2021届湖南师大附中高三月考四文科数学试卷

湖南师大附中2021届高三月考试卷(三)一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1.已知R 是实数集，21M x x ⎧<⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1N x y y ==-，则()N M =R( )A.()1,2B.[]0,2C.∅D.(],2-∞2.如图，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=( )A.2B.22C.2D.83.若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“m//α”是“m l ⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“21p -(p 是质数)”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是2213-=，3217-=，52131-=，721127-=，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为8921-，则第10个梅森数的位数为( )(参考数据：lg20.301≈)A.25B.29C.27D.285.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A.150B.180C.200D.2806.已知定义在R 上的偶函数()f x ，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时()21xf x -=-.若在1a >时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.()1,2B.232,2⎛⎫⎪⎝⎭C.()23,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D.()2,+∞7.已知O 为ABC △的外心，26OA OB OC ++=0，则ACB ∠的正弦值为( )A.64B.14C.12D.388.l 是经过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>焦点F 且与实轴垂直的直线，A ，B 是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使45APB ∠=︒，则双曲线离心率的最大值为( )A.2B.3C.2D.3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 9.下列命题正确的是( )A.若随机变量()~100,X B p ，且()20E X =，则1152D X ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件C.一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，()2P ξ=等于()23m nn m A A -D.由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 得到回归直线方程y bx a =+，那么直线y bx a =+至少经过()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个点10.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是( )A.1ab< B.2b aa b+≥ C.2211ab a b<D.22a ab b +<+11.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A.存在某个位置，使得1CN AB ⊥B.翻折过程中，CN 的长是定值C.若AB BM =，则1AM B D ⊥D.若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π12.已知曲线()22:201,2,n C x nx y n -+==.点()1,0P -向曲线n C 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .则下列结论正确的是( )A.数列{}n x 的通项为1n nx n =+ B.数列{}n y 的通项为211n n n y n +=+C.当3n >时，1352111nn nx x x x x x --⋅⋅⋅⋅>+ D.12sin 1n n n n x x x y -<+三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若()()()()17217012172111x a a a x x a x +=+++++++，则012316a a a a a +++++=_______.14.已知抛物线2:4C y x =与圆()22:19E x y -+=相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE △的周长的取值范围为________.15.既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB 为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道AC (C 与A ，B 不重合)，A ，B 相距400米，在紧邻休闲小道AC 的两侧及圆弧CB 上进行绿化，设BAC θ∠=，则绿化带的总长度()fθ的最大值约为________米.(参考数据：3 1.7≈，3π≈)16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =，若对任意x ∈R ，都有()()1f x f x '->，则使得()11exf x +>成立的x 的取值范围为________.四、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(本小题满分10分) 在①222sin 2cos 2cos cos 122C B C B C B -+++=，②2tan tan tan B bA B c=+a=()sin C C 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，且满足a =，3b =，________，求ABC△的面积.18.(本小题满分12分) 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等.某市疾病预防控制(2)将200期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X ，求随机变量X 的期望和方差：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动.(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； (2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置.20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公差的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T .①求证：数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列； ②若存在整数(),1m n m n >>，使得()()m m n n m S T T n S λλ+=+，其中λ为常数，且2λ≥-，求λ的所有可能值.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，过2F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若1F PQ △的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线():0l y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，N的半径为NO .设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值.已知函数()1ln(1)x f x x ++=，()()1mg x m x =∈+R .(1)判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性； (2)若()()f x g x >在()0,+∞上恒成立，求整数m 的最大值；(3)求证：()()()2311212311en n n -+⨯+⨯++>⎡⎤⎣⎦(其中e 为自然对数的底数).湖南师大附中2021届高三月考试卷(三)数学参考答案三、填空题 13.1721-14.()6,815.88016.()0,+∞三、解答题17.【解析】选①因为222sin 2cos 2cos cos 122C B C BC B -+++=， 所以()()()1cos 1cos 2cos cos 22cos 22cos 1C B C B C B C B A --++++=++=-=， 所以1cos 2A =， 因为C 为三角形的内角， ∴A π=，又∵a =，3b =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：21139232c c =+-⨯⨯⨯，可得：2340c c --=， 解得4c =，或1-(舍去)，∴11sin 3422ABC S bc A ==⨯⨯=△ 选②∵2tan tan tan B bA B c=+， ∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B BA B C =+， 可得：sin 2sin cos sin sin sin cos cos B B B A B CA B⨯=+， 可得：2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B B B A B B B A B B A C C CA B A B==+， ∵sin 0B ≠，sin 0C ≠，∴解得1cos 2A =，∵()0,A π∈， ∴3A π=.选③由正弦定理得sin sin a bA B=，∵()3sin sin sin 3cos B A C C =+，∴()3sin sin sin 3sin cos A C A C A C +=+， ∴3cos sin sin sin A C A C =， ∵sin 0C ≠，即3cos sin A A =，tan 3A =，又()0,A π∈， ∴3A π=.