玻尔兹曼方程-金属的电导过程

本科毕业论文题目：关于金属电子论与电导率目录引言 (1)1 . 金属电子轮 (1)2 . Drude的自由电子模型 (1)3．欧姆（Ohm）定律 (2)4．电导率与温度的关系 (4)5. 金属电导率与频率的依赖关系 (7)6.金属的热容量，Dulong-Petit定律 (8)结论 : (10)参考文献： (11)致谢.................................................. 错误！未定义书签。

金属电子论与电导率摘要：本论文是基础理论论述类的研究题目.首先讨论的是关于金属电子论的简短的历史回顾且自由电子模型.其次简单的经典电子论来说明金属导电的原因，推导电流密度公式.再次用经典电子论的基础上解释金属的电导率与温度的关系.最后用金属经典理论来解释焦耳热产生的原因. 也通过费米分布来解决了经典电子论遇到的困难.关键词：金属电子;电导率 ;温度; 频率.引言金属电子论通过考察金属内电子的运动状态及其输运过程，运用统计方法来解释金属的导电性，导热性，热容量，以及磁学性质，力学性质和光学性质等.在金属的经典电子论范围内，实质性的进展应归功于P.K.L.Drude.Drude在1900年提出了虽然简单但却很有效的自由电子模型，利用分子运动论的成果比较好地从理论上解释了Ohm定律，Joule_Lenz定律以及反映导电性和导热性关系的Wiedeman_Franz定律.但是，Drude的理论与实验结果比较时，在定量方面仍然存在不可忽视的差异.1904年，洛伦兹指出，德鲁德自由电子模型中采用的金属内自由电子都以平均速率运动的假设过于简单了.洛伦兹认为自由电子的运动应该像气体分子那样遵循麦克斯韦-波尔兹曼分布律.1905年，洛伦兹根据气体分子运动论，运用经典统计方法对自由电子在金属中的运输过程作了严密的理论分析，导出了电导率σ和热导率κ的公式.1905年，Lrentz以Drude的自由电子假设为基础改进了Drude的模型，用经典统计方法建立了关于金属导电性和导热性的更为严密的理论.但是经典理论的先天性根本缺陷，使得Lorentz的理论仍然遇到了难以解决的困难.经典电子论假设金属中存在着自由电子，它们和理想气体分子一样，服从经典的玻耳兹曼统计，因此，金属中的自由电子对热容量有贡献.但是实验上并不能察觉金属有这样一部分额外的热容量.从经典理论看，这种情况只能表明电子并没有热运动，从而直接动摇了经典电子论的基础.这个矛盾直到量子力学和费米统计规律确立以后才得到解决.1 . 金属电子轮金属电子论自由电子模型不考虑电子与电子，电子与离子之间的相互作用，波尔兹曼统计分布规律，电子气体服从麦克斯韦-波尔兹曼统计分布规律，对电子进行统计计算，得到金属的直流电导平均自由程和热熔.金属电子论的发展可以分为两个阶段.最初阶段是运用经典理论结合经典统计方法（即经典电子论）进行理论分析，在解释金属的导电性和热学性质方面取得了阶段性的成果.然而，这种经典理论在许多方面存在着与实验不符的困难，这些困难在经典理论的框架内是无法解决的.自从量子力学诞生后，金属电子论进入了新的发展阶段，在运用量子力学原理和量子统计方法后才最终比较圆满地解释了金属的各种性质.2 . Drude的自由电子模型为了解释金属良好的导电和导热性能，德国科学家Drude1900提出了一个简单的自由电子模型，建立了金属经典电子论，成功地解释了金属的导电性和热学性质.Drude结合气体动理论的成果，提出了自由电子模型，他认为，金属内的电子可以分成两部分，一部分被原子所束缚，只能在原子内部运动并与原子核构成金属内的正离子；另一部分电子受到的束缚比较弱，它们已不属于特定的原子，而是在整块金属中自有运动，成为自由电子，金属良好的导电性和导热性就是由这些自由电子的运动所决定的.自由电子不断地与金属内的正离子相撞，相互交换能量，在一定温度下达到热平衡.处在热平衡状态的自由电子就像气体分子那样做无规则的热运动，因而可以采用气体分子运动论来处理金属内自由电子的运动.以Drude的自由电子模型为基础，可以从理论上解释Ohm定律，Joule-Lenz定律以及Wiedemann-Franz定律. 3．欧姆（Ohm）定律金属导电的宏观规律是由它的微观导电机制所决定的.金属导体具有晶体结构，原子实以一定方式排列成整齐的空间点阵，自由电子在点阵间不停地作热运动.带正电的原子实虽然被固定在格点上，但可以在各自的平衡位置附近作微小的振动；自由电子在晶格间作激烈的不规则热运动.按经典物理的观点，自由电子的热运动与气体分子的热运动很相似.下面我们根据简单的经典理论说明为什么金属导电遵从欧姆定律，并把电导率和微观量的平均值联系起来.首先定性的描述一下金属导电的微观图像.2-1电子的热运动不形成宏观电流当导体内没有电场时，以微观角度上看，导体内的自由电荷并不是静止不动的.以金属为例，金属的自由电子好像气体中的分子一样，总是在不停地作无规则的热运动.电子的热运动是杂乱无章的，在没有外电场或其它原因（如电子数密度或温度的梯度）的情况下，它们朝任何方向运动的概率都一样.如图2-1所示，设想在金属内部任意作一横截面，则在任意一段时间内平均说来，由两边穿过截面的电子数相等.因此，从宏观角度上看，自由电子的无规则的热运动没有集体定向的效果，因此并不形成电流.2-2电子在电场作用下的漂移运动自由电子在作热运动的同时，还不时地与晶体点阵上的原子实碰撞，所以每个自由电子的轨迹如图2-2中的黑线所示，是一条迂回曲折的折线.