曲线的右焦点为2F ，作PD x ⊥轴，则易知1sin 302PD PF =⋅︒=，sin 302cOD PO =⋅︒=. ∴22cDF =，2PF c =，由双曲线的定义知：122PF PF a -=,2c a -=，1)2c a =，∴双曲线的离心率1c e a ===. 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有5()(2)()2x f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰唯一一个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,0)2e-B.(,0]2e - C.3(,0]4e- D.39(,]42e e-答案： B令(())xe gf x x =，则()[()()]xg x e f x f x ''=+，因为5()(2)()2x f x e x f x -'=+-，所以5()22g x x '=+，所以25()2g x x x C =++，C 为常数，因为0(0)(0)1g e f ==，所以1C =，所以25()12g x x x =++， 所以251()(21)(2)2()2x x xx x g x x x f x e e e++++===，当2x =-或12x =-时，()0f x =，当1(2,)2x ∈--时，()0f x <，所以当0m >时，()0f x m -<至少有两个整数解1x =-和2x =-，故D 项错误.当1x =-时，()2e f x =-，所以当02em -<≤时，()0f x m -<恰有唯一一个整数解1x =-，故B 项正确，A 项错误.当2em ≤-时，()0f x m -<无整数解，故C 错误.故选B. 二、填空题13.已知(1)nmx +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则m = ． 答案：2解答：因为二项式系数和为32，所以232n=，所以5n =，又各项系数和为243，所以5(1)243m +=，所以2m =.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF = ．答案：3解答：抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为1x =-，因为点B 是线段AF 的中点，所以点B 的横坐标为12x =，所以312BF x =+=，23AF BF ==. 15.在正四面体P ABC -中，其侧面积与底面积之差为积为 ．6π解答：设正四面体P ABC -的棱长为a ，则其底面积为21244a ⨯⋅=，侧面积为3==所以2a =.=， 所以外接球的表面积为246R ππ=.16.如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos sin a C c A b B +=，且6C A B π∠=.若点D 是ABC ∆外一点，2,3DC DA ==，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D = ．答案：7解答：因为cos cos sin a C c A b B +=，所以sin cos sin cos sin sin A C C A B B +=，所以2sin()sin()sin sin A C B B B π+=-==，因为0B π<<，所以sin 1B =，所以2ABC π∠=，又6CAB π∠=，所以2b a =，c =.在ACD ∆中，由余弦定理，2249223cos 1312cos 4AC D D a =+-⨯⨯=-=，23sin 2ABCD ABC ACDS S S D =+=+.①当2D ππ<<时，令sin ,(0,1)t D t =∈，则()3S t t =+，()3S t '=，当t =时，()0S t '=，当0t <<时，()0S t '>，()S t 单调递增，1t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减，所以当sin D ==时，S取最大值，max 814782S =++=+. ②02D π<≤时，令(]sin ,0,1t D t =∈，则()3S t t =+，()30S t '=>，所以当1t =时，S 取最大值，所以max 3S =+<.综上所述，当sin 7D =时，四边形ABCD 的面积最大. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1()22n a n n b a +=+，求数列{}n b 前n 项和n S .答案：（1）21n a n =-； （2）1222n n S n +=+-.解答：（1）由题意，得112,33,da a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得121.d a =⎧⎨=⎩,故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-.（2）据（1）求解知21n a n =-，所以1()222(21)+=+=+-n a n n n b a n ，所以12(2482)(13521)22n n n S n n +=+++++++++-=+-L L .18.随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯.2017年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台2017年移动支付的笔数占总支付笔数的80%.（1）从该平台的2017年的所有支付中任取10笔，求移动支付笔数的期望和方差；（2）现有500名使用移动支付平台的用户，其中300名是城市用户，200名是农村用户，调查他们2017年个人支付的比例是否达到80%，得到22⨯列联表如下：根据上表数据，问是否有95%的把握认为2017年个人支付比例达到了80%与该用户是否是城市用户还是农村用户有关？附：22()()()()()n ad bca b a c c d b d χ-=++++答案：（1）8,85；（2）见解析. 解答：（1）设移动支付笔数为X，则4~(10,)5X B，所以4418 108,105555 EX DX=⨯==⨯⨯=.（2）因为222()500(2703017030)= 2.841 3.841 ()()()()44060300200n ad bca b c d a c b dχ-⨯⨯-⨯=≈< ++++⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.19. 在四棱锥P ABCD-中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//BC AD，90ADC∠=︒，112BC CD AD===，PA PD=，E，F分别为AD，PC的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PE EC =，求二面角F BE A --的余弦值.答案：（1）见解析；（2）3-. 解答：（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO ，∵//BC AD ，12BC AD =，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为PC 中点，∴//OF PA ，∵OF ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，∴//PA 平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC =PE EC ==取PD 中点M ，连,,ME MF MA ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，BE AD ⊥，∴BE ⊥平面PAD ，又//ME OF ，∴MEA ∠为二面角F BE A --的平面角,又∵EM =，1AE =，AM =，∴cos 3MEA ∠=-，所以二面角F BE A --的余弦值为3-20. 