一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1B ．105C ．3105D ．22．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（ ） A ．322-B ．32C ．23D ．322+3．已知直线l 的参数方程为2222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．24．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．15．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．6．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρ2cos θ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．577．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,13⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦9．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离10．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．11．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．2404424b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为2cos 4s 0()in ρθθρ≥＝，直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||||AF BF 的值为________．15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．已知椭圆22:1,3x C y +=过C 上一点(P 第一象限)的直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,.A B 若1PA =，则PB 的值为___________. 17．实数x ，y 满足223412x y +=，则2x 的最大值______． 18．已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线1C 、曲线2C 的交点为,,A B 则弦AB 的长为______.19．已知抛物线的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________.20．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题21．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长． 22．已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.24．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.25．已知直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求出直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()0,4P -，求PA PB +的值．26．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴105d ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．A解析：A 【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -. 【详解】 将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-= ，圆心C 为(1,1) ，半径2r.已知直线:60l x y -+=，那么，圆心C 到直线l 的距离为d r ==> ，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l 的距离的最小值为2d r -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.3．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案； 【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l 过点(22,0)-，其参数方程为22(22x m t ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则22m =-，将直线l 的参数方程222222x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=， 则12||||||2FA FB t t ==． 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．4．A解析：A 【分析】根据Q 点坐标得到点Q 满足的参数方程，从而得到Q 点所在的直线方程l ，因此将求PQ 最小值问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B （1，0）到直线l 距离最小，从而求出PQ 的最小值. 【详解】因为(43,31)Q m m +-，则点Q 满足的参数方程为43{31x m y m =+=-（m 为参数），消去参数得到普通方程为l ：34130x y --=，则问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，如图：由图可知当P 点与B 点重合时到直线l 的距离最小，而B 点为（1，0），B 到l 的距离为d ，所以min 223013102534PQ d --====+， 答案为A. 【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化．这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.5．A解析：A 【解析】 【分析】首先将参数方程化为普通方程，然后确定其离心率即可. 【详解】消去参数可得普通方程为，即，则该曲线为双曲线，且，故.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查参数方程化为直角坐标方程，离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：222l r d =-l ．详解：直线415(t 315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρ2cos θ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心112()22C r -，，＝圆心C 到直线距离22113411221034d ⨯-⨯+==+ ， ∴直线被圆所截的弦长2275l r d =-＝． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：222l r d =- 是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩ 22211x y ∴-+-=（）（），其中[12]y ∈， 由题意作出图形，111y x y x x+--=+， 令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB 中，3303ACB k ∠=︒⇒=， 由图形知，k 的取值范围是3[0，．则1y x x +-的取值范围是31,1⎡+⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．8．C解析：C 【解析】由sin cos x αα=-可有2sin 2,24x πα⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，又因为2sin cos y αα=，所以21x y =-，即21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦，故选择C.9．B解析：B 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)22102519d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选B. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.10．A解析：A 【解析】试题分析：把各个点的坐标代入圆的方程进行检验，因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上；故答案选．