第17—20课时 解析几何问题的题型与方法

相信很多同学都知道，解析几何其实并不难，解题思路也相对简单，但是它却折磨着大多数的考生们！
为什么？因为它的计算量实在是太大了，想找个简单快捷的方法去做都是很不容易的一件事。

在高考数学中，解析几何属于必考题，而且其所占的分值和函数也相差不大，都是在3 0分左右，但是它并没有像函数压轴题一样，让人看了就想放弃。

但是只要找对方法，你会发现其实解析几何也没有想象中的那么折磨人，而且出乎意料的简单。

今天，学长就为同学们整理了高考数学中解析几何的热点常考题和解题方法的汇总，希望同学们好好把握，在高考中取得一个更好的成绩！
需要电子打印版的同学可以私信发送，解析几何，就可以打印出来了！用起来超方便！！！。

解析几何常规题型及解题的技巧方法（1）中点弦问题1.给定双曲线xy2221-=。

过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

(2）直线与圆锥曲线位置关系问题2.设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为 2. (1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN 的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．（3）圆锥曲线的有关最值（范围）问题3.设双曲线x 2－y 23＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 是直线x ＝4上的动点，若∠F 1PF 2＝θ，则θ的最大值为________．4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，椭圆上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33满足MF 1→·MF 2→＝0. (1)求椭圆的方程； (2)若直线L ：y ＝kx ＋2与椭圆恒有不同交点A 、B ，且OA →·OB →>1(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．5.直线m ：y=kx+1和双曲线x 2－y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P （－2，0）和线段AB 的中点，则直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为(4)求曲线的方程问题6.已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )7.设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程.8.已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列，（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ.（5） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。

这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。

② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。

高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。

平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。

下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。

一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。

常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。

这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。

例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。

解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。

解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。

3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。

通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。

二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。

常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。

这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。

例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。

解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。

当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。

当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。

解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

2.求解二次方程，得到x的值。

高中数学学习中的解析几何解题技巧解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一项重要内容。

在学习解析几何时，很多学生常常会遇到解题困难的情况。

本文将介绍一些高中数学学习中解析几何解题的技巧，帮助学生更好地应对解析几何题目。

一、利用图形性质确定方程解析几何问题常常涉及到图形的方程，而方程又是解题的基础。

在解析几何问题中，我们可以通过观察图形的性质，来确定方程的形式。

例如，当求解过点A和B的直线方程时，我们可以根据直线的斜率来确定方程的形式。

如果我们已知直线经过点A(-3,5)和B(2,4)，我们可以利用两点间的斜率公式来求解直线的斜率，即\[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac{{4-5}}{{2-(-3)}} = -\frac{1}{5}\]然后可以通过直线的斜率和已知点的坐标，使用点斜式或者斜截式公式得到直线的方程。

二、利用向量运算简化计算在解析几何中，向量是一项重要的工具。

通过向量的加减和数乘等运算，可以简化计算过程。

例如，当求解两条直线的夹角时，我们可以利用向量的点积公式来求解。

设两条直线的方程分别为\[ax+by+c=0\]和\[px+qy+r=0\]，则两条直线的夹角\(\theta\)满足：\[\cos{\theta}=\frac{{|ap+bq|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}\sqrt{{p^2+q^2}}}}\]通过向量的点积公式，我们可以利用方程的系数来求解直线的夹角，而无需对方程进行直接求解。

三、利用平移旋转变换简化题目解析几何中的平移、旋转等变换是解题过程中常常用到的工具。

通过适当的变换，可以将复杂的题目转化为简单的形式，便于求解。

例如，我们在求解直线与圆的位置关系时，可以通过平移变换将圆心移到坐标原点，从而简化题目。

设直线的方程为\(ax+by+c=0\)，圆的方程为\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，我们可以通过平移变换将圆的方程转化为\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\(a\)和\(b\)为圆心的坐标。

解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。

解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。

2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。

3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。

例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。

线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。

解析几何常规题型及方法（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

典型例题已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

解析几何常规题型及方法(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x i ,y 1)，(X 2，y 2),代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

2典型例题给定双曲线X2— 1。

过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点P1及P 2,求线段P1 P 2的中点P2的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

2y _.八， __________________: 1 上任一点，F ［（ c,0）, F 2（c,0）为焦点， PF 1F 2 ， PF 2F 1 。

b/(1)求证离心率 e --------sin.一33 .(2)求 |PF 1| PF 2I 的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合 的办法 典型例题抛物线方程y2p(x 1) (p 0),直线x y t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A 、B,且OALOB,求p 关于t 的函数f ⑴的表达式。

