初中数学解题技巧专题---二次根式求值的常用方法

8种常用二次根式化简计算技巧，8道考试真题详细讲解，抛砖引玉二次根式的化简计算题，很多同学觉得很难，考试的时候，总是容易发生计算错误。

只要掌握二次根式的性质和基本运算法则，这类考试题就是送分题。

下面，通过8道例题，来一起分享，二次根式化简计算题，在考试中常用的8种解题方法和技巧，希望可以起到一个抛砖引玉的作用。

方法技巧一、乘法公式法，一般都是运用到平方差公式，这个过程中，可以化二次根式为整数。

关键，是通过观察数字特征，找出可以套用乘法公式的部分，简化计算步骤和难度。

方法技巧二、拆项因式分解法。

也就是分子或者分母，通过拆项的方法，因式分解，方便分子分母约分。

那么二次根式的因式分解方法，类似于整式的因式分解。

方法技巧三、倒数法。

也就是先算二次根式的倒数，解除结果后，再倒回来的一个计算方法。

这个方法，应用特别广发。

一般特征是，原式的分子可以化成单项式的形式，分母是一个多项式，若先算倒数而且方便约分，就适用这个方法。

方法技巧四、分子分母约分法。

就是分子和分母先因式分解，然后约分的方法。

方法技巧五、配方法。

就是，二次根式里，被开方数先配方成完全平方的形式，然后再开方化简计算的一种方法。

一般，这类题目会是一个二重二次更是，甚至多重二次根式。

先配方法被开方数，就是主要化简方法。

方法技巧六、先平方，再开方法。

就是，二次根式先算出它的平方，再开方，得出原式的值的过程。

这类题型的一般特征，就是两个二次根式的被开方数恰好符合，平方差公式。

方法技巧七、换元法。

就是根据题意，数字特征，把数字设代成字母，方便书写和计算的一种方法。

换元法，又叫设代法，在很多的计算题中，都非常实用，相信大家也不陌生。

方法技巧八、整体思想法。

就是把原式，或者原式的某一部分看做一个整体，求出整体的值的解题方法。

整体思想，是数学里的一个非常重要的解题思想。

二次根式的运算学会进行二次根式的加减乘除运算二次根式是数学中的一种常见形式，运算二次根式可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。

本文将介绍如何进行二次根式的加减乘除运算，并给出相应的例子。

一、二次根式的加法运算当两个二次根式具有相同的根指数和根下的值时，它们可以进行加法运算。

具体步骤如下：1. 将待运算的二次根式按根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 将相同项的系数相加得到最终结果。

例如，计算√3 + 2√3：首先，将待加的二次根式按照根指数和根下的值排序，即1√3 +2√3；然后，将相同项的系数相加，得到最终结果3√3。

二、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法运算类似，但需要注意的是，减法运算中，被减数与减数的项要保持相同。

具体步骤如下：1. 将被减数和减数按照根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 将相同项的系数相减得到最终结果。

例如，计算√5 - √2：首先，将被减数和减数按照根指数和根下的值排序，即1√5 - 1√2；然后，将相同项的系数相减，得到最终结果√5 - √2。

三、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过分配率进行简化。

具体步骤如下：1. 将二次根式中的每一项按根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 对每一对相同项进行相乘，得到最终结果。

例如，计算(√7 - 2)(√7 + 2)：首先，将每个二次根式中的项按根指数和根下的值排序，即(√7)(√7) + (√7)(2) + (-2)(√7) + (-2)(2)；然后，对每一对相同项进行相乘，并将结果相加，得到最终结果 7 - 4 + (-2√7) - 4；简化后，得到最终结果 3 - 2√7。

四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行简化。

具体步骤如下：1. 将除数的分子和分母同时乘以除数的共轭复数，即将根号去掉；2. 化简得到结果。

例如，计算(3√2)/(√2)：首先，将除数的分子和分母同时乘以除数的共轭复数，即(3√2)(√2)/(√2)(√2)；然后，化简得到最终结果 3。

初中数学二次根式的运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，通过对二次根式的运算，可以提高学生的数学计算能力和思维能力。

