有弹簧的碰撞模型

碰撞与类碰撞模型热点模型与方法归纳目录【模型一】弹性碰撞模型...................................................................................................................................1【模型二】非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型.............................................................................................10【模型三】碰撞模型三原则.............................................................................................................................20【模型四】 小球—曲面模型...........................................................................................................................23【模型五】 小球—弹簧模型...........................................................................................................................28【模型六】 子弹打木块模型...........................................................................................................................37【模型七】 滑块木板模型. (43)【模型一】弹性碰撞模型1． 弹性碰撞发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m 1和m 2，碰前速度为v 1，v 2，碰后速度分别为v 1ˊ，v 2ˊ，则有： m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1ˊ+m 2v 2ˊ(1)21m 1v 12+21m 2v 22=21m 1v 1ˊ2+21m 2v 2ˊ 2 (2)联立（1）、（2）解得：v 1ˊ=1212211-2v m m v m v m ++，v 2ˊ=2212211-2v m m v m v m ++.特殊情况： 若m 1=m 2 ，v 1ˊ= v 2 ，v 2ˊ= v 1 .2． “动静相碰型”弹性碰撞的结论两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。

高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习摘要：一运动的物体与一静止的物体发生弹性碰撞构成一种重要碰撞模型，即“一动一静”一维弹性碰撞模型，碰撞过程动量、机械能守恒，碰后两物体速度可求．两物体通过弹簧弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体；或一物体在另一物体表面运动，通过物体间的弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体也可构成“隐蔽”的“一动一静”一维弹性碰撞模型．关键词：“一动一静”一维弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒，动能，弹性势能，重力势能。

2017届全国考纲把选修3-5由先前的选考内容角色变换成必考内容角色，这要求我们广大高三物理老师提高对选修3-5复习的重视程度，下面谈谈我如何复习选修3-5动量中“一动一静”一维弹性碰撞重要模型，不足之处请同仁指正．一运动的弹性小球碰撞一静止的弹性小球，两小球接触碰撞过程中相互作用的力较大，时间又短，系统动量守恒；两小球从开始接触到共速这短暂过程中小球的动能向小球的弹性势能转化，两小球从共速到开始分离这短暂过程中小球的弹性势能向小球的动能转化，系统机械能也守恒．如图，在光滑的水平面上质量m1、速度v1弹性小球1向右运动与质量m2、静止弹性小球2发生正碰．设m1、m2碰撞分离后的速度分别为v’1、v’2系统动量守恒m1v1=m1v’1+m2v’2系统机械能守恒12m1v12 =12m1v’12+12m2v’22解得错误!或错误!（增根舍去）（Ⅰ）当m1>m2时，v’1与v1同向（大撞小，同向跑）；当m1>>m2时,v’1≈v1、v’2≈2v1（Ⅱ）当m1=m2时，v’1与v1换速，即v’1=0、v’2=v1（Ⅲ）当m1<m2时，v’1与v1反向（小撞大，被弹回）；当m1<<m2时,v’1≈-v1、v’2≈0下面从三个方面分析“一动一静”一维弹性碰撞模型的应用情景一：两弹性体组成的系统，系统能量由动能→物体间挤压的弹性势能→动能例1、如图所示，两个半径相同的小球A、B分别被不可伸长的细线悬吊着，静止时两根细线竖直，两小球刚好接触，且球心在同一条水平线上．现向左移动小球A，使A球与最低点的高度差为h（悬吊A球的细线张紧），然后无初速释放小球A，小球将发生碰撞．碰撞过程没有机械能损失，且碰撞前后小球的摆动平面不变．碰后A、B上升的最大高度分别为h A 和h B（最大高度均未超过绳长）（）A ．若m A ＜mB ，则h A 、h B 中有一个可能大于hB ．若m A ＞m B ，则一定为h B ＞h ＞h AC ．若m A ＞m B ，则h A =h B 是可能的D ．无论质量关系如何，h A 、h B 一定不可能相等【解答】小球A 下摆过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：m A gh=12m A v A 2 解得：v A =2gh两个小球碰撞过程在水平方向动量守恒，系统机械能守恒（“一动一静”一维弹性碰撞模型）. 错误!解得：v A ’=错误!v A ，v B ’=错误!v A碰撞后两小球向上运动的过程中，两小球机械能守恒：12 m A v A ’2=mgh A ，12m B v B ’2=mgh B A 、若m A ＜m B ，碰撞后A 球反弹，向左摆动，B 球向右摆动，系统机械能守恒，h A 、h B 可能相等，但都不可能大于h ，故AD 错误；B 、若m A ＞m B ，碰撞后两球都向右摆动，则一定为h B ＞h ＞h A ，h A 、h B 不可能相等，故B 正确，C 错误；故选B ．例2、如图，光滑水平面上两个体积相同的小球A 和B 静止在同一直线上，B 球右侧有一固定的竖直挡板。

