高中数学选修2-3课时作业14：1.2.1排列(1)

2019年编·人教版高中数学高中数学 1.2.1第1课时 排列与排列数公式课时作业 新人教A 版选修2-3一、选择题1．下面问题中，是排列问题的是( ) A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B ．从40人中选5人组成篮球队 C ．从100人中选2人抽样调查 D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B ，C ，D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．答案：A2．乘积m (m ＋1)(m ＋2)(m ＋3)…(m ＋20)可表示为( ) A ．A 2m B ．A 21m C ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20解析：因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m ＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)·(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20.答案：D3．已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．14解析：由8！－n ！×3＝9！－n ！×4，得(11－n )(10－n )＝12，解得n ＝7.答案：B4．给出下列4个等式：①n ！＝n ＋！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！n －m ！；④A m －1n －1＝n －！m －n ！，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：n ＋！n ＋1＝n ＋n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n n －！n －－m －！＝n ！n －m ！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝n －！n －－m －！＝n －！n －m ！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确．答案：C5.A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36.答案：D6．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类，一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题7．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是___________________________________.解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 8．满足不等式A 7nA 5n >12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！n －！n －！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2.又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：109．如果A mn ＝17×16×…×5×4，则n ＝__________，m ＝__________. 解析：易知n ＝17.又4＝n －m ＋1＝17－m ＋1＝18－m ， ∴m ＝14. 答案：17 14 三、解答题10．解下列各式中的n 值． (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)∵90A 2n ＝A 4n ，∴90n (n －1)＝n ·(n －1)(n －2)(n －3)， ∴n 2－5n ＋6＝90，n 2－5n －84＝0，(n －12)(n ＋7)＝0， n ＝12或n ＝－7.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *，∴n ＝12. (2)n ！n －！·(n －4)！＝42(n －2)！，∴n (n －1)＝42，n 2－n －42＝0，n ＝7或n ＝－6.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *. ∴n ＝7.11．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A 44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A 25＝20种选法，形成的排列是： 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.12．规定A mx ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2. 令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞；令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33.。

人教版高中数学精品资料高中数学1.2.1第1课时排列（一）课时作业新人教A版选修2-3一、选择题1．从1、2、3、4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )A．2 B．4C．12 D．24[答案] C[解析]本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A24＝12.2．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( )A．A812种B．2A88A44种C．8A88种D．9A88种[答案] D[解析]将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A99＝9A88种．3．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A．108种B．186种C．216种D．270种[答案] B[解析]从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A37－A34＝186(种)，选B．4．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )A．A88B．A48C．A44A44D．2A44[答案] C[解析]安排4名司机有A44种方案，安排4名售票员有A44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A44A44种方案．5．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)种准备不同的火车票种数为( )A ．30种B ．15种C ．81种D ．36种[答案] A[解析] 对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A 26＝6×5＝30种．故选A ．6．某校某班2015年元旦晚会计划有8个声乐节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数为( )A ．A 88 B ．A 811 C ．A 88A 39 D ．A 88A 38[答案] C[解析] 先排8个声乐节目共有A 88种排法，产生9个空隙，再插入3个舞蹈节目有A 39，据分步乘法计数原理，共有A 88·A 39种．二、填空题7．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案] 480[解析] A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480.8.某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有________种．[答案] 48[解析] 由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用4色有A 44种，第二类，用3色有4A 33种，故共有A 44＋4A 33＝48种．9．用0、1、2、3、4、5可以排出没有重复数字且大于3240的四位数________个．[答案] 149[解析] 当首位为4或5时，有2×A 35种；当首位为3，百位为4或5时，有2×A 24种；当首位为3，百位为2，十位为5时，有3种，最后还有3245和3241满足，因此没有重复数字且大于3240的四位数共有2A 35＋2A 24＋3＋2＝149个．三、解答题10．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数． (1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？ (2)这些四位数中大于6500的有多少个？[解析] (1)偶数的个位数只能是2、4、6有A 13种排法，其它位上有A 36种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数A 13·A 36＝360个；能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120个．(2)最高位上是7时大于6500，有A 36种，最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×A 25种．∴由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6500的共有A 36＋2A 25＝160个．一、选择题11．摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种[答案] B[解析] 2位老师作为一个整体与5名学生排队，相当于6个元素排在6个位置，且老师不排两端，先安排老师，有4A 22＝8种排法，5名学生排在剩下的5个位置，有A 55＝120种，由分步乘法计数原理得4A 22×A 55＝960种排法．[点评] 因为两位老师相邻，故可作为一个元素，因此可先将5名同学排好，在5名学生形成的4个空位中选1个，将两位老师排上，共有A 55·(4A 22)种不同排法．12．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x 2m 2＋y 2n2＝1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |<11，且|y |<9}内的椭圆个数为( )A ．43B ．72C ．86D ．90[答案] B[解析] 在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m 、n ，共有A 28＝56种方法；可在9、10中取一个作为m ，在1、2、…、8中取一个作为n ，共有A 12A 18＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A 28＋A 12A 18＝72.13．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种[答案] A[解析]先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法；再排第二列，第二列第一行的字母有2种排法，排好此位置后，其他位置只有一种排法．因此共有2A33＝12种不同的排法．14.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )A．6种B．8种C．36种D．48种[答案] D[解析]如图所示，三个区域按参观的先后次序共有A33种参观方法，对于每一种参观次序，每一个植物园都有2类参观路径，∴共有不同参观路线2×2×2×A33＝48种．二、填空题15．如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案]24[解析]六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE )，(PA ，EF )共四对．同理与其他侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．16．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．[答案] 5760[解析] 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A 22种放法； 第二步，油画内部排列，有A 44种； 第三步，国画内部排列，有A 55种．由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有A 22A 55A 44＝5 760(种)． 三、解答题17．求和：12！＋23！＋34！＋…＋nn ＋！.[解析] ∵k k ＋！＝k ＋1－1k ＋！＝k ＋1k ＋！－1k ＋！＝1k ！－1k ＋！，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12！－13！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13！－14！＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ！－1n ＋！＝1－1n ＋！. 18.(2015·宝鸡市金台区高二期末)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？[解析] 百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个， 百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个， 百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个， 百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个， 百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个， 同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个， 百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个， 百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个， 百位是2比666小的渐降数有1个，所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．。