本文将介绍二次根式的运算法则，并以实例来说明。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数，称为被开方数；√符号称为二次根号。

二次根式可以简化或者进一步运算，下面将介绍常见的二次根式运算法则。

二、二次根式的运算法则1. 同底数的二次根式相加减如果二次根式的底数相同，我们可以将它们相加或相减。

例如：√a + √b = √(a+b)√a - √b = √(a-b)例如，计算√5 + √3：√5 + √3 = √(5+3) = √82. 二次根式的乘法二次根式乘法运算可以使用分配律的性质，例如：√a * √b = √(ab)例如，计算√2 * √3：√2 * √3 = √(2*3) = √63. 二次根式的除法二次根式除法运算可以使用相乘后再开方的方式，例如：√a / √b = √(a/b)例如，计算√8 / √2：√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 24. 二次根式的化简有时候我们可以对二次根式进行化简，将其变为更简单的形式。

例如：√(a^2) = a√(a*b) = √a * √b例如，化简√(9*4)：√(9*4) = √36 = √(6^2) = 6三、实例应用现在我们通过一些实例来进一步理解和应用二次根式的运算法则。

实例1：计算√(2+√7) * √(2-√7)根据乘法运算法则：√(2+√7) * √(2-√7) = √[ (2+√7) * (2-√7) ]= √[ 4 - (√7)^2 ]= √[ 4 - 7 ]= √(-3)实例2：计算√3 + √75 - √27根据加减法运算法则：√3 + √75 - √27 = √3 + √(25*3) - √(9*3)= √3 + 5√3 - 3√3= 3√3实例3：计算√(2 + √3) * √(2 - √3)根据乘法运算法则：√(2 + √3) * √(2 - √3) = √[ (2 + √3) * (2 - √3) ]= √[ 4 - (√3)^2 ]= √[ 4 - 3 ]= √1 = 1综上所述，本文介绍了初中数学中二次根式的运算法则，包括同底数的二次根式相加减、二次根式的乘法和除法以及二次根式的化简。

培优专题10二次根式化简求值的五种方法一、引言在初三数学学习中，二次根式是一个重要的概念，也是化简和求值的常见题型。

本文介绍了五种方法来化简和求值二次根式，帮助学生更好地掌握这一知识点。

二、方法一：分解质因数法当二次根式中含有平方数时，分解质因数法是一种很有效的化简方法。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{100}$解析：由于100可以分解为 $2^2 \\times 5^2$，所以 $\\sqrt{100}$ 可以化简为 $2 \\times 5 = 10$。

三、方法二：直接运算法当二次根式中没有平方数时，可以直接进行运算来化简。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{8}$解析：可以发现8可以分解为23，所以 $\\sqrt{8}$ 可以化简为$\\sqrt{2^3} = 2\\sqrt{2}$。

四、方法三：有理化方法有时候，二次根式的分子或分母中含有根号，这时可以使用有理化方法来化简。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}$解析：可以使用有理化的方法，将分母的两个根式的乘积展开，得到$\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}} = \\frac{1}{(\\sqrt{3} +\\sqrt{2})(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})} = \\frac{1}{3 - 2} = 1$。

五、方法四：配方法当二次根式中含有两个以上的项时，可以使用配方法来化简。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{18} + \\sqrt{8}$解析：首先，对于 $\\sqrt{18}$，可以将其分解为 $3\\sqrt{2}$。

对于$\\sqrt{8}$，可以将其分解为 $2\\sqrt{2}$。

所以， $\\sqrt{18} +\\sqrt{8}$ 可以化简为 $3\\sqrt{2} + 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$。