已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程； （2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ，求证：90PFQ ∠=︒.答案：（1）221(0)43x y y +=≠；（2）见解析.解答：（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ⋅=-，又(2,0)A -，(2,0)B ， 所以有3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-，整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. （2）设直线l ：y kx m =+，与223412x y +=联立得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=， ∴122834km x x k -+=+，得122434km x x k-==+， ∴2243(,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)k P m m -，又(4,4)Q k m +， 又(1,0)F ，则43(1,)(3,4)0k FP FQ k m m m ⋅=--⋅+=uu r uu u r .知FP FQ ⊥u u r u u u r ， 即90PFQ ∠=.21.已知函数2()x f x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为4230x y --=.（1）求,a b 的值；（2）证明:()ln f x x >.答案：（1）1a =；32b =-； （2）见解析.解答： （1）()(1)2x f x x e x a '=+++，由题意有(0)123(0)2f a f b '=+=⎧⎪⎨==-⎪⎩，解得1a =，32b =-. （2）证明：由（1）知，23()2x f x xe x x =++-. 设2()ln x h x xe x x x =++-，则只需证明3()2h x >. 11()(1)21(1)(2)x x h x x e x x e x x '=+++-=++-，设1()2x g x e x =+-，则21()0x g x e x '=+>，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∵141()2404g e =+-<，∵131()2303g e =+->， ∴011(,)43x ∃∈，使得0001()20x g x e x =+-=. 且当0(0,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >.∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增 ；∴02min 00000()()ln x h x h x x e x x x ==++-，由01200=-+x e x ，得2100-=x e x ， ∴220000000001()(2)ln 1ln h x x x x x x x x x =-++-=-+-， 设2()1ln x x x x ϕ=-+-，11(,)43x ∈，1(21)(1)()21x x x x x xϕ+-'=--=， ∴当11(,)43x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在11(,)43单调递减， ∴200111173()()()()1ln()ln 3333392h x x ϕϕ=>=-+-=+>，因此3()2h x >. ∴()ln f x x >.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是：22(5)10x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设过原点的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且2AB =，求直线l 的斜率． 答案：（1）210cos 150ρρθ-+=；（2）34±. 解答：（1）曲线C ：2251)0(x y -+=，即2210150x y x +-+=， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入得，曲线C 的极坐标方程为210cos 150ρρθ-+=．（2）由圆的弦长公式2=及210r =，得圆心()5,0C 到直线l 距离3d =， 如图，在Rt OCD ∆中，易得3tan 4DOC ∠=，可知直线l 的斜率为34±．23. 已知函数()1f x ax =+，不等式()3f x <的解集为(1,2)-.（1）求实数a 的值；（2）若不等式()1f x x m ≤++的解集为∅，求实数m 的取值范围.答案：（1）2a =-；（2）32m <-. 解答：（1）由13ax +<知42ax -<<，而13ax +<的解集为()1,2-，所以2a =-．（2）由（1）知211x x m -+≤++，即211x x m --+≤的解集为∅， 令()211g x x x =--+，则2,11()3,1212,2x x g x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， . 所以min 3()2g x =-，故32m <-。
2019-2020学年上学期东北育才高三第三次模拟数学（理）试卷一、单选题1．设集合{|11}A x x =-<，{(,)|13}B x y y x ==-，则A B I =（） A ．[)0,2B ．1(0,)3C ．∅D ．(2,)+∞2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．23．已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（） A ．3m =- B ．1m =-C ．1m =-或3D ．1m =或3m =-4．已知向量，则“x ＞0”是“与的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设n s 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59s s =，则当n s 最大时，n =（） A ．6B ．10C ．7D ．96．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．π(,1)47．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o ，30o ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．240(31)m -B ．180(21)m -C ．120(31)m -D ．30(31)m +8．三个数 1.10.40.40.4,log 1.1,1.1大小关系是（ ）A ．1.10.4＜0.41.1＜log 0.41.1B ．0.41.1＜log 0.41.1＜1.10.4C ．log 0.41.1＜1.10.4＜0.41.1D ．log 0.41.1＜0.41.1＜1.10.49．设函数()323sin cos 4132f x x x x θθ=++-，其中50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()'1f -的取值范围是 ( )A ．[]36，B ．34+3⎡⎤⎣⎦，C ．4-36⎡⎤⎣⎦，D ．4-34+3⎡⎤⎣⎦，10．