湖北省武汉市乐其教育培训学校八年级数学 一次函数讲义 第八讲 动点定线与动线定点(基础)(无答案)

课程主题：函数及一次函数的相关概念教学内容知识点一: 函数的概念:1、同步学校知识理解2、上次课作业分析与讲解一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y二b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 【例题精讲】例1 -辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y (L)随行驶里程x (km)的增加而减少，平均耗油量为0. lL/km.1 .写出表示y与x的函数关系式.2.指出自变量x的取值范围.3.汽车行驶200km时，油桶屮还有多少汽油？实际问题中的白变量取值范围问题：在上面所出现的各个函数关系式屮，白变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制？用数学式子表示的函数的自变量取值范围例2・求下列函数中自变量x的取值范围(l)y=3x-l (2)y = 2x2+7 (3) y=^ (4)随堂练习1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子.(1).改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.(2)・秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地而积y随这个村人数n的变化而变化.2.校园里栽下一-棵小树高1. 8米，以后每年长0. 3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式15003.在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v二t ,则这个关系式中____________ 是自变量，________ 函数.4.已知2x-3尸1,若把y看成x的函数，则可以表示为______________ .5.Z\ABC中，AB二AC,设ZB二x° , ZA= y ° ,试写出y与x的函数关系 _________________ .6.到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0. 80元，超过20克而不超过40克时付邮费1.60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0. 80元（信重虽在100克内）.如果某人所寄一封信的质量为78. 5克，则他应付邮费 _________________ 元.自我检测：1. ________________________________________ 函数□屮，自变量兀的取值范围是X +12.面积是S （cm2）的正方形地板砖边长为G（C加），则S与G的关系式是_____ ,其屮自变量是_________ , __________ 是_________ 的函数3.函数y = J的自变量兀的収值范围是.2兀一324.函数y =——x + 2 ,当yvO时，兀的取值范围是35. ________________________________________ 已知兰—丄=丄，用含兀的一次式表示严o2 3 46函数y = VZ的自变量兀的以值范围是___________ ox-1拓展提咼1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸.小明买了10支毛笔和x张宣纸，则小明用钱总数y （元）与宣纸数x Z间的函数关系是什么？2、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1・2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1・8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x >10）,应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？知识点二：正比例函数及一次函数相关概念：正比例函数：一般地，形如y = （k是常数，£工0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例。

