单螺杆挤出机中聚合物熔体停留时间分布预测徐百平3(华南理工大学工业装备与控制工程学院) 摘 要 基于有限差分数值模拟技术,提出了预测聚合物熔体在单螺杆挤出机内停留时间分布半解析模拟方法,得到了不同操作参数下的停留时间及其函数的分布曲线。
结果表明,无因次挤出流量越小,聚合物熔体在单螺杆挤出机内的停留时间就越长,而且分布越宽。
所提出的方法能够反映耦合流场及压力反流对停留时间分布的影响,能更真实地反映聚合物熔体在单螺杆挤出机内的停留时间分布。
关键词 聚合物熔体 单螺杆挤出机 停留时间分布 压力反流0 引言 停留时间及其分布规律是挤出机的重要性能指标,它不但反映了聚合物熔体在挤出机内停留时间的长短,揭示混合及反应挤出的关键信息,而且有时甚至可以给出分子级的混合信息[1,2]。
因此,停留时间分布的预测对于挤出机结构设计、操作参数的选择以及制品质量控制都具有重要的作用。
D anckwerts [3]最初提出了停留时间分布的概念,对于复杂的挤出过程,停留时间一般都是采用实验来测定[4,7]。
T adm o r 等人[8]将停留时间推广到单螺杆挤出机内,给出了牛顿流体停留时间分布的解析表达式。
但对于具有剪切变稀特性的聚合物熔体,尤其存在压力反流情况时,纯解析处理方法就显得无能为力。
若采用直接的数值模拟,势必求解复杂的三维耦合流场,计算代价很高。
图1是三维情况下螺槽横截面内流线分布数值解结果,若要进一步求解停留时间分布,还需进一步艰苦的计算,这导致了其在工程设计中的应用受限,往往需要大型的商用软件来支持。
图1 单螺杆挤出机横螺槽环流流线 必须看到,对于单螺杆挤出机来讲,螺槽横截面的几何尺寸满足宽高比WH ≥10,那么,螺槽内高度方向的速度可忽略不计,流场进而可简化为二维来计算[8]。
本文基于这样的前提,在求解二维流场的有限差分方法基础上,进一步提出了新的计算停留时间分布的半解析方法,该法能够求解不同操作参数下聚合物熔体在单螺杆挤出机内停留时间分布,与三维数值模拟相比,计算工作量大大降低。
本文提出的方法简单易行,而且便于编制面向对象的接口程序,为工程设计提供有益的启示。
1 速度场的数值模拟 根据单螺杆挤出机的几何关系,建立如图3徐百平,男,1969年生,博士,讲师。
广州市,510640。
图2 单螺杆挤出机螺槽的物理模型2所示的物理模型,将螺杆与机筒一起展开,并建立如图所示的坐标系,将螺杆视为不动,机筒反向旋转。
为建立数学模型,作如下假设:(1)熔体不可压缩;(2)忽略重力影响;(3)忽略熔体在y 方向的运动;(4)忽略机筒内径与螺棱外径间隙漏流;(5)流场充分发展,则可设x 、z 方向的速度与坐标x 、z 无关,即v x =v x (y ,t ),v z =v z (y ,t ),压力场与y 无关,则p =p (x ,z ,t );(6)边界无滑移;(7)流动为等温流动。
为简化求解,采用以下特征量:特征速度V ϖ=2ΠRN r co s Χ,螺槽特征高度H ,特征宽度W ,螺槽展开特征长度L ,特征时间取为螺杆转动周期,T =1 N r ,特征应力取+=K (V ϖH )n ,H 为螺槽高度,R 为螺杆顶圆半径,Χ为螺纹升角,N r 为螺杆转速。
因此,各方程中各个无因次量表示如下: t π=t N r , Φ=x W , Γ=y H , z ζ=z L Σο～ =Σο +,p =p +, v ο～=v ο Vϖ其中,Σο为剪切应力张量,v ο为速度矢量。
那么,可进一步建立以下的数学模型,将控制方程无因次化,略去无量纲标志:Β5v x 5t =-H 5p W 5Ν+5Σxy 5Γ(1)Β5v z t =-H 5p L5z +5Σyz (2)其中,无因次参数Β的表达式为:Β=ΘVϖ1-n H n +1NrK(3)上式中,Θ为熔体密度,K 为熔体稠度,n 为幂律指数,无因次剪切应力采用幂律表达式,即:Σxy =5v z 5Γ2+5v x 5Γ2n -125v x 5Γ(4)Σyz =5v z 5Γ2+5v x 5Γ2n -125v z5Γ(5)在不产生歧义的情况下略去无量纲标志,将边界速度无因次化:v x Γ=0=v z Γ=0=0(6)v x Γ=1=tg Χ(7)v z Γ=1=1(8)根据连续性假设,还可得以下附加表达式:∫10v xd Γ=0(9) ∫10v zd Γ=QV ϖH=S z (10)式(10)中,Q 为单位螺槽宽度的挤出流量,S z为无因次挤出流量系数。
当螺杆转速不变时,该参数反映了口模阻力的不同。
本文采用有限差分方法求解上面的方程组。
参考标志网格方法(M A C )[9,10],将螺槽高度方向均分成N 等分,并使速度与应力节点交错布置,如图3所示:速度节点始于边界,那么将具有N +1个节点;应力节点跨边界,则有N 个内节点。
我们采用计算节点数为N =80,计算控制误差Ε=10-6。
取单螺杆转速N r =1,螺杆螺槽的几何尺寸参数及聚合物熔体的物性参数如表1、2所示。
其中,流变特性参数的测定在BRAB END ER 公司的PLA ST I -CO RD ER 塑料工作站上进行。