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数， 三角函数，均值不等式)求最值。

典型例题 已知抛物线y2=2px(p>0),过M (a,0)且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点 A 、B, |AB|w 2P(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N,求^ NAB 面积的最大值。

(2)设AB 的垂直平分线交 AB 与点Q,令其坐标为(X3,y3),则由中点坐标公式得： (5)求曲线的方程问题1 .曲线的形状已知 --------- 这类问题一般可用待定系数法解决。

高考解析几何的题型及思路解析几何是必考的，常作为压轴题，特点是计算量大。

不过解几题其实很有规律性，解题思路并不难掌握，就是要用代数方法（方程、函数、不等式的思想和方法）研究几何问题，而数形结合思想（主要是利用定义或平面几何知识分析问题）是减少解几综合题计算量的主要手段。

常见的类型题有：（1）、求曲线（动点）的方程：若曲线类型已知，用待定系数法列方程组求解即可。

若给出了单个动点满足的条件，可先判断其是否符合某种曲线的定义，符合即可用待定系数求解，否则用直接法求解。

若条件有两个动点，一般用代入法求解；若条件有三个以上的动点，一般用参数法求解。

（2）求参数或曲线的特征量（如a、b、c、p、离心率、斜率、倾角、面积等）的值。

这类题要用到方程思想求解，即想办法把题目的条件（等量关系）转化为所求变量的方程（组）解之。

（3）求参数或几何量（如角、面积、斜率）的取值范围的问题。

主要是利不等式法或函数法求解。

其中判别式是列不等式的一个重要途径。

通常用韦达定理或题目给出的其它条件来列出变量间的等量关系，再把等量关系代入判别式消元化简解出相关参数的范围。

或利用韦达定理或其它等量关系建立变量间的关系式，把所求变量表示为其它变量的函数，利用求函数值域的方法确定变量的取值范围。

这个函数的定义域通常由判别式或其它条件确定。

（4）直（曲）线过定点问题：关键是求出直（曲）线的方程，当然这个方程必定含有一个参数。

求出方程后观察什么定点的坐标满足。

若观察不出，只要令参数取两个特殊值，然后把得到的两条具体的直（曲）线求交点即得所求定点。

（5）证明定值：证某个式子为定值，即是要求出这个式子的值是什么。

把条件转化为相关的方程（组），消去其中的参数即得。

（6）探索性（存在性）问题：通常转化为对方程根的存在性的讨论。

▲注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的解析几何问题都是以向量作为背景编拟的；▲判别式和韦达定理是解决以直线和圆锥曲线的位置关系为背景的综合问题的必用工具。

解析几何题型及解题方法总结
几何是小学、中学数学的基础内容，对理解和掌握数学有着重要的作用，而解析几何就是从图形出发，把它们构成的性质表示出来。

随着数学应用范围的不断扩大，解析几何也变得越来越重要。

一般来说，解析几何题型包括：直线、线段、圆、三角形、椭圆、正方形等。

在解析这些几何题型时，有一些总体的解题思路与解题方法。

首先，把问题翻译成几何模型，也是解题的第一步。

其次，通过绘图的方法，让图形的性质更加清晰，即确定结构。

最后，运用相关的几何知识、定理，进行计算、判断和证明。

举例来说，解决一道给定两线段判断是否相交的问题，可以这样做：首先，用两个不同的色彩表示这两条线段，绘出它们的图形；其次，利用类似两线段角平分线定理的几何原理，计算出两线段的角平分线，判断它们是否相交。

此外，解决解析几何问题还需要熟练掌握和推导各种常见的几何定理，如勾股定理、等腰三角形定理、角平分线定理等，并且应该能够根据情况，判断出此类定理的使用范围。

另外，还要深入理解几何中角度、边长之间的各种关系：一条线段所围成的角的几何关系，一个三角形的边长与其垂直边、对边角的几何关系，一个椭圆的边长与其顶点角的几何关系等。