潜伏期≤6天潜伏期>6天总计50岁以上(含50岁) 7525 100 50岁以下 45 55 100 总计 12080200由上表可得()22007555254518.75 6.63512080100100K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关. (2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为8022005P ==， 随机变量服从2~30,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()230125E X =⨯=. ()2236301555D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.答：随机变量X 的期望和方差分别为12与365. 19.【解析】(1)证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC △为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又AD//BC ， ∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，∵PA AD A =，PA AD ⊂、平面PAD ， ∴AE ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE 、AD 、AP 两两垂直，故以AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()3,1,0B -，()3,1,0C，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，()3,0,0E，∴()3,1,2PC =-，()0,2,2PD =-，()0,0,2AP =.设()3,,2PF PC λλλλ==-，()3,,22AF AP PF λλλ=+=-.设平面PCD 的法向量为()111,,x y z =m ，则1111132022PC x y z PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m，令1z =11x =，1y =∴(=m .设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,AF AF AF θ⋅====⋅m m m当12λ=时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点. 20.【解析】(1)∵12a =，∴121S=， ∴()11321222n S n n n =+-=+，即21322n S n n =+，当2n ≥时，()()22113111112222n S n n n n -=-+-=+-，∴()112n n n a S S n n -=-=+≥， 当1n =时，12a =符合上式， ∴()*1n a n n =+∈N .(2)①证明：∵()*1n a n n =+∈N ， ∴()21nn b n =+，∴()2322232421n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯+， 则()2341222232421n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯+，两式相减，可整理得12n n T n +=⋅，∴11242n n nT n+-==⨯， ∴数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列.②由①可知，12n n T n +=⋅，且由(1)知21322n S n n =+，代入()()m m n n m S T T n S λλ+=+， 可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 整理得22232232m n m m n n λλ++=++，即22323222n mn n m m λλ++++=， 设2322n nn n c λ++=，则m n c c =，则()()22211113123224222n nn n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-=. ∵2λ≥-，∴当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=<， 即1n n c c +<，∵1m n >>，且24514360288c c λλλ+++-=-=≥，∴()25n c c n >≥， ∴24c c =或23c c =，即2n =，4m =或3.当2n =，4m =时，2λ=-，当2n =，3m =时，1λ=-. 故λ的所有可能值为1-，2-.21.【解析】(1)由椭圆的定义可知，1F PQ △的周长为4a ，∴48a =，2a =， 又离心率为22， ∴2c =，222422b a c =-=-=，因此椭圆方程为22142x y +=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得()222214240k x kmx m +++-=， 由0∆>，得2242m k <+(*)且122421kmx x k -+=+， 因此122221my y k +=+，所以222,2121kmm D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得：()()22422241321m k k ND k ++=+， 因为NF m =， 所以()()()2422222224318312121k k ND k kkNF+++==+++.令283t k =+，3t ≥，故21214t k ++=， 所以()222161611112NDt N t t tF =+=++++. 令1y t t =+， 所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>，从而1y t t =+在[)3,+∞上单调增， 因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =， 所以22134NF ND ≤+=， 由(*)得m <<且0m ≠， 故设12NFND ≥， 设2EDF θ∠=，则1sin 2NFND θ=≥， 所以θ的最小值为6π. 从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率为0. 综上所述：当0k =，()()0,2m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π. 22.【解析】(1)因为()()()1ln 10x f x x x ++=>，所以()()21ln 11x x f x x --++'=，()0x >， 又因为0x >，所以101x>+，()ln 10x +>， 所以()0f x '<， 即函数()f x 在()0,+∞上为减函数.(2)由()()f x g x >在()0,+∞上恒成立，即()()11ln 1x x x m x++++<在()0,+∞上恒成立，即()()min11ln 1x x x m x ++++⎛⎫< ⎪⎝⎭， 设()()()11ln 1x x x h x x++++=， 所以()()21ln 1x x h x x --+'=，()0x >，令()()1ln 1g x x x =--+，则()11011x g x x x '=-=>++， 即()g x 在()0,+∞为增函数，又()21ln30g =-<，()322ln20g =->，即存在唯一的实数根a ，满足()0g a =，且()2,3a ∈，()1ln 10a a --+=， 当x a >时，()0g x >，()0h x '>，当0x a <<时，()0g x <，()0h x '<，即函数()h x 在()0,a 为减函数，在(),a +∞为增函数，则()()()()()min 11ln 113,4a a a h a a a h x ++++===+∈，故整数m 的最大值为3.(3)由(2)知，()213ln 1211x x x x -+>=-++，()0x >， 令()1x n n =+，则()()()3311ln 1122231111n n n n n n n n ⎛⎫++>->-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， ()()()11111ln 112ln 123ln 1123123232231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++⨯++++>--+--++--⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231231n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭， 故()()()2311212311e n n n -+⨯+⨯++>⎡⎤⎣⎦.。

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。

湖南省师大附中高三文科数学月考试卷(一)时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A=｛x x x 92-＜0｝，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧*∈N y y4则A ∩B 中元素个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ． 3个2．nxx )1(+的各项系数之和为16，则展开式中系数最大的项是A ．6B ．6xC ．x 4 D ． x4或4x 3．过点P(一1，0)作圆C ：(x 一1)2+(y 一2)2=1的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 三点的圆方程是A ．4)12=-+y x （２ B ．2)12=-+y x （２ C ．2)122=+-y x （ D ．4)122=+-y x （ 4．函)(x f y =的图象过原点且它的导函数)(x f y '=)的图象是如图所示的一条直 线，则)(x f y =的图象的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若︱4)(-x f ︱＜a 的充分条件是1-x ＜b(a,b ＞0)，则a ，b 之间的关系是 A ． 3b a ≤B ．3a b ≤C ．b ＞3aD ．a ＞3b 6．已知函数)(1x f y -=的图象过点(1，0)，则函数)2(-=x f y 的图象一定过点A ．(0，3)B ．(0，一1)C ．(2，1)D ．(一2，1)7．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用 (１x ，２x ，３x ，４x ，…，n x )表示．设=a (1a ，2a ，3a ，4a ，…，n a )，设=b (1b ，2b ，3b ，4b ，…，n b )，a 与b 夹角θ的余弦值为22221222212211cos nnnn bb b a a a b a b a b a +⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=θ．