【优化方案】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明章末综合检测 新人教A版选修1-2

【优化方案】 高中数学 第二章 推理与证明章末综合检测 新人教A版选修1-2(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的)1．(2021·天津和平区高二期中)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与所证结论矛盾；④与定义、定理、公理、轨则矛盾；⑤与事实矛盾．A ．①③④⑤B ．①②④⑤C ．①②③⑤D ．①②③④解析：选B.矛盾是可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、轨则、事实矛盾等，故选B.2．(2021·天津耀华中学高二期中)“因为指数函数y ＝ax 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝(13)x 是增函数(结论)”． 上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A.因为函数y ＝ax 的增减性受a 影响，当a>1时，函数y ＝ax 为增函数，而0<a<1时，函数y ＝ax 为减函数，故大前提错．3．(2021·成都高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一排：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)…，则第66个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(11,1)解析：选D.由条件可知，“整数对”中，两数字和为2的1个“整数对”，和为3的两个，和为4的3个，和为5的4个，由n n ＋12＝66，得n ＝11，又n ＝10时， 10×10＋12＝55，又66－55＝11， 所以第66个整数对应为(11,1)．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面________”．( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.5．(2021·台州高二检测)用反证法证明“方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)至多有两个解”的假设中，正确的是( )A ．至多有一个解B ．有且只有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解解析：选C.“至多n 个”的反设应为“至少n ＋1个”，故选C.6．(2021·泛博附中高二期中)某演绎推理的“三段”分化如下．①(250－1)不能被2整除②一切奇数都不能被2整除③(250－1)是奇数按照演绎推理的三段论模式排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①解析：选D.按照三段论的模式，大前提→小前提→结论．故选D.7．(2021·襄阳高二检测)已知x>0，由不等式x ＋1x ≥ 2 x·1x ＝2，x ＋4x2＝x 2＋x 2＋4x2≥ 3 3x 2·x 2·4x2＝3，…，可以推出结论：x ＋a xn≥n ＋1(n ∈N*)，则a ＝( ) A ．2n B ．3nC ．n2D ．nn解析：选D.由两个不等式的结构特点知，x ＋a xn ＝x n ＋x n ＋…＋x n n 个＋a xn≥ (n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a xn ＝(n ＋1)n ＋1a nn＝n ＋1. 所以a ＝nn.8．(2021·遵义高二检测)对于直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，定义运算P1⊗P2＝(x1，y1)⊗(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)，若M 是与原点相异的点，且M ⊗(1,1)＝N ，则∠MON ＝( )A.34πB.π4C.π2D.π3解析：选B.设M(x0，y0)且x0≠0，y0≠0，由M ⊗(1,1)＝N ，得N(x0－y0，x0＋y0)，所以cos ∠MON ＝OM →·ON →|OM →||ON →|＝x20＋y20x20＋y20·x0－y02＋x0＋y02＝22，所以∠MON ＝π4. 9．(2021·济宁高二期中)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{an}的前n 项和为Sn ，由an ＝2n －1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断Sn ＝n2B ．由f(x)＝xcos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀x ∈R 都成立，推断f(x)＝xcos x 为奇函数C ．由圆x2＋y2＝r2的面积S ＝πr2推断：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积S ＝πab D ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断对一切正整数n ，(n ＋1)2>2n 解析：选A.A 正确．B 是利用定义推出f(x)＝xcos x 是奇函数．C 是类比推理，D 是归纳推理，但不正确．10．已知f(x)＝x3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b>0，a ＋c>0，b ＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )A ．必然大于零B ．必然等于零C ．必然小于零D ．正负都有可能解析：选A.因为f(x)＝x3＋x 为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a ＋b>0时，a>－b ，有f(a)>f(－b)＝－f(b)．a ＋c>0时，c>－a ，有f(c)>f(－a)＝－f(a)，b ＋c>0时，b>－c ，有f(b)>f(－c)＝－f(c)，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>－f(a)－f(b)－f(c)，从而f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y>2，则x ，y 中至少有一个大于1.在用反证法证明时，假设应为________．答案：x ，y 均不大于1(或x≤1且y≤1)12．(2021·高考陕西卷)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[n －1)2－n2]＝－n n ＋12. 当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n2＝－n n －12＋n2＝n n ＋12. 综上，第n 个等式为：12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n2＝－1n ＋12n(n ＋1)． 答案：12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n2＝－1n ＋12n(n ＋1)13．已知等差数列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010 ＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{bn}中．