二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。

二次根式的计算一步一步的详细解说
二次根式是指含有平方根的代数式。

其计算可以按以下步骤进行：
1. 化简根式。

即将根号内可简化的因数进行约分，将根号外的因数提出来，变成一个整数与根号的乘积。

比如，√8可以化简为2√2。

2. 合并同类项。

将根号内的同类项进行合并，将根号外的同类项进行合并，使得只剩下一个根号和一个整数。

比如，2√3+3√3可以合并为5√3。

3. 化简分数。

将根号下的分数化简为约分后的整数与根号的乘积。

比如，
√(4/9)可以化简为2/3。

4. 去分母（有理化分母）。

将分母中含有根号的分数转换为不含根号的有理数，使得分母为整数。

具体方法为将根号下的分母乘上根号下的分子，即进行分数乘法。

比如，1/√2可以通过有理化分母变成√2/2。

5. 求解方程。

对于包含二次根式的方程，可以通过有理化分母的方法将其化为不含根号的方程，然后根据正负号进行解方程。

比如，对于方程
√(x+2)+√(x-3)=5，将其有理化分母得到x=10。

以上是二次根式的计算过程。

在进行计算时，需要注意合并同类项、化简分数、有理化分母等步骤，以减少计算错误。

二次根式运算的技巧
在二次根式运算中，有很多学生感到厌烦。

步骤复杂，用了很长时间，结果又不对，原因之一他们没有找到运算中的技巧。

不妨参考一下。

一、巧移因式，避繁就简
例1. 计算
分析:将根号外的因式移到根号内，然后运用平方差公式计算比较简便；或先把
化简，然后利用平方差公式计算。

解：原式
二、巧提公因数，化难为易
例2. 计算
分析：因为，所以中有公因数、提公因数后，可用平方差公式计算。

解：原式
三、巧分组，出奇制胜
例3. 计算
分析：两个括号里的三项式中，有两项完全相同：；有一项互为相反数；与
如果把两个完全相同的项结合在一起即则可以用平方差公式计算。

解：原式
四、巧配方，独占鳌头
例4. 计算
分析：因为都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例5. 已知，求下列各式的值。

（1）（2）
分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。

解：因为
所以
（1）
（2）
（也可以将变为来求）
六、巧换元，干净利索
例6. 计算
分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，
则原式
而
原式
解：设
则
所以原式
例7. 计算
分析：有两种方法，一种换元，一种配方。

解法1：设
两边平方
因为
所以
即
解法2：原式
所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效果。

二次根式化简与计算的方法和技巧根式（或称为根号）是数学中一个重要的概念，在许多数学问题中都会涉及到根式的计算与化简。

在本文中，我将介绍一些二次根式化简与计算的方法和技巧。

一、根式的化简方法1.合并同类项：对于具有相同根号的根式，可以将它们合并为一个根式，并进行运算。

例如，√3+√2+√3=2√3+√22.有理化分母：当根式的分母为根号时，可以通过有理化分母将其转化为有理数。

有理化分母的方法有两种：一是乘以分子分母的共轭复数；二是进行分式的乘法和除法。

例如，√2/(√2+1)可以有理化分母得到(√2/(√2+1))*((√2-1)/(√2-1))=(√2-1)。

3.化简复数根式：对于具有复数根号的根式，可以使用以下性质进行化简：(1)√(-a)=i√a（其中i为虚数单位）(2) √(ab) = √a * √b（其中a和b为非负实数）4.有理数展开：对于一些特殊的根式，可以将其展开为有理数的形式。

例如，√5可以展开为√5=√(4+1)=√(2^2+1)=2√(1/4+1/2)=2√(3/4)=2√3/2=√3二、根式的计算技巧1.四则运算：根式可以进行加法、减法、乘法和除法等四则运算。

在进行四则运算时，需要进行化简和合并同类项的操作。

2.分解因式：对于一些具有完全平方数的根式，可以通过分解因式的方法进行计算。

例如，√12=√(4*3)=2√33.二次根式的乘除法：当进行二次根式的乘法或除法时，可以根据根式的性质进行相应的计算。

例如，√3*√5=√(3*5)=√15；√3/√2=(√3/√2)*(√2/√2)=√(3*2)/√2=√6/√2=√34.化简复杂根式：对于一些形式较为复杂的根式，可以使用分解因式、合并同类项、有理化分母等方法进行化简。

