测量平差练习题及答案

-

- -

- .可修编 . 计算题

1、如图，图中已知A、B两点坐标，C、D、E为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。

解：观测值个数 n=12，待定点个数t=3，多余观测个数r=n-2t=6

① 图形条件4个：

)180(0)180(0)180(0)180(0121110121110987987654654321321LLLwwvvvLLLwwvvvLLLwwvvvLLLwwvvvddccbbaa

② 圆周条件1个：

)360(0963963LLLwwvvvee

③ 极条件1个：

)sinsinsinsinsinsin1(0cotcotcotcotcotcot852741774411885522LLLLLLwwvLvLvLvLvLvLff

3、如图所示水准网，A、B 、C三点为已知高程点， D、E为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。

用间接平差法计算未知点D、E的高程平差值及其中误差； - -

-

- .可修编 . ACBDh1h2h3h4h5Eh6

高差观测值/m 对应线路长度/km 已知点高程/m

h1= -1.348

h2= 0.691

h3= 1.265

h4= -0.662

h5= -0.088

h5= 0.763 1

1

1

1

1

1 HA=23.000

HB=23.564

CB=23.663

3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；

选D、E平差值高程为未知参数21ˆˆXX、

则平差值方程为：

1615142322211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆXHhHXhHXhHXhHXhXXhAABAB

则改正数方程式为： - -

-

- .可修编 . 6165154143232221211ˆˆˆˆˆˆˆlxvlxvlxvlxvlxvlxxv

取参数近似值 255.24907.2220221011hHXhhHXBB、

令C=1，则观测值的权阵：

10111101P

010101101011B7551000)()()()()()()(016015014023022020110654321XHhHXhHXhHXhHXhXXhdBXhlllllllCABAB

组法方程0ˆWxN，并解法方程：

3114PBBNT107PlBWT

311074113111ˆ1WNx

求D、E平差值：

mxXXHmxXXHDC258.24ˆˆˆ906.22ˆˆˆ20221011

2）求改正数： -

- -

- .可修编 . 664734ˆlxBv

则单位权中误差为：

mmrpvvT36.64162ˆ0

则平差后D、E高程的协因数阵为：

41131111ˆˆNQXX

根据协因数与方差的关系，则平差后D、E高程的中误差为：

mmmmQmmmmQED84.311229ˆˆ32.322669ˆˆ220110

4、如图，在三角形ABC中，同精度观测了三个内角：4000601L，5000702L，7000503L，按间接平差法列出误差方程式。

解：必要观测数t=2，选取1L、2L的平差值为未知数1ˆX、2ˆX，并令101LX、202LX，则 -

- -

- .可修编 . 222022111011ˆˆxLxXXxLxXX

16ˆˆ180ˆˆˆˆ180ˆˆ213213222211112133222111xxLXXvxLXvxLXvXXvLXvLXvL

5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。

解：观测值个数n=8，待定点个数t=2，多余观测个数42tnr

3个图形条件，1个极条件。

)sinsinsinsinsinsinsinsin1(0cotcotcotcotcotcotcotcot)180(0)180(0)180(0753186428877665544332211876587656543654343214321LLLLLLLLwwvLvLvLvLvLvLvLvLLLLLwwvvvvLLLLwwvvvvLLLLwwvvvvddccbbaa

6、如下图所示，为未知P点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A、B为已知点。

1）试在误差曲线上作出平差后PA边的中误差，并说明；

2）试在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差，并说明； - -

-

- .可修编 . 3）若点P点位误差的极大值E＝5mm，极小值F＝2mm，且52F,试计算方位角为102º的PB边的中误差。

解：1）在误差曲线上作出平差后PA边的中误差；

连接PA并与误差曲线交点a，则Pa长度为平差后PA边的中误差

PaPAˆ

2）在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差；

作垂直与PA方向的垂线Pc，作垂直与Pc方向的垂线cb，且与误差椭圆相切，垂足为c点，则Pc长度为平差后PA边的横向误差PAuˆ

则平差后PA方位角的中误差：

PAPAuSPcSPAPAˆˆ

3）因为52F

则：142E

则：40142102E

所以：

323.16)40(sin*4)40(cos*25sincosˆˆ22222222FE A

B P a

c b - -

-

- .可修编 . 方位角为102º的PB边的中误差：mm04.4ˆˆ

证明题

如下图所示，A，B点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

h1h2SAB

证明：设水准路线全长为S，h1水准路线长度为T，则h2水准路线长度为S-T；

设每公里中误差为单位权中误差，则

h1的权为1/T，h2的权为1/(S-T)；则其权阵为：

)/(100/1TSTP

平差值条件方程式为：

HA+0ˆˆ21HBhh

则 A=( 1 1 )

SAAPNT1

由平差值协因数阵：LLTLLLLLLAQNAQQQ1ˆˆ

则高差平差值的协因数阵为： - -

-

- .可修编 . 1111)(1ˆˆSTSTAQNAQQQLLTLLLLLL

则平差后P点的高程为：

211ˆˆ01ˆhhHhHHAAP

则平差后P点的权倒数（协因数）为

STSTfAQNAfQffQQTLLTLLTLLP)(1

求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T求导令其等零，则

02STS T=S/2