表1 螺槽几何尺寸螺杆顶径D mm 螺槽高度H mm 螺槽宽度W mm螺槽展开长度L mm螺旋角Χ (°)3022769317165 表2 物性参数名称M I g m in -1Θ kg m -3K N s 0473 m -2nLD PE1172850870001473图3 流场节点标记2 停留时间及分布函数的确定 考虑v x Γ=0=v z Γ=0=0,对于x 、z 方向耦合的速度场采用以下的多项式拟合来得到近似的解析解:v x =∑mi =1X i Γi(11)v z =∑m i =1Z i Γi(12) 本文取m =5来进行拟合。
在不同的操作参数下,即无因次挤出流量系数S z =012、014时,拟合结果如表3、4所示。
表3 不同操作参数下X i 拟合结果S zX1X2X3X4X5012-01493131169248-31590133184688-1113804016-01506370192197-01812430191321-0119764 表4 不同操作参数下Z i 拟合结果S zZ 1Z 2Z 3Z 4Z 5012-01150390179857-11916253134024-11072130160163413-010746501346670117047-0107660图4 S z =012、014时横螺槽速度空间分布及拟合曲线 速度场的数值模拟结果及对应的拟合曲线如图4、5所示。
从图中可以看出,当n =01473时,采用5次多项式拟合的速度场与数值解结果符合得很好。
图5S z =012、014时螺槽展开方向速度空间分布及拟合曲线 这样,可以根据二维简化得到横螺槽环流坐标Γ、Γc 之间关系:∫1Γv xd Γ+∫Γcv xd Γ=0(13)将式(11)、(12)代入式(13),分解因式后得到:(Γ-Γ0)∑mi =1Xii +1Γi+Γc i+∑i -1j =1Γc jΓi -j=0(14) 上式中Γ0为环流中心点,其值可令式(11)为零得到;当Γ>Γ0时,给定Γ、Γc ,可采用数值方法求解式(14)得到。
Γ、Γc 之间对应关系如图6所示。
图6 横螺槽环流流线Γ-Γc 的对应关系 参见图1,流体质点作环流的过程中,由于W H ≥10,故假设从上部Γ运动到下部Γc 及其逆过程所需时间为零,且上下部运动的距离均为螺槽宽度W 。
设熔体输送段展开长度为L ,可得到不同环流上的流体质点的停留时间: t (Γ,Γc )=L V ϖv x (Γ)-v x (Γc )v z (Γc )v x (Γ)-v z (Γ)v x (Γc )(15)根据停留时间的定义[3]有: f (t )d t =d QQ=v z (Γ)d Γ-v z (Γc )d Γc∫1v z d Γ(16)结合式(12)、(14)及(15),将式(16)进一步化简为:f (t )=v z (Γ)-v z (Γc )d Γc d Γd td Γ∑mi =1Z i i +1(17)式(17)中,d Γc d Γ、d td Γ的表达式分别为:d Γcd Γ=∑mi =1XiΓi∑mi =1Xi Γci(18) d t d Γ=L V ϖA -B [v z (Γc )v x (Γ)-v z (Γ)v x (Γc )]2(19)其中,A 、B 的表达式如下: A =[v ′x (Γ)-v ′x (Γc )d Γcd Γ]×[v z (Γc )v x (Γ)-v z (Γ)v x (Γc )](20) B =[v x (Γ)-v x (Γc )][v ′z (Γc )v x (Γ)d Γc d Γ+v z (Γc )v ′x (Γ)-v ′z (Γ)v x (Γc )-v z (Γ)v ′x (Γc )d Γcd Γ](21)代入式(11)、(12),式(20)、(21)变为:A =∑mi =1iXiΓi -1-Γc i -1d Γc d Γ×∑m i =1Z i Γc i∑m i =1X i Γi-Γi∑mi =1X i Γc i(22)B =∑mi =1Xi(Γi-Γc i)[(∑mi =1Z ii Γc i -1∑mi =1Xi Γi-∑mi =1Z i Γi ∑mi =1X i i Γc i -1)d Γc d Γ+∑mi =1Z i Γci∑mi =1Xii Γi -1-∑mi =1Z ii Γi -1∑mi =1Xi Γci ](23) 因此,由式(11)、(12)、(15)、(17)、(18)、(19)、(22)及式(23)就能够求出螺槽中不同高度Γ的流体所对应的停留时间及其分布函数。
3 停留时间分布模拟结果及分析 停留时间的模拟结果如图7～图9所示,其中,图7为不同操作参数下的停留时间分布,图8、9为停留时间分布函数曲线。
图7 不同操作参数下环流的停留时间 从图7可以看出,环流中心处的流体质点停留时间最短,贴近机筒壁的流体质点停留时间最长,因为虽然机筒壁的速度快,但螺杆根径处的速度最慢。
对比发现,无因次挤出流量系数S z 越小,流体在挤出机内的停留时间越长。
因此,当螺杆转速不变时,口模阻力越大,会使聚合物熔体的停留时间增大,所受的剪切图8 横螺槽环流流线的对应关系图9 横螺槽环流流线的对应关系历程加长,这无疑会提高混合效果。
从图8、9可以看出,S z越小,停留时间分布的宽度越大,脱尾越长。
前面的模拟结果表明,当螺杆的操作参数不变时,增加口模阻力,会导致停留时间增大、分布变宽。
