人教A版高中数学选修2-1课件：2.4.1抛物线及其标准方程

2.4 抛物线及其标准方程（一）

教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.

教学重点：求出抛物线的方程.

教学难点：抛物线标准方程的推导过程.

教学过程：

一、复习准备：

1、提问：你能回顾一下在椭圆、双曲线中学过的动点、定点、定直线吗？

2、讨论：若一个动点(,)pxy到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

二、讲授新课：

1、教学抛物线

① 定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

(定义的实质可归纳为”一动三定”)

② 抛物线的标准方程:

22(0)ypxp 焦点坐标是( ,0)2pF 准线方程是x=-2p

22(0)ypxp 焦点坐标是( ,0)2pF 准线方程是x=2p

22(0)xpyp 焦点坐标是(0, )2pF 准线方程是y=-2p

22(0)xpyp 焦点坐标是(0, )2pF 准线方程是y=2p

2、教学例题：

①出示例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1) 焦点坐标是(5,0 )F

(2) 经过点(3,2 )A

(3) 焦点在直线240xy上

（抛物线草图----抛物线方程---参数p）

②变式训练:求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线0

210xy所得的弦长为15的抛物线的方程.

③出示例2：已知抛物线的标准方程是(1)28yx,(2) 28yx, 求它的焦点坐标和准线方程

（教师示范 → 学生板演 → 小结）

3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程.

三、巩固练习：

１.根据下列条件写出抛物线的标准方程:

(1)焦点坐标是(0,4)

(2)准线方程是y=4

２. 抛物线2(0)yaxa

3.作业：课本P69 1、2题

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义

知识讲解1．抛物线的定义

【概念】

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，

比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥

曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换

下，也可看成二次函数图象．

【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．

【性质】

我们以y2＝2px（p＞0）为例：

①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂

直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．

【实例解析】

例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为

解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，

∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），

∴|PQ|＝＝＝，

∴当x＝，即P（）时，

|PQ|取最小值．故答案为：．

这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最

值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．

例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线

的准线的距离之和的最小值是．

解：如图所示，

设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．

过点P作PM⊥l，垂足为M．

则|PM|＝|PF|．

设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．

∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．

即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．

这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，

然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了

1 2.4.1 抛物线及其标准方程

屯溪一中 丁 俊

一、三维目标

（一）知识与技能

（1）掌握抛物线的定义、几何图形；

（2）会推导抛物线的标准方程；

（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程。

（二）过程与方法

通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力、运算能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会类比、对称和变换的思想，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

（三）情感态度与价值观

进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型图片，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生感到数学美，陶冶了情操。

二、教学重点

抛物线的定义及标准方程

三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）

四、教学过程

1.情景导入

情境导入（吸引学生的注意力，激发学生的学习热情）

这就是我们今天要研究的内容。

（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）

2、新课引入

图片展示（增强学生的感性认识，培养学生美的情操，以愉悦的心情进入今天的课堂）

3、新授课：

（1）复习切入：我们刚刚学习过椭圆和双曲线这两种曲线，我们知道,椭圆、双曲线都有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上)edMF

当10e时，轨迹是椭圆，当1e时轨迹是双曲线

那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？（类比设置疑问，激发学生探索新知）

（2）、动手感知：让学生动手操作（激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯，培养学生合作、交流的能力和团队精神）

§8.5.1抛物线及其标准方程(王)

一、教学目标：

1.掌握抛物线的定义及标准方程，能根据条件确定抛物线的标准方程.

2.培养分析能力、归纳能力、推理能力.

二、教学重点与难点：

重点：抛物线的定义和标准方程.

难点：抛物线标准方程的推导.

三、教学内容：

（一）复习

1.椭圆、双曲线的第二定义.

2.椭圆、双曲线标准方程？

3.问题：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e=1的点的轨

迹是什么曲线？

（二）新课

1.知识点：

抛物线的定义

抛物线的焦点、准线

抛物线的标准方程 2.例题分析：

（1）求适合下列条件的抛物线的标准方程.

①过点（-3，2）

②焦点在直线x-2y-4=0上.

（2）已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程.

①y=6x2 ②y=ax2

（3）已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点

M的轨迹方程.

（4）如图所示，直线L1和L2相交于点M，L1⊥L2，点NL1，以A、B为端点

的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若⊿AMN锐角三角

形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

（98高考）

y

B

A

L1 M

N x L2