当两个n 维向量，=a （1，1，1，…，1），=b (1-，1-，1，1，…，1)时，=θcosA ．n n 1-B ．n n 3-C ．n n 2-D ． nn 4-8．若二面角M 一l 一N 的平面角大小为32π，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是 A ．A[6π，2π] B ．[4π，2π] C ．[3π，2π] D ． [0，2π] 9．设椭圆12222=+n y m x ，双曲线12222=-ny m x ，抛物线x n m y )(2+=２，(其中m>n>0)的离心率分别为 e 1，e 2，e 3，则A ．e 1 e 2> e 3B ．e 1 e 2< e 3C ．e 1 e 2=e 3D ．e 1 e 2与e 3大小不确定 10．某中学生为了能观看20XX 年奥运会，从20XX 年起，每年8月8日到银行将自己积攒的零用钱存人a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到20XX 年奥运会开幕时(此时不再存钱)将所有的存款及利息全部取回，则可取回钱的总数(元)为 A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．[])1()1(7p p p a +-+D ．[])1()1(8p p pa +-+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．一次奥运会比赛中，有男运动员560人，女运动员420人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为280的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽 人． 12．在△ABC 中，若a=7，b=8，cosC=1413，则最小角的余弦值为 ． 13．以抛物线x y 42=的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A(一1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是 ．14．在20XX 年北京奥运火炬传递活动中，某地的奥运火炬接力传递路线共分8段，传递活动分别由8名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒 火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．(用数字作答) 15．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：(1)斜边的中线长等于斜边边长的一半；(2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：。

湖南省师范大学附中2020-2021学年高三上学期11月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R ，集合{}3{|02},|log (2)1A x x B x x =<<=+<，则()R AC B =（ ）A ．{|01}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x <D ．{|02}x x << 2．命题“()**00,n N f n N ∃∈∈且()00f n n ”的否定形式是（ ）A ．**,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >B ．**,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >C ．()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n > D ．()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n > 3．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪⎨⎪⎩则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[3,0]-B ．[3,2]-C ．[0,2]D ．[0,3] 4．设0.20.321,log 3,22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．1186．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ）A ．74B ．32C ．2D ．547．已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则关于x 的不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x +<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,)eC ．1(,)e e D ．(1,)e8．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．12C ．8D ．69．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条 10．如图，已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD11．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．1112．设21(0)()4cos 1(0)x x f x x x x π⎧+≥=⎨-<⎩，()1()g x kx x R =-∈，若函数()()y f x g x =-在[2,3]x ∈-内有4个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．B ．C ．113⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．113⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题 13．曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．14．已知数列{}n a ，若24n a n kn =-++，且对于任意*n N ∈，都有1n n a a +<，则实数k 的取值范围是__________．15．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(3)1M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则a 的取值范围是__________．16．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC ∆的面积为2，若cos (1cos )a B b A =+，则2cos sin b B C +的取值范围是__________．三、解答题17．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC ∆为钝角三角形，且a c >，求21sin cos 2222C A A -的取值范围. 18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=︒，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点，P 为线段CM 上的一点.（1）求证：DE CN ⊥；（2）若二面角P DE C --的大小为30，求CP CM的值.19．已知椭圆C 的中心是坐标原点O ，它的短轴长，焦点(),0F c ，点10,0A c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，且2.OF FA =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相交于,P Q 两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由.20．新能源汽车的春天来了！2021年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2021年1月1日至2021年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2021年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表：（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y （万辆）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并预测2021年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2021年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（i ）求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值x 的方差2s 及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1）； （ii ）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取的3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ. 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121n i i i n i i t ty y b tt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-；②5118.8i i i t y ==∑. 21．已知函数21()ln(1),(),2f x a xg x x x a R =+=-∈. （1）若对任意的[0,)x ∈+∞，都有()()f x g x 恒成立，求a 的最小值；（2）设()(1),0p x f x a =->，若()()1122,,,A x y B x y 为曲线()y p x =上的两个不同的点，满足120x x <<，且()312,x x x ∃∈，使得曲线()y p x =在点()()33,x p x 处的切线与直线AB 平行，求证：1232x x x +<. 22．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．23．