例如，√(6+√8)=√[(√2)^2+√8]=√[2+2√2]=√2*√(1+√2)。

5.平方差公式：当进行根式的乘法和除法时，可以利用平方差公式进行计算。

解题技巧专题：二次根式求值的常用方法◆类型一利用二次根式的非负性化简求值1．若a，b为实数，且|a＋1|＋b－1＝0，则(ab)2016的值是（）A．0 B．1 C．－1 D．±12．已知a＋1＋b2－2b＋1＝0，则a2016＋b2017的值是．3．若a2－3a＋1＋b2－2b＋1＝0，则a2＋1a2－|b|＝.4．(台州校级月考)若x，y是实数，且y＝4x－1＋1－4x＋13，求3yx的值．◆类型二巧用乘法公式化简求值5．计算：(1)(5＋3)2; (2)(25－2)2；(3)(3＋2)2－(3－2)2.6．已知x ＋1x ＝5，求x 2x 4＋x 2＋1的值．◆类型三 巧用整体代入求值7．已知x ＝2－10，则代数式x 2－4x －6的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．28．已知a ＝3＋2，b ＝3－2，则a 2b －ab 2＝ .9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．10．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋y x －4的值．解题技巧专题：二次根式求值的常用方法 1．B 2.2 3.6 4．解：由题意得4x －1≥0，1－4x ≥0，解得x ＝14，则y ＝13，3y x＝2 3. 5．解：(1)原式＝8＋215；(2)原式＝22－410；(3)原式＝4 6.6．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4.∴原式＝14. 7．B 8.2 29．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.10．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－2 2.所以原式＝x 2＋y 2xy －4＝（x ＋y ）2－6xy xy＝30.后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。

二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种形式，它包括了平方根和其他次方根。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行各种运算。

本文将介绍二次根式的基本运算方法和相关概念。

一、二次根式的定义二次根式可以表示为√a的形式，其中a为非负实数。

根号下的数称为被开方数，它代表了一个数的平方根。

二次根式也可以写为指数形式，如a的1/2次方或a的1/3次方。

二、二次根式的基本运算1. 二次根式的加减法对于同类项的二次根式，可以对它们的被开方数进行加减运算。

例如，√2 + √3可以简化为√(2 + 3)，即√5。

2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算需要注意求根的法则。

例如，√2 × √3可以化简为√(2 × 3)，即√6。

3. 二次根式的除法同理，对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数的根号下的数相除，并合并同类项。