最后，解析几何中突出的一般性知识，：平行线、垂直线、对称中心、交点、垂足等，也要熟练掌握，这样方便在解决具体问题时正
确使用正确的几何知识。

解析几何题型及解题方法
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。

以下是一些常见的解析几何题型及其解题方法：
1. 求轨迹方程：给定一些条件，求动点的轨迹方程。

解题方法包括直接法、参数法、代入法等。

2. 判断位置关系：判断两条直线、两个圆、两条圆锥曲线等是否相交、相切、相离。

解题方法包括联立方程组消元法、判别式法、一元二次方程根的判别式法等。

3. 求弦长、面积、体积等：给定一个几何对象，求其长度、面积、体积等。

解题方法包括公式法、参数法、极坐标法等。

4. 求最值：给定一个几何对象，求其长度的最大值、最小值等。

解题方法包括导数法、不等式法、极坐标法等。

5. 证明不等式：通过几何图形证明不等式。

解题方法包括构造法、极坐标法、数形结合法等。

6. 探索性问题：通过观察、猜想、证明等方式探索几何对象的性质。

解题方法包括归纳法、反证法、构造法等。

以上是一些常见的解析几何题型及其解题方法，掌握这些方法可以帮助我们更好地解决解析几何问题。

同时，需要注意题目中的条件和限制，以及图形的位置和形状，以便更准确地解决问题。

数学解析几何题解题技巧解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。

解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的方法进行求解。

解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数学水平有着重要的影响。

本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧和方法。

一、坐标表示法在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。

坐标表示法利用数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。

在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。

直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。

在直角坐标系中，我们用x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。

在解析几何题目中，可以通过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。

利用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析几何题目。

极坐标系是另一种常用的坐标表示法。

在极坐标系中，我们用极径和极角来表示平面上的点。

极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等等问题，从而解决解析几何题目。

二、方程表示法方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。

通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。

在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。

例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形式的方程来表示。

在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。

对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通过求解方程，得到曲线上的点坐标等问题。

在解析几何题目中，方程表示法是解决问题的重要手段之一。

三、向量表示法向量表示法是解析几何题目中另一个常用的技巧。

向量表示法利用向量的性质和运算，可以更方便地表示点、线、面等几何元素，从而解决解析几何问题。

在解析几何题目中，常常通过设立向量的起点和终点，来表示点或线段。

解析几何的常见题型解题方法几何学是数学的一个分支，研究与形状、大小、位置等相关的问题。

在解析几何中，常见的题型包括直线方程、平面方程、距离公式、中点公式、向量运算等。

本文将从这些常见题型出发，介绍解析几何的解题方法。

1. 直线方程直线方程是解析几何中常见的题型之一。

一条直线可以用斜率截距法、两点法或点斜式等多种方式表示。

例如，已知直线过点A(2,3)且斜率为2，求直线的方程。

解法如下：首先，利用点斜式可以得到直线的方程为y-3=2(x-2)。

进一步化简，得到直线方程为y=2x-1。

2. 平面方程平面方程是解析几何中另一个常见的题型。

平面可以用点法、法向量法或截距法表示。

例如，已知平面过点A(2,3,4)、B(1,2,3)和C(3,4,5)，求平面的方程。

解法如下：首先，利用两个向量来确定平面的法向量。

设AB和AC两向量，则平面的法向量可以通过叉积运算得到。

即AB×AC=(-1,1,1)。

进一步，利用点法可得平面的方程为-1(x-2)+1(y-3)+1(z-4)=0。

化简可得-x+y+z-5=0，即平面的方程为x-y-z+5=0。

3. 距离公式在解析几何中，我们常需要计算两点之间的距离。

两点间的距离可以通过距离公式来计算。

例如，已知点A(2,3)和点B(4,5)，求AB两点间的距离。

解法如下：根据距离公式，AB的距离可以表示为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

带入坐标可得√[(4-2)²+(5-3)²]，化简后得√8。

因此，点A(2,3)和点B(4,5)之间的距离为√8。

4. 中点公式中点公式是解析几何中常见的一个定理，用来求线段的中点坐标。

例如，已知线段AB的两个端点A(2,3)和B(4,5)，求线段AB的中点坐标。

解法如下：根据中点公式，线段AB的中点坐标可以表示为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。

带入坐标可得[(2+4)/2, (3+5)/2]，化简后得(3,4)。

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。

数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。

解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。

在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。

一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。

然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。

