七年级下压轴题专题训练 北师大版

七年级下压轴题专题训练 北师大版

七年级数学下学期试题

七年级下压轴题专题训练1

1．如图，四边形中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=． 求证：∠=90°；

若EN平分∠交AD于N，试判断△的形状并证明；

在问的条件下，猜想：△与四边形的面积有何数量关系？并说明理由．

证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠=∠=90°， ∵在△和△中，

AB=CE ∠=∠ CD= ， ∴△≌△， ∴∠=∠，

∵∠+∠=90°， ∴∠+∠=90°， ∴∠=90°；

解：△为等腰直角三角形， 证明：∵△≌△， ∴AE=DE，∠=∠， ∵∠=90°，

∴△为等腰直角三角形， ∵EN平分∠，

∴∠=∠=45°，EN⊥AD， ∴∠=∠，=EN， ∵在△和△中，

AB=EC ∠=∠ =EN ，

∴△≌△， ∴NB=NC，∠=∠， ∵∠+∠=90°， ∴∠+∠=90°， ∴△为等腰直角三角形；

解：2S△=S梯形．理由如下： 作NM⊥BC，

∵△为等腰直角三角形，EN平分∠， ∴N点为AD的中点，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC， ∴AB∥CD∥MN， ∴M点为BC的中点，

1

∴MN为梯形的中位线，NE⊥BC， ∴S△=BC•NE•1/ 2 ， S梯形=BC•NE， ∴2S△=S梯形．

2．已知x，y满足=-5(y-求；x+y-xy． 解：∵=-5， ∴x-4y=-5y+6，∴x2+y2=6，

∵2x+4=0，∴2xy-2x+2x-4=0，∴xy=2， 2=x2+y2-2xy=6-4=2；

x4+y4-x2y2=2-2x2y2-x2y2 =2-3x2y2=36-3×4=24．

3．如图1，在等腰梯形中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．

分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

当线段PQ将梯形分成面积相等的两部分时，x的值是多少？ 在的条件下，设线段PQ与梯形的中位线EF交于O点，那么OE与的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？ 解：等腰梯形中，∠A=∠D，因为PQ∥DC，所以QP=AQ， 当x≤12时，=1 2 x×2 3 x=1 3 x2，

当x＞12时，S梯形=+S平行四边形=48+×8，

所以 S△= 1 3 x2(x≤12) S梯形=S△+S平行四边形=48+(x-12)×8(12＜x≤20) ；

S梯形=1 2 ×8=，

当线段PQ将梯形分成面积相等的两部分时， 即48+•8=56， 解之得，x=13．

如图所示，

①过点B作BM∥PQ，

由得，PD=7=OE，在△中，FN=1 2 =6，=PM=1，所以=7=OE．

2

2

2

22

4

4 2

2

2

61

)，2x(y-1)+4( x-1)=0． 52

研究发现，当直线L经过梯形中位线的中点且与较短的底相交时，它一定平分梯形的面积．

4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠，又因∠是△的外角，故∠=∠+∠D，得∠=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠﹑∠B﹑∠D﹑∠之间有何数量关系？

根据的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△和△，且CA=CD，CB=CE，∠=∠，直线AE与BD交于点F，

如图1，若∠=60°，则∠= ；如图2，若∠=90°，则∠= ；如图3，若∠=°，则∠= ；

如图4，若∠=α，则∠= ．

3

解：如图1，CA=CD，∠=60° 所以△是等边三角形

∵CB=CE，∠=∠=60° 所以△是等边三角形

∵AC=DC，∠=∠+∠，∠=∠+∠ 又∵∠=∠ ∴∠=∠ ∵AC=DC，CE=BC ∴△≌△

∴∠=∠

∠是△的外角 ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=° 如图2，∵AC=CD，∠=∠=90°，EC=CB

∴△≌△ ∴∠=∠，

又∵∠=∠，∠=90° ∴∠=90° ∴∠=90°

如图3，∵∠=∠

∴∠-∠=∠-∠ ∴∠=∠ 又∵CA=CD，CE=CB ∴△≌△

∴∠=∠

∵∠+∠=°-∠=°-=° ∴∠+∠=° ∴∠=60°

故填°，90°，60° ∵∠=∠

∴∠+∠=∠+∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠

∴∠=°-∠=°-∠=°-α．

6、如图1所示：∥DN，AE、DE分别平分∠和∠，并交于E点 过点E的直线分别交、DN于B、C 如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：_______________________________

4

试证明你的猜想

若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程

图1

图2

6、 (1)AD=AB+CD„„„

(2)证明：在AD上截取AF=AB连接EF

∵AE平分∠∴∠=∠在△和△中

AB=AF ∠=∠ AE=AE ∴△≌△„∴∠=∠ ∵ AB∥CD ∴∠+∠=°又∵∠+∠=° ∴∠=∠C ∵DE平分∠∴∠=∠ 在△和△中 ∠=∠C ∠=∠ DE=DE

∴△≌△„ ∴DF=CD ∴AF+DF=AB+CD 即AD=AB+CD 证明：

第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB 在CD上截取DF=AD连接EF

5

∵DE平分∠ ∴∠=∠ 在△和△中 DA=DF ∠=∠ DE=DE

∴△≌△ ∴EA=EF ∠=∠ ∵AE平分∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ 又∵∠+∠=°

∠+∠=° ∴∠=∠ ∵∥DN ∴∠=∠ 在△和△中

∠=∠

∠=∠ EA=EF

∴△≌△ ∴AB=FC ∵DC=DF+FC∴DC=AD+AB

第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD„„„„„„5分 在AB上截取AF=AD连接EF ∵AE平分∠ ∴∠=∠ 在△和△中

AF=AD

∠=∠ AE=AE

∴△≌△ ∴EF=ED ∴∠=∠ ∵DE平分∠ ∴∠=∠ ∴∠=∠ 又∵∠+∠=° ∠+∠=° ∴∠=∠ ∵∥DN ∴∠=∠ 在△和△中

∠=∠

∠=∠ DE=EF ∴△≌△ ∴CD=BF ∵AB=AF+FB∴AB=AD+CD

6

7、如图，在Rt△中，∠C=90°，AC=BC，点P是斜边中点，将一个等腰直角三角板绕点P旋转，三角板的两条直角边与AC、BC交于点D、E，连结PC． 求证：PC平分∠ ； 图中有 个等腰直角三角形，分别是 ； 求证：PD=PE．

CP平分∠

∵AB=AC ，点P是斜边中点 ∴CP平分∠(三线合一) 3个 分别为 ：△、△、△

7

8、如图，在△中，AD平分∠

若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明． 若＝AC，求∠B︰∠C 的比值．

等腰三角形有3个：△，△，△ 证明：∵AC=BC ∴△是等腰三角形

∴∠B=∠

∵∠B︰∠C=2︰1 ∠B+∠+∠C=° ∴∠B=∠=72°，∠C=36°

∵∠=∠=∠=36° ∴∠B=∠=72° ∠=∠C=36°∴△和△是等腰三角形方法1：在AC上截取AE=AB连接DE 又∠=∠，AD＝AD ∴△≌△

∴∠=∠B ， BD＝DE ∵AB＋BD＝AC ∴BD＝EC ∴DE＝EC ∴∠=∠C

∴∠B=∠=∠+∠C=2∠C 即∠B︰∠C=2︰1

方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE

证明△≌△

再类似证明得到∠B=2∠=2∠C

利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC－AB或AB＋BD转化成一条线段

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9、已知：如图，中，

，于

，平分，且于，与

相交于点