例如，√6 ÷ √2 可以化简为√(6 ÷ 2)，即√3。

三、二次根式的化简有时候，我们需要将二次根式进行进一步的化简。

以下是几种常见的化简方式：1. 化简平方根如果一个二次根式的被开方数可以被完全平方数整除，那么我们可以化简为一个整数。

例如，√4可以化简为2。

2. 合并同类项对于具有相同根号下数的二次根式，我们可以合并它们，得到一个更简洁的表达式。

例如，√2 + √2可以合并为2√2。

3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们通常需要对分母进行有理化。

有理化的目的是将分母化为有理数，方便进行运算。

例如，将1/√3有理化分母，可以得到√3/3。

四、二次根式的应用二次根式在代数中有着广泛的应用。

它常出现在几何学、物理学等领域的计算中。

在几何学中，二次根式可以表示线段长度、面积以及体积等。

例如，计算某个多边形的面积时，可能需要计算边长的二次根式。

在物理学中，二次根式可以表示物理量的大小。

例如，物体的质量、速度等都可以用二次根式来表示。

总结：二次根式是代数中常见的一种形式，它包括平方根和其他次方根。

二次根式的运算二次根式是数学中的一个重要概念，是指具有根号的算式。

二次根式的运算是我们在解决数学问题中经常会遇到的一个基本操作。

本文将为您详细介绍二次根式的运算方法和相关的数学知识。

一、二次根式简介二次根式由一个或多个根号组成，其中根号下的数称为被开方数，例如√2、2√3等。

在二次根式的运算中，我们常常需要将二次根式进行加减乘除、化简、分解等操作。

接下来，我们将分别介绍这些运算方法。

二、加减运算1. 同类项相加减：对于同类项的二次根式，可以直接进行相加或相减。

例如√2 + √3 = √5，2√3 - √3 = √3。

2. 非同类项相加减：对于非同类项的二次根式，我们需要先将它们化为同类项，然后再进行运算。

例如√2 + 2√3，我们可以将√2写为2√2/√2，然后进行化简得到2√6/√2 + 2√3 = 2√6 + 2√6 = 4√6。

三、乘法运算二次根式的乘法运算遵循以下规律：1. 根号相乘：对于根号相乘的情况，可以直接将根号下的数相乘。

例如√2 * √3 = √6。

2. 同类项相乘：对于同类项相乘的情况，直接相乘即可。

例如2√2* 3√3 = 6√6。

3. 非同类项相乘：对于非同类项相乘的情况，我们可以将它们进行合并，然后进行化简。

例如(2√2)(3√5)，我们可以将2√2看作一个整体x，化简得到3x√5 = 6√10。

四、除法运算二次根式的除法运算遵循以下规律：1. 根号相除：对于根号相除的情况，可以直接将根号下的数相除。

例如√6 / √2 = √3。

2. 同类项相除：对于同类项相除的情况，直接相除即可。

例如2√6 / √2 = 2√3。

3. 非同类项相除：对于非同类项相除的情况，我们可以将它们进行合并，然后进行化简。

例如(6√10) / (2√2)，我们可以将6√10看作一个整体x，化简得到3x√2 = 3√20。

五、化简与分解1. 化简：对于二次根式的化简，我们要尽量将根号下的数化简为最简形式。

二次根式的运算及化简求值技巧嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个让人又爱又恨的话题——二次根式。

对，这就是那些看起来像“√2”、“√5”这种的根式。

别急，虽然听上去像是数学天书，其实也没那么难懂。

咱们一起理清楚，搞定这些小家伙，让它们乖乖听话！1. 二次根式是什么？1.1 根式的定义首先，咱们得搞清楚什么是二次根式。

简单来说，二次根式就是根号下的数字，比如√4、√9、√x。

这个√就是根号的意思，表示一个数的平方根。

举个例子，√4等于2，因为2的平方是4。

同理，√9等于3，因为3的平方是9。

是不是觉得有点小有趣？1.2 根式的分类接下来，根式的世界可不止这么简单。

根式可以分成几种类型。

比如，完全平方根和非完全平方根。

完全平方根就是可以被开平方的，像√9、√16；而非完全平方根就是像√2、√5，这些小家伙的平方根是个无理数，也就是小数点后面是无限的。

2. 二次根式的运算2.1 加减运算说到运算，大家可能会问：“根式怎么加减？”答案是，只有在根号下的数字一样的时候才能加减。

就像你不能把一只苹果和一只香蕉放一起当水果来吃，对吧？比如√2 + √2 就等于2√2，因为它们的根号下的数字相同，但√2 + √3 就不能直接相加，得留着搞清楚。