当金属中存在电场时，每个自由电子都受到电场的作用力，因而每个自由电子都在原有热运动的基础上附加一个逆着电场方向的定向运动（叫做漂移运动），由于漂移运动，每个自由电子的轨迹将如图2-2中虚线所示.这时自由电子的速度是其热运动速度和定向运动速度的叠加.因为热运动的速度平均值仍然等于零，所以自由电子的平均速度等于定向运动速度的平均值.定向运动速度的平均值u 叫做漂移速度.它的方向与金属中的电场方向相反.大量自由电子的漂移运动形成金属导体中的电流.下面根据上述观点找出金属导体中电流密度和自由电子漂移速度的关系.设通电导体中某点附近自由电子的数密度为n ，自由电子的漂移速度为u ，经过时间t ∆，该点附近的自由电子都移过距离u t ∆.在该点附近取一小圆柱体，截面和漂移速度方向垂直截面积为S ∆，长为u t ∆.显然，位于这小圆柱体内的自由电子，经过时间t ∆后都将穿过小圆柱体的左端面.在t ∆时间内穿过小圆柱体左端面的自由电子也都在这个小圆柱体中.位于小圆柱体内的自由电子数为n u t ∆S ∆，所以在时间t ∆内穿过左端面的电量q ∆为q ∆=nu t Se ∆∆ （1）式中e 是电子电量的绝对值.由此可得左端面上的电流I ∆为q I neu S t∆∆==∆∆ ( 2 ) 左端面处的电流密度的大小为 I j neu S ∆==∆ (3) 因为电子带负点，所以电流密度的方向与电子漂移速度的方向相反.故上式可写成矢量形式ne ju =- (4) 式（4）给出电流密度与漂移速度的关系.利用此式可计算金属中自由电子的漂移速度.根据经典电子论，可以从微观上导出欧姆定律的微分形式.4．电导率与温度的关系电子与正离子连续两次碰撞所经历的时间称为自由时间.由于电子的运动是无规则的，故任意一个电子的某一个自由时间是完全随机的.在一定温度下，大量电子的平均自由时间τ是一定的.在电场作用下，电子的速度为无规则运动的速度和定向运动速度的叠加，后者与场强有关.由于金属中自由电子定向运动的速率比无规则运动的速率小得多，平均自由时间τ实际上与外电场无关.由于电子与晶格上原子实的碰撞，电子的最大定向速度是在一个自由时间内被电场加速所得到的速度，故在一定的电场作用下，定向速度不可能无限增大.考察某一个电子，其电量为e ，质量为m ，若作用于电子的电场为E ，则由牛顿运动定律得em a E =- (5)(5)式中的a 表示电子定向漂移运动的加速度.由于电子热运动的速率远大于定向漂移运动的速率，所以电子与原子实碰撞时受到的冲力远大于电场力.因而在碰撞过程中可以忽略电场力.因此电子与原子实碰撞后向各方向运动的概率相等.所以，可以假设碰撞后的瞬间，电子的平均定向漂移速度为零.设自由电子与正离子晶格相邻两次碰撞前后的平均定向速度从00u =增为1u ，自由电子的平均定向速度为: ()0111112222e mE u u u u a ττ=+===- （6） 即平均定向速度与电场强度E 和平均自由时间成正比.考虑到电子的电量为负值，平均定向速度的方向与场强的方向相反.式（6）代入式（4），导体中的电流密度为 22ne m ne u Ej τ=-= （7） 这就是欧姆定律的微分形式.由气体分子动理论知道，τ等于自由电子的热运动平均速率v 与平均自由程λ之比为v λτ=（8）由以上（8）式得22ne m v jE λ= （9） 因欧姆定律中 j E σ=，故电导率σ为22ne mvλσ= （10） 式（10）中的σ表示电导率，这样，我们就用经典的电子理论解释了欧姆定律，并导出了电导率σ与微观量平均值之间的关系，又由式（10）可以看出电导率与自由电子的热运动平均速率v 成反比，与平均自由程λ成正比.根据气体分子运动论，分子的平均热运动动能与绝对温度T 成正比，对于金属内自由电子的热运动亦应有同样结果，即应有()T =αν221m （11） 式中α是一个普适常量.从（11）式还可以看出σ与温度的关系，因为λ与温度无关，vT 是热力学温度），所以，从而电阻率ρ .不过应当指出，从经典电子论导出的结果只能定性的说明金属导电的规律，（10）式计算出的电导率的具体数值与实际相差甚远.此外σ或ρ与温度的关系也不对.实际上对于大多数金属来说，ρ近似地与T .下面我们在定性的解释一下电流的热效应.在金属导体里，自由电子在电场力的推动下做定向运动形成电流.在这个过程中，电场力对自由电子作功，使电子的定向运动动能增大.同时，自由电子又不断地和正离子碰撞，在碰撞时把定向运动能量传递给原子实，使它的热振动加剧，因而导体的温度就升高了.综上所述，从金属经典理论来看，“电阻”所反映的是自由电子与正离子碰撞造成对电子定向运动的破坏作用，这也是电阻元件中产生焦耳热的原因.下面再进一步推到α和σ的关系.金属是良好的导热材料，将一金属棒两端维持恒定的温度差，实验表明，单位时间内通过单位横载面的热量为dT dQ dx κ=- （12） 式中 dT dx 是沿金属棒的温度梯度，κ称为金属的热导率，用以描述金属的导热性能.金属的导热性与导电性一样，都起因于自由电子，故金属的电导率σ与热导率κ之间必定有所联系.早在1852年，维德曼–夫兰兹 （Wiedemann-Franz ）通过实验确立了κ与 σ 之间的下述关系LT κσ= （13）σ∝式（13）中T 为绝对温度，L 成为 维德曼–夫兰兹常量.利用德鲁德的自由电子模型可以从理论上导出上述的定律.金属内的自由电子可以看作一种气体，通常成为自由电子气.与气体中的热传导一样，金属内存在温度梯度时，自由电子的输运过程导致热量的传递.因而可以套用气体的热传导公式，即气体的热导率为v 13c κρνλ= （14） 式中ρ是气体密度，v c 为气体的定容比热。