第4节 碰 撞1.碰撞的特点：2.弹性碰撞和非弹性碰撞(1)弹性碰撞：碰撞过程中机械能守恒的碰撞叫弹性碰撞． (2)非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞叫非弹性碰撞．3．一维弹性碰撞分析在光滑水平面上质量为m 1的小球以速度v 1与质量为m 2的静止小球发生弹性正碰．根据动量守恒和能量守恒： m 1v 1＝m 1v 1′＋m 2v 2′； 12m 1v 21＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2 碰后两个物体的速度分别为 v 1′＝m 1－m 2m 1＋m 2v 1，v 2′＝2m 1m 1＋m 2v 1.1.如图所示的装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )A ．动量守恒，机械能守恒B ．B ．动量不守恒，机械能不守恒C ．动量守恒，机械能不守恒D ．D ．动量不守恒，机械能守恒 1．碰撞的特点(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体运动的全过程可忽略不计． (2)相互作用力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力，所以动量守恒． 2．碰撞的分类(1)弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒．(2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能．(3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大．在光滑水平面上有三个完全相同的小球，它们排成一条直线，2、3小球静止并靠在一起，1球以速度v 0射向它们，如图所示．设碰撞中不损失机械能，则碰后三个小球的速度可能是( )A ．v 1＝v 2＝v 3＝13v 0 B ．v 1＝0，v 2＝v 3＝12v 0 C ．v 1＝0，v 2＝v 3＝12v 0D ．v 1＝v 2＝0，v 3＝v 0命题视角2 对完全非弹性碰撞现象的分析如图所示的三个小球的质量都为m ，B 、C 两球用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上，A 球以速度v 0沿B 、C 两球球心的连线向B 球运动，碰后A 、B 两球粘在一起．问：(1)A 、B 两球刚刚粘合在一起时的速度是多大？(2)弹簧压缩至最短时三个小球的速度是多大？【通关练习】2．如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A 和B ，放在光滑的水平面上，物体A 被水平速度为v 0的子弹击中，子弹嵌在其中，已知物体A 的质量是B 的质量的34，子弹的质量是B 的质量的14.求：(1)A 物体获得的最大速度；(2)弹簧压缩量最大时B 物体的速度大小．对爆炸类问题的分析解决爆炸类问题时，要抓住以下三个特征1．动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸系统内的相互作用力远大于系统受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的动量守恒．2．动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，因此爆炸后系统的总动能增加． 3．位置不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体发生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后，物体仍然从爆炸的位置以新的动量开始运动．以初速度v 0与水平方向成60°角斜向上抛出的手榴弹，到达最高点时炸成质量分别是m 和2m 的两块．其中质量大的一块沿着原来的方向以2v 0的速度飞行．(1)求质量较小的一块弹片速度的大小和方向； (2)爆炸过程中有多少化学能转化为弹片的动能．一弹丸在飞行到距离地面5 m 高时仅有水平速度v 0＝2 m/s ，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1，不计质量损失，重力加速度g 取10 m/s 2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是( )用动量和能量观点解决综合问题动量与能量观点的综合应用常见的有以下三种模型1．子弹打木块类模型(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒．(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，则系统机械能不守恒，机械能向内能转化．(3)若子弹不穿出木块，则二者最后有共同速度，机械能损失最多．2．弹簧类模型(1)对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒．(2)整个过程涉及到弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．(3)注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧最短，具有最大弹性势能．3．滑块—滑板类模型(1)把滑块、滑板看做一个整体，摩擦力为内力，则在光滑水平面上滑块和滑板组成的系统动量守恒．(2)由于摩擦生热，机械能转化为内能，则系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．(3)注意滑块若不滑离木板，意味着二者最终具有共同速度．命题视角1子弹打木块模型如图所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：(1)子弹射入木块后，木块在地面上前进的距离；(2)射入的过程中，系统损失的机械能．命题视角2弹簧类模型如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短，求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，(1)整个系统损失的机械能；(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．【通关练习】1．(多选)质量为M 、内壁间距为L 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ.初始时小物块停在箱子正中间，如图所示．现给小物块一水平向右的初速度v ，小物块与箱壁碰撞N 次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )A ．12m v 2B ．mM2（m ＋M ）v 2C ．12NμmgLD ．N μmgL2．一轻质弹簧的两端连接两滑块A 和B ，已知m A ＝0.99 kg ，m B ＝3 kg ，放在光滑水平面上，开始时弹簧处于原长，现滑块A 被水平飞来的质量为m C ＝10 g 、速度为400 m/s 的子弹击中，且没有穿出，如图所示，求：(1)子弹击中滑块A 的瞬间滑块A 和B 的速度大小；(2)以后运动过程中弹簧的最大弹性势能．[随堂检测]1．(多选)在光滑水平面上，两球沿球心连线以相等速率相向而行，并发生碰撞，下列现象可能的是( ) A ．若两球质量相等，碰后以某一相等速率互相分开 B ．若两球质量相等，碰后以某一相等速率同向而行 C ．若两球质量不等，碰后以某一相等速率互相分开 D ．若两球质量不等，碰后以某一相等速率同向而行3.如图所示，质量为M 的木块，放在距地面高度为h 的平台的边缘．现有一质量为m 的子弹以水平速度射入木块并留在木块中，木块落地前瞬间速度方向与水平方向的夹角为60°，已知重力加速度为g ，M ＝5m ，求子弹射入木块前的速度为多大？4．如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M 的长木板，以速度v 0向右做匀速直线运动，将质量为m 的小铁块轻轻放在木板上的A 点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？ (2)它们相对静止时，小铁块与A 点距离多远？ (3)在全过程中有多少机械能转化为内能？5．(2016·高考全国卷Ⅲ)如图所示，水平地面上有两个静止的小物块a 和b ，其连线与墙垂直；a 和b 相距l ，b 与墙之间也相距l ；a 的质量为m ，b 的质量为34m .两物块与地面间的动摩擦因数均相同．现使a 以初速度v 0向右滑动．此后a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g ，求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．。