已知点O 是ABC △内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v，OAC V 的面积为1S ，ABC△的面积为2S ，则12S S = A ．310B ．38C ．25D ．421 11．定义域为R 的函数()y f x =,若对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①31y x x =-++①32(sin cos )y x x x =--①e 1x y =+① 1sin x xxy e eπ-=+, 其中为“H 函数”的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①12．经过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于,M N 两点，若O 为坐标原点，OMN D 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（）A ．2B ．52C ．5D ．62二、填空题13．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 14．过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．16．已知椭圆221164x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在直线:38230l x y -++=上，当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =______．三、解答题17．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(2)cos cos 0b c A a B -+=． （1）求角A ；（2）若25a =，25cos 5B =，求BA 的长度．18．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁） 年龄段 [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数 828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 不使用手机支付（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考数据： P （K 2≥k 0） 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 3.8416.6357.87910.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有1AB =，2AP =，120BAD ∠=︒，E 为PC 中点． （1）证明：AC ⊥面BED ；（2）求二面角E AB C --的平面角的余弦值．20．设函数()(m )=-x f x x e （1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值 2.7183e ≈，32 4.4817e ≈）21．已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为1-4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =u u u u r u u u r，求OAB ∆面积的最大值．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴极坐标，曲线1C 的方程：2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），曲线2C 的方程：8sin()4ρπθ=+． （1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标系方程；（2）从2C 上任意一点P 作曲线1C 的切线，设切点为Q ，求切线长PQ 的最小值及此时点P 的极坐标．23．设函数．(1)当时，解不等式；(2)若的解集为，，求证:．解析2019-2020学年上学期东北育才高三第三次模拟数学（理）试卷一、单选题1．设集合{|11}A x x =-<，{(,)|13}B x y y x ==-，则A B I =（） A ．[)0,2B ．1(0,)3C ．∅D ．(2,)+∞【答案】C【解析】集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=，{(,)|13}B x y y x ==-表示点集，即可得出结论． 【详解】解：集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=为数集，{(,)|13}B x y y x ==-表示点集，A B ∴=∅I ．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】对复数进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3．已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（） A ．3m =- B ．1m =-C ．1m =-或3D ．1m =或3m =-【答案】C【解析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果. 【详解】 由题意得17232m m m=≠∴- 1m =-或3,选C. 【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题. 4．已知向量，则“x ＞0”是“与的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 【详解】充分性：当x ＞0时，；但是当x ＝5时，，与共线，与夹角为0°，故充分性不成立，必要性：与夹角为锐角，则，解得x ＞0，故必要性成立， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件. 5．设n s 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59s s =，则当n s 最大时，n =（） A ．6 B ．10C ．7D ．9【答案】C【解析】因为公差不为零的等差数列的前n 项和n s 是关于n 的二次函数，59s s =，所以对称轴为7n =，又开口向下，所以当7n =时，n s 有最大值，故选C.6．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．π(,1)4【答案】D【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项． 【详解】解：函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+，令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z p p =+?，故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o ，30o ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．240(31)m -B ．180(21)m -C ．120(31)m -D ．30(31)m +【答案】C 【解析】【详解】120AC =，60sin 75AB =o ，sin 30sin 45AB BC=o o，所以sin 45602120(31)sin30sin(3045)AB BC ⨯===-+o o o o. 故选C.8．三个数 1.10.40.40.4,log 1.1,1.1大小关系是（ ）A ．1.10.4＜0.41.1＜log 0.41.1B ．