考点：圆的极坐标方程．11．A解析：A 【分析】设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，将2cos ,sin x y b θθ==代入22x y +中整理化简求最值． 【详解】解：设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，则222224cos 2sin 2sin 424b b x y b θθθ⎛⎫+=+=--++ ⎪⎝⎭．当04b <时，()22max244b x y +=+； 当4b >时，()222max224224b b x y b ⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭．故选：A ． 【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题．12．B解析：B 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】先将圆化为普通方程直线与交于两点转化为圆心到直线的距离小于半径求得的取值即可【详解】因为的参数方程为（为参数）可得是以（00）为圆心半径r=1的圆当时直线l 与圆有2个交点；当设直线l ：要使直解析：344ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】先将圆化为普通方程，直线l 与O 交于A ，B 两点，转化为圆心到直线的距离小于半径，求得α的取值即可. 【详解】因为O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），可得221x y +=是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆 当2πα=时，直线l 与圆有2个交点； 当2πα≠，设直线l：0y kx kx y =-=要使直线l 与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径，1<解得1k <-或1k >所以α的取值范围为3(,)(,)4224ππππ 综上所述，α的取值范围3(,)44ππ【点睛】本题考查了参数方程和直线与圆的位置关系，解题的关键在于转化，易错点是没有考虑直线斜率不存在的情况，属于中档题型.14．【解析】【分析】得出抛物线的直角坐标方程为直线的方程为联立方程组利用根与系数的关系求得利用抛物线的定义即可求解得到答案【详解】由抛物线的极坐标方程为直线的参数方程为（为参数）可得抛物线的直角坐标方程解析：163【解析】【分析】得出抛物线C 的直角坐标方程为24x y =，直线l 的方程为)1x y =-，联立方程组，利用根与系数的关系，求得12103y y +=，利用抛物线的定义，即可求解，得到答案． 【详解】由抛物线C 的极坐标方程为()2cos 4sin 0ρθθρ≥＝，直线l 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t为参数），可得抛物线C 的直角坐标方程为24x y =，直线l的方程为)1x y =-， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则由)241x y x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得12103y y +=，又直线过抛物线的焦点()0,1F ，所以12101611233AF BF y y +=+++=+=. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及抛物线的定义应用，其中解答中把根据互化公式，化简得到抛物线和直线的直角坐标方程，再利用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【解析】直线的参数方程为为参数）消去参数得则直线的斜率为故答案为 解析：34-【解析】直线l 的参数方程为14(13x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数）∴消去参数t 得()3114y x -=--，则直线l 的斜率为34-，故答案为34-.16．【分析】设设直线的标准参数方程根据得倾斜角然后求出点对应的参数得【详解】由题意设直线的倾斜角为则的方程为（为参数）因为所以则因为所以又则即故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查直线的参数方程直线的参数【分析】设(cos ,sin )P θθ，(0,)2πθ∈，设直线l 的标准参数方程，根据1PA =得倾斜角，然后求出B 点对应的参数t ，得PB ． 【详解】由题意设,sin )P θθ，(0,)2πθ∈，直线l 的倾斜角为α，则,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，l 的方程为cos sin sin x t y t θαθα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），因为1PA =，所以1=-A t ，则sin sin 0A y θα=-=，sin sin αθ=， 因为(0,)2πθ∈，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos αθ=-，又cos 0B B x t θα=+=，则B t ==PB =【点睛】思路点睛：本题考查直线的参数方程．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），中00(,)P x y ，则直线上任一点Q 对应的参数t 满足PQ t =，如果PQ 是向上方向，t 为正，PQ 是向下方向，t 为负，其中α是直线的倾斜角．利用参数t 的几何意义可解决直线的距离问题．17．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy解析：【解析】分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ=+，进而分析可得()25sin x θα=+，由三角函数的性质分析可得答案．详解：根据题意，实数x ，y 满足223412x y +=，即22143x y +=，设2cos x θ=，y θ=，则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又由()15sin 1θα-≤+≤，则525x -≤≤，即2x 的最大值5； 故答案为5．点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．18．【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线的直角坐标方程联立方程组求得点的坐标利用两点间的距离公式即可求解的长详解：由将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:即故为圆心为半径为的圆:即表解析：【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线12,C C 的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解AB 的长. 详解：由222x y ρ=+,tan =yxθ,将曲线1C 与2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为1C :226x y x +=,即()2239x y -+=,故1C 为圆心为(3,0),半径为3的圆, 2C :=4πθ,即y x =,表示过原点倾斜角为4π的直线， 因为226y xx y x =⎧⎨+=⎩的解为1100x y =⎧⎨=⎩，2233x y =⎧⎨=⎩，所以AB = 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.19．8【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立消去根据韦达定理求得的值进而根据抛物线的定义可知求得答案【详解】抛物线的参数方程为普通方程为抛物线焦点为且直解析：8 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p pAB x x =+++， 求得答案． 【详解】抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x =，抛物线焦点为()1,0 ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以126x x +=， 根据抛物线的定义可知|121262822A p px x x x p B +++=++=+==， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得AB 值，从而解决问题.20．