Chapter 11-1 量子跃迁(上)

n
Hψ n = Enψ n
(6)
（n代表一组完备的量子数），把式(4)代入式 (3)，利用式(6) ，得 (7) − iEn t ψ (t ) = ∑ an e ψn
n
特例:如果
ψ (0) = ψ k
(8)
即初始时刻体系处于能量本征态 ψ k ，相应 a 能量为 Ek。按式 (5)， n = δ nk 此时 − iEn t ψ (t ) = ψ k e (9) 即体系将保持在原来的能量本征态。这种量 子态，称为定态。 如果体系在初始时刻并不处于某一个能 量本征态, 则以后也不处于该本征态，而是若 干能量本征态的叠加，如(7)式所示，式中 an = (ψ n ,ψ (0)) 由初态 ψ (0) 决定(见式（5））。
χ (t ) = a+ e
− iω L t
ϕ + + a− e ϕ −
iω L t
1 − iω Lt iω L t (e ϕ + + e ϕ − ) = 2
⎛ cos ω L t ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ −i sin ω L t ⎠
与式(14)相同 (16)
11.2 量子跃迁几率，含时微扰论 在实际问题中，人们更感兴趣的往往不是 泛泛的讨论量子态度随时间的演化，而是想知 道在谋种外界作用下体系在定态之间的跃迁概 率。 设无外界作用时候，体系的Hamilton量 （不显含时间t）为 H 0 。包括 H 0在内的一组 力学量完全集F的共同本征态记为 ψn（n标记 一组完备的量子数）。设体系初始时刻处于 (1) ψ (0) = ψ k 当外界作用 H ′(t ) 加上以后
第11章
量子跃迁
11.1量子态随时间的变化 量子力学中，关于量子态的问题，可分 为两类： (a) 体系的可能状态的问题，即力学量的本 征态和本征值的问题。量子力学的基本假定 是：力学量的观测值即与力学量相应的算符 的本征值。通过求解算符的本征方程可以求 出它们。特别重要的是Hamilton量（不显含 时间t）的本征值问题，可求解不含时 Schrodinger方程
即相应有某种选择定则。 ′′ H kk ′ = H k*k ，可以看出， 利用 H′的Hermite性， ′ 在一级近似下，从 k 态到 k ′态的跃迁概率 Pk ′k 等于从 k ′态到 k 态的跃迁概率。 但应注意，由于能级一般有简并，而且简并 度不尽相同。所以不能一般的讲：从能级 Ek ′ 到能级 Ek 的跃迁几率等于从能级 Ek 到能级 Ek ′ ′ 的跃迁几率。如要计算跃迁到能级 Ek 的跃迁 ′ 几率，则需要把到 Ek 能级的诸简并态的跃迁 都考虑进去。如果体系的初态（由于能级 Ek 有简并）未完全确定，则从诸简并态出发的
i C
(1) kk ′
=e
iω kk ′ t
′ H kk ′
(12)
积分，得
C
(1) kk ′
1 = i
∫
t 0
e
iω kk ′ t
′ H kk ′ dt
(13)
因此，在准到微扰一级近似下 1 t iω kk ′t (0) (1) ′ C kk ′ ( t ) = C kk ′ + C kk ′ ( t ) = δ kk ′ + ∫0 e H kk ′ dt i (14) ′ ≠ k（末态不同于初态）， 当k 1 t iω kk ′t ′ C kk ′ ( t ) = e H kk ′ dt i ∫0 2 1 t iω kk ′t 而 ′ (15) Pkk ′ ( t ) = 2 ∫ e H kk ′ dt
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(4)
经测量之后，体系从初始状态ψ k跃迁到 ψ n
态。跃迁概率为 P (t) 而单位时间内跃迁几率， nk 即跃迁速率为
d d 2 ωnk = Pnk (t ) = Cnk (t ) dt dt
于是问题归结为在给定的初条件下，即
(5)
Cnk (0) = δ nk
(6)
时如何去求解 Cnk (t ) 。 应当指出，通常人们感兴趣的跃迁当然 是指末态不同于初态的情况。但应注意，由 于能级往往有简并，所以量子跃迁并不意味 着末态能量一定与初态能量不同。弹性散射
Pnl →n′l ′
1 = ∑′ Pn′m′l′,nlm 2l + 1 m ,m
(17)
其中 Pn′m′l ′, nlm 是从 nlm 态到 n′l ′m′的跃迁几率。
例1 考虑一维谐振子，荷电 q 。设初始 (t → −∞) 时刻处于基态 。设微扰 −t 2 τ 2 (18) H ′ = − qε xe 为参数。当(t → +∞) 时， 测得振子处于激发态 n 的振幅为
方程(9)与(7)等价，只是表象不同而已。求解 (9)时， 要用到初条件(6) 当然，对于一般的 H ′(t )，问题求解是困 难的。但如 H ′ 很微弱（从经典力学来讲H ′ H 0 2 Cnk (t ) 将随时间很缓慢的变化，体系仍有很 2 1,(n ≠ k ) 大的概率停留在原来状态，即 Cnk (t )