碰撞与类碰撞模型1.碰撞问题是历年高考试题的重点和热点，它所反映出来的物理过程、状态变化及能量关系，对学生的理解能力、逻辑思维能力及分析推理能力要求比较高。

高考中考查的碰撞问题，碰撞时间极短，位移为零，碰撞过程遵循动量守恒定律。

2.高考题命题加重了试题与实际的联系，命题导向由单纯的解题向解决问题转变，对于动量守恒定律这一重要规律我们也要关注其在生活实际中的应用，学会建构模型、科学推理。

3.动量和能量综合考查是高考命题的热点，在选择题和计算题中都可能出现，选择题中可能考查动量和能量知识的简单应用，计算题中一般结合竖直面内的圆周运动模型、板块模型或弹簧模型等压轴考查，难度较大。

此类试题区分度较高，且能很好地考查运动与相互作用观念、能量观念动量观念和科学思维要素，因此备考命题者青睐。

题型一人船模型1．模型简析：如图所示，长为L 、质量为m 船的小船停在静水中，质量为m 人的人由静止开始从船的一端走到船的另一端，不计水的阻力。

以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向不受外力作用，所以整个系统动量守恒，可得m 船v 船=m 人v 人，因人和船组成的系统动量始终守恒，故有m 船x 船=m 人x 人，由图可看出x 船+x 人=L ，可解得x 人=m 船m 人+m 船L ，x 船=m 人m 人+m 船L 。

2．模型特点(1)两个物体作用前均静止，作用后均运动。

(2)动量守恒且总动量为零。

3．结论：m 1x 1=m 2x 2(m 1、m 2为相互作用物体的质量，x 1、x 2为其对地位移的大小)。

题型二“物块-弹簧”模型模型图例m 1、m 2与轻弹簧(开始处于原长)相连，m 1以初速度v 0运动两种情景1.当弹簧处于最短(最长)状态时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大：(1)系统动量守恒：m 1v 0=(m 1+m 2)v 共。

210212共pm 2.当弹簧处于原长时弹性势能为零：(1)系统动量守恒：m1v0=m1v1+m2v2。

“一动一静”碰撞模型及解题技巧(经典）一、“一动一静”完全非弹性碰撞模型 建立模型在光滑水平面上，质量为的物体以初速度去碰撞静止的物体，碰后两物体粘在一起具有共同的速度，这种碰撞称为“一动一静”完全非弹性碰撞，此时系统动能损失最大。

（1）基本特征碰后两物体速度相等，由动量守恒定律得：（2）功能关系系统内力做功，实现系统动能与其它形式能量的转化。

当两物体速度相等时，系统动能损失最大，即：()2212112121v m m v m E k +-=∆二、 应用（1）滑动摩擦力做功，系统动能转化为内能例1. 在光滑水平面上，有一静止的质量为M 的木块，一颗初动量为的子弹mv 0，水平射入木块，并深入木块d ，且冲击过程阻力(f )恒定。

解析：()m v m m v 1112=+()2212121v m M mv E +-=得：21)(2v M m mM E +=例2.如图所示，质量为M 的长木板静止在光滑水平面上，质量为m 的小物块以水平速度v0从长木板左端开始运动，为使小物块不从长木板右端滑落，长木板至少多长？分析：小物块不从长木板上滑落的临界情况是，当小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度，符合“一动一静”完全非弹性碰撞模型，系统损失的动能转化为系统产生的内能，结合摩擦生热公式可解出长木板的长度。

解：小物块不从长木板上滑落的临界情况是小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度。

据动量守恒定律：()v m M mv +=0据能量的转化与守恒：220)(2121v m M mv mgL +-=μ联立解得：)(220m M g Mv L +=μ 即为长木板的最小长度例3.光滑水平面上静止一长木板A ，A 的两端各有一竖直挡板。

另有一木块B （可视为质点）以的初速度v1=5m/s 向右运动，如图所示。

若A 与B 之间的动摩擦因数μ=0.05，且A 与B 的质量相等，求B 在A 上滑行的总路程（假设B 与挡板碰撞时无机械能损失）。

“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用简谐运动在高中阶段的物理学习中占据重要地位，其中“弹簧双振子模型”是师生共同面对的较为艰深的问题，出错率较高，在物理竞赛中是重要的考点。

“弹簧双振子模型”是简谐运动的理想模型。

该模型在运动过程中，设计机械能转化、动量、周期性变化等内容，是物理竞赛中频繁出现的知识，目的就是为了考验参赛者对于各部分知识的综合运用能力。

笔者将在下文探讨“弹簧双振子模型”的含义以及该模型在物理竞赛中的应用。

标签：弹簧双振子模型；物理竞赛；应用；动量；机械能一、“弹簧双振子模型”的含义振动是自然界中常见的物理现象，物理教学中对于振动部分的教学，一般将其提炼为质点沿弹簧方向振动的模型进行讨论。