一次函数与动点问题一、典型例题：例1：如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，1l 33y x =-+1l x D 2l A B ，1l交于点．2l C （1）求点的坐标；D （2）求直线的解析表达式；2l （3）求的面积；ADC △（4）在直线上存在异于点的另一点，使得2l C P 与的面积相等，请直接写出点的坐标．ADP △ADC △P 例2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A （1，0），点B （3，0），点，直线l 经过点C ，（1）若在x 轴上方直线l 上存在点E 使△ABE 为等边三角形，求直线l 所表达的函数关系式；（2）若在x 轴上方直线l 上有且只有三个点能和A 、B 构成直角三角形，求直线l 所表达的函数关系式.例3、如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）例4、在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围.例5、如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．二、巩固提高：1、平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少？2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。

第七讲一次函数图象与系数之间的关系湖北省武汉市乐其教育培训学校八年级数学一次函数讲义第七讲一次函数图象与系数之间的关系讲义（无答案）1．一次函数y =kx +b 〔k≠ 0 〕图象〔直线〕与系数k 、b 之间的关系k ＜0 b =0yO xb ＜0yO x2．同一平面内，不重合的两直线y =k1x +b1〔k1≠0〕与①当时，两直线平行；②当时，两直线相交；③当时，两直线垂直；y =k2x +b2〔k2≠0〕的位置关系：④当时，两直线交于y轴上同一点.3．平移〔平行〕〔1〕直线y =kx +b 〔k≠ 0 〕可以看作是由直线y =kx 〔k≠ 0 〕上下平移b 个单位长度而失掉的．当b ＞0 时，向上平移；当b ＜0 时，向下平移；〔2〕平行的直线都可以看作是其中一条直线由另一条直线平移而来；由此可知：平移、平行k 相等.4．一次函数y =kx +b 〔k≠ 0 〕的增减性：当k ＞0 时，y 的值随x 值的增大而增大；当k ＜0 时，y 的值随x 值的增大而减小．【新知讲授】y例一、图象与系数关系1．如图直线y= (a -1)x + 3 -a ，那么a 的取值范围是( ).(A)a ＞1 (B)a＜1 (C)1＜a＜3 (D)a＜32．假定a+b+c = 0 ，且a ＜b＜c，那么函数y=ax +c 的图象能够是( ). O x(A) (B) (C) (D)3．直线y=kx +b 经过第一、二、四象限，那么直线y=bx -k 经过( ).(A)一、二、四象限(B)二、三、四象限(C)一、三、四象限(D)一、二、三象限4．①一次函数y= (6 - 3m)x + (2n - 4) 的图象经过第一、二、四象限，那么m；n ；②一次函数y= (6 - 3m)x + (2n- 4) 的图象不经过第三象限，那么m；n .例二、图象的增减性1．在如图的平面直角坐标系中，有一条经过点(-3，-2)的直线l ，假定四点(-2 ，a )、 (0，b )、( c ，0)、( d ，-1)在l 上，那么以下对a、b、c、d 数值的判别，正确的选项是( ).(A) a＞-2 (B) b＞-2 (C) c＜-3 (D) d ＞-32．关于一次函数y=-2x + 4 ，以下结论错误的选项是( ).(A)函数值随自变量的增大而减小(B)函数的图象与x轴的交点坐标是〔0，4〕(C)函数的图象不经过第三象限(D)函数的图象向下平移4 个单位长度得y=-2x 的图象3．一次函数y = (6 + 3m)x + (n - 4) .(1)当m 满足时，y随x的增大而增加；(2)当m 、n 区分满足时，函数图象经过第一、二、三象限.例三、1．y1=-x + 1 和y2=kx ，当x＞-2 时y1＞y2；当x ＜-2 时y1＜y2，那么k 的值是( ).(A) (B)23 3(C) (D)32 22．关于一次函数y= 2x +1，当 3 ≤x≤2时，那么y的取值范围为；关于一次函数y=-2x +1，当 3 ≤x≤2时，那么y的取值范围为 .3．直线y =kx +b ，当1≤x≤3 时， 2 ≤y≤4，求此函数的解析式．例四、如图 1，在平面直角坐标系内，直线l 1 : y = -x + 4 与坐标轴区分相交于点 A 、B ，与直线l 2 ：y = kx相交于点 C ，假定 S ∆OAC = 3S ∆OBC . (1)求直线l 2 的解析式； (2)如图 2，平行于 y 轴的直线 x = 1 交直线l 1 于点 E ，交直线l 2 于点 D ，平行于 y 轴的直线 x = a 交直线l 1 于点 M ，交直线l 2 于点 N ，假定 MN =2ED ，求a 的值.