九年级数学上册21.2.5二次函数的图象与性质课时练习(新版)沪科版

21.2 二次函数的图象和性质同步测试一、选择题1.函数y=2x〔x-3〕中，二次项系数是〔〕A. 2B. 2x2C. －6D. -6x【答案】A2.二次函数的顶点坐标是〔〕A. 〔1，-2〕B. 〔1，2〕C. 〔0，-2〕D. 〔0，2〕【答案】D3.抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为〔1，﹣3〕，那么抛物线对应的函数解析式为〔〕A. y=x2﹣2x+2B. y=x2﹣2x﹣2C. y=﹣x2﹣2x+1D. y=x2﹣2x+1【答案】B4.假设二次函数y=x2+bx+5配方后为y=〔x﹣2〕2+k，那么b、k的值分别为〔〕A. 0 5B. 0 1C. ﹣4 5D. ﹣4 1【答案】D5. 如图是抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的局部图象，其顶点坐标为〔1，n〕，且与x轴的一个交点在点〔3，0〕和〔4，0〕之间．那么以下结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a〔c﹣n〕；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C6.A(－1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)在函数y＝-5(x＋1)2＋3的图像上，那么y1、y2、y3的大小关系是〔〕A. y1< y2< y3B. y1< y3 < y2C. y2 < y3 < y1D. y3< y2 < y1【答案】C7.如图，关于抛物线y=(x-1)2-2，以下说法错误的选项是〔〕A. 顶点坐标为(1，-2)B. 对称轴是直线x=lC. 开口方向向上D. 当x>1时，Y随X的增大而减小【答案】D8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，令M=|4a-2b+c|+|a+b+c|-|2a+b|+|2a-b|，那么〔〕A. M＞0B. M＜0C. M＝0D. M的符号不能确定【答案】B9.关于抛物线y=x2﹣〔a+1〕x+a﹣2，以下说法错误的选项是〔〕A. 开口向上B. 当a=2时，经过坐标原点OC. a＞0时，对称轴在y轴左侧D. 不管a为何值，都经过定点〔1，﹣2〕【答案】C10.在平面直角坐标系中，假如抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是〔〕A. y=3〔x﹣3〕2+3B. y=3〔x﹣3〕2﹣3C. y=3〔x+3〕2+3D. y=3〔x+3〕2﹣3【答案】D11. 二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，有以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＜0；④16a+4b+c＞0．其中正确结论的个数是〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C12.如图，将抛物线y=-x2平移后经过原点O和点A(6,0)，平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y=-x2相交于点C，那么图中直线BC与两条抛物线围成的阴影局部的面积为( )A. B. 12 C. D. 15【答案】C二、填空题13.y=﹣2x2+8x﹣7的开口方向是________，对称轴是________．【答案】向下；直线x=214.抛物线y=2x2+3x+k﹣2经过点〔﹣1，0〕，那么k=________．【答案】315. 二次函数y=x2﹣2x+3图象的顶点坐标为________ .【答案】〔1，2〕16.假设将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=〔x﹣h〕2+k的形式，那么y=________．【答案】〔x﹣1〕2+217.把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是________．【答案】18.M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为〔a，b〕，那么y=﹣abx2+〔a+b〕x的顶点坐标为________【答案】19.点A(-2,m)、B(2,n)都在抛物线上，那么m与n的大小关系是m ________n．〔填“>〞、“<〞或“=〞〕【答案】＜20. 如图，抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，假如点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，那么称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是________ .【答案】，〔答案不唯一〕．三、解答题21.二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A〔2，－3〕，B〔－1，0〕．求二次函数的解析式；【答案】解：∵二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A〔2，－3〕，B〔－1，0〕,∴,解得.∴二次函数的解析式为.22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+16m-1〔m＞0〕与x轴的交点分别为A〔x1，0〕，B 〔x2，0〕．〔1〕求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；〔2〕假设AB=2，求此抛物线的解析式．〔3〕x轴上两点C〔2，0〕，D〔5，0〕，假设抛物线y=mx2-8mx+16m-1〔m＞0〕与线段CD有交点，请写出m的取值范围．【答案】〔1〕证明：△=64m2-4m•〔16m-1〕=4m，∵m＞0，∴△＞0，∴抛物线总与x轴有两个不同的交点〔2〕解：根据题意，x1、x2为方程mx2-8mx+16m-1=0的两根，∴x1+x2=- =8，x1•x2= ，∵|x1-x2|=2，∴〔x1+x2〕2-4x1•x2=4，∴82-4• =4，∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2-8x+15〔3〕解：抛物线的对称轴为直线x=- =4，∵抛物线开口向上，∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，∴4m-16m+16m-1≥0，∴m≥23.