1【解析】试题分析：曲线则所以可得直角坐标系方程为将直线的参数方程代入抛物线方程得：若成等比数列所以化简得又因为所以考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题解析：1 【解析】曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，则，所以可得直角坐标系方程为22y ax ，将直线的参数方程代入抛物线方程得：2t (82)1640a t a -+++=121282,164t t a t t a +=+⋅=+若,,PM MN PN 成等比数列，所以22212121212||,()()4MN PM PN t t t t t t t t =∴-=+-=，化简得2(4)5(4)a a +=+又因为04a a ><-或，所以1a =． 考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题．三、解答题21．（1）x 2＋y 2＝16.(2)37【分析】(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2) 将直线l 的参数方程代入曲线C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长. 【详解】解：(1)由曲线C ：44x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩得x 2＋y 2＝16，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋3－9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－3t 1t 2＝－9. |AB |＝|t 1－t 2|27+36=37【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数几何意义求弦长，考查基本求解能力. 属于基础题.22．（1）2213x y +=；40x y --=（2）32【分析】（1）利用平方关系消参得出出曲线C 的普通方程，将cos()224πρθ+=展开得出cos sin 4ρθρθ-=，即可得出直线l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程设出点P 的坐标，由点到直线的距离公式结合余弦函数的性质，即可得出点P 到直线l 距离的最大值.（1）因为2222cos sin 13⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭x y θθ，所以曲线C ：2213x y +=；因为cos()224πρθ+=，所以cos sin 4ρθρθ-=，即直线l ：40x y --=.（2）设点(3cos ,sin )P θθ 则点P 到直线l 距离2cos()43cos sin 4262d πθθθ+---==当cos()16πθ+=-，即56πθ=时，d 取最大值6322= 故点P 到直线l 距离的最大值为32. 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，利用圆锥曲线的参数方程解决点到直线的距离问题，属于中档题.23．（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）122 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为32cos 42324sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=-⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2122320t t ++=，因为1232t t =，12122t t +=2212||||||122C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 24．（1）l ：sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=，C ：22231x y ；（2）(]2,6.【分析】（1）根据消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程；（2）直线l 参数方程与曲线C 的直角方程联立，结合直线参数方程的几何意义和根与系数关系，将22PA PB +表示为关于α的函数，通过确定α的取值范围，即可求解. 【详解】（1）因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=.因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以曲线C 的直角坐标方程2246120x y x y +--+=， 即22231x y .（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，22cos α1sin α11t t ，整理得关于t 的方程()22sin cos 10t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解， 设为1t ，2t ，则()122sin cos t t αα+=+，121t t =. 并且()24sin cos 48sin cos 0αααα∆=+-=>， 注意到0απ≤<，解得02πα<<，故可知10t >，20t >，因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有()222221212122PA PB t t t t t t +=+=+-()24sin cos 24sin 22ααα=+-=+，因为02πα<<，所以(]sin 20,1α∈，(]4sin 222,6α+∈.因此22PA PB +的取值范围是(]2,6. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，应用直线参数方程的几何意义是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.25．（Ⅰ）l 普通方程为40x y --=；C 的直角坐标方程为2240x y x +-=；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t,即得l 的普通方程，由4cos ρθ=得24cos ρρθ= 结合极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆:C 2240x y x +-=，利用直线的参数方程的几何意义，可得12PA PB t t +=+，结合韦达定理，即得解. 【详解】解: （Ⅰ）直线l的参数方程42x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消参后可得l 普通方程为40x y --=由4cos ρθ=得24cos ρρθ=C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（或者()2224x y -+=）（Ⅱ）由直线l 的参数方程，可知直线l 过点()0,4P - 将直线l 的参数方程代入圆:C 2240x y x +-=，并整理得2160t +-=解得121216t t t t +== 所以12,0t t >12PA PB t t +=+=【点睛】本题考查了极坐标、参数方程综合，考查了参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标的互化，以及直线的参数几何意义的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.26．（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2212xy +=．（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB =，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围． 【详解】 解：（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴直线l 的倾斜角为4π，且经过原点，故直线的直角坐标方程为y x =，曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=．（2）设点0(M x ，0)y 及过点M的直线为0102:2x x l y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=，8||||3MA MB =， 2200228332x y +-∴=，即：220026x y +=，∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．取y x m =+代入22x得：2234220x mx m ++-=由0∆解得33m故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x = 【点睛】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．。