例五、如图，直线 y = - 1x + 4 与坐标轴区分交于点 A 、B ，与直线 y = x 交于点 C ．在线段 OA 上，动点2Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 动身向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点 A 动身向点 O 做匀速运动，当点 P 、Q 两点相遇时中止运动．区分过点 P 、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB 、OC 于点 E 、F ，衔接 EF ．假定运动时间为t 秒，在运动进程中四边形 PEFQ 总为矩形〔点 P 、Q 重合除外〕． 〔1〕求点 P 运动的速度是多少？〔2〕衔接 FP ，当t 为多少秒时，FP ∥AB ？〔3〕设矩形PEFQ 面积为S ，求S与t 之间的函数关系式，并直接写出当t 为何值时S 取得最大值.例六、如图，在坐标系中，直线y =-2x + 2 交y 轴于点A，交x 轴于点B，点C 和点A 关于x 轴对称.〔1〕请直接写出直线B C 的函数解析式为；〔2〕设直线y =x 与直线BC 交于点D，过点D 作DE⊥AB 于点E，求E 点的坐标；〔3〕如图，P 为x 轴负半轴上一点，且PB=AB，M 为CB 延伸线上一点，N 为射线BA 上一点，且∠MPN=∠MBA，求BN-BM 的值.。

一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．y xOBA2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．C ABOxy CABOxy3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14？（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．P DCxA OByyBO A xCD4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线33y x =交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．PFE xA OB y5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．xy OABm l PM N【参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）343y x =-+（2）223(04)2343(48)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(0438)(0438)(043)M M M -+-，或，或，443(0)3M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(33)P ， （2）23（3）223(03)653163243(34)2tt S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。

此文档下载后即可编辑教学内容一、同步知识梳理1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vts 中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x(4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.例题：1、若关于x 的函数1(1)m y n x -=+是一次函数，则m = ，n .2、函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）3、将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y ＝-x -5向上平移5个单位，得到直线 .4、若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为(8,m ),则=+b a ____________.5、已知函数y ＝3x +1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（ ） Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －111、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即垂直。