如图，抛物线y=x2+bx+c〔b、c为常数〕与x轴相交于点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①如图①，假设点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②是否存在点P使△PBC的面积为6？假设存在，求出点P坐标；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕解：∵抛物线y=x2+bx+c〔b、c为常数〕与x轴相交于点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕，∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3〔2〕解：①∵y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，∴P〔1，4〕，且C〔0，﹣3〕，设直线BC解析式为y=kx+m，那么有，解得，∴直线BC解析式为y=x﹣3，设对称轴交BC于点E，如图1，那么E〔1，﹣2〕，∴PE=﹣2﹣〔﹣4〕=2，∴S△PBC= PE•OB= ×3×2=3；②设P〔1，t〕，由①可知E〔1，﹣2〕，∴PE=|t+2|，∴S△PBC= OB•PE= |t+2|，∴|t+2|=6，解得t=2或t=﹣6，∴P点坐标为〔1，2〕或〔1，﹣6〕，即存在满足条件的点P，其坐标为〔1，2〕或〔1，﹣6〕24.如图，抛物线y= x2﹣2x﹣6 与x轴交于A，B两点〔点A在点B左侧〕，与y轴交于点C，点D 为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4 ，AE与y轴交F．〔1〕求抛物线的顶点D和F的坐标；〔2〕点M，N是抛物线对称轴上两点，且M〔2 ，a〕，N〔2 ，a+ 〕，是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，假设存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；〔3〕连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2 个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t〔0≤t≤ 〕秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠局部的面积为△DPQ面积的时对应的t值．【答案】〔1〕解：∵y= x2﹣2x﹣6 = 〔x﹣2 〕2﹣8 ，∴顶点D坐标〔2 ，﹣8 〕，由题意E〔4 ，﹣8 〕，A〔﹣2 ，0〕，B〔6 ，0〕，设直线AE解析式为y=kx+b，那么有，解得，∴直线AE解析式为y=﹣x﹣2 ，∴点F坐标〔0，﹣2 〕〔2〕解：如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′= ，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．∵四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5 +CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′〔两点之间线段最短〕，∴此时四边形CMNF的周长最小．∵C′F=3∴GN= C′F= ，∴﹣〔a+ 〕=2 + ，∴a=﹣，∵C′F′= =5 ，∴四边形CMNF的周长最小值=5 +5 =10〔3〕解：如图2中，作PF⊥BD于F，QH⊥对称轴于H．由题意可知BD= =4 ，DQ=2 t，∵S△PQG= S△DPQ= S△PD′Q，∴PG= PD′= PD=2 = BF，情形①PG∥FB时，∵PF=PD，∴BG=GD，∴PG= BF=2 ，在Rt△QHD中，sin∠HDQ= ，DQ=2 t，∴HQ=2 t，HD=4 t，∵∠QPD′=∠QPD=45°，∴PH=HQ=2 t，∴PH+HD=PD，∴6 t=4 ，∴t= ．情形②如图3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．由sin∠PDG=sin∠GPM= = ，∴MG′=MG= ，∴G′D=BD﹣GG′= ，∵= = ，∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，∴QK=QJ，∴= =2，∴QD= × = ，∴t= = ，综上所述t= 或秒时，△D′PQ与△PQB重叠局部的面积为△DPQ面积的。

21.2.3 二次函数表达式的确定知识点 1 已知三点求二次函数的表达式1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0.则这个二次函数的表达式为________．2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3)三点，则这个二次函数的表达式是____________．3．如图21－2－21所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点． (1)观察图象，写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出 抛物线的函数表达式； (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴．图21－2－21知识点 2 已知抛物线的顶点和图象上另外一点求二次函数的表达式4．已知某二次函数的图象如图21－2－22所示，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8 C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－8图21－2－225．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋66．若一个二次函数的图象的顶点坐标为(3，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，－4)，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝13x 2－2x ＋4B ．y ＝－13x 2＋2x －4C ．y ＝13(x ＋3)2－1 D ．y ＝－x 2＋6x －127．