2.2 乘除运算那么，根式的乘除呢？这就简单多了。

乘法是根号里边的数字直接相乘，比如√2 × √3 就等于√(2 × 3)，也就是√6。

除法也差不多，比如√8 ÷ √2 就等于√(8 ÷ 2)，也就是√4，结果是2。

看吧，这个计算方法是不是特别直白？3. 二次根式的化简3.1 化简根式说到化简，二次根式的化简就是把它弄得更简单、更容易看懂。

比如√50，咱们可以把50拆成25 × 2，25是完全平方数，所以√50 可以化简成√(25 × 2) = 5√2。

看，这样不是更清晰了吗？3.2 利用平方数还有个技巧，就是利用平方数。

二次根式计算技巧
1. 嘿，你知道不，二次根式计算有个超好用的技巧，就是把根式化简呀！比如计算√12，就可以把 12 分解成4×3，那就变成2√3 啦，是不是一下
子简单多了呀！
2. 哇塞，还有哦，当遇到两个根式相乘时，可以分别化简再相乘！就好像计算√2×√8，先把√8 化简成2√2，那结果就是2×2=4 啦，厉害吧！
3. 哎呀呀，对于二次根式的除法也有招呀！你看，计算√18÷√2，化简后就是3√2÷√2=3 呢，想不到吧！
4. 嘿，我跟你说，碰到带分数的二次根式咱也不怕呀！比如计算√(2 又
1/4)，先把带分数化成假分数，再化简，超容易呢！
5. 哇哦，要是碰到多项式的二次根式，那就拆开分别算呀！比如
(√3+2)(√3-2)，用平方差公式一下就得出结果啦，这招妙不妙呀！
6. 天呐，还有哦，有时候根号下是完全平方形式，那直接开出来就行啦！像√(4+4x+x²)，就是x+2呀，牛不牛！
7. 哈哈，遇到同类二次根式可一定要合并呀！就像3√2 和5√2，加起来就
是8√2 呀，是不是很有趣！
8. 嘿呀，别忘了有时候可以通过分母有理化来简化计算哦！比如1/(√2+1)，分子分母同时乘以√2-1，就简单多啦，你学会了吗？
9. 哇，二次根式计算的技巧可真不少呀，掌握了这些，二次根式计算就不再难啦！能让我们轻松又快速地算出答案呢！。

二次根式的运算二次根式是指一个数的平方根，即可以表示成√a 的形式，其中a ≥ 0。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行各种运算，如加减乘除等。

本文将介绍二次根式的运算方法，并给出一些例子进行说明。

一、二次根式的化简当我们要对一个二次根式进行运算时，通常需要先将其化简为最简形式。

化简二次根式的基本原则是合并根号下的同类项，即合并相同的根号下的数字。

例如，对于√12 + √27 这个二次根式，我们可以将其化简为最简形式。

首先，我们分别求出√12 和√27 的值：√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3√27 = √(9 × 3) = √9 × √3 = 3√3然后，我们将合并根号下的同类项得到最简形式：√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3通过以上步骤，我们成功将二次根式√12 + √27 化简为了最简形式5√3。

二、二次根式的加减法当我们要对两个二次根式进行加减运算时，需要先化简二次根式，然后进行系数的加减运算。

例如，对于√8 + √32 这个二次根式的加法运算，我们可以先将其化简为最简形式：√8 = √(4 × 2) = √4× √2 = 2√2√32 = √(16 × 2) = √16 × √2 = 4√2然后，我们将合并根号下的同类项得到最简形式：√8 + √32 = 2√2 + 4√2 = 6√2通过以上步骤，我们成功对二次根式√8 + √32 进行了加法运算，并得到了最简形式6√2。

三、二次根式的乘法当我们要对两个二次根式进行乘法运算时，可以直接将根号内的数相乘，并合并同类项。

例如，对于(√5 + √7)(√5 - √7) 这个二次根式的乘法运算，我们可以按照普通的乘法法则展开运算：(√5 + √7)(√5 - √7) = √5 × √5 - √5 × √7 + √7 × √5 - √7 × √7根据乘法法则，我们有√a × √b = √(a × b)，可以简化上式为：(√5 + √7)(√5 - √7) = √(5 × 5) - √(5 × 7) + √(7 × 5) - √(7 × 7)= √25 - √35 + √35 - √49= 5 - √35 + √35 - 7= -2通过以上步骤，我们成功对二次根式(√5 + √7)(√5 - √7) 进行了乘法运算，并得到了结果 -2。