0.41.1＜log 0.41.1＜1.10.4C ．log 0.41.1＜1.10.4＜0.41.1D ．log 0.41.1＜0.41.1＜1.10.4【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】解： 1.100.41<<Q ，0.41.11>，0.4log 1.10<，10.40.4.1log 0.4 1.1.11∴<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．设函数()323sin cos 4132f x x x x θθ=++-，其中50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()'1f -的取值范围是 ( )A ．[]36，B ．34+3⎡⎤⎣⎦，C ．4-36⎡⎤⎣⎦，D ．4-34+3⎡⎤⎣⎦，【答案】A【解析】先对原函数进行求导可得到()f x '的解析式，将1x =-代入可求取值范围． 【详解】 解：Q 323sin cos ()4132f x x x x θθ=++- ∴2()3sin cos 4f x x x θθ'=++∴(1)3sin cos 42sin()46f πθθθ'-=-+=-+Q 5[0,]6πθ∈∴21[,]sin()[,1]66362ππππθθ-∈-∴-∈- []6(1)3f ∴'-∈, 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大． 10．已知点O 是ABC △内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v，OAC V 的面积为1S ，ABC△的面积为2S ，则12S S =A ．310B ．38C ．25D ．421【答案】A【解析】∵2350OA OB OC u u u r u u u r u u u r++=，∵()()23OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v ．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-u u u u v u u u v,∵MN 为ABC V 的中位线，且32OM ONu u u u v u u u v =，∵36132255410OAC OMC CMN ABC ABC S S S S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭V V V V V ，即12310S S =．选A ． 11．定义域为R 的函数()y f x =,若对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①31y x x =-++①32(sin cos )y x x x =--①e 1x y =+① 1sin x xxy e e π-=+,其中为“H 函数”的有（） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C【解析】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212()[()()]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 【详解】解：Q 对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．∵函数31y x x =-++，则231y x '=-+，当33x <-，或33x >时，0y '<，此时函数为减函数，不满足条件．∵32(sin cos )y x x x =--，32(cos sin )0y x x '=-+>，函数单调递增，满足条件． ∵e 1x y =+为增函数，满足条件．∵1sin x xxy e eπ-=+，在定义域上不具有单调性，不满足条件． 综上满足“H 函数”的函数为∵∵， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．12．经过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于,M N 两点，若O 为坐标原点，OMN D 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（）A ．2B ．52C ．5D ．62【答案】B【解析】试题分析：双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，设两条渐近线的夹角为θ，则222tan tan 1b b b b abMON a a a a a b θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=∠=--+⋅-=-⎝⎭，设FN ON ⊥，则F 到渐近线by x a =的距离为22bc d b a b ==+，即有22ON c b a =-=，则OMN ∆的面积可以表示为322212tan 23a b a a a a bθ⋅⋅==-，解得2a b =，则222225 12c a b b e a a a +===+=．故选C ． 【考点】双曲线的简单性质．【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tan tan MON θ=∠，求出F 到渐近线by x a=的距离为b ，即有ON a OMN =∆，的面积可以表示为1tan 2a a θ⋅⋅，结合条件可得ab ，的关系，再由离心率公式即可计算得到．二、填空题13．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________．【答案】1 【解析】【详解】 化简三角函数的解析式，可得()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++= 23(cos )12x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1．14．过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．【答案】34200x y +-=【解析】直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可． 【详解】解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-= 圆心(3,4)C ，半径为5R =，Q 过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ， ∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22340x y x y +--=， 两式相减得34200x y +-=， 即直线PQ 的方程为34200x y +-=， 故答案为：34200x y +-=． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键．15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【解析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】 设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∵F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x e f x f x -<-∵()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∵x 2x 1-＜，即x ＞1 ∵不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16．