【知识要点】一、“直线簇”第 九 讲 动点定线与动线定点（拔高） 区间交点与参数范围对于直线 y = kx + b .1．平行线簇： k 一定， b 含参，动直线沿 y 轴上下平行移动； 2．旋转线簇： k 含参，动线过定点：如何求定点坐标；（1）若k 一定， b 变化时（如 y = 2x + b ），它是一组平行于直线 y = kx 的“平行直线簇”，或说是将直线 y = kx 任意平移的“平行直线簇” ，如图 1；（2）若b 一定， k 变化时（如 y = kx + 2 ），如图 2，它是一组绕点（0，2）任意旋转的“旋转直线簇”，该“旋转直线簇”中包含平行于 x 轴的直线 y = 2 ，但不包含 y 轴；（3）注意隐藏定点的“旋转直线簇”，例如：直线 y = kx - 4k - 2 是一组绕定点（4，-2）任意旋转的“旋转直线簇”（不含直线 x = 4 ），如图 3.y Ox图 1图 2图 3二、一次函数 y = kx + b 解析式中的 k 与直线与 x 轴的夹角之间的关系1．若 k为时，直线与 x 轴的夹角是； 若 k 为-1 时，直线与 x 轴的夹角是；若 k为3时，直线与 x 轴的夹角是 ； 3若 k 为 0 时，直线与 x 轴的夹角是 ； 若 k 为 3时，直线与 x 轴的夹角是； 3若 k 为 1 时，直线与 x 轴的夹角是 ；若 k 为 时，直线与 x 轴的夹角是；2．直线绕原点旋转过程中， k 的变化趋势，如图； 三、交点个数与参数取值范围：1．根据平移过程中与线段有交点，求参数b 的范围； 2．根据旋转过程中与线段有交点，求参数k 的范围； 四、含绝对值函数图象的画法及交点个数问题； 五、分段函数图象的画法及交点个数问题.【新知讲授】例一、画图并完成下列各题1. 如图，△ABC 的顶点分别是 A (1，1)，B (3，1)，C (2，2)，当直线 y = 1x + b 与△ABC 有交点时，b2的取值范围是( ).(A)－1≤b ≤1 (B)- 1≤ b ≤12(C)- 1 ≤ b ≤ 1 (D)-1≤ b ≤1 2 2 22．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的边长为 2，A 点的坐标为（1，1）.（1）如图 1，若直线 y = 2x + b 与正方形有交点时， b 的取值范围是； （2）如图 1，若直线 y = - 1x + b 与正方形有交点时， b 的取值范围是； 2 （3）如图 2，若直线 y = kx + 5 与正方形有交点时， k 的取值范围是 ； （4）如图 3，若直线 y = kx -1与正方形有交点时， k 的取值范围是 ； （5）如图 4，若直线 y = kx + 2 与正方形有交点时， k 的取值范围是 ；（6）如图 4，若直线 y = kx - 2k 与正方形有交点时， k 的取值范围是.y图 1图 2图 3图 4⎧2x + 8(x ＜ 3)例二、在同一平面直角坐标系中，直线 y ＝kx 与函数 y = ⎪2(-3≤x ≤3）的图象恰好有三个不同的交⎪2x - 4(x ＞3）点，求 k 的取值范围.例三、在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别为（2，0）、（1，2）、（3，4），直线l的解析式为：y =kx + 4 - 3k （k≠0）．（1）通过计算说明：无论k 为何值，直线l 一定经过A、B、C 三点中的哪一个？（2）若线段AB 与直线l 有交点，求k 的取值范围．例四、如图，A（0，-2），B（2，2），C（-5，3）是坐标平面上的三点.（1）过点A作直线l1: y =kx +b ，若直线l1与线段B C 有公共点（包括B、C 两点），求k的取值范围；（2）直线l2:y=2x+b与线段B C 有公共点（包括B、C 两点），求k的取值范围.例五、绝对值函数1．一次函数y＝kx＋k 的图象与函数y =x - 1 的图象有两个交点，求k 的取值范围.2.（2019 年武汉市中考）将函数y = 2x +b （b为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y = 2x +b （b为常数）的图象.若该图象在直线y = 2 的下方的点的横坐标x 满足 0＜x ＜3，求b 的取值范围.3. 函数y = 3x -b（b为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折后，所得的折线是函数y = 3x -b（b为常数）的图象.若该图象在直线y =5 的下方的点的横坐标x 满足-4＜x ＜0，求b 的取值范围.4将函数y = 2x +b （b为常数）的图象位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得的折线是函数y =-2x +b （b为常数）的图象.若该图象在直线y =-4 的上方的点的横坐标x 满足 0＜x＜5，求b 的取值范围.y。