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M（2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.参考答案1．C【解析】【分析】求出集合B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【详解】B＝{x|log3（x+2）＜1}＝{x|0＜x+2＜3}＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁R B＝{x|x≥1或x≤﹣2}，A∩（∁R B）＝{x|1≤x＜2}，故选C．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．2．B【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃n0∈N*，f（n0）∈N*且f（n0）≤n0”的否定形式是：∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n．故选B．【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．D【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩的可行域如图：目标函数z＝x+y，经过可行域的A，O时，目标函数取得最值，由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得A （0，3）， 目标函数z ＝x +y 的最大值为：0+3=3，最小值为：0，目标函数z ＝x +y 的取值范围：[0，3]．故选：D ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键． 4．C【解析】【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】 由题意可得：()0.210,12a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，2log 31b =>，()0.30.3120,12c -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭， 指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故0.20.31122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上可得：b a c >>.故选：C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5．C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6．C【解析】由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212g x sin x sin x πωπωω=-=-（）（）（），函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，可得3x π=时，()g x 取得最大值，即23122k πωππωπ⨯-=+（），k Z ∈，0ω>，当0k =时，解得2ω=，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得3x π=时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值. 7．C【分析】根据题意，由函数的解析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f （lnx ）+f （ln 1x ）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）⇒|lnx |＜1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）＝ln （1+|x |）211x -+，则f （﹣x ）＝ln （1+|x |）211x -=+f （x ），即函数f （x ）为偶函数，在[0，+∞）上，f （x ）＝ln （1+x ）211x -+，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数， f （lnx ）+f （ln 1x）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）， 即|lnx |＜1，解可得1e ＜x ＜e ，即不等式的解集为（1e，e ）； 故选C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题．8．D【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN |＝|MN |，再根据向量的数量积公式计算即可【详解】由|AB NB -|＝|AM AN -|，可得|AN |＝|NM |，取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ， 又12AM AD AB =+， 所以AM •21122AN AM ==（12AD AB +）212=（2214AD AB AD ++•AB ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题9．D【详解】在EF上任意取一点M，直线11A D与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如图所示，故选D．【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，其中解答中涉及到立体几何中空间直线相交问题、空间几何体的结构特征、异面直线的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握空间几何体的结构特征是解答的关键．10．A【分析】设M为PQ的中点，令OP＝x，则可求得AM，OM的长度，进而求得tan∠MOA即为渐近线的斜率ba，从而求得e.【详解】由题意可得△PAQ 为等边三角形， 设OP ＝x ，可得OQ ＝3x ，PQ ＝2x ，设M 为PQ 的中点，可得PM ＝x ，AM =，tan∠MOA AM bOM a===，则e 2==． 故选A ．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查了渐近线斜率与离心率的关系，注意结合圆的几何特征求解ba，属于基础题． 11．B 【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B 12．D 【分析】由于0x =不是函数的零点，则2,04cos ,0x x k x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，令2,0()4cos ,0x x h x x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，将零点个数问题转化为函数()h x 与函数y k =的交点个数问题，结合图象，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】很明显0x =不是函数的零点令函数()()0y f x g x =-=，则0x ≠则2,04cos ,0x x k xx x π⎧+>⎪=⎨⎪<⎩ 令2,0()4cos ,0x x h x xx x π⎧+>⎪=⎨⎪<⎩ 则函数()h x 的图象与y k =在[2,3]x ∈-内有4个交点 函数()h x 的图象如图所示：由图可得：113k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.13．10x y -+= 【分析】由题可判断出点在曲线上，所以通过求导求出切线的斜率，把斜率和点代入点斜式方程即可． 【详解】∵点（0，1）在曲线上，又由题意，1sin y x '=-，∴斜率k ＝0101x y ==-='，∴所求方程为：10y x -=-，即y ＝x +1． 故答案为：10x y -+=． 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题． 14．(,3)-∞ 【分析】直接利用数列的通项公式和数列的单调性的应用求出结果． 【详解】数列{a n }，若a n ═﹣n 2+kn +4，则a n +1═﹣（n +1）2+k （n +1）+4， 由a n +1＜a n ，整理得﹣（n +1）2+k （n +1）+4﹣（﹣n 2+kn +4）＜0， 化简得：k ＜2n +1，由于对于任意n ∈N *，都有a n +1＜a n 恒成立， 所以k ＜（2n +1）min ， 即当n ＝1时，k ＜3． 故答案为：(,3)-∞． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 15．[0,3] 【分析】由题意求出OP 的距离，得到P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题意易得1302APO APB ︒∠=∠=，||1||2sin sin 30OA OP APO ︒===∠， ∴点P 在以O 的圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，21||21OM -+∴， 即21||9OM .2222||(3)269OM a a a a =+-=-+，212699a a -+∴，即222680260a a a a ⎧-+⎨-⎩，解得03a ，a ∴的取值范围是[0,3] 故答案为[0，3]． 【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题16．⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】由题意利用正弦定理求得sin （A ﹣B ）＝sinB ，可得A ＝2B 2π＜，再根据A B C π++=可得C 的范围，结合面积公式将所求化为2sin sin C C +，利用sin ,12C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭求得范围． 【详解】由cos (1cos )a B b A =+可得，2A B =，又锐角ABC ∆中，A B C π++=，且0,,2A B C π<<，从而可得42C ππ<<，sin ,12C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.又由正弦定理sin sin a bA B =可得，sin 22sin cos sin a a b B B B B ==，sin 0B ≠，从而cos 2ab B =.因为ABC ∆的面积为2，所以112sin 2,22sin ab C ab C==，所以22cos sin sin sin 2sin ab b B C C C C ⎛+=+=+∈ ⎝⎭.