会有类似的结论________． 解析：由等比数列性质可知 b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2...b30. 答案：10b11b12 (20)30b1b2…b30 14．已知a 、b 、c 、m ∈R ，且满足a<a －b ＋mb m <b<b ＋2c －mc 3－m<c ，则m 的取值范围为________． 解析：∵a<a －b ＋mb m <b<b ＋2c －mc 3－m<c ， ∴b －am －1m >0且b －c m －23－m>0， b －c 3－m<0. ∵a<b<c ，∴b －a>0，b －c<0.∴m －1m >0，m －23－m <0，13－m>0. ∴m<0或1<m<2，∴m 的取值范围为(－∞，0)∪(1,2)．答案：(－∞，0)∪(1,2)15．给出下列不等式：①a>b>0，且a2＋b24＝1，则ab>a2b2； ②a ，b ∈R ，且ab<0，则a2＋b2ab≤－2； ③a>b>0，m>0，则a ＋m b ＋m >a b； ④⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4(x≠0)． 其中正确不等式的序号为________．解析：①a>b>0，所以a≠b 2， 所以a2＋b24＝1>2a2·b24＝ab ， 所以1－ab>0，所以ab －a2b2＝ab(1－ab)>0，所以ab>a2b2正确．②a2＋b2ab ＋2＝a ＋b 2ab， 因为ab<0，(a ＋b)2≥0，所以a2＋b2ab ≤－2，②正确； ③a ＋m b ＋m －a b ＝b －a m b b ＋m， 因为a>b>0，m>0，所以b(b ＋m)>0，b －a<0，所以b －a m b b ＋m<0， 所以a ＋m b ＋m <a b，③不正确． ④⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x|＋4|x|≥4，④正确． 答案：①②④三、解答题(本大题5小题，每小题10分，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．用反证法证明：若a>b>0，则a> b.证明：假设a 不大于b ，即a ≤b ，即a<b 或a ＝b ，∵a>0，b>0，且a<b ，∴(a)2<(b)2，∴a<b.又由a ＝b ，得a ＝b.这些都与已知条件a>b>0矛盾，∴a> b.17．某少数民族的刺绣有着悠长的历史，下图①、②、③、④为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越大度，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系式，并按照你获得的关系式求f(n)的表达式．解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4.由上式规律得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，……f(n －1)－f(n －2)＝4(n －2)，f(n)－f(n －1)＝4(n －1)，∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)]＝2n(n －1)，∴f(n)＝2n2－2n ＋1.18．用分析法证明：若a>0，则 a2＋1a2－2≥a ＋1a －2. 证明：要证 a2＋1a2－2≥a ＋1a －2， 只需证 a2＋1a2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a>0，所以两边均大于零，因此只需证 ( a2＋1a2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2， 只需证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋2＋1a2＋2＋ 22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只需证 a2＋1a2≥22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只需证a2＋1a2≥12⎝⎛⎭⎫a2＋1a2＋2， 即证a2＋1a2≥2， 它显然成立，所以原不等式成立．19．(2021·泰州高二期中)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)请用tan x 暗示tan(x ＋π4)．并写出函数y ＝tan(x ＋π4)的最小正周期． (2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f(x ＋2a)＝1＋f x 1－f x. 试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)tan(x ＋π4)＝tan x ＋tan π41－tan xtan π4＝1＋tan x 1－tan x ， 所以函数y ＝tan(x ＋π4)的最小正周期为π. (2)f(x)是以8a 为一个周期的周期函数．因为f(x ＋4a)＝f(x ＋2a ＋2a)＝1＋f x ＋2a 1－f x ＋2a ＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x 1－f x＝－1f x ， 所以f(x ＋8a)＝f(x ＋4a ＋4a)＝－1f x ＋4a＝－1－1f x＝f(x)． 所以f(x)是周期函数，其中一个周期为8a.20．已知{an}是等差数列，其前n 项和为Sn ，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式．(2)记Tn ＝anb1＋an －1b2＋…＋a1bn ，n ∈N*，证明Tn ＋12＝－2an ＋10bn(n ∈N*)． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d ，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d ，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q3＝27，8＋6d －2q3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以an ＝3n －1，bn ＝2n ，n ∈N*.(2)证明：由(1)得Tn ＝2an ＋22an －1＋23an －2＋…＋2na1，①2Tn ＝22an ＋23an －1＋…＋2na2＋2n ＋1a1.②由②－①，得Tn ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝121－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10，而－2an ＋10bn －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故Tn ＋12＝－2an ＋10bn ，n ∈N*.。