二次根式求值二次根式是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的计算题型。

在解题过程中，我们需要了解如何将二次根式进行化简，以便进行求值。

首先，让我们回顾一下二次根式的定义。

二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个实数且a≥0。

在二次根式中，√表示一个非负的平方根，即结果必须大于等于0。

如果a=0，那么√0=0。

接下来，我们将讨论二次根式的化简方法。

化简二次根式的目的是为了将复杂的二次根式简化为较为简单的形式，以便进行求值。

下列是一些常用的化简二次根式的方法：1. 约分：如果二次根式中的被开方数可以被约分，我们可以将其进行简化。

例如：√35 = √(5×7) = √5×√7 = √5√72. 合并同类项：如果二次根式中含有多个相同的项，我们可以将它们合并为一个项。

例如：√8+√2 = √(4×2)+√2 = 2√2+√2 = 3√23. 有理化分母：如果二次根式的分母是一个二次根式，我们可以通过有理化分母的方法将其化简。

有理化分母的目的是为了将分母中的二次根式转化为有理数。

例如：1/√3 = 1/√3 × √3/√3 = √3/34. 求平方：有时，我们可以通过将二次根式进行平方来化简。

平方后的结果需要仍然是一个二次根式。

例如：(√2+√3)² = (√2+√3)(√2+√3) = 2+2√6+3 = 5+2√6以上是一些常用的化简二次根式的方法，实际解题过程中还可能会有更多的情况需要考虑。

现在，我们通过一些例题来演示如何求解二次根式的值。

例1：求√75的值。

解：首先，我们可以将75进行因数分解，得到75=3×5×5。

然后，我们可以将√75进行化简：√75 = √(3×5×5) = √3×√5×√5 = √3×5 = 5√3例2：求(√2+√3)²的值。

解：根据公式(a+b)²=a²+2ab+b²，我们可以展开方程：(√2+√3)² = (√2+√3)(√2+√3) = 2+2√6+3 = 5+2√6通过以上两个例题，我们可以看到，二次根式的求解过程往往涉及到因数分解、有理化分母和合并同类项等操作，需要有一定的数学基础和逻辑思维能力。

二次根式的求值技巧作者：李新云来源：《初中生之友·中旬刊》2014年第03期二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。

解答时必须考虑利用一些解题技巧。

下面举例说明，供同学们学习时参考。

一、利用二次根式的定义例1 已知x、y为实数，且满足■-（y-1）■=0，则x2013-y2013=___。

分析由二次根式的定义，得■≥0，■≥0，则有y-1≥0。

又1-y≥0，则可以求出y的值，从而x的值也可以求出。

解已知等式即为■=（y-1）■。

因为■≥0，■≥0，所以y-1≥0，即1-y≤0。

因为1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。

把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。

则原式=（-1）2013-12013=-2。

点评若■有意义，则■中隐含着两个非负数：一个是被开方数a≥0，另一个是■≥0。

二、利用倒数关系例2 已知a=2+■，b=2-■，试求■-■的值。

分析由ab=1，得a和b互为倒数，那么■=a，■=b。

解由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。

则原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。

点评如果ab=1，那么a和b互为倒数，即有■=a，■=b。

解题时我们要注意利用这一性质。

三、利用平方法例3 若m=■，则m5-2m4-2013m3的值是______。

分析因为m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。

解因为m=■=■+1。

所以m-1=■，（m-1）2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。

点评对于m=■+b的多项式求值问题，应先将这个条件变形为m-b=■，然后两边平方，从而解决问题。

四、利用非负数和为零例4 若■+（b-2）2=0，则a2+■-b=______。

分析从已知等式出发，看看能否确定a2+■的值及b的值。

初中常见二次根式化简求值的九种技巧常见二次根式化简求值的九种技巧1.估值法例题1：估计184132+?的运算结果应在（） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是。

2.公式法例题3：计算)3225()65(-?+3.拆项法例题4：计算)23)(36(23346++++ 提示：)23(3)36(23346+++=++4.换元法例题5：已知12+=n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。

5.整体代入法例题6：已知2231-=x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。

0 1 2 3 46.因式分解法例题7：计算15106232++++例题8：计算y xy x x y y x +++2 （y x ≠）7.配方法例题9：若a, b 为实数，153553+-+-=a ab ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。

8.辅元法例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ）求y x z x y x 2++++的值。

9.先判后算法例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简ba a ab b +并求值。

巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等，求222 23yxy x y xy x +--+的值。