故答案为3,2⎛ ⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形内角和公式，二倍角公式的应用，考查了对勾函数最值范围的求法，属于中档题．17．(1) 3A π= (2) 1,44⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得b 2＝ac ，再由A ，B ，C 依次成等差数列求得3B π=，再由余弦定理求得a ＝c ，可得△ABC 为正三角形，得到结论. （2）要求的式子利用三角函数的恒等变换化为126sin A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据角A 的范围求出126sin A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，即得所求． 【详解】,,A B C 依次成等差数列，2B A C B π=+=-∴，3B π∴=.（1）2sin sin sin B A C =，2b ac ∴=. 又222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，22a c ac ac +-=∴，即2()0a c -=，a c ∴=ABC ∆∴为正三角形，3A π=.（2）211cos 1sin cos 2222222C A A C A -+-=+-121cos cos 234A A A A A π⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭11cos sin 426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. a c >，223A ππ<<∴，25366A πππ<+<∴，1sin 26A π⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭11sin 426A π⎛⎫∴<+<⎪⎝⎭.故21sin cos 2222C A A -的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．(1)证明见解析；(2) 1 【分析】（1）连接DB ，由已知可得△ABD 为等边三角形，得到DE ⊥AB ，则DE ⊥DC ，再由ADNM 为矩形，得DN ⊥AD ，由面面垂直的性质可得DN ⊥平面ABCD ，得到DN ⊥DE ，由线面垂直的判断可得DE ⊥平面DCN ，进一步得到DE ⊥CN ；（2）由（1）知DN ⊥平面ABCD ，得到DN ⊥DE ，DN ⊥DC ，又DE ⊥DC ，以D 为坐标原点，DE 、DC 、DN 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设CP CM λ=，λ∈[0，1]，分别求出平面PDE 与平面DEC 的一个法向量，由二面角P ﹣DE ﹣C 的大小为6π列式求得λ即可． 【详解】 （1）连接DB .在菱形ABCD 中，AD AB =，60DAB ∠=︒，ABD ∴∆为等边三角形.又E 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.又//AB DC ，DE DC ⊥∴.四边形ADNM 为矩形，DN AD ⊥∴.又平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM平面ABCD AD =，DN ⊂平面ADNM ， DN ⊥∴平面ABCD .DE ⊂平面ABCD ，DN DE ⊥∴.又,DE DC DC DN D ⊥=∩DE ∴⊥平面DCN .CN ⊂∵平面DCN ， DE CN ⊥∴.（2）由（1）知DN ⊥平面ABCD ，,DE DC ⊂平面ABCD ，DE DC ⊥。

湖南师大附中2021届高三月考〔四〕数学〔文〕试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，时量120分钟，总分值150分。

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．如果复数()(1)z a i i =+-为纯虚数，那么实数a 等于A ．2B ．1C ．0D ．-12．函数()||cos (,)f x x x =--∞+∞在内A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无究多个零点3．有一个几何体的三视图及其尺寸如图〔单位：cm 〕，那么该几何体的外表积为A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．36πcm 24．三条不重合的直线m ，n ，l ，两个重合的平面,αβ，有以下四个命题①假设//,,//m n n m αα⊂则； ②假设,,l m αβ⊥⊥且//,//l m αβ则；③假设,,//,//,//m n m n ααββαβ⊂⊂则；④假设,,,,.m n n m n αβαββα⊥=⊂⊥⊥则其中正确命题的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．4 5．函数2(10)(),(01)x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩那么以以下列图象错误的选项是6．点P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，点M ，N 分别是圆2222(5)4(5)1x y x y ++=-+=和 上的动点，那么|PM|—|PN|的最小值为A ．3B ．2C ．1D ．07．某程序框图如以下列图，现输入如下四个函数，那么可以输出的函数是A ．2()f x x =B ．1()f x x =C ．()x f x e =D ．()sin f x x =8．如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线是线段AB 交于圆内一点D ，假设OC xOA yOB =+，那么A ．1x y +<-B ．10x y -<+<C ．01x y <+<D ．1x y +>9．如图，一个树形图依据以下规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，那么第11行的实心圆点的个数是A ．21B ．34C ．55D ．89二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。

数学（文） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形2.已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，686a a +=-，则n S 取最大值时，n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64.函数2ln ||xy x =的图象大致为（ ）5.过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且||4AB =，这样的直线可以作2条，则p 的取值范围是（ ） A ．()0,4B ．(0,4]C ．(0,2]D ．(0,2)6.已知1log (2)n n a n +=+（*n N ∈），观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 4lg 2lg3a a ⋅=⋅=⋅2=；123456a a a a a a 237log 3log 4log 8=⋅…lg 3lg 4lg83lg 2lg 3lg 7=⋅=…；若122016m a a a =…（*m N ∈），则m 的值为（ ） A ．201622+B ．20162C ．201622-D ．201624-7.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤8.已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点，则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值是（ ） A ．5B ．3-C ．3D ．5-9.三棱锥P ABC -中，AB BC ==，6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则这该三棱锥的外接球表面积为（ ） A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π 10.O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．2311.如图，1F ，2F 是双曲线222124x y a -=（0a >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线交于点A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．8B．C．D ．1612.定义在R 上的函数()f x 对任意1x ，2x （12x x ≠）都有1212()()0f x f x x x -<-，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．1[3,)2--B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1[5,)2--D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若01a <<，则关于x 的不等式1()()0a x x a-->的解集是 ．14.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒，根据以上数据得cos θ= ．15.如图，在ABC ∆中，30CAB CBA ∠=∠=︒，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，若以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为 ．16.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：“设AB 的斜率为k ，…点B 222122(,)1212k k k k -++，5(,0)3D -，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ．（用k 表示）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2cos 22sin()sin()33C A C C ππ-=+⋅-．（1）求角A 的值；（2）若a =b a ≥，求2bc -的取值范围．18.