已知二次函数的图象过坐标原点，且顶点坐标是(1，－2)，则这个二次函数的表达式为__________．8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则该二次函数的表达式为____________．9．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为32米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为12米，在如图21－2－23所示的平面直角坐标系中，求这支喷泉的函数表达式．图21－2－2310．若函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分取值如下表所示，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数表达式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋811．如图21－2－24，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (0，3)，B (－1，0)，请回答下列问题：(1)求此抛物线的函数表达式；(2)若抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．图21－2－2412．如图21－2－25，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C 在x轴上．若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线的表达式．图21－2－2513．［2016·娄底］如图21－2－26，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．(1)求抛物线的表达式．(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图21－2－2614．已知抛物线l：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均不为0)的顶点为M，与y轴的交点为N.我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．(1)抛物线y＝x2－2x－3的衍生抛物线的表达式是____________，衍生直线的表达式是____________；(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝－2x2＋1和y＝－2x＋1，求这条抛物线的表达式．1．y ＝3x 2－x 2．y ＝－x 2＋2x ＋23．解：(1)A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)，函数表达式为y ＝x 2－2x －3. (2)抛物线顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x ＝1. 4．D [解析] 由题图知抛物线的顶点坐标是(1，－8)，所以设抛物线的表达式是y ＝a(x －1)2－8.因为点(3，0)在这个二次函数的图象上，所以0＝a×(3－1)2－8，解得a ＝2.所以这个二次函数的表达式为y ＝2(x －1)2－8.5．D6．B [解析] 设抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2－1，把(0，－4)代入，得a×(－3)2－1＝－4，解得a ＝－13，所以抛物线的表达式为y ＝－13(x －3)2－1＝－13x 2＋2x －4.故选B .7．y ＝2x 2－4x [解析] 设这个二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2－2.根据图象过原点，得0＝a×(0－1)2－2，解得a ＝2.故这个二次函数的表达式是y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x.8．y ＝x 2＋x －2 [解析] 结合表格由二次函数的对称性可知此二次函数的图象的顶点坐标是(－12，－94)，所以可设该二次函数的表达式为y ＝a(x ＋12)2－94，又由题表可知该二次函数的图象经过点(－1，－2)， 所以－2＝a×(－1＋12)2－94，解得a ＝1.所以该二次函数的表达式为y ＝(x ＋12)2－94＝x 2＋x －2.9．解：由题图可知，抛物线的顶点坐标为(12，4)，且经过点(0，32)．设抛物线的表达式为y ＝a(x －12)2＋4.把点(0，32)代入，可求得a ＝－10.所以这支喷泉的函数表达式为 y ＝－10(x －12)2＋4.10． A[解析] ∵x＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A .11．解：(1)因为抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a －2＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3.所以抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4的顶点坐标为(1，4)， 所以BD ＝BE 2＋DE 2＝22＋42＝2 5.12．解：当x ＝0时，y ＝2，所以点B 的坐标是(0，2)． 当y ＝0时，x ＝－2，所以点A 的坐标是(－2，0)， ∴OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝45°. ∵∠ABC ＝90°， ∴OC ＝OB ＝OA ＝2，∴点C 的坐标是(2，0)．设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)2，∵抛物线过点B(0，2)，∴4a ＝2，解得a ＝12.因此抛物线的表达式为y ＝12(x －2)2＝12x 2－2x ＋2.13．解：(1)设y ＝a(x ＋1)(x －6)(a≠0)，把B(5，－6)代入，得a×(5＋1)×(5－6)＝－6， 解得a ＝1，∴y ＝(x ＋1)(x －6)＝x 2－5x －6.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－5x －6. (2)存在．分别过点P ，B 向x 轴作垂线PM 和BN ，垂足分别为M ，N.