将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。

接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。

最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。

综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。

因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。

二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。

第七讲解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】 解析几何例 命题趋势：1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、 填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强 的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题分值一般在17---22分之间，题型一般为 1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 一. 直线和圆的方程1 •理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程.2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的 /亠护¥方 位置关糸.3. 了解二元一次不等式表示平面区域.4. 了解线性规划的意义，并会简单的应用.5. 了解解析几何的基本思想，了解坐标法.6. 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. 二. 圆锥曲线方程1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4. 了解圆锥曲线的初步应用. 【例题解析】 考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之.2 2例1 . （2006年安徽卷）若抛物线 y 2px 的焦点与椭圆 工 乂 〔的右焦点重合，贝U p 的值为（）62A.2B. 2 C . 4 D . 4考查意图：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质2 2解答过程：椭圆 1 仝1的右焦点为（2,0），所以抛物线y 2px 的焦点为（2,0）,则p 4，故选D.6 2考点2.求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手 ，找出点的坐标，利用距离公式解之例2. （2007年四川卷文）已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A 、B ,则|AB|等于考查意图：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用故选C2 2例3. （2006年四川卷）如图，把椭圆 冬y_ 1的长轴25 16AB 分成8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部解：设直线 AB 的方程为yx b ，由y x 2 32x x b 3 0x 1 x 21，进而可求出 AB 的中点1 11 1M （ —， — b ），又由 M （—，— 2 2 2 22二x x 2 0，由弦长公式可求出b ）在直线x y 0上可求出b 1,AB 1 12 12 4 ( 2)3 2 .分于R,P2, F3, P4,P5, F6, R七个点，F是椭圆的一个焦点,则PF| |F2F| |眛| I P4F I I P5F |P6q I P7F ----------------------------------- .考查意图：本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用•2 2解答过程：由椭圆二y_ 1的方程知a225, a 5.25 167 2a•- |PF |F2F| RF R F] F5F |R F| |F7F 7 a 7 5 35.故填35.考点3.曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一，其解法为充分利用：（1）椭圆的离心率e= C € （0,1）（e越大则椭圆越扁）;a⑵双曲线的离心率e= C € （1, ）（e越大则双曲线开口越大）.a结合有关知识来解题.例4. （2007年全国卷）文（4) 理（4）已知双曲线的离心率为2, 焦点是（4,0）, （4,0），则双曲线方程为2 222 2 222A. 11 B . x L 1C . x_ 1D x• ” ,乂14 1212410 6610考查意图：本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念解答过程：Q e C 2,c 4,所以 a 2,b2 12.故选（A）.a ''小结：对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5. （2006年广东卷）已知双曲线3x2 y2 9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（）A. 2B. 2 3C. 23考查意图：本题主要考查双曲线的性质和离心率e= c€ （1, +8 ）的有关知识的应用能力.a解答过程：依题意可知 a V3,c V a2 b2<3—9 2*3 -考点4.求最大（小）值求最大（小）值，是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大（小）值:特别是，一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6. （2006年山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（X1,y”,B（x 2,y 2）两点，贝U y/+y22的最小值是_____ . _____考查意图：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大（小）值的方法.解:设过点P（4,0）的直线为y k x 4 , k2 x2 8x 16 4x,k2x28k2 4 x 16k20,2 28k2 4 1y：讨;4 人X2 4 2 16 2 2 32.k k故填32.考点5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7. （2007年广东卷文）在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象 限、半径为2斗2的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点 O 椭圆兰 兰=1 孑~9 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.