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法错误的是( )A．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大解析：选B．平均数不大于最大值，不小于最小值．2．(2015·高考四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解析：选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．3．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由点的分布知x与y负相关，u与v正相关．4．某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是( ) A．193 B．192C．191 D．190解析：选B．1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，解得n＝192.5．(2015·高考湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ．35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47D ．0.37解析：选A.1100(13＋5＋6＋18＋11)＝0.53.7．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92，2 B ．92，2.8 C ．93，2 D ．93，2.8解析：选B ．去掉最高分95，最低分89，所剩数据的平均值为15(90×2＋93×2＋94)＝92，方差s 2＝15[(90－92)2×2＋(93－92)2×2＋(94－92)2]＝2.8.8．(2014·高考湖北卷改编)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( ) A.a ^＞0，b ^＞0 B ．a ^＞0，b ^＜0 C.a ^＜0，b ^＞0D ．a ^＜0，b ^＜0解析：选B ．作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^＜0，当x ＝0时，y ^＝a ^＞0.故a ^＞0，b ^＜0. 9．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图1图2A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%解析：选C.由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%，故选C.10. 某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是( )A ．高一年级的中位数大，高二年级的平均数大B ．高一年级的平均数大，高二年级的中位数大C ．高一年级的平均数、中位数都大D ．高二年级的平均数、中位数都大解析：选A.由茎叶图可以看出，高一年级的中位数为93，高二年级的中位数为89，所以高一年级的中位数大．由计算得，高一年级的平均数为91，高二年级的平均数为6477，所以高二年级的平均数大．故选A.11．(2014·高考山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18解析：选C.志愿者的总人数为20（0.16＋0.24）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( ) A ．s 3>s 1>s 2 B ．s 2>s 1>s 3 C ．s 1>s 2>s 3 D ．s 2>s 3>s 1解析：选B ．因为s 21＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，所以s 21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54，所以s 1＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，所以s 2>s 1>s 3，故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2015·高考广东卷)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x －＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．解析：由条件知x －＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x －0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11.答案：1114．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组的个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案：7615．已知回归方程y ^＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________． 解析：x 与y 的增长速度之比应是回归方程斜率的倒数，即522.答案：52216．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1， 解得x ＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)有以下三个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程；(3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：如果在起始组中随机抽取的号码为L (编号从0开始)，那么第K 组(组号K 从0开始，K ＝0，1，2，…，9)抽取的号码的百位数为组号，后两位数为L ＋31K 的后两位数．若L ＝18，试求出K ＝3及K ＝8时所抽取的样本编号．解：(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样．(2)①分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层； ②确定抽样比例k ＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本．(3)K ＝3时，L ＋31K ＝18＋31×3＝111，故第三组样本编号为311.K ＝8时，L ＋31K ＝18＋31×8＝266，故第8组样本编号为866.18.(本小题满分12分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm 的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm ，保留两位小数)如下： 40．02 40.00 39.98 40.00 39.99 40．00 39.98 40.01 39.98 39.99 40．00 39.99 39.95 40.01 40.02 39．98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm 为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数．(2)因为抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为1820×100%＝90%，所以10 000×90%＝9 000(只)．即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9 000.19．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(平均数和方差)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．