实际生活中，较为理想的影响因素较少的简谐运动并不常见，质点除了在弹簧方向的振动以外，还会受到不同方向外力影响。

例如两个孩子手拉手在冰面上活动，冰面情况不可能为理想的阻力为零的情况。

对于这类问题，可以建立弹簧双振子模型进行研究，讨论其在其他方向的小振幅振动。

“弹簧双振子模型”一般由一个弹簧与两个振子组成。

振子质量远远大于弹簧质量，研究模型时忽略弹簧质量对模型的影响。

弹簧对振子产生的力为变力，力随着弹簧拉升压缩不停变化，振子运动遵循胡克定律，为简谐运动。

如果力是一直变化的，那么运用牛顿力学定律解决问题则不太实用，经典力学所需条件较为理想，采用动量守恒与能量守恒部分知识更容易解决弹簧双振子模型的问题。

近年来的物理竞赛频频出现“弹簧双振子模型”相关问题，表明了竞赛思想在于锻炼学生知识综合运用能力。

二、高中物理中弹簧特性在高中物理阶段，弹簧的弹力是变力，弹簧产生的弹力遵循胡克定律：F=-kx。

其中x是弹簧形变的大小而非弹簧的位移，符号表示的是弹簧的弹力与形变方向是相反的。

中学阶段，学生已经学习了势能知识，弹簧具有弹性势能，弹性势能的表达式为对于量是没有要求的，这就要求在高中物理阶段需要定量探讨弹簧问题，需要通过动量守恒、能量守恒等知识来进行量化。