设数列{}n a 满足11a =，点1(,)n n a a +（*n N ∈）均在直线21y x =+上． （1）证明数列{}1n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）若2log (1)n n b a =+，求数列{}(1)n n a b +⋅的前n 项和n T ．19.如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=︒，12AA AC ==，11A B A D ==，点E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ； （2）当1A EED为何值时，1//A B 平面EAC ，并求出此时直线1A B 与平面EAC 之间的距离．20.已知椭圆C 的中心在原点，离心率为2，其右焦点是圆E ：22(1)1x y -+=的圆心． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M 、N ．试推断是否存在点P ，使||3MN =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，且1212x x ⋅>． （1）求实数a 的取值范围；（2）设上述a 的取值范围为M ，若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使对任意a M ∈，不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点(3,3)P ，倾斜角3πα=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =+，()2|5|g x m x =--，若2()(2)f x g x ≥+恒成立，实数m 的最大值为t ． （1）求实数t ；（2）已知实数x 、y 、z 满足222236x y z a ++=（0a >），且x y z ++的最大值是8t，求a 的值．湖南师大附中2017届高三月考试卷（四）数学（文）答案 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABCBDCBADACD二、填空题13.1(,)a a12324kk +三、解答题17.解：（1）由已知得2222312sin 2sin 2(cos sin )44A C C C -=-．化简得sin 2A =，故3A π=或23A π=．所以2)6b c B π-=-∈．18.（1）证明：由点1(,)(*)n n a a n N +∈均在直线21y x =+上可知121n n a a +=+， 则11(21)12(1)n n n a a a ++=++=+， 于是1121n n a a ++=+（*n N ∈），即数列{}1n a +是以2为公比的等比数列．因为111(1)2n n a a -+=+⋅2n=，所以21n n a =-．（2）22log (1)log 2n n n b a n =+==，所以(1)2nn n a b n +⋅=⋅， ∴1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅…，①2312 1222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅…，②①-②得1211212122n n n T n +-=⋅+⋅++⋅-⋅…112(12)22(1)212n n n n n ++-=-⋅=---⋅-，故1(1)22n n T n +=-⋅+．19.（1）证明：因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以2AB AD AC ===，在1AA B ∆中，由22211AA AB A B +=知1AA AB ⊥，同理1AA AD ⊥， 又因为AB AD A =，所以1AA ⊥平面ABCD ．（2）解：当11A EED=时，1//A B 平面EAC ．证明如下： 连结BD 交AC 于O ，当11A EED=时，即点E 为1A D 的中点时，连结OE ，则1//OE A B ，所以1//A B 平面EAC ，所以直线1A B 与平面EAC 之间的距离等于点1A 到平面EAC 的距离． 因为点E 为1A D 的中点，可转化为D 到平面EAC 的距离，D EAC E ACD V V --=， 设AD 的中点为F ，连结EF ，则1//EF AA ，所以EF ⊥平面ACD ，且1EF =，可求得ACD S ∆所以113E ACD V -=⨯=，又AE =2AC =，2CE =，ABC S ∆=，所以133ABC S d ∆⋅=（d 表示点D 到平面EAC 的距离），7d =，所以直线1A B 与平面EAC 之间的距离为7．20.解：（1）设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，则1c =，因为椭圆的离心率为2，则2c a =，即a ==从而2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）设点00(,)P x y （00x <），(0,)M m ，(0,)N n ， 则直线PM 的方程为00y my x m x -=+，即000()0y m x x y mx --+=， 因为圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1，1=，即22200000()()2()y m x y m x m y m -+=-+-220x m +，即2000(2)20x m y m x -+-=， 同理2000(2)20x n y n x -+-=．由此可知，m ，n 为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根，所以0022y m n x +=--，002x mn x =--，||||MN m n =-===因为点00(,)P x y 在椭圆C 上，则220012x y +=，即220012x y =-，则||MN ===，3=， 则20(2)9x -=，因为00x <，则01x =-，220012x y =-12=，即02y =±， 故存在点(1,)2P -±满足题设条件． 21.解：（1）2121'()2(0)ax ax f x ax a x x x-+=-+=>， 令'()0f x =，则2210ax ax -+=，根据题意，方程有两个不等正根，则2120,440,1,2a a a x x ⎧≠⎪⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩即(1)0,11,2a a a ->⎧⎪⎨>⎪⎩解得12a <<，故实数a 的取值范围是()1,2．（2）由2210ax ax -+>，得2(1)1a x a ->-．即1x <-或1x >+ 所以()f x在(,1-∞和(1)++∞上是增函数， 因为12a <<，则11<+，所以()f x在1,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上是增函数，当12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， max ()(2)2ln 2f x f a ==-+．由题意，当(1,2)a ∈时，2max ()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立，即2ln(1)2ln 2(1)(1)2ln 2a a m a a +-+>--++，即2ln(1)1ln 20a ma a m +--++->恒成立，设2()ln(1)1ln 2g a a ma a m =+--++-， 则12(1)12'()2111am a m g a ma a a -++=--=++．（1）当0m ≥时，因为(1,2)a ∈，则'()0g a <，所以()g a 在(1,2)上是减函数， 此时，()(1)0g a g <=，不合题意．（2）当0m <时，若1112m +≥-，即14m ≤-，因为()1,2a ∈，则1102a m++>，'()0g a >， 所以()g a 在(1,2)上是增函数，此时()(1)0g a g >=，符合题意． 若1112m +<-，即104m -<<，则1(1)12m-+>， 当11(1)2a m <<-+时，1102a m ++<，则'()0g a <，所以()g a 在1(1,(1))2m -+上是减函数，此时，()(1)0g a g <=，不合题意．综上可知，m 的取值范围是1(,]4-∞-．22.解：（1）曲线C 化为26cos 2sin 10ρρθρθ-++=，再化为直角坐标方程为226210x y x y +-++=，化为标准方程为22(3)(1)9x y -++=，直线l 的参数方程为3cos 33sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． （2）将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得270t ++=，247200∆=-⨯=>，则12t t +=-127t t =，所以12||||AB t t =-==23.解：（1）由题意得x R ∀∈，2()2|1|(2)2|25|2|3|f x x g x m x m x =+≥+=-+-=--， 从而有2(|3||1|)m x x ≤-++，由绝对值不等式的性质可知2(|3||1)2|3(1)|8x x x x -++≥--+=，因此，实数m 的最大值8t =．（2）由柯西不等式：2222222))))⎡⎤⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为222236(0)x y z a a ++=>，所以2()a x y z ≥++，因为x y z ++的最大值是1，所以1a =，当236x y z ==时，x y z ++取最大值， 所以1a =．。