设P(m ，m 2－5m －6)，四边形PACB 的面积为S ，则PM ＝－m 2＋5m ＋6，AM ＝m ＋1，MN ＝5－m ，CN ＝6－5＝1，BN ＝6， ∴S ＝S △AMP ＋S 梯形PMNB ＋S △BNC＝12(－m 2＋5m ＋6)(m ＋1)＋12(6－m 2＋5m ＋6)(5－m)＋12×1×6 ＝－3m 2＋12m ＋36＝－3(m －2)2＋48.当m ＝2时，S 有最大值为48，这时m 2－5m －6＝22－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)．14．解：(1)y ＝－x 2－3 y ＝－x －3(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x 2＋1，y ＝－2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝－1.∴待求抛物线与y 轴的交点为N(0，1)，抛物线的顶点为M(1，－1)．∴设抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2－1，把N(0，1)代入，得1＝a×(0－1)2－1，解得a ＝2.∴这条抛物线的表达式为y ＝2(x －1)2－1，即y ＝2x 2－4x ＋1.。

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1 二次函数y＝ax2的图象和性质知识点 1 二次函数y＝ax2的图象画法1．请你帮小明完成用描点法画函数y＝4x2图象的有关步骤:列表：描点并连线：图21－2－1知识点 2 二次函数y＝ax2的图象特征与有关概念2．关于二次函数y＝－23x2的描述错误的是( ）A．它的图象关于y轴对称B．该抛物线开口向下C．原点是该抛物线上的最高点D．当x为任意实数时,函数值y总是负数3．若抛物线y＝(6－a)x2的开口向上，则a的取值范围是( ) A．a>6 B．a<6C．a〉0 D．a<04．已知二次函数y＝错误!x2与y＝－错误!x2,下列说法错误的是（)A．它们的图象都关于y轴对称B．它们的图象的顶点相同C．二次函数y＝错误!x2的图象都在二次函数y＝－错误!x2的图象上方D．二次函数y＝错误!x2与y＝－错误!x2的图象关于x轴对称5．若二次函数y＝ax2的图象过点P（－2，4),则该图象必经过点( ）A．(2，4) B．(－2，－4）C．（－4,2) D．(4，－2）6．（1)在同一平面直角坐标系中,画出函数y＝2x2，y＝错误!x2，y＝－2x2与y＝－错误!x2的图象．（2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题:①由图象可知抛物线y＝2x2与抛物线________的形状相同,且关于________轴对称;同样，抛物线y＝错误!x2与抛物线________的形状相同,也关于________轴对称；②当|a|相同时，抛物线开口大小________；当｜a｜变大时，抛物线的开口变________(填“大"或“小”）；当｜a|变小时，抛物线的开口变________(填“大”或“小"）．知识点 3 二次函数y＝ax2的性质7．二次函数y＝错误!x2不具有的性质是( )A．函数图象的开口向上B．图象关于y轴对称C．y随x的增大而增大D．函数的最小值是08．抛物线y＝－3x2的顶点坐标是________，该抛物线上有A(2,y1)，B（错误!,y2)两点，则y1________y2（填“>”“<”或“＝”）．9．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（－1,－错误!)，则这个二次函数的表达式为________，当x________时，函数y随x的增大而增大．10．如图21－2－2,在同一平面直角坐标系中画出函数y＝错误!x2和函数y＝－错误!x2的图象，已知坐标原点O为正方形ABCD对角线的交点,且正方形的边分别与x轴、y轴平行,如果点D的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )A．4 B．8 C．12 D．16图21－2－211．若A(－错误!，y1),B(－1，y2），C（错误!，y3)为二次函数y＝－x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y312．当ab＞0时，二次函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )图21－2－313．若对任意实数x,二次函数y＝(a＋1)x2的值总是非负数,则a的取值范围是________．14．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(2，－8)．（1)求这个二次函数的表达式;（2)说出函数在x取什么值时，有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少；（3)当x为何值时，函数y随x的增大而减小？15．如图21－2－4所示，直线l经过点A(4，0),B(0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P,且△AOP的面积为4。

1.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝24x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝（）A.2B.2C.5D.32.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.3.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.第1题图第2题图1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝14x2于点B、C，则BC的长为_____________.2.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.3.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）根据图象填空：①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.4.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.5.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝14x2+4表示.（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？