动量中的弹簧模型
在物理学中，动量是一个非常重要的概念，它描述了物体运动的状态。

而弹簧模型则是用来描述力的作用和物体运动的一种模型。

在弹簧模型中，弹簧被视为一种可以存储和释放能量的装置。

当物体受到外力作用时，弹簧会被压缩或拉伸，存储着一定的能量。

当外力消失时，弹簧会释放这些能量，推动物体运动。

弹簧模型可以应用于很多场合，例如弹簧缓冲器、弹簧秤等等。

在动量中，弹簧模型可以用来描述碰撞过程中的能量转换和动量守恒。

当两个物体碰撞时，它们之间会产生相互作用力。

这些力会使得物体运动状态发生改变，其中一部分能量被转化为弹簧的势能。

随后，弹簧会释放这些能量，推动物体继续运动。

在碰撞过程中，动量守恒是一个非常重要的原理。

它表明，在一个系统中，总动量不会改变。

因此，当两个物体碰撞时，它们之间的总动量必须相等。

根据弹簧模型，我们可以计算出碰撞前后弹簧的能量变化，进而确定碰撞后物体的运动状态和速度。

总之，弹簧模型是一个非常重要的物理学模型，它可以应用于很多不同的场合。

在动量中，弹簧模型可以用来描述碰撞过程中的能量转换和动量守恒。

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19 碰撞类模型 子弹打木块模型 板－块模型1．三类碰撞的特点(1)弹性碰撞：动量守恒、机械能守恒； (2)非弹性碰撞：动量守恒、机械能损失； (3)完全非弹性碰撞：动量守恒、机械能损失最多． 2．碰撞现象满足的规律(1)动量守恒：p 1＋p 2＝p 1′＋p 2′； (2)动能不增加：E k1＋E k2≥E k1′＋E k2′； (3)速度要符合实际情况若碰前两物体同向运动，则应有v 后>v 前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v 前′≥v 后′. 3．弹性碰撞的“一动碰一静”模型 (1)满足的规律：由动量守恒和能量守恒得， m 1v 0＝m 1v 1＋m 2v 2 12m 1v 02＝12m 1v 12＋12m 2v 22； (2)碰后的速度：v 1＝m 1－m 2m 1＋m 2v 0，v 2＝2m 1m 1＋m 2v 0；(3)特例分析：当两球质量相等时，两球碰撞后交换速度．1．弹性碰撞模型的拓展 (1)“滑块－弹簧”模型 (如图1)图1①注意临界条件：弹簧压缩到最短或伸长到最长时，两滑块同速，弹簧的弹性势能最大． ②从开始压缩弹簧到弹簧恢复原长的过程，可看成弹性碰撞过程，恢复原长时，v 1＝m 1－m 2m 1＋m 2v 0，v 2＝2m 1m 1＋m 2v 0；(2)“滑块－斜面”模型(如图2)图2①水平方向动量守恒；②注意临界条件：滑块沿斜面上升到最高点时，滑块与斜面同速，系统动能最小，重力势能最大；③从滑块以v 0滑上斜面再滑下到分离的过程，可看成弹性碰撞过程，滑块离开斜面时，v 1＝m 1－m 2m 1＋m 2v 0，v 2＝2m 1m 1＋m 2v 0.(3)“小球－圆弧槽”模型 (如图3)图3①水平方向动量守恒；②小球滑上圆弧槽并从顶端离开圆弧槽时，小球与圆弧槽水平速度相同，离开后二者水平位移相同，小球会沿切面再进入圆弧槽；③从小球以v 0滑上圆弧槽再滑下到分离的过程，可看成弹性碰撞过程，小球离开圆弧槽时，v 1＝m 1－m 2m 1＋m 2v 0，v 2＝2m 1m 1＋m 2v 0.2．子弹打木块模型(1)若子弹射入静止在光滑的水平面上的木块中并最终一起运动，动量守恒，机械能减少； (2)系统产生的内能Q ＝F f ·x相对，即二者由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与二者相对滑动路程的乘积，即打入的洞的深度；(3)若子弹速度较大而射穿木块，系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔE k ＝F f ·L (L 为木块的长度)．3．“滑块－木板”模型(如图4)图4(1)木板放在光滑水平面上，无外力作用下，滑块和木板组成的系统动量守恒，系统机械能减少；(2)系统产生的内能Q ＝F f ·x 相对＝ΔE k 系统减少(3)若滑块从木板一端滑到另一端，x 相对＝L ，系统损失的动能ΔE k ＝F f ·L . (4)说明：①只有水平面光滑，系统的动量才守恒．②滑块与木板不相对滑动时，滑块与木板达到共同速度．示例1 (小球－圆弧槽模型)(多选)如图5所示，在光滑水平面上停放着质量为m 、装有弧形槽的小车．