湖南师大附中2021届高三年级上学期第三次月考数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟．满分150分．第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知R 是实数集，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=12x xM ，}1|{-==x y y N ，则=)(M N C R A ．(1，2) B ．[0，2]C ．∅D ．]2,(-∞2．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点B A ,对应的复数分别是21,z z ，则=-||21z zA ．2B ．22C ．2D ．83．若m l ,为两条不同的直线，α为平面，且α⊥l ，则“α//m ”是“l m ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“ρρ(12-是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是=-=-=-12,712,31253212712,317=-，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数，已知第10个梅森数为1289-，则第10个梅森数的位数为（参考数据：)301.02lg ≈A ．25B ．29C ．27D ．285．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为 A ．150 B ．180 C ．200 D ．2806．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f 且当]0,2[-∈x 时.12)(-=-xx f 若在1>a 时，关于x 的方程-)(x f 0)2(log =+x a 恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．(1，2)B ．)2,2(32 C ．),2()2,(32∞+-∞D ．),2(∞+7．已知O 为ABC ∆的外心，02=+OB OA ，则ACB ∠的正弦值为 A ．46 B ．41 C ．21 D ．83 8．l 是经过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 焦点F 且与实轴垂直的直线，B A ,是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使︒=∠45APB ，则双曲线离心率的最大值为 A ．2B ．3C ．2D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题正确的是A ．若随机变量),100(~pB X ，且20)(=X E ，则5121=⎪⎭⎫⎝⎛+X D B ．在一次随机试验中，彼此互斥的事件D C B A ,,,的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与D C B 是互斥事件，也是对立事件C ．一只袋内装有m 个白球，m n -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，)2(=ξP 等于()32nmA A m n -D ．由一组样本数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 得到回归直线方程=y a bx +，那么直 线a bx y +=至少经过),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 中的一个点 10．若非零实数b a ,满足b a <，则下列不等式不一定成立的是A ．1<b aB ．2≥+baa b C ．ba ab 2211<D ．b b a a +<+2211．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成M AB 1∆，连结N D B ,1为D B 1的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是 A ．存在某个位置，使得1AB CN ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值 C ．若BM AB =，则D B AM 1⊥D ．若1==BM AB ，当三棱锥AMD B -1的体积最大时，三棱锥-1B AMD 的外接球的表面积是π412．已知曲线).,2,1(02:22 ==+-n y nx x C n 从点)0,1(-P 向曲线n C 引斜率为)0(>n n k k 的切线n l ，切点为).,(n n n y x P 则下列结论正确的是A ．数列}{n x 的通项为1+=n n x n B ．数列}{n y 的通项为112++=n n n y nC ．当3>n 时，nnn x x x x x x +->••••-1112531 D ．nn n n y xx x sin 211<+- 第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若1717221017)1()1()1()2(x a x a x a a x +++++++=+ ，则++10a a 1632a a a +++= .14．已知抛物线x y C 4:2=与圆9)1(:22=+-y x E 相交于B A ,两点，点M 为劣弧上不同于B A ,的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE ∆的周长的取值范围为 ．15．既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展．现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB 为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道C AC (与B A ,不重合），B A ,相距400米，在紧邻休闲小道AC 的两侧及圆弧上进行绿化，设θ=∠BAC ，则绿化带的总长度)(θf 的最大值约为 米．（参考数据：)3,7.13≈≈π16．定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ，0)0(=f ，若对任意R x ∈，都有1)()('>-x f x f ，则使得11)(>+xex f 成立的x 的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在①1cos cos 22cos 22sin222=+++-B C BC B C ，②cb B A B =+tan tan tan 2，③)cos 3(sin 3C C a b +=三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且满足13=a ，3=b ， ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期．各种传染疾病的潜伏期不同，数小时、数天、甚至数月不等．某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天） [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]人数174360502631(1)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期潜伏期≤6天潜伏期>6天总计 50岁以上（含50岁）100 50岁以下 55 总计200(2)将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X ，求随机变量X 的期望和方差． 附：P (2K ≥0k )0.05 0.025 0.010 0k3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中.d c b a n +++=19．（本小题满分12分）已知，如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60ABC ，⊥==PA PA AB ,2平面M E ABCD ,,分别是PD BC ,中点，点F 在棱PC 上移动．(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面⊥AEF 平面PAD ； (2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置． 20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的首项21=a ，前n 项和为n S ，且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以21为公差的等差数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n n a b 2=，*N n ∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，①求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n T n为等比数列，②若存在整数)1(,>>n m n m ，使得)()(λλ++=nm n m S n S m T T ，其中λ为常数，且2-≥λ，求λ的所有可能值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为22，过2F 的直线与椭圆C 交于Q P ,两点，若PQ F 1∆的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线)0(:=/+=m m kx y l 交椭圆C 于B A ,两点，交y 轴于点.M 点N 是M 关于O 的对称点，的半径为.||NO 设D 为AB 的中点，DF DE ,与分别相切于点F E ,，求EDF ∠的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数xx x f )1ln(1)(++=，).(1)(R m x mx g ∈+=(1)判断函数)(x f 在),0(∞+上的单调性；(2)若)()(x g x f >在),0(∞+上恒成立，求整数m 的最大值． (3)求证：32)]1(1[)321)(211(->++⨯+⨯+n e n n （其中e 为自然对数的底数）．数学参考答案题号12 3 45 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBACABAABCABDBDABD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 【解析】}20|{12><=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x x x x xM ，或 ，}0|{}1|{≥=-==y y x y y N ，即,2()0,( -∞=M )∞+，),0[∞+=N ，]2,()(-∞=M N C R ，故选D ． 2．B 【解析】由图象可知i z =1，i z -=22，故222)2(|22|||2221=+-=+-=-i z z ．故选B ．3．A 【解析】由α⊥l 且α//m 能推出l m ⊥，充分性成立；若α⊥l 且l m ⊥，则α//m 或者α⊂m ，必要性不成立，因此“α//m 是l m ⊥”的充分不必要条件，故选A ．4．C 【解析】789.262lg 89)12lg(89≈≈-，故789.26891012≈-，故第10个梅森数的位数为27，故选C ．5．A 【解析】由题设可分如下两类：①若分成1，1，3的情况，则有603335=A C （种）分派方法；②若分成1，2，2的情况，则有9033222325=A A C C （种）分派方法，由分类加法计数原理可得共有60+90=150（种）分派方法，故选A ．6．