(1) 求圆C 的方程；(2) 试探究圆C 上是否存在异于原点的点 Q,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段 OF 的长•若存在，请求出点 标；若不存在，请说明理由• ［考查目的］本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解 决问题的能力.［解答过程］⑴ 设圆C 的圆心为(m, n) 则m n ，解得m 2,n .2 2 2,n 2.因此不存在符合题意的 例8. (2007年安徽卷理) 为半径的圆分别与曲线 G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B.直线AB 与x 轴相交于点C(I)求点 A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；(H)设曲线 G 上点D 的横坐标为a 2,求证：直线CD 的斜率为定值.［考查目的］本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力 ［解答过程］(I )由题意知，A(a, 2a). 因为 |OA| t,所以a 2 2a t 2.由点B( 0, t ), C( c , 0)的坐标知，直线 BC 的方程为\ y 1 c t又因点A 在直线BC 上，故有a1c t ,将(1)代入上式，得a '2a _ 1解得c a 2、■_2).c .a(a 2)'(II )因为D(a 2 2(a 2))，所以直线CD 的斜率为, <2(a 2)v'2(a 2)』2(a 2),, k cD1 'a 2 c a 2 (a 2 \'2(a 2))72(a 2)所以直线CD 的斜率为定值.与圆C Q 的坐所求的圆的方程为 (2)由已知可得 椭圆的方程为 2a 2x25 (x 2)2 10 , 2乞1 , 9(y 2)2 8a 5.右焦点为 F( 4, 0);假设存在Q 点,2 2.2sin使QFOF，— 22 2 .2 cos42 2 2sin4 •整理得 sin 3cos 2 ..2 ,代入 sin 2得:10cos 2122coscos2cos12 2 1012 2 2,210如图，曲线G 的方程为y 22x(y 0).以原点为圆心，以t(t0)由于t 0,故有t a 2 2a.(1)2 2例9•已知椭圆E：笃与1(a b 0)，AB是它的一条弦，M(2,1)是弦AB的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E a b 的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4, 1)，若椭圆离心率e和双曲线离心率e,之间满足eq 1 , 求：(1)椭圆E的离心率；(2)双曲线C的方程.解答过程：(1)设A、B坐标分别为A(x!，y!),B(x2,y2),2 222贝y X1 y1 1 X2y2 1，二一式相减孑畀 2 a b2 1k AB y1y2(X12X2)b22b2k2kMN12(4) 1，X1X2(y1y2)aa所以a22b22(a22\ 2c ), a2c2, 则 e 2 J ；a 2(2)椭圆2E的右准线为x a_(2c)22c，双曲线的离心率e1—2,c c e设P(x, y)是双曲线上任一点，则:|PM | (X 2)2 (y 1)22，|x 2c| |x 2c|两端平方且将N(4, 1)代入得：c 1或c 3，当c 1时，双曲线方程为：(X 2)2 (y 1)20,不合题意，舍去；当c 3时，双曲线方程为：(x 10)2(y 1)232，即为所求•小结：(1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；(2)求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义考点6利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算典型例题：2 2例10. (2006年山东卷)双曲线C与椭圆£ y_ 1有相同的焦点，直线y= 3x为C的一条渐近线.8 4(1)求双曲线C的方程；⑵过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)•当PQ 1QA 2QB，且8时，求Q点的坐标.3考查意图：本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力的思想解决问题的能力•2 由椭圆x_82y 1，求得两焦点为(2,0),(2,0), 4对于双曲线C:c 2，又y 3x为双曲线C的一条渐近线b 3 解得a21,b23,,以及运用数形结合思想，方程和转化解答过程: (I)设双曲线方程为2 2 7 7 1,2双曲线C 的方程为x 2 y13解法二：由题意知直线I 的斜率k 存在且不等于零 设1的方程，ykx 4,A(x,yJ, B(x 2,y 2)，则 Q( - ,0) .kuLiruuuQ PQ 1QA ,uuiQ 分PA 的比为1.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线uur Q PQ uur uuu 1 QA 2 QB ，( 4Jk4)1(x 1 -k4 ,y 1) 2(x 2, y 2)k41 y 12 y2,14 ， 24---- ?y 1y 2又18 12丄 2 —5 即 3(y 1y 2) 2%y 2.3y y 232将 y kx 4代入 x 2 乞 1 得(3 k 2)y 2 24y 48 3k 20.3Q3 k 20 ,否则I 与渐近线平行(n)解法一 由题意知直线 l的斜率k 存在且不等于零.设I 的方程: kx 4,A(x ，yJ , B(x z ,y 2)，则 Q( 存).uur Q PQ iun T QA ，1(x 1 4k'Y 1).1(X4 k - Q A(X 1,y 1)在双曲线 C 上, 16 1 J 2 116 0-216 32 1 16 1 16 2 k 30. (16 k 2) 32 1 16 兰 k 230.同理有：(16 k 2) 16 0. 若16 k 2 0,则直线I 过顶点, 不合题意 16 2 k 0, 2是二次方程 2 2(16 k )x 32x 162 0的两根. 32 2 k 216 8, k 2 34，此时 0, k 2. 所求Q 的坐标为 (2,0).4 1X 1k 1 14 心1 1xiy 1(1 1)设1的方程：y kx 4, A(x ,,y 1), B^y)，则 Q( 4,0). k I 的斜率k 存在且不等于零①当MN 垂直于X 轴时，MN 的方程为X1、5，因为02②当MN 不垂直于X 轴时，设MN 的方程为y k(x 1).24丫-口⑷-48 3k 2k 2-2448 3k 3 - 3 k - 3 k -Q( 2,0).解法四： 由题意知直线 得斜率k 存在且不等于零，设I 的方程:y kx 4 , A(X 1,yJ, B(x -, y -),则 Q ( ¥,。