Ch 01 补充内容(可列集)

− k0知式 成立。存在性得证。 知式(1)成立 存在性得证。 成立。
假设有两对整数q ′′， ′′都使得 唯一性 假设有两对整数 ′，r ′与q ′′，r ′′都使得 成立， 式(1)成立，即 成立 a = q ′′ + r ′′ = q ′b + r ′，0 ≤ r ′, r ′′ < b， ′′b ， ′′， ′′| 则(q′′ − q ′)b = r ′ − r ′′，|r ′ − r ′′ < b，因此 ′′ ， r ′ − r ′′ = 0，r ′ = r ′′， ′′， ， 再由上式得出q ′′，唯一性得证. 再由上式得出 ′ = q ′′，唯一性得证
(分析 要证8 分析) 证：(分析) 要证8 | (2n − 1)2 − 1, 即 8 | 4n2 − 4n=4 n(n − 1), 只需证 | n(n − 1). 只需证2 因为2 所以8 因为 | n(n − 1), 所以 | 4n(n − 1) = (2n − 1)2 − 1.
证明若p|10a−b, p|10c−d, 则p|ad−bc. 例1.2 证明若 − − − 证：因为 因为p|10a − b, p|10c − d, 而 ad − bc = c(10a−b) – a(10c −d), − 故p | ad − bc.
以后在本课程中若无特别说明，素数总是指正素数。 以后在本课程中若无特别说明，素数总是指正素数。
整除的性质（ 整除的性质（设a, b, c均为整数） 均为整数
传递性 若a|b且b|c, 则a|c。 且 。 可乘性 若a|b, 则ca|cb; 可约性 若ca|cb, c≠0 则a|b。 。 可加性 对任意整数k和 对任意整数 和l, 若a|b且a|c, 则a| kb±lc。 且 ± 。

专题01 集合【考点预测】 1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。

集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且． 4、集合的运算性质 （1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．【题型归纳目录】题型一：集合的表示：列举法、描述法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：集合与集合之间的关系 题型四：集合的交、并、补运算 题型五：集合与排列组合的密切结合 题型六：集合的创新定义【题型一】集合的表示：列举法、描述法 【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2.描述法，注意代表元素.例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数个例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,y C z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【题型二】 集合元素的三大特征 【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

【1.2 集合的基本运算】
【方法5：反证法证 XY 】 欲证XY, 假设命题不成立，必存在 x 使得 xX 且 xY. 然后推出矛盾.
例5 证明 AC 且 BC ABC 证 假设 AB C 不成立， 则 x (xAB但xC) ， 因此 xA 或 xB，且 xC。 若 xA, 则与 AC 矛盾； 若 xB, 则与 BC 矛盾.
【1.2 集合的基本运算】
• 集合基本运算的定义 • 文氏图（John Venn） • 集合运算的算律 • 集合包含或恒等式的证明
【1.2 集合的基本运算】
【1.2.1 集合的基本运算】
并 AB = { x | xA 或 xB }
交
相对补 对称差 绝对补
AB = { x | xA 且 xB }
【1.1 集合的基本概念】
【1.1.6 幂集】
【思考题】 如果 |A| = n，则 |P(A)| = ？
【1.1 集合的基本概念】
【1.1.6 幂集】
【思考题解答】 证明：如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
【1.1 集合的基本概念】
1.1 小结： • 集合的定义与表示 • 集合与元素 • 集合之间的关系 • 空集 • 全集 • 幂集
【1.1 集合的基本概念】
【1.1.2 集合与元素】 元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于 实例：A={ x|xRx2-1=0}, A={-1,1} 1A, 2A
注：对于任何集合 A 和元素 x(可以是集合)， xA和 xA 两者必成立其一且仅成立其一； 集合的元素是互异的，且无次序之分。
AE=A E=
【1.2 集合的基本运算】
【1.2.4 集合包含的证明方法】 • 证明 XY

[ -2 ][ -1 ][ 0 ][ 1 ][ 2 ][ 3 ] 4
Q = (Q ∩ [0,1]) ∪ (Q ∩ [−1,0]) ∪ (Q ∩ [1,2]) ∪ (Q ∩ [−2,−1]) ∪
所以Q是可数集（可数个可数集的并） 说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布 在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).
A = {an1 , an2 , an3 , , ank , }
*
即 是可数集。
可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
证明 设A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …}可数集
B={b1, b2, b3, … ,bn}有限集 C= {c1, c2, c3, c4, c5, c6, …}可数集 假设A，B，C两两不交，则 A∪B={ b1, b2, b3 , … , bn ，a1, a2, a3, …} A∪C={ c1, a1, c2, a2, c3, a3, …} 当集合有公共元素时，排列过程中去掉公共元 素。有限个可数集类似A∪C.
证明：假设［0,1］是可数集,则 [0,1] 可以 写成一个无穷 序列的形式：
{x1 , x2 ,, xn ,}
1]三等分，取其中一个不含点x1的闭区间，记为I1 , 将[0，
[ 0 ][ 1/3 ][ 2/3 ] 1
再将I1三等分，取其中一个不含点x2的闭区间，记为I 2 ,
依此类推，继续进行下去，可得区间套：
例3:有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A × B = {( x, y ) | x ∈ A, y ∈ B}
= ∪ {( x, y ) | y ∈ B}