已知椭圆221164x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在直线:38230l x y -++=上，当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =______．【答案】31-【解析】先根据椭圆221164x y +=的方程得出其左右焦点分别为1(23F -，0)、与2(23F ，0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF ∠取最大值时，经过1F 与2F 的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出122||||PF PBPF BF =，最后利用相似比即可求出答案．【详解】解：椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1(23F -，0)、与2(23F ，0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF ∠取最大值时，经过1F 与2F 的圆与直线l 相切，此时圆心在y 轴上，坐标为(0,2)A ，在直线:38230l x y -++=中令0y =得B 的坐标： ()823,0B --，在三角形1BPF 和三角形2BF P 中，12BPF BF P ∠=∠， 1BPF ∴∆∽∵2BF P ，∴221222||31||PF PB AB PA PF BF BO OF -===-+． 故答案为：31-．【点睛】本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题17．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(2)cos cos 0b c A a B -+=． （1）求角A ；（2）若25a =，25cos 5B =，求BA 的长度． 【答案】(1)4A π=;(2)AB ＝6【解析】（1）ABC ∆中，由cos (2)cos a B c b A =-，利用正弦定理求得2cos 2A =，可得A 的值．（2）ABC ∆中，先由正弦定理求得AC 的值，再由余弦定理求得AB 的值． 【详解】解：（1）ABC ∆中，由cos (2)cos a B c b A =-，利用正弦定理可得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，化简可得sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，求得2cos 2A =， 4A π∴=． （2）由25cos 5B =，可得5sin 5B =， 再由正弦定理可得sin sin a b A B=，即252525b =，求得22b AC ==． ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠g g ，即222082222AB AB =+-⨯⨯，解得6AB =． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基本知识的考查．18．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁） 年龄段 [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数 828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付 不使用手机支付（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据： P （K 2≥k 0） 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 3.8416.6357.87910.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）详见解析【解析】（1）利用已知条件，求解联列表中的数值，求出K 2的观测值k ，即可判断结果． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：年龄低于45岁 年龄不低于45岁 使用手机支付 60 15 不使用手机支付 1015于是有K 2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===，于是X 的分布列为： X 0123P 110 25 1330 115所以12131220123105301515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力，难度一般． 19．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有1AB =，2AP =，120BAD ∠=︒，E 为PC 中点． （1）证明：AC ⊥面BED ；（2）求二面角E AB C --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角的余弦值为3311【解析】（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC BD ⊥，再由PAC ∆的中位线，得到//EO PA ，结合PA ⊥面ABCD ，所以EO ⊥面ABCD ，从而AC EO ⊥．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC ⊥面BED ；（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系，则可得到A 、B 、C 、E 各点的坐标，从而得到向量AB u u u r 、AC u u u r 、AE u u u r的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE 和平面ABC 的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E AB C --是锐二面角，得到二面角E AB C --平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值． 【详解】解：（1）设O 为底面ABCD 的中心，连接EO ，Q 底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥PAC ∆Q 中，E 、O 分别是PC 、PA 的中点 //EO PA ∴又PA ⊥Q 面ABCD ，EO ∴⊥面ABCDAC ⊂Q 面ABCD ，AC EO ∴⊥又BD Q 、EO 是平面BED 内的两条相交直线AC ∴⊥面BED（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系，则可得3131312(0,0,0),(,,0),(,,0),(,,)2222442A B C E -∴3131231(,,0),(,,),(,,0)2244222AB AE AC =-==u u u r u u u r u u u r设1111(,,)n x y z =u r是平面ABE 一个法向量由1111111131···()?0022312····0442n AB x y z n AE x y z ⎧=+-+=⎪⎪⎨⎪=++=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，解得1111362y x z x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 所以取11x =，13y =，162z =-，可得16(1,3,)2n =-u u r ，因为PA ⊥平面ABC ，所以向量PA u u u r即为平面ABC 的一个法向量，设2(0,0,2)PA n ==u u u r u u r ∴12121262332cos ,11||||31322n n n n n n -⨯<>===-++u u r u u r g u u u r u u u u r g根据题意可知：二面角E AB C --是锐二面角，其余弦值等于1233cos 11,n n =∴二面角E AB C --的平面角的余弦值为3311．