B 【解析】)2()2(+=-x f x f ，)4()(+=∴x f x f ，)(x f ∴周期为4，1>a 时，做出)(x f y =和)2(log +x a 的函数图象如图所示：关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，)(x f y =∴与()()12log >+=a x y a 的函数图象有3个交点，⎩⎨⎧>+<+∴,3)26(1,3)22(log a a og 解得：.243<<a 故选B ．7．A 【解析】设外接圆的半径为R ，062=++OC OB OA ，OC OB OA 62-=+，22)6()2(OC OB OA -=+，222644R OB OA R R =⋅++，即24R OB OA =⋅即41cos =∠AOB ，832cos 1sin 2=∠-=∠∴AOB ACB ，.46sin =∠∴ACB 8．A 【解析】设点),(m c P （不妨设0>m ），则有=∠⋅∠+∠-∠=∠-∠PAFPBF PAF PBF PAF PBF tan tan 1tan tan )tan(12122222=+=-++--b m am ac m a c ma c m ，即122=+mb m a 有解，即a m b m 22=+有解，又b m b m 22≥+，所以.22b a ≥ 故.21≤<e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．BC10．ABD 【解析】当0<<b a 时，1<ba 不成立；当0<b a 时，2≥+a bb a 不成立；因为0)(11222<-=-ab ba b a ab ，则ba ab 2211<一定成立；因为)1)((22++-=-+-b a b a b a b a 符号不定，故b b a a +<+22不一定成立，故选ABD ．11．BD 【解析】对于A ：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 于F ，则1//AB NE ，1//MB NF ， 如果1AB CN ⊥，可得到NC EN ⊥，又FN EN ⊥，且三线NC NF NE ,,共面共点，不可能，故A 错误．对于B ：如图1，可得1MAB NEC ∠=∠（定值），121AB NE =（定 值），EC AM =（定值），由余弦定理可得222EC NE NC +=NEC EC NE ∠⋅⋅-cos 2，NC ∴是定值，故B 正确；对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接DO O B ,1，由题意得1OB AM ⊥，因为MD AD =/，OD ∴与AM 不垂直，AM ∴与D B 1不垂直，可得C 错误，对于D ：当平面⊥AM B 1平面AMD 时，三棱锥AMD B -1的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三凌锥AMD B -1的外接球的球心，球半径为1，表面积是π4，故D 正确，故选BD.12．ABD 【解析】设直线)1(:+=x k y l n n ，联立0222=+-y nx x ，得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则由=∆0得12+=n n k n ，所以可得1+=n nx n ，112++=n n n y n ，AB 对；因为•••+=+-531,12111x x x n x x n n 1211212...5331212432112+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=•-n n n n n x n ，故C 错；因为=+=121n y x n nn nx x +-11，令x x x f sin 2)(-=，.cos 21)('x x f -= 可得)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π上递减，可知x x sin 2<在⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上恒成立，又431121π<≤+n ．故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1217-【解析】由题意，由1717)]1(1[)2(x x ++=+，17117)1(x T +=+，117=∴a ，令0=x ，则++=10172a a 172a a ++ ，所以.1217163210-=+++++a a a a a14．(6，8) 【解析】画出图象如下图所示，圆E 的圆心为(1，0)，半径为3，抛物线的焦点为(1，0)，准线为1-=x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,9)1(,4222y x x y 解得)22,2(A ，)22,2(-B ，所以42<<M x ，设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1-=x 于D ，根据抛物线的定义可知ND NE =，所以MNE ∆的周长为++=++ND MN NE ME 3MD MN +=3，而)5,3(1∈+=M x MD ，所以)8,6(3∈+MD ，也即MNE ∆周长的取值范围是(6，8).15．880【解析】如图所示，设圆心为O ，连接BC OC ,因为点C 在半圆上，所以CB AC ⊥，所以θθcos 400cos ||||==AB AC ， 弧的长为θθ4002200=⨯，所以绿 化带的总长度为θθθ400cos 800)(+=f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ．所以.400sin 800)('+-=θθf 令0)('=θf ，得21sin =θ，所以.6πθ= 当⎪⎭⎫⎝⎛∈6,0πθ时，)(,0)('θθf f >单调递增；当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππθ时，)(,0)('θθf f <单调递减；所以当6πθ=时，)(θf 取得极大值，也是最大值，所以.8802006803200340064006cos 8006=+≈+=⨯+=⎪⎭⎫⎝⎛ππππf 故答案为880. 16．),0(∞+【解析】构造函数xex f x g 1)()(+=， .1)0(=g 对任意R x ∈，都有01)()('>--x f x f ，=)('x g ∴>--=+-,01)()(')1)(()('2x x x x ex f x f e e x f e x f 函数)(x g 在R 上单调递增，由=>=+1)(1)(x g e x f x)0(g ，x x ∴>∴,0的取值范围为).,0(∞+四、解答题：本题共6小题，共70分。

湖南省湖南师大附中2021届高三数学上学期第四次月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．设集合}02|{2>--=x xx A ,}30|{<<=x x B ,则=B AA ．(0，2)B ．(1，2）C ．(1，3)D ．(2,3）2．若i i a 23+-为纯虚数,则实数a 的值为A ．23- B ．32- C ．32 D ．233．平面向量)2,1(=a ，3||=b ，6-=⋅b a ,则向量b a ,夹角的余弦值为A ．55-B ．552-C ．51D ．544．《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概 率为A ．81B ．41C ．83D ．215．已知两个变量具备线性相关性,现通过最小二乘法求回归直线方程x b yˆˆ=a ˆ+，将已知数据代入公式21)(a bx y Q iini --=∑=计算后得到的代数式为：321213322+-++b ab b a ,使上述代数式取值最小的b a ,的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为A ．2ˆ+-=x yB ．2ˆ--=x yC ．2ˆ+=x yD ．2ˆ-=x y 6．某单位有6名员工，2020年国庆节期间,决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游,要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点,且这6个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有 A ．120种 B ．180种 C ．240种 D ．320种7．已知数列}{na 前n 项和为nS ,命题2)(:1n na a n Sp +=，命题}{:n a q 为等差数列，则p 是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知B A ,分别为椭圆14:22=+y x C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上一动点,PB PA ,与直线3=x 交于N M ,两点，PMN ∆与PAB ∆的外接圆的周长分别为21,L L ，则21L L的最小值为A ．45B ．43C ．42D ．41二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．空气质量指数大小分为五级，指数越大，说明污染的情况越严重,对人体危害越大．指数范围在：［0，50］,[51，100］，［101，200]，［201，300］，［301，500］分别对应“优"、“良”“轻（中）度污染”、“中度（重)污染”、“重污染"五个等级．下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图,下列说法正确的有A ．这14天中有4天空气质量指数为“良”B ．这14天中空气质量指数的中位数是103C ．从2日到5日空气质量越来越差D ．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日 10．设动点P 在正方体1111D C B A ABCD -上（含内部)，且B D P D 11λ=，当APC∠为锐角时，实数λ可能的取值是A ．21B ．31C ．41D ．5111．在ABC ∆中，下列说法正确的是A ．若B A >，则B A sin sin > B ．存在ABC ∆满足0cos cos ≤+B AC ．若B A cos sin <，则ABC ∆为钝角三角形D ．若2π>C ，则B A C 22sin sin sin +>12．已知0>a ，x x e ex m ---=22)(,xx am x f πsin )()(-=，若)(x f 存在唯一零点，下列说法正确的有 A ．)(x m 在R 上递增B ．)(x m 图象关于点（2，0）中心对称C ．任取不相等的实数R xx ∈21,均有⎪⎭⎫⎝⎛+<+22)()(2121x x m x m x mD ．2π≥a三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知函数⎩⎨⎧≤+>=-,0,22,0,log )(2x x x x f x则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f = 。