21.2二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质1.如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系式不正确的是( )A．k＝n B．h＝mC．k＜n D．h＜0，k＜02．当－4≤x≤2时，函数y＝－(x＋3)2＋2的取值范围为( )A．－23≤y≤1 B．－23≤y≤2C．－7≤y≤1 D．－34≤y≤23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝(x－2)2－4，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．1 B．2 C．4 D．84．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1＝a1(x＋h1)2＋k1与y2＝a2(x＋h2)2＋k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y＝(x＋1)2－1与y＝(x－1)2－1互为梦函数，写出二次函数y＝2(x＋3)2＋2的其中一个梦函数为____________．5．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x 轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为(－1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求梯形COBD的面积．21.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是( )图12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－1，0)，B(2，0)，C(－3，y1)，D(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＜y2 B．y1＝y2C．y1＞y2 D．不能确定3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论的序号是( )图2A．③④ B．②③C．①④ D．①②③4．如图3，在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x－3的图象与两坐标轴分别交于点A，点B和点C，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．(1)将这个二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式为________________．(2)当自变量x满足________时，两函数的函数值都随x的增大而增大．(3)当自变量x满足________时，一次函数值大于二次函数值．(4)当自变量x满足________时，两个函数的函数值的积小于0.图3 图45．如图4，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上任意一点，若D，E，F分别是BC，PB，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为________．6．如图5，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．图57.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21.2二次函数y=ax2的图象和性质1.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝24x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝（）A.2B.2C.5D.3 解答：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2＝a，解得：x＝a，∴B（a，a），当24x＝a时，x＝2a，∴C（2a，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为2a，∴y1＝(2a)2＝4a，∴点D的坐标为（2a，4a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为4a，∴24x＝4a，解得：x＝4a，∴点E的坐标为（4a，4a），∴DE＝4a－2a＝2a，∴DEAB＝2aa＝2，故选：A.2.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.解：设点P的坐标为（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，0），B（0，4）分别代入y＝kx+b，得k＝－1，b＝4，故y＝－x+4，∵△AOP的面积为4.5＝12×4×y，∴y＝94，再把y＝94代入y＝－x+4，得x＝74，∴P（74，94），把P（74，94）代入到y＝ax2得：a＝3649.3.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b，∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上，∴201k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y＝－x+2；∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2；（3）由22y x y x=-+⎧⎨=⎩得：24x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，∵点C 在第二象限，∴点C 的坐标为（－2，4）， ∴S △COB ＝S △AOC －S △OAB ＝12×2×4－12×2×1＝3， 即△COB 的面积为3.21.2 二次函数y =ax 2+k 的图象和性质1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+4与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝14x 2于点B 、C ，则BC 的长为_____________.