【点睛】本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题．20．设函数()(m )=-x f x x e （1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值 2.7183e ≈，32 4.4817e ≈） 【答案】(1) 1()=m f x e-极大值,无极小值;(2)整数m 的最大值为2【解析】（1）求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，则极值可求. （2）题目转化为4(0)x x m x x e +<+>恒成立，构造函数设4()xx g x x e +=+，求出导函数，设()(3)x h x e x =-+，判断()h x 的零点所在区间，可得()g x 的单调性，即可表示出的()g x 最小值，分析得到min 4916()185<<g x ，推出结果． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为R ,'()(m 1)=--xf x x e令'()0f x >，解得1x m <-；令'()0f x <，解得1x m >- 当(,1)∈-∞-x m 时，()f x 单调递增，当(1,)∈-+∞x m 时，()f x 单调递减，1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值.（2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+x x m x e（0x >）恒成立 设4g()+=+x x x x e ，则33g'()1+--=-+=x x xx e x x e e设h()3=--x x e x 则'()1x h x e =-0> 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()0h x > 所以()g x 在()01,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增 所以00min 04g()+=+x x x x e 又0()0h x =，3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x 则'()0t x >，所以()t x 在3(,2)2上单调递增, 所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x 因为m Z ∈，所以2m ≤,所以m 的最大值为2 【点睛】本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，二次导数以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为1-4． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =u u u u ru u u r，求OAB ∆面积的最大值．【答案】(1) 24x +y 2＝1;(2) ∵OAB 面积的最大值为1 【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，可得2121144PA PBy k k x ==--g ．又2211221x y a b+=，代入上式可得：2214b a -=-，2a =，解得b ，即可得出椭圆C 的标准方程．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立化为：222(4)240t y mty m +++-=，有2AM MB =u u u u r u u u r，可得122y y =-，利用根与系数的关系可得：22241694t m t +=+．OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，即可得出．【详解】解：（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--g ． 又2211221x y a b +=，代入上式可得：2214b a -=-， 又2a =，解得1b =．∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立2244x ty mx y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(4)240t y mty m +++-=， 12224mt y y t ∴+=-+，212244m y y t -=+，Q 2AM MB =u u u u r u u u r，122y y ∴=-，∴122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+． OAB ∴∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +∴==⨯⨯=⨯++++g ．212||1214949||||t S t t t ∴==++…，当且仅当249t =时取等号．OAB ∴∆面积的最大值为1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴极坐标，曲线1C 的方程：2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），曲线2C 的方程：8sin()4ρπθ=+． （1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标系方程；（2）从2C 上任意一点P 作曲线1C 的切线，设切点为Q ，求切线长PQ 的最小值及此时点P 的极坐标．【答案】（1）曲线C 122(2)(2)1x y -+-=,曲线C 2x +y ﹣82＝0; （2）|PQ|的最小值＝35,P 极坐标为：8,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）曲线1C 的方程2cos (2sin x aa y a ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数），消去参数可得：22(2)(2)1x y -+-=．曲线2C 的方程：8sin()4ρπθ=+，化为2(sin cos )82ρθρθ+=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得出．（2）如图所示，过圆心1C 作1C P ⊥直线2C ，垂足为点P ，此时切线长PQ 最小．利用点到直线的距离公式可得1||C P ．221||||PQ C P r =-，直线1C P 的方程为：y x =，联立820y x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得P ，利用22tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩即可得出P 极坐标． 【详解】解：（1）曲线1C 的方程2cos (2sin x aa y a⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数），消去参数可得：22(2)(2)1x y -+-=．曲线2C 的方程：8sin()4ρπθ=+，化为2(sin cos )82ρθρθ+=，820x y ∴+-=（2）如图所示，过圆心1C 作1C P ⊥直线2C ，垂足为点P ，此时切线长PQ 最小． 1|2282|||62C P +-==．22221||||6135PQ C P r ∴=-=-=，直线1C P 的方程为：y x =，联立820y x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得42x y ==．(42,42)P ∴，∴22(42)(42)8ρ=+=，42tan 142θ==，4πθ=．(8,)4P π∴．【点睛】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．设函数．(1)当时，解不等式；(2)若的解集为，，求证:．【答案】（1）（2）(当且仅当时取等号)【解析】（1）由零点分区间的方法，去掉绝对值，分情况解不等式即可；（2）原不等式转化为，即解得a值即可，再由1的妙用，结合均值不等式得到结果.【详解】(1)当时，不等式为，∵或或，∵或．∵不等式的解集为．(2)即，解得，而解集是，∵,解得，所以，∵．(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题一：选择题。
