材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解

x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在

§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m

x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l

对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例3 补充实例：作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
F A
x B l
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例4 补充实例：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和 弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
y
q
M ＝0， M ＝0
A B
A
FAY
x
B C
l
x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FBY
FS ql / 2

M 3ql 2 / 32
CB 段：
M Fs x RA a x l l M M x RA x M l x a x l l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
3）绘剪力图和弯矩图
由剪力方程和弯矩方程可绘出Fs、M 图：
Fs Fs x M M x
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 剪力图和弯矩图 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形 分别称为剪力图和弯矩图。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
例4.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图
解：1）求支座反力
Pa M A 0, Pa RB l 0, RB l Pb Fy 0, RA RB P 0, RA l
§4.3 剪力和弯矩—实例2

通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。
M
MM
M
正
负
使梁下凹为正，向上凸为负
[例] 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）
上的内力。
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA 0 MB 0
FBy 3qa FAy qa
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2 q
由Fy 0, 得到：
钢的密度为：7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³ ,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
1m
3m
1m
q
mg L
Vg
L
A1L1g
A2L 2g
L
A11g A2 2g
Dt 1g
[R2
1 2
R2
(
sin
)]
2
g
106.30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.5 2
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。