固体物理习题讲解

黄昆 固体物理 习题解答

第二章 晶体的结合

2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n

解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这

样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相

邻离子间的距离，于是有

α = ∑ ′ ( 1)

=

2[ 1 1 1 1

− + − + ...]

rjrij r 2r 3r 4r

前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，

i

1 1 1 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为

2 3 4 α = 2[1− + − + ...]

2 3 4

x x x

Qln(1 + x) = −x + − + ...

当 x=1 时，有1 2 3 4 1 1 1

...

− + − + = ln

2

∴ =α 2 2n

2 3 4

2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响

（排斥势看作不变）

α 2

e C

解： u r

( ) = −

α 2 +

r r n

α2

nC

1

du e nC e nC

由 | = − = 0 解得 =+ r e −1

r 2 n+1 2 n 1 0 ( ) (= 2)n

dr 0 r

0 r

0 r

0 r

0

nC

1

1 α e

于是当 e 变为 2e 时，有 r −1 = 4 −1 r e

( )

0 (2 ) (= 2) n n 0

= − α

2

1 4α e

结合能为 u r

( ) e(1− ) 当 e 变为 2e 时，有

0

4α e2 r

0

1 n

n

u e

(2 ) = − r (2 ) (1 − ) = u e( ) 4 −

n 1

n

0

u r

( )

= − α+β

m n

2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为

1 固体物理

第一章

思考题

9.

在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?

在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体

的宏观对称性.

10. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?

六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.

13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？

晶体中原子间距的数量级为

米，要使原子晶格成为光波的衍射光

栅，光波的波长应小于

米. 但可见光的波长为7.64.0

米, 是晶体中原

子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.

15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化?

温度升高时, 由于热膨胀, 面间距

逐渐变大. 由布拉格反射公式

可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距

逐渐变大, 衍射角

逐

渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.

当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角

随之变大.

习题

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第二章

思考题

3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?

自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所

需要的能量, 称为晶体的结合能.

原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.

在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对

值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合

能.

习题

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16 第三章

思考题

2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?

(1)

方便于求解原子运动方程.

由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动

都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方

程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与

固体物理习题(总1页)

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1.1 求出体心立方和面心立方晶格固体物理原胞各基矢间的夹角.

1.2 钠在23K附近从bcc（体心立方）结构转变为hcp（六角密积）结构（马氏体相变），假如在此相变过程中保持密度不变，求hcp 相的点阵常数a, 已知bcc相的点阵常数是4.23Å，且hcp相的c/a比值与理想值相同。

1.3 已知NaCl是立方晶体，其分子量为58.46，在室温下密度是2167kg/m3，试计算NaCl结构的点阵常数。

1.4 已知正交晶系一晶胞的边长之比为1:1:2，画出该晶胞，在其中标出（321）晶面和[321]晶向，并求出（321）晶面法向与[321]晶向的夹角。

1.5 证明简单六角点阵（hkl）平面的面间距d为

222222341clahkkhd

式中hkl为密勒指数，a, a, c为固体物理原胞三个基矢的长度。

1固体物理补充习题

（十四系用）

1. 将半径为R的刚性球分别排成简单立方（sc）、体心立方（bcc）和面心立方（fcc）三种

结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为r

p、r

b和r

f的小刚球，试分别求出r

p/R、r

b/R

和r

f/R的最大值。

提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。

2. 格常数为a的简单二维密排晶格的基矢可以表为

1a=G

󰀃

ai

213

22aa=−+G

󰀃󰀃

aij

(1)求出其倒格子基矢

1G

b和

2G

b, 证明倒格子仍为二维密排格子；

(2)求出其倒格子原胞的面积Ω

b 。

3. 由N个原子（或离子）所组成的晶体的体积V可以写为V＝Nv = Nβr3，其中v为平均一

个原子（或离子）所占的体积，r为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构

的常数，试求下列各种晶体结构的β值:

(1) sc结构 (2) fcc结构 (3) bcc结构

(4) 金刚石结构

(5) NaCl结构。

4. 设两原子间的相互作用能可表示为

()

mnur

rrαβ

=−+

其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n和m均为大于零的常数。证明，要

使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m 。

5. 设晶体的总相互作用能可表示为

()

mnAB

Ur

rr=−+

其中，A、B、m和n均为大于零的常数，r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：

(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r

0和晶体的相互作用能U

0；

(2)设晶体的体积可表为V＝Nγr3，其中N为晶体的原子总数，γ为体积因子。若平衡时

晶体的体积为V

0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K为

0

09mnU

K

V= 。

6. 设有一由2N个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间

的势能具有如下的形式：

式中，λ和ρ为参数；R为最近邻离子间距。若晶体的Madelung常数为α，最近邻的离子