探究“中点四边形”

’＃　ｌ　ｒ，Ｒｔ。．　・’■，０　●　解题技巧与方法　●繇　归敖栅分　攘裹　怠。　穆　镪讲黛　◎林文权（福建省晋江市南湾中学，福建晋江３６２２５６）　【基金项目】２０１６年度福建省教育科学“十三五”规划　立项课题“基于教材分析的初中数学校际教研的实践研究”　立项批准号：ＦＪＪＫＸＢ１６—０２３．　“中点四边形”是在掌握了三角形的中位线定理后，结　合平行四边形的判定所进行探索延伸，通过探索，可知“中　点四边形”必为平行四边形．当原四边形的对角线相等或垂　直时，该“中点四边形”会形成特殊的平行四边形（矩形、菱　形或正方形），从中我们知道原四边形对角线的特殊关系决　定“中点四边形”的特殊性．在探索过程中也发现由原四边　形各边中点所构成的新四边形的面积与原四边形存在着特　殊的数量关系，下面我将运用实例就此类图形所蕴含的面　积关系加以探讨及拓展延伸．　一、借助“三角形中位线”。求“中点四边形”的面积　【案例】已知：如图１，在四边形　ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＢＣ，　ＣＤ，ＤＡ的中点，且Ｓ口　ＡＢｃＤ＝１０．　求：Ｓ四边形　Ｆ　．　【解法　．‘Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是　ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点，　图１　根琚甲位线楚埋，很谷易＿ｆ导到：　ＡＡＥＨ￣ＡＡＢＤ，相似比．ｊ｝＝　２，　．・　Ｓ　Ｈ：　ｓ　Ｄ　同理可得，ｓ　＝÷ｓ　，　ｓ　Ｇ＝　Ｓ　Ｓ　：　１　ｓ　Ｃ．　ｓ　Ｇ＝　Ｓ　町＂＆ⅡＧＨ＝　ｓ　Ｃ．　．ｓ＆ＡＥＨ＋ｓ　８ＥＦ＋Ｓ＆ｃＦｃ＋ＳＡＯＧＨ　：　Ｓ　Ｄ＋　ｓ　ｃ＋　Ｓ　ｎ＋　ｓ　ｃ　：÷ｓ　边　。，　．－．．ｓ…　＝÷．ｓ　边　＝５．　【评析】以上仅仅提供一种利用三角形中位线，即相似　三角形的性质结合图形的面积和差关系，来求“中点四边　形”面积的方法．这种方法比较直接，又能充分结合数学的　化归思想，把求四边形的面积转化为求三角形的面积，把　“中点四沩形”的问颢转化为“＝角形中俯线”的问颢．充分　调动和运用已有的知识、经验和方法应用于问题的解决．得　到结论：“中点四边形”的面积等于原四边形面积的一半．　二、借助“中点四边形”面积，求对角线互相垂直的原四　边形的面积　【案例】已知：如图２，在四　边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ　Ｊ＿ＢＤ　于０，且ＡＣ＝６，ＢＤ＝８．　求：Ｊｓ四边形＾　ｃＤ．　８　【解法一】　Ｊｓ口边形Ａ８ｃ。＝ＳＡＡＢＣ＋ＳＡＡＣＤ　图２　＝÷・ＡＣ・ＯＢ　１・ＡＣ　・０Ｄ　＝÷・Ａｃ・（０曰＋ＤＤ）　二　１　＝÷×６×８＝２４．　二　【解法二】　分别取四边形ＡＢＣＤ各边的中点　，Ｆ，Ｇ，口，并顺次连　１　接这四个中点，可得四边形　是矩形，且ＥＦ：÷ＡＣ＝　二　１　３。ＦＧ＝÷ＢＤ＝４，　二　易得，Ｓ矩形　脚＝ＥＦ・ＦＧ＝３×４＝１２，　所以Ｓ日边形ＡＢ∞＝２Ｓ矩￣ＥＦＧＨ　２４．　【评析】本题比较简单，解法一学生比较容易想到，也是　比较正常的方法；解法二，对角线互相垂直的“中点四边形”　是矩形，求矩形面积学生很熟悉，再借助“中点四边形”的面　积等于与原四边形面积的一半，就可以巧妙求出原四边形　的面积．得到结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两　条对角线积的一半．　三、借助“中点四边形”面积。求四边形对边中点连线分　割的图形的面积　【案例】已知：如图３，在四边　形ＡＢＣＤ中，层，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，　ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点，ＥＧ，ＦＨ相交　与点０，其中Ｓ　，Ｓ：，Ｓ，，Ｓ４分别表　示四个小四边形的面积，且　Ｓ四边形ＡＢｃＤ＝２０．求：Ｓ１＋Ｓ３．　图３　（下转１５８页）　数学学习与研究

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《 中点四边形》的课堂导入

十四中学 董书梅 数学

《中点四边形》是2010年数学八年级下册新人教版第十九章《四边形》数学活动的一节课，它的内容与本章联系密切，浅显易懂，但对中点四边形形状的探索方法和过程对学生的知识拓展、学习方法和思维方式的延申很有益处，所以我认真的设计了本节课的导入环节，以期待学生刚接触这个内容就会产生强烈的探求欲望，在上课之前，我给学生布置了以下预习题：一、什么叫中点四边形二、任意四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边形的形状怎样？你能证明它们吗？根据我的推测，学生对平行四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边形的形状能够准确判断，而对任意四边形的中点四边形的回答可能产生多个答案，少数优生能证明形状的产生原因。有了以上准备，课堂导入我是这样进行的，首先提问卢瑞等几个学困生预习中的问题，如我所料，他们都对平行四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边形的形状回答准确，我对他们及时给予了表扬，个人收集整理 仅供参考学习