金属的电导及热容量夏建培（物理与电子科学学院物理08-01班）摘要：分别采用经典理论与量子理论描述金属晶体两个基本特征：金属的电导率与热容量。

经典理论部分通过对欧姆定律的证明，可得出一般金属的电导率，再运用经典的能量均分定理证明Dulong—Petit定律，但经典理论得出的结论有不足之处，将在量子部分可以解释，量子理论部分谈一下对能带理论的理解，运用该理论并结合费米统计理论描述金属中电子的分布及变化，推算出一般金属的电导率与电子气体的热容量。

关键词：漂移速度；麦克斯韦速率分布；费米能级；跃迁几率函数1 引言关于金属电导率及热容量的解释，需要考察金属内的电子运动状态及其输运过程。

历史上，人们对这方面的研究可以分为两个阶段，最初阶段是运用经典理论结合经典统计方法进行理论分析，其实质性的进展应归功与P. K. L. Drude。

他在1990年提出了虽然简单却很有效的自由电子模型，利用分子运动论的成果比较好的从理论上解释了金属导电服从欧姆定律等其他性质。

但是，Drude的理论与实验结果比较时在定量方面仍然存在不可忽视的差异，虽然后人又以Drude的自由电子假设为基础改进了Drude模型，并用经典统计方法建立了关于金属导电性与导热性的更严密的理论，但是经典理论的先天性根本缺陷，使得经典理论在许多方面存在着无法解决的困难，如常温下自由电子对金属晶体的热容无贡献。

直到量子力学诞生后，在运用量子力学原理及量子统计方方法才最终比较圆满地解释了金属在某些方面的基本特征。

经典理论理论在解释金属性质的局限性来源于电子的运动并不遵循宏观规律和经典统计(即麦克斯韦—玻尔兹曼分布)，金属中的自由电子是强烈简并的，不满足经典极限条件，故不遵从玻尔兹曼分布，而金属中所谓的自由电子其实并非真正的“自由"，而是受到金属内金属阳离子组成的晶格的周期性势场的作用，因而上述的自由电子理论不能解释金属的全部性质是很自然的。

由F. Bloch和L. N. Brillouin发展起来的单电子能带论，是解决金属性质问题的近似理论。