现有一质量也为m 的小球以v 0的水平初速度沿切线水平的槽口向小车滑去(不计摩擦)，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则( )图5A ．小球在小车上到达最高点时的速度大小为v 02B ．小球离开车后，对地将向右做平抛运动C ．小球离开车后，对地将做自由落体运动D ．此过程中小球对小车做的功为12m v 02答案 ACD解析 小球到达最高点时，小车和小球相对静止，且水平方向总动量守恒，小球离开小车时类似弹性碰撞，由于二者质量相同，分离时二者速度互换，故A 、C 、D 正确．示例2 (滑块－弹簧模型)如图6所示，一轻弹簧的两端分别与质量为2m 、3m 的B 、C 两物块固定连接，放在光滑水平面上，开始时物块C 被锁定．另一质量为m 的小物块A 以速度v 0与B 发生弹性正碰(碰撞过程中没有机械能的损失，碰撞时间极短可忽略不计)．当弹簧再次恢复原长时物块C 的锁定被解除，所有过程都在弹簧弹性限度范围内．求：图6(1)弹簧第一次被压缩至最短时弹簧的弹性势能； (2)弹簧第一次伸长到最长时弹簧的弹性势能． 答案 (1)49m v 02 (2)415m v 02解析 (1)由于A 与B 发生弹性碰撞，得：m v 0＝m v A ＋2m v B 12m v 02＝12m v A 2＋12·(2m )·v B 2 解得： v A ＝－13v 0，v B ＝23v 0可知：A 与B 碰后A 被弹回，B 向左运动压缩弹簧．以物块B 和弹簧组成的系统机械能守恒，在弹簧压缩到最短时，有： E p1＝12×2m v B 2解得：E p1＝49m v 02(2)当弹簧恢复原长，物块C 刚解除锁定时，物块B 刚好以23v 0的速度向右被弹回．以物块B 、C 和弹簧组成的系统，当B 、C 第一次共速时弹簧第一次伸长到最长： 2m v B ＝(2m ＋3m )v12(2m )v B 2＝12(2m ＋3m )v 2＋E p2 解得： E p2＝415m v 02.示例3 (滑块—木板模型)如图7所示，一质量为m 1＝0.45 kg 的平板小车静止在光滑的水平轨道上．车上表面右端放一质量m 2＝0.5 kg 的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ＝0.5.现有一质量m 0＝0.05 kg 的子弹以v 0＝100 m/s 的水平速度射中小车左端，并留在车中，子弹与车相互作用时间很短．g 取10 m/s 2，求：图7(1)子弹刚刚射入小车时，小车的速度大小v 1； (2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少． 答案 (1)10 m/s (2)5 m解析 (1)子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m 0v 0＝(m 0＋m 1)v 1， 解得v 1＝10 m/s.(2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与车共速时，共同速度为v 2，两者相对位移大小为L ，由动量守恒定律和动能定理有： (m 0＋m 1)v 1＝(m 0＋m 1＋m 2)v 2μm 2gL ＝12(m 0＋m 1)v 12－12(m 0＋m 1＋m 2)v 22解得L ＝5 m故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5 m.审题技巧 答题规范示例4 如图8所示，在竖直平面内，质量为m 1＝0.1 kg 的小球A 用长为L ＝0.5 m 的不可伸长的细线悬挂于O 点，光滑水平地面到O 点的距离为h ＝0.5 m ，在O 点正下方放置一质量为m 2＝0.1 kg 的小球B .C 为一固定的半径为R ＝0.1 m 的光滑半圆弧槽．把小球A 拉到图示位置，细线恰好伸直，且细线与竖直方向的夹角α＝37°.由静止释放小球A ，当细线再次伸直时，小球沿细线方向的速度瞬间变为0.两小球的碰撞为弹性碰撞，且两球都可视为质点，忽略空气阻力，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.图8(1)求小球A 由静止释放后，细线再次伸直前瞬间，小球A 的速度大小；(2)判断小球B 能否到达半圆弧槽最高点D ，如果不能，请说明理由；如果能，求出小球B 对半圆弧槽D 点的压力大小． 解题指导。