但我问到任意四边形的中点四边形的时候，他们的答案产生了分歧，答出平行四边形、矩形、菱形、正方形等五花八门的答案，看来他们只是通过画个别图形这种特殊代替一般的方法作出了判断，并没有涉及到问题的证明实质。有了刚才的“多个答案”，其他学生也纷纷加入讨论，学生们的探索欲望被激发，一番争论后，有一个叫李柏松的学生站起来说出了任意四边形的中点四边形是平行四边形，并给出了证明方法，一部分学生信服，一部分学生认为虽然证明是对的，但自己画图得到的结论也没有错误，这是为什么呢，我趁热打铁，说：“同学们这节课我们就是要探索中点四边形形状问题。”这样学生们主动带着好奇主动进入了课题学习活动，我认为我的这节课的导入利用了学生以特殊推断一般的惯性思维引出答案的多样性，引发思考、探究，再继续进行递进式讨论时起到了水到渠成的作用，对进一步培养学生缜密数学推理的习惯和方法有益，我把这种导入叫惯性思维激疑导入法。

GEHFADBC“中点四边形的探究”活动设计

泰州市许庄初级中学 孙剑

活动目的：

1．通过活动进一步加深学生对“三角形中位线”性质的理解。

2．通过活动渗透常见数学思想如一般与特殊、转化、整体思想等。

3．通过活动进一步发展学生的空间观念和推理能力。

4．通过活动进一步熟悉《几何画板》的使用。

知识准备：

“三角形中位线”性质

器材准备：

白纸、直尺、刻度尺、铅笔、各种四边形

活动方式：

小组合作

活动过程：

一、活动准备：

几何画板中有关操作的熟悉和使用：找中点、作平行线、量线段长、测面积等等。

二、探索1：

探索任意四边形的中点四边形的形状

① 画画量量：

学生通过画图、测量得出结论。

任意四边形的中点四边形为平行四边形

②用《几何画板》进行验证。

③说明结论

（小组讨论：由中点考虑如何解决）

解法一：利用一组对边平行相等来说理

连接AC

在ΔABC中，E、F为AB、BC中点

因为EF∥21 AC, EF=21 AC

同理 GH∥21 AC, GH=21AC

所以 EF∥GH 且EF=GH

所以四边形EFGH为平行四边形

解法二：利用两组对边分别相等证明

解法三：利用两组对边分别平行证明

三、探索2：

满足什么条件的四边形其中点四边形是特殊四边形？

① 分组探讨矩形、菱形的中点四边形的特征。

②分组探讨梯形，等腰梯形的中点四边形的特征。

（在以上两个活动中，学生利用《几何画板》画图并思考，得出结论并说明理由。老师要不停指点及时鼓励，同时引导学生发现其中的一般规律）

③分析矩形、等腰梯形的中点四边形都是菱形，它们有什么共同特征？ FGEHACDBQPFGEHACDB（学生思考，引导学生从对角线角度去考虑）

问题1：是不是所有对角线相等的四边形的中点四边形均为菱形？

学生画图，验证。

附：说理过程

在ΔABC中，E、F为AB、BC中点

《中点四边形》教学设计说明

新疆乌鲁木齐市第十三中学 于 菲

一、教材分析

1.教材的地位和作用

本节课是在学生学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形及等腰梯形的性质和判定，以及三角形中位线的性质后安排的一节探究活动课。一方面中点四边形问题本身是四边形中一个有趣的探索问题。通过本节课的探究，既可复习四边形，以及三角形中位线，又可作为探究中点四边形性质的新授课。学生经历观察、探究中点四边形的形状与原四边形的关系，进一步体会三角形中位线、及特殊四边形的相关知识在实际中的应用。同时，探索和证明中点四边形的特殊性质又可以让学生体会证明的必要性，并进一步丰富对图形的认识和感知。

2教学重点和难点

重点：中点四边形性质的探索。

难点：对确定中点四边形形状的主要因素的探究。

二、教学目标分析

1．知识与技能：

利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与数量关系；通过图形变换使学生掌握简单的添加辅助线的方法。

2过程与方法：

培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；

通过图形间既相互变化，又相互联系的内在规律的探究，进一步加深对“一般与特殊”关系的认识。

3情感态度与价值观

（1）在探究过程中培养学生的参与、合作意识，激发学生探索数学的兴趣，体验数学知识获得的过程。

（2）体会中点四边形的图形美，感受数学变化规律的奇妙。

三、教法和学法分析

1.教法分析

这节课教学时注重学生的探索过程，让学生动手操作、观察、猜测、验证，进而获得知识，培养主动探究的能力。教学方法针对本节课的特点，我采用 “创设情境——观察探索——总结归纳——知识运用” 为主线的教学模式，自主观察、分析讨论相结合的方法。在教学过程中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识，形成技能，感受从一般到特殊再回到一般的数学思想。在教学过程中注意创设思维情境，坚持学生主体，教师主导，在合作、交流的气氛下进行师生互动，培养学生的自学能力和创新意识，让学生在老师的引导下自始至终处于一种积极思维、主动探究的学习状态。同时借助多媒体和几何画板的演示，来增强课堂教学的直观性，更好的帮学生理解中点四边形的形状与原四边形的对角线密切相关，从而突破教学重难点。使本节课在师生互动、生生互动的合作交流中完成教学任务。