【知识要点】第八讲动点定线与动线定点（基础）运动路径与最值一、运动与静止的统一1．确定动点的运动轨迹（动点定线）：如何求定线解析式；2．确定动线线上的定点（动线定点）：如何求动线上定点的坐标；3．设定线上动点（任意点）的坐标；4．设过定点的直线的解析式.二、距离1．点到点的距离：（1）定点到定点的距离；（2）定点到动点的距离的最小值；2．点到线的距离：（1）定点到定线的距离；（2）定点到动线的距离的最大值；3．两平行线之间的距离.⎧起点三、动点的运动路径长及几何最值：路径（定线）⎨.⎩终点【新知讲授】例一、动点在定线上已知无论a 取什么实数，点P( a -1，2 a -3)始终都在一条定直线l 上.1．求定直线l 的函数解析式；2．若点Q( m，n)也在直线l 上，则(2 m - n＋3)2 的值等于；3．求OP 的最小值.例二、动线过定点: y =kx - 4k + 2 .已知直线l1（1）求证：无论k 为何值，必过一个定点M，并求定点M 的坐标；: y =tx + 2t - 3 距离的最大值.（2）求点M 与动直线l2例三、已知点 P （ x 0 ， y 0 ） 和直线 y = kx + b ， 则点 P 到直线 y = kx + b 的距离证明可用公式d =计算．例如：求点 P （﹣1，2）到直线 y =3x +7 的距离．解：∵直线 y = 3x + 7 ，其中k =3， b =7，∴点P （﹣1，2）到直线 y = 3x + 7 的距离为： d == =．5根据以上材料，解答下列问题：（1）求点 P （1，﹣1）到直线 y = x -1的距离；（2）已知直线 y = -2x + 4 与 y = -2x - 6 平行，求这两条直线之间的距离． （3）已知在□ABCD 中，点 A （0，-2）、点 B （ 3m ，4m +1 ）（ m ≠-1），点 C （6，2），求对角线 BD的最小值．例四、如图，矩形 O ABC ，A 点在 x 轴正半轴上，C 点在 y 轴正半轴上，B 点的坐标为（8，6），P 为 O A 边上的一个动点，M 为线段 CP 的中点，将点 M 绕 P 点顺时针旋转 90°得到点 N . 当 P 点从 O 点运动到 A 点的过程中，求动点 N 的运动路径长.例五、如图，A（4，0），△OAB 为等边三角形，P 为x轴上的一动点，以B P 为边在其右侧作等边△BCD．（1）点Q在某一确定的函数图象上运动，求其解析式；y（2）连接O Q，求O Q 的最小值．QBNO A P x例六、如图，直线AB：y = 2x + 4 交x 轴于点A，交y 轴于点B，C（1，0）为x 轴上一点，M 为直线AB 上的一个动点，将线段MC 绕点C 顺时针旋转 90°得线段CN．（1）设M 点的横坐标为m 时，试用含m 的式子表示点N 的坐标；（2）当M 在直线AB 上运动时，点N 总在一条定直线l 上运动，试求直线l 的解析式；（3）当M 点在AB 上的运动速度为 2 单位/秒时，求动点Q 在定直线l 上的运动速度；（4）请直接写出线段O N 的最小值为．yBMNAO C x例七、如图，A（-8，0），B（0，-4），菱形ABCD 的对角线的交点与原点O重合，在边AB 上取一点E，延长EO 交边CD 于点F，以EF 为斜边作等腰Rt△PEF（点P 不在第四象限），随着点E 从A 点运动到B点，点P的位置也不断变化. y （1）点P 在某一确定的函数图象上运动，求其解析式；（2）连接DP，求DP 的最小值．P DFA O C xEB第 37 页共 46 页例八、（1）在平面直角坐标系中点A(4，0)绕动点P 顺时针旋转 90°至B(1，m)．若 1≤m≤3，则P 点运动的路径.（2）在平面直角坐标系中，点C 沿着某条路径运动，以点C 为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90°到点B( m，1)．若-5≤m≤5，则点C运动的路径长为.（3）如图，在平面直角坐标系中，A（-6，0），B（0，8），C 为O A 边的中点，P 为O A 边上的一个动点，过点P 作PD⊥OA 交AB 于点D，Q 为PD 延长线上一点，且DQ=CP，当P 点从A 点运动到O点的过程中，点Q的运动路径长为. yBQDA P C O x（4）如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，0），C（0，-2），P、Q 分别是线段A C、线段OB 上的动点，满足OP=BQ，M 为PQ 中点，当P 从C 点运动到A 点时，则C 点所走过的路径长为．yAO Q BxP MC。