相互作用的两个物体在很多情况下运动特征与碰撞问题类似，可以运用动量、能量守恒来分析，物块弹簧模型是一类典型的问题。

我们首先结合下面的例子，说明如何分析物块弹簧模型的运动情景。

【问题】如图所示，物块B 左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，A 物体以速度0v 向B 运动，假设A 与弹簧接触之后立即与弹簧粘连在一起不再分开，那么此后A 、B 与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢？【分析】A 、B 的运动涉及追及相遇问题，重点要把握住：两物体距离最近（弹簧最短）或最远（弹簧最长）时二者的速度相等。

⑴ 弹簧刚开始被压缩的过程中，B 受到弹簧的弹力向右做加速运动，A 受到弹力做减速运动，开始时A 的速度大于B 的速度，弹簧一直被压缩；⑵ 当A B 、的速度相等时，弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大；⑶ 此后由于A 继续减速，B 继续加速，B 的速度开始大于A 的速度，弹簧压缩量逐渐减小；⑷ 当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度减至最小，B 的速度增至最大；⑸ 此后弹簧开始伸长，A 做加速运动，B 做减速运动；⑹ 当弹簧伸长至最长时，A B 、的速度再次相等，弹簧的弹性势能最大；⑺ 此后A 继续加速，B 继续减速，弹簧逐渐缩短至原长；⑻ 当弹簧再恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度增至最大，B 的速度减至最小。

此后将重复上述过程。

上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景。

如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此，我们可以从动量和能量的角度来分析问题。

设任意时刻A 、B 的速度分别为A v 、B v ，弹簧的弹性势能为p E 。

由动量守恒可得：0A A A B B m v m v m v =+；由能量守恒可得：2220p 111222A A AB B m v m v m v E =++；由此可以求解整个运动过程中各种速度及弹性势能的极值问题，具体结果请同学们自己分析。