解答：∵抛物线y ＝ax 2+4与y 轴交于点A ， ∴A （0，4）， 把y ＝4代入y ＝14x 2得：14x 2＝4， 解得：x ＝±4，又∵过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝14x 2于点B 、C ， ∴B 、C 两点的横坐标分别为－4，4， ∴BC ＝44--＝8， 故答案为：8.2.如图，二次函数y ＝ax 2+c （a ＜0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是___________.解答：设正方形的对角线OA 长为2m ， 则B （－m ，m ），C （m ，m ）,A （0，2m ）， 把A 、C 的坐标代入解析式可得： c ＝2m ①，am 2+c ＝m ②，把①代入②得：m 2a +2m ＝m ，解得：a ＝－1m，则ac＝－1m×2m＝－2，故答案为：－2.3.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）根据图象填空：①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.解答：（1）由213y xy x⎧=--⎨=--⎩得：1112xy=-⎧⎨=-⎩，2225xy=⎧⎨=-⎩，∵点A在第三象限，点B在第四象限，∴A（－1，－2），B（2，－5）；（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大？②当x取任何实数时，y2的值随x的增大而减小？（3）∵抛物线y1＝－x2－1的顶点坐标为（0，－1），∴C（0，－1），设直线AB与y轴交于点D，则点D的坐标为（0，－3），∴CD＝31-+＝2，∴S△ACD＝12×2×1＝1，S△BCD＝12×2×5＝5，∴S△ABC＝S△ACD+ S△BCD＝1+5＝6，即△ABC的面积为6.4.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.解答：（1）根据题意得：x2+m＝－2x－2，整理得：x2+2x+m+2＝0，∵抛物线c与直线l没有公共点，∴△＝22－4(m +2)＜0， 解得：m ＞－1，∴当m ＞－1时，抛物线c 与直线l 没有公共点； （2）∵抛物线c 的顶点在直线l 上， ∴抛物线c 的顶点为（0，－2），将（0，－2）代入y ＝x 2+m 得：m ＝－2， ∴抛物线c 的解析式为y ＝x 2－2，由2222y x y x ⎧=-⎨=--⎩得：02x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 与抛物线c 的交点为（0，－2），（－2，2）∴直线l 被抛物线c 所截得的线段长为22(20)(22)--++＝25.5.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm ，宽为2cm ，抛物线可用y ＝14x 2+4表示. （1）一辆货车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？解答：（1）当货车沿着路面中线行驶时，货车边沿的横坐标为1或－1，当x ＝±1时，y ＝－14×(±1)2+4＝154， 此处隧道高为154+2＝234＞4，故货车能通过隧道.（2）若隧道内设双行道，此时货车一边靠近隧道中线，另一边沿横坐标为2或－2，反x ＝2或－2代入y ＝14x 2+4得：y ＝3，此处隧道高为3+2＝5＞4， 故货车能通过隧道.21.2 二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的图象和性质1．[解析]A 根据二次函数表达式确定抛物线的顶点坐标分别为(h ，k)，(m ，n)．因为点(h ，k)在点(m ，n)的下方，所以k ＝n 不正确．故选A .2．[解析]B ∵a ＝－1，∴抛物线的开口向下，故有最大值．又∵对称轴为直线x ＝－3，∴当x ＝－3时，y 有最大值为2；当x ＝2时，y 有最小值为－23，∴当－4≤x ≤2时，函数y ＝－(x ＋3)2＋2的取值范围为－23≤y ≤2.3．[解析]D 如图，由题意可知四边形ABCO 为矩形，且点B 的坐标为(2，－4)， 则S 阴影＝S 矩形ABCO ＝AB ·BC ＝2×4＝8.4．[答案]y ＝2(x －3)2＋2(答案不唯一)[解析]梦函数要符合两个条件：①二次项系数的绝对值相同；②对称轴关于y 轴对称．5．解：(1)把A(－1，0)代入y ＝a(x －1)2＋4，得0＝4a ＋4，解得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋4.(2)令x ＝0，得y ＝3，∴OC ＝3.∵抛物线y ＝－(x －1)2＋4的对称轴是直线x ＝1，∴CD ＝1．又∵A(－1，0)，∴B(3，0)，∴OB ＝3，∴S 梯形COBD ＝（1＋3）×32＝6. 21.2 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和性质1． B .2． A3．C4．[答案]5．[答案]3226．解：(1)把点B(3，0)代入y ＝－x 2＋mx ＋3，得0＝－32＋3m ＋3，解得m ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．(2)连接BC 交抛物线的对称轴l 于点P ，则此时PA ＋PC 的值最小．由题可知C(0，3)，由(1)可知，抛物线的对称轴l 为直线x ＝1.设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b.则⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3.当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．7.若二次函数y ＝ax 2＋b 的最大值为4，且该函数的图象经过点A (1，3)．（1）求a ，b 的值以及顶点D 的坐标．（2）直接写出这个二次函数图象关于x 轴对称后所得的新图象的函数表达式．（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由二次函数y＝ax2＋b的最大值为4可知b＝4.∵函数的图象经过点A(1，3)，∴3＝a＋4，解得a＝－1.故该二次函数的表达式为y＝－x2＋4，顶点D的坐标为(0，4)．（2）y＝x2－4.（3）存在．假设存在点B(x，y)，使得S△DOB＝2S△AOD，∴12OD·|x|＝2×12OD×1，解得x＝±2.①当x＝2时，则y＝－x2＋4＝0；②当x＝－2时，则y＝－x2＋4＝0.∴存在满足条件的点B，它的坐标为(2，0)或(－2，0)．。