湖北省武汉市乐其教育培训学校八年级下册一次函数讲义第九讲动点定线与动线定点（拔高）（无答案）第九讲动点定线与动线定点〔拔高〕区间交点与参数范围关于直线y =kx +b .1．平行线簇：k 一定，b 含参，动直线沿y 轴上下平行移动；2．旋转线簇：k 含参，动线过定点：如何求定点坐标；〔1〕假定k一定，b变化时〔如y= 2x +b 〕，它是一组平行于直线y =kx 的〝平行直线簇〞，或说是将直线y =kx 恣意平移的〝平行直线簇〞，如图 1；〔2〕假定b一定，k变化时〔如y=kx + 2 〕，如图2，它是一组绕点〔0，2〕恣意旋转的〝旋转直线簇〞，该〝旋转直线簇〞中包括平行于x轴的直线y= 2 ，但不包括y轴；〔3〕留意隐藏定点的〝旋转直线簇〞，例如：直线y=kx - 4k - 2 是一组绕定点〔4，-2〕恣意旋转的〝旋转直线簇〞〔不含直线x=4〕，如图3.yO x图 1 图 2 图 3二、一次函数y =kx +b 解析式中的k 与直线与x 轴的夹角之间的关系1．假定k 为时，直线与x轴的夹角是；假定k为-1 时，直线与x 轴的夹角是；假定k 为3时，直线与x轴的夹角是；3假定k为0时，直线与x轴的夹角是；假定k为3时，直线与x轴的夹角是；3假定k为1时，直线与x轴的夹角是；假定k为时，直线与x轴的夹角是；2．直线绕原点旋转进程中，k 的变化趋向，如图；三、交点个数与参数取值范围：1．依据平移进程中与线段有交点，求参数b 的范围；2．依据旋转进程中与线段有交点，求参数k 的范围；四、含相对值函数图象的画法及交点个数效果；五、分段函数图象的画法及交点个数效果.【新知讲授】例一、画图并完成以下各题1. 如图，△ABC 的顶点区分是 A (1，1)，B (3，1)，C (2，2)，当直线 y = 1x + b 与△ABC 有交点时，b2的取值范围是( ).(A)－1≤b ≤1 (B)- 1≤ b ≤12(C)- 1 ≤ b ≤ 1 (D)-1≤ b ≤1 2 2 22．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的边长为 2，A 点的坐标为〔1，1〕.〔1〕如图 1，假定直线 y = 2x + b 与正方形有交点时， b 的取值范围是； 〔2〕如图 1，假定直线 y = - 1x + b 与正方形有交点时， b 的取值范围是； 2 〔3〕如图 2，假定直线 y = kx + 5 与正方形有交点时， k 的取值范围是 ； 〔4〕如图 3，假定直线 y = kx -1与正方形有交点时， k 的取值范围是 ； 〔5〕如图 4，假定直线 y = kx + 2 与正方形有交点时， k 的取值范围是 ；〔6〕如图 4，假定直线 y = kx - 2k 与正方形有交点时， k 的取值范围是.y图 1图 2图 3图 4⎧2x + 8(x ＜ 3)例二、在同一平面直角坐标系中，直线 y ＝kx 与函数 y = ⎪2(-3≤x ≤3〕的图象恰恰有三个不同的交⎪2x - 4(x ＞3〕点，求 k 的取值范围.例三、在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标区分为〔2，0〕、〔1，2〕、〔3，4〕，直线l的解析式为：y =kx + 4 - 3k 〔k≠0〕．〔1〕经过计算说明：无论k 为何值，直线l 一定经过A、B、C 三点中的哪一个？〔2〕假定线段AB 与直线l 有交点，求k 的取值范围．例四、如图，A〔0，-2〕，B〔2，2〕，C〔-5，3〕是坐标平面上的三点.〔1〕过点A作直线l1: y =kx +b ，假定直线l1与线段B C 有公共点〔包括B、C 两点〕，求k的取值范围；〔2〕直线l2:y=2x+b与线段B C 有公共点〔包括B、C 两点〕，求k的取值范围.例五、相对值函数1．一次函数y＝kx＋k 的图象与函数y =x - 1 的图象有两个交点，求k 的取值范围.2.〔2021 年武汉市中考〕将函数y = 2x +b 〔b为常数〕的图象位于x 轴下方的局部沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y = 2x +b 〔b为常数〕的图象.假定该图象在直线y = 2 的下方的点的横坐标x 满足 0＜x ＜3，求b 的取值范围.3. 函数y = 3x -b〔b为常数〕的图象位于x 轴下方的局部沿x 轴翻折后，所得的折线是函数y = 3x -b〔b为常数〕的图象.假定该图象在直线y =5 的下方的点的横坐标x 满足-4＜x ＜0，求b 的取值范围. 4将函数y = 2x +b 〔b为常数〕的图象位于x 轴上方的局部沿x 轴翻折后，所得的折线是函数y =-2x +b 〔b为常数〕的图象.假定该图象在直线y =-4 的上方的点的横坐标x 满足 0＜x ＜5，求b 的取值范围.y。