2020版九年级北师大数学下册 第3章 圆：小专题( 六 ) 圆中常见的辅助线归类
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小专题( 六 ) 圆中常见的辅助线归类
求解与圆有关的问题时,常需添加适当的辅助线,归纳起来主要分三类:( 1 )如果已知弦长、半径、弦心距或弓形高中的两个元素,求其余元素时,一般需要添加弦心距或半径构造直角三角形,以便利用直角三角形的知识求解;( 2 )若已知圆的直径解答有关问题时,一般需构造直径所对的圆周角,以便利用直角三角形的知识解答问题;( 3 )如果已知圆与直线相切,一般添加过切点的半径,以便利用切线的性质构造直角三角形;如果已知直线与圆的交点,要判断该直线是圆的切线时,只需连接过交点的半径,证明此半径垂直于直线即可.
类型1 遇弦,添加弦心距或半径
1.如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,若水面AB宽为8 cm,水面最深地方的高度为2 cm,则该输水管的半径为 ( C )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
2.如图,AB是☉O的直径,∠BOD=120°,C为的中点,AC交OD于点E.若DE=1,则AE的长为 ( A )
A. B.
C.2 D.2
3.如图,☉O的直径为10 cm,弦AB=8 cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
解:过点O作OE⊥AB于点E,连接OB.
∵☉O的直径为10 cm,∴OB=×10=5 cm.
∵AE=BE=AB=×8=4 cm, ∴OE==3 cm.
∴3 cm≤OP≤5 cm.
4.如图,☉O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,BE=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长.
解:过点O作OP⊥CD于点P,连接OC,则CD=2CP.
∵AE=6 cm,BE=2 cm,∴AB=8 cm,
∴OB=OC=4 cm,∴OE=4-2=2 cm.
在Rt△OPE中,∵∠CEA=30°,∴OP=OE=1 cm.
在Rt△COP中,CP= cm.
∴CD=2CP=2 cm.
类型2 遇直径,添加直径所对的圆周角
5.如图,小号同学设计了一个测直径的测量器,将标有刻度的尺子OA,OB在点O处钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把点O靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为 ( B )
A.12个单位 B.10个单位
C.4个单位 D.15个单位
6.如图,☉O是△ABC的外接圆,若直径AD=10,∠ABC=∠DAC,则AC的长为 5 .
7.如图,AB为半圆O的直径,C为的中点,P为半圆O外一点,且PB⊥PC交半圆O于点D.若PC=6,PD=2,则该半圆O的直径为 20 .
提示:连接AD,CO交于点H.∵,∴OC⊥AD,AH=DH.∵AB是直径,∴∠ADB=∠PDH=90°.∵PB⊥PC,∴∠P=∠CHD=∠PDH=90°,∴四边形PDHC是矩形,∴∠PCO=90°,AH=DH=PC=6,CH=PD=2.设OH=x,则BD=2x,AB=2( x+2 ).在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,即4( x+2 )2=122+( 2x )2,解得x=8,∴AB=20.
8.如图,在△ABC中,BC=3,以BC为直径的☉O交AC于点D.若D是AC的中点,∠ABC=120°.
( 1 )求∠ACB的大小;
( 2 )求点A到直线BC的距离.
解:( 1 )连接BD.
∵以BC为直径的☉O交AC于点D,∴∠BDC=90°.
∵D是AC的中点,∴直线BD是AC的垂直平分线,
∴AB=BC,∴∠BAC=∠ACB.
∵∠ABC=120°,∴∠BAC=∠ACB=30°.
( 2 )过点A作AE⊥BC,交CB的延长线于点E.
由( 1 )知AB=BC=3,∠ABE=180°-∠ABC=60°.
在Rt△ABE中,AE=AB·sin ∠ABE=3×.
即点A到直线BC的距离为.
类型3 遇切线,添加过切点的半径
9.如图,已知在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的☉O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则☉O的半径是 ( D )
A.3 B.4
C. D. 10.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E= 50° .
11.如图,已知BC是☉O的直径,D为BC延长线上的一点,A为圆上一点,且AB=AD,AC=CD.
( 1 )求证:△ACD∽△BAD;
( 2 )求证:AD是☉O的切线.
证明:( 1 )∵AB=AD,∴∠B=∠D.
∵AC=CD,∴∠CAD=∠D,∴∠CAD=∠B.
∵∠D=∠D,∴△ACD∽△BAD.
( 2 )连接OA.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB,
∴∠OAB=∠CAD.
∵A为圆上一点,BC是☉O的直径,
∴∠BAC=90°,∴∠OAD=90°,
∴OA⊥AD,∴AD是☉O的切线.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,以线段AB上的点O为圆心,OB长为半径作☉O,分别与边AB,BC相交于D,E两点,过点E作EF⊥AC于点F.
( 1 )判断直线EF与☉O的位置关系,并说明理由;
( 2 )若OB=3,cos ∠B=,求线段BE的长.
解:( 1 )连接OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OE,∴∠B=∠OEB,
∴∠OEB=∠C,∴OE∥AC.
又∵EF⊥AC,∴OE⊥EF,
∴EF为☉O的切线.
( 2 )连接DE.∵OB=3,BD为☉O的直径,
∴BD=6,∠DEB=90°.
∵cos ∠B=,∴BE=BD=2.
类型4 添加辅助线,计算阴影部分的面积
13.如图,正方形ABCD的边长为8,分别以正方形的三边为直径在正方形的内部作半圆,则阴影部分的面积之和是 ( A )
A.32 B.2π
C.10π+2 D.8π+1
14.如图,一张扇形纸片OAB中,半径OA为2,C是的中点,现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠,点C恰好与圆心O重合,则图中阴影部分的面积为
.
15.(
衡阳中考 )如图,点A,B,C在半径为8的☉O上,过点B作BD∥AC,交OA的延长线于点D.连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.
( 1 )求证:BD是☉O的切线;
( 2 )求图中阴影部分的面积.
解:( 1 )连接OB,交AC于点E,
∵∠C=30°=∠BOA,∴∠BOA=60°.
∵∠BCA=∠OAC=30°,∴∠AEO=90°,即OB⊥AC.
∵BD∥AC,∴OB⊥BD,
∴BD是☉O的切线.
( 2 )∵AC∥BD,∠OAC=30°,∴∠D=∠OAC=30°.
∵∠OBD=90°,OB=8,∴BD=OB=8.
∴S阴影=S△BDO-S扇形AOB=×8×8=32.
16.( 滨州中考 )如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.
( 1 )求证:直线DF是☉O的切线;
( 2 )BC2=4CF·AC;
( 3 )若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.
解:( 1 )连接OD.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠ABC=∠C.
∵DF⊥AC,∴∠CDF+∠C=90°,∴∠CDF+∠ODB=90°,
∴∠ODF=90°,
∴直线DF是☉O的切线.
( 2 )连接AD,∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴DB=DC=BC.
∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠CDF=∠DAC,
又∵∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD∽△CDA,
∴CD2=CF·AC,即BC2=4CF·AC.
( 3 )连接OE.
∵∠CDF=15°,∴∠C=75°,∴∠OAE=30°=∠OEA,
∴∠AOE=120°,
∴S△OAE=AE·OE·sin ∠OEA=×2×OE·cos ∠OEA×OEsin ∠OEA=4,
S阴影=S扇形OAE-S△OAE=-4-4.