ε 为外电场强度，τ
1 C (∞ ) = i
(1) n0
∫
+∞
−∞
(− qε ) n x 0 e
− t 2 τ 2 + iω n 0t
ω n 0 = ( En − E0 )
利用
n x0 = 2 µω
= nω
δ n1
可知在一级微扰近似下，从基态只能跃迁到 第一激发态。容易计算出
− qε C (∞ ) = i
ψ (t ) = U (t )ψ (0) = e
− iH t
ψ (0)
(3)
是描述量子态随时间演化的算符。 如采取能量表象，把 ψ (0) 表示成
U (t ) = e
− iHt
ψ (0) = ∑anψn
(4) (5)
ψn 是包括H在内的一组守恒量完全集的共同本
征态，即
an = (ψ n ,ψ (0))
(1) n0
2 µω ∫
1 2 µω
2 2
+∞
−∞
e
− t 2 τ 2 + iω t
= iqε
所以
πτ e
−ω 2τ 2 2
振子仍然停留在基态概率为 1 − P ( ∞ )。可 10 以看出，如 τ → ∞ ，即微扰无限制缓慢地
qε 2 −ω 2τ 2 2 P (∞ ) = πτ e 10 2µ ω
∂ i ψ (t ) = Hψ (t ) ∂t
(2)
由于它是含时间的一次导数的方程，当体系 的初态 ψ (0) 给定之后，原则上可以从方程求 解出以后任何时刻t的状态 ψ (t) 。 11.1.1 Hamilton量不含时的体系 如体系的Hamilton量不显含t (∂H ∂t = 0) ψ 则体系能量为守恒量。此时， (t) 的求解是比 较容易的。方程的解形式上可以表示成
。在此情况下 ，可以用微扰逐级近似的方法， 即含时微扰论来求解。 Ck(0) (t) = 0 零级近似，即忽略 H ′影响，按照式 ′k (0) 即Ck ′k =常数（不依赖于t）。所以 (0) (0) Ck ′k (t ) = Ck ′k (0) = Ck ′k (0)。再利用初条件，得 (0) Ck ′k (t ) = δ kk ′ (11) 一级近似。按微扰论精神，在式右边， (0) 令 Cnk (t ) ≈ Cnk (t ) ≈ δ nk，由此得出一级近似 解
就是一个例子。在弹性散射过程中，粒子从 初态（动量为 pi的本征态）跃迁到末态（动 量为 p f 的本征态），状态改变了（动量方 向），但能量并未改变（ p f = pi ） 量子态随时间的演化，遵守Schrodinger 方程 ∂ i ψ (t ) = ( H 0 + H ′)ψ (t ) (7) ∂t 用式代入，得
例 1 设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁
场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子内 禀磁矩与外磁场的作用为
eB eB H = −µs ⋅ B = Sx = σ x = ω Lσ x (10) µc 2µ c eB ωL = ( Larmor频率) 2µ c
设初始时刻电子自旋态为 Sz 的本征态 Sz = 2 即（采用 S z 表象）
a = −iω L b, b = −iω L a
两式相加，减，得
d d (a + b) = −iω L (a + b), (a − b) = iω L (a − b) dt dt
所以
a (t ) + b(t ) = [a (0) + b(0)]e a (t ) − b(t ) = [a (0) − b(0)]e
⎛1⎞ χ (0) = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠
(11)
在t时刻电子自旋态 χ (t )？ 解1 令 a (t )
⎛ ⎞ χ (t ) = ⎜ ⎟ ⎝ b(t ) ⎠
(12)
按初始条件 a (0) = 1, b(0) = 0 把式代入 Schrodinger方程 ⎛ 0 1⎞⎛ a⎞ d ⎛a⎞ i (13) ⎜ ⎟ = ωL ⎜ ⎟⎜ ⎟ dt ⎝ b ⎠ ⎝ 1 0⎠⎝ b ⎠ 得
Hψ = Eψ
(1)
得出能量本征值 E 和相应的本征态。要特别 注意，在大多数情况下，能级有简并，仅根 据能量本征值 E 并不能把相应的本征态完全 确定下来，而往往需要找出一组守恒量完全 集F（其中包括H），并要求 ψ 是它们的共 同本征态，从而把简并态完全标记清楚。 (b) 体系状态随时间演化的问题。量子力学 的另一个基本假定是：体系状态随时间的演 化，遵守含时Schrodinger方程
两式相加，减，得 即
− iω L t
iω L t
a (t ) = cos ω L t , b(t ) = −i sin ω L t
⎛ cos ω L t ⎞ χ (t ) = ⎜ ⎟ ⎝ −i sin ω L t ⎠