1.复数（）A. B. 1 C. D. i【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，化简即可得到答案．【详解】由题意，复数，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解中熟记复数的四则运算，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知全集，4，，，则A. B. C. D. 5，【答案】B【解析】分析：由题意首先求得集合U，据此可得结合B，最后求解交集运算即可.详解：求解二次不等式可得：，则：，结合可得：，故=.本题选择B选项.点睛：本题主要考查补集的概念，交集的概念与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱，则截去的部分是三棱柱，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5.下列命题中真命题的是A. 若为假命题，则p，q均为假命题B. “”是“”的充要条件C. 命题：若，则或的逆否命题为：若或，则D. 对于实数x，y，p：，q：或，则p是q的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】由p且q的真值表可判断A；由充分必要条件的定义和m是否为0，可判断B；由原命题的逆否命题和p或q的否定，可判断C；由充分必要条件的定义可判断D．【详解】若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错误；若，则，可得，反之，，不成立，故B错误；命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，故C错误；对于实数x，y，p：，q：或，由且，可得，即p可得q，反之由q推不到p，则p是q的充分不必要条件，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中熟记复合命题的真假和四种命题、充分必要条件的判断是解答的关键，，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．.6.已知，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得，再由余弦二倍角，即可求解．【详解】由，得，又由．故选：C．【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7.若实数x，y满足，则的最小值为A. 4B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由实数x，y满足作出可行域：联立，解得A（0，1），化z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值．∴目标函数z＝2x﹣y的最小值为z＝﹣1．故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由偶函数的定义可得，解可得a的值，验证的单调性即可得答案．【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则有，解可得：，当时，，在上不是增函数，不符合题意；当时，，在上单调递增，符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出的值，再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某次文艺汇演为，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有A. 192种B. 144种C. 96种D. 72种【答案】B【解析】【分析】由题意知A，B两个节目要相邻，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，都不排在第3号位置，那么A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，其余四个位置剩下的四个元素全排列．【详解】由题意知A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，故选：B．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答的常见方法：要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 右平移个单位长度B. 左平移个单位长度C. 右平移个单位长度D. 左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据图象求出的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案．【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故，又函数的图象的第二个点是，，所以，所以，故所以只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题． 11.设点为双曲线的左右焦点，点P 为C 右支上一点，点O 为坐标原点，若是底角为的等腰三角形，则C 的离心率为A.B.C.D.【答案】A 【解析】分析：依题意确定出是直角三角形，且边长为，根据其内角的大小，可以确定出三个边长（都用表示），利用双曲线的定义可得的关系，求得双曲线的离心率.详解：由题意是底角为30°等腰三角形，可得是等边三角形，从而可得是直角三角形，所以，根据双曲线的定义可知可以得出，从而求得，故选A.点睛：该题考查的是双曲线的离心率的求解问题，需要根据题的条件，提炼出的关系，从而求得离心率. 12.已知函数的导函数为，且对任意的实数x 都有是自然对数的底数，且，若关于x 的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数m 的取值范围是 A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】构造函数故进而得到对该函数求导得到函数的单调性和图像，结合图像得到结果. 【详解】对任意的实数都有,变形得到=构造函数故根据，得到进而得到，对函数求导得到根据导函数的正负得到函数在，，由此可得到函数的图像，不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1，故解得m的范围是：.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性和极值的问题中的应用，体现了数形结合的思想以及极限的画图的思想；较为综合. 解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