解：(1)作出茎叶图如下：(2)x －甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x －乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.因为x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．20．(本小题满分12分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t － y－∑i ＝1nt 2i －n t －2，a ^＝y －－b ^t －.解：(1)列表计算如下：这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝365＝7.2.又∑i ＝1nt 2i －n t －2＝55－5×32＝10，∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．21．(本小题满分12分)甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．22．(本小题满分12分)某化工厂的原料中，有A 和B 两种有效成分，现随机抽取了1010(1)作出两个变量y 与x 的散点图；(2)两个变量y 与x 是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程． 解：(1)按照y 从小到大的顺序调整表中数据(这样有利于描点，如用画图软件则不需要调整表格数据)，(2)观察散点图可知，y 与x 是线性相关关系． 49.9设所求的线性回归方程是y ^＝a ^＋b ^x ，b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x 2＝9 228－8 682.627 175－24 900.1＝545.42 274.9≈0.239 7，a ^＝y －b ^x ＝17.4－0.239 7×49.9≈5.439 0， 所求的线性回归方程是y ^＝0.239 7x ＋5.439 0.。

第二章推理与证明[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP u u u r ＝m OA u u r ＋n OB u u u r (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP u u u r ＝m OA u u r ＋n OB u u u r (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP u u u r ＝m OA u u r ＋n OB u u u r 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n a ，y ＝m ＋n b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n，所以6T n －5na n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题满分14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos 60°＋2α2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74. S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12k ＋1－1， 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．(2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k－1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。

2.3 数学归纳法5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112(a≠1,n∈N *),验证n=1时等式的左边为（ ）A.1B.1+aC.1+a+a 2D.1+a+a 2+a 3答案：C解析：当n=1时，左边=1+a+a 2. 2.用数学归纳法证明不等式2111+++n n +…+n 21>2413(n≥2)的过程中，由n=k 递推到n=k+1时不等式左边（ ） A.增加了一项)1(21+k B.增加了两项221121+++k k C.增加了B 中的两项但减少了一项11+k D.以上均不正确 答案：C解析：在n=k+1时，用k+1替换n,再与n=k 时比较. 3.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n <n(n∈N *且n>1)”时，由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1 答案：C解析：增加的项数为(2k+1-1)-(2k -1)=2k+1-2k =2k.4.凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)与f(n)之间的关系为_________.解析：设凸n+1边形为A 1A 2……A n A n+1,连结A 1A n ,则凸n+1边形的对角线是由凸n 边形A 1A 2…A n 的对角线再加A 1A n ,以及从A n+1点出发的n-2条对角线,即f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1. 答案：f(n+1)=f(n)+n-110分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.若命题A （n ）（n∈N *），n=k(k∈N *)时命题成立，则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有（ ） A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C.命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D.以上说法都不正确 答案：C2.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n -1（n∈N *）”的过程中，第二步n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k +2k+1=2k -1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k =2k -1+2k答案：D3.已知数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和:a 102C -a 212C +a 322C =____________;a 103C -a 213C +a 323C -a 433C =____________.(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论为________________________________.解析：（1）a 102C -a 212C +a 322C =a 1-2a 1q+a 1q 2=a 1(1-q)2,a 103C -a 213C +a 323C -a 433C =a 1-3a 1q+3a 1q 2-a 1q 3=a 1(1-q)3.(2)归纳猜想：左边结构为a 10n C -a 21n C +a 31n C -a 43n C +…+(-1)na n+1n n C ,右边为a 1(1-q)n.答案：(1)a 1(1-q)2a 1(1-q)3(2)a 10n C -a 21n C +a 32n C -a 43n C +…+(-1)na n+1n n C =a 1(1-q)n4.使|n 2-5n+5|=1不成立的最小的正整数是____________. 解析:n=1、2、3、4代入验证成立，而n=5验证不成立. 答案:55.用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时，x n +y n能被x+y 整除”，在验证n=1正确后，归纳假设应写成____________. 解析:第k 个奇数为2k-1.答案:假设n=2k-1(k∈N +)时命题成立6.已知S n =1+21+31+…+n 1(n>1,n∈N *),求证:n S 2>1+2n (n≥2,n∈N *). 证明:(1)当n=2时,n S 2=1+21+31+41=1225>1+222,即n=2时命题成立.(2)设n=k 时命题成立,即k S 2=1+21+31+…+k 21>1+2k ,当n=k+1时,12+k S =1+21+31+…+k 21+121+k +…+121+k >1+2k +kk k k 2121221121++++++>1+2k +kk k222+=1+2k +21=1+21+k ,故当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)知,对n∈N *,n≥2, n S 2>1+2n都成立. 30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.设f(n)=1+21+31+41+ (12)-1，则f(k+1)- f(k)等于（ ） A.1211-+k B.k 21+121+k +1211-+k C.k 21+1211-+k D.k 21+121+k +221+k +…+1211-+k答案：D解析:n=k 时， f(k)=1+21+31+…+121-k . n=k+1时,f(k+1)=1+21+31+…+121-k +k 21+…+1211-+k . ∴f(k+1)-f(k)=k 21+121+k +…+1211-+k .2.如果命题p(n)对n=k 成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立，则下列结论正确的是（ ）A.p(n)对所有正整数n 都成立B.p(n)对所有正偶数n 都成立C.p(n)对所有正奇数n 都成立D.p(n)对所有自然数n 都成立 答案：B3.用数学归纳法证明（n+1）(n+2)·…·（n+n ）=2n ·1·3·…·（2n-1）(n∈N *),从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为（ ） A.2k+1 B.2(2k+1) C.112++k k D.132++k k 答案：B4.若f(n)=1+21+31+…+121+n (n∈N *),则n=1时，f(n)是（ ） A.1 B.31 C.1+21+31D.非以上答案答案：C5.数列{a n }中,a 1=2,a n+1=13+n n a a (n∈N *).依次计算a 2、a 3、a 4后归纳、猜想出a n 的表达式为______________. 解析:容易求得a 2=72,a 3=132,a 4=192. ∴a n =562-n . 答案:a n =562-n6.证明1+413121+++…+121-n >2n (n∈N *)，假设n=k 时成立，当n=k+1时，左端增加的项有______________项. 解析:2k+1-1-2k +1=2k.答案:2 k7.数列{a n }满足S n =2n-a n ,先计算数列的前4项，后猜想a n 并证明之. 解:由a 1=2-a 1,得a 1=1,由a 1+a 2=2×2-a 2,得a 2=23. 由a 1+a 2+a 3=2×3-a 3,得a 3=47.由a 1+a 2+a 3+a 4=2×4-a 4,得a 4=815.猜想a n =1212--n n .下面证明猜想正确.(1)当n=1时，由上面的计算可知猜想是成立的.(2)假设当n=k 时猜想成立，那么a k =1212--k k ,此时S k =2k-a k =2k 1212---k k .当n=k+1时,由S k+1=2(k+1)-a k+1得 S k +a k+1=2(k+1)-a k+1. ∴a k+1=21［2(k+1)-S k ］ =k+121-(2k 1212---k k )=1)1(1212-+--k k .这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可以断定,a n =1212--n n 对任意正整数n 都成立.8.已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且满足下列条件： ①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,且f(1)=4；②若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤2,则有f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)-3. (1)求f(0)的值. (2)求证：f(x)≤4. (3)当x∈(n 31,131-n ］（n=1,2,3,…)时，试证明f(x)<3x+3. 解析：（1）令x 1=x 2=0,由①对于任意x∈［0，1］，总有f(x)≥3,∴f(0)≥3. 又由②得f(0)≥2f(0)-3,即f(0)≤3;∴f(0)=3.(2)任取x 1,x 2∈［0，1］，且设x 1<x 2.则f(x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］≥f(x 1)+f(x 2-x 1)-3, ∵0<x 2-x 1≤1,∴f(x 2-x 1)≥3,即f(x 2-x 1)-3≥0. ∴f(x 1)≤f(x 2).∴当x∈［0，1］时，f(x)≤f(1)=4. (3)先用数学归纳法证明：f(131-n )≤131-n +3(n∈N *). ①当n=1时，f(31)=f(1)=4=1+3=031+3,不等式成立； ②假设当n=k 时，f(131-k )≤131-k +3(k∈N *).由f(131-k )=f ［k 31+(k 31+k 31)］≥f(k 31)+f(k 31+k 31)-3≥f(k 31)+f(k 31)+f(k 31)-6,得3f(k 31)≤f(131-k )+6≤131-k +9.∴f(k 31)≤k 31+3,即当n=k+1时，不等式也成立.由①②可知，不等式f(131-n )≤131-n +3对一切正整数都成立.于是，当x∈(n 31,131-n ］（n=1,2,3,…)时，3x+3>3×n 31+3=131-n +3≥f(131-n )，而x∈［0，1］，f(x)单调递增，∴f(x)<f(131-n ).∴f(x)<f(131-n )<3x+3. 9.已知a n =1+21+31+…+n1(n∈N *),是否存在n 的整式q(n)，使得等式a 1+a 2+…+a n-1=q(n)(a n -1)对于大于1的一切自然数n 都成立？证明你的结论.解:假设存在q(n)，去探索q(n)等于多少. 当n=2时，由a 1=q(2)(a 2-1), 即1=q(2)(1+21-1)， 解得q(2)=2.当n=3时，由a 1+a 2=q(3)(a 3-1)， 即1+(1+21)=q(3)(1+21+31-1)， 解得q(3)=3.当n=4时,由a 1+a 2+a 3=q(4)(a 4-1), 即1+(1+21)+(1+21+31)=q(4)(1+21+31+41-1), 解得q(4)=4.由此猜想q(n)=n(n≥2,n∈N *).下面用数学归纳法证明：当n≥2,n∈N *时,等式a 1+a 2+…+a n-1=n(a n -1)成立.。