1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。

新课标A版高中数学选修2-3课时作业在新课标A版高中数学选修2-3的课程中，我们深入探讨了概率论与统计学的基础概念和应用。

通过本课时的学习，学生们将能够理解随机事件的概率计算，掌握统计数据的收集、整理和分析方法，以及如何运用这些知识解决实际问题。

以下是本课时的作业内容，旨在巩固和深化学生对本课时内容的理解。

1. 概率论基础- 计算下列事件的概率：- 一枚均匀硬币连续抛掷三次，至少出现一次正面朝上的概率。

- 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红心的概率。

- 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取两个球，两个都是红球的概率。

2. 统计数据的收集与整理- 假设你要进行一项关于学生每天使用手机时间的调查。

请设计一个简单的调查问卷，包括至少3个问题，用于收集相关数据。

- 根据调查结果，绘制一张频率分布直方图，展示学生使用手机时间的分布情况。

3. 概率分布- 描述二项分布和泊松分布的特点，并给出它们的数学表达式。

- 假设一个工厂每天平均生产100个产品，其中有2%的产品是次品。

使用泊松分布计算在一天内生产出3个或更多次品的概率。

4. 统计推断- 简述点估计和区间估计的区别，并给出一个例子说明如何进行点估计。

- 假设你收集了一组数据，数据的样本均值为50，样本标准差为10，样本容量为30。

使用t分布，计算95%的置信区间。

5. 相关性分析- 描述相关系数的计算方法，并解释其意义。

- 给出两个变量的数据集，计算它们的相关系数，并判断这两个变量之间是否存在相关性。

6. 实际应用- 选择一个你感兴趣的实际问题，使用本课时所学的概率论和统计学知识，设计一个解决方案。

- 描述你的解决方案，并解释为什么你认为它有效。

请同学们认真完成作业，这将有助于你们更好地理解和应用概率论与统计学的知识。

在完成作业的过程中，如果遇到任何问题，可以随时向老师寻求帮助。

§1.2 排列与组合1．2.1 排列(一)一、选择题1．A m 12＝9×10×11×12，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n 的值是( )A ．2B ．6C ．7D ．84．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A ．6B ．4C ．8D ．105．2016北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为( )A ．12B ．24C ．36D ．606．下列各式中与排列数A m n 相等的是( )A.n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C.n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n A m －1n －1 二、填空题7．记S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字是________．8．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素．9．满足不等式A 7n A 5n>12的n 的最小值为________． 10．一条铁路线上原有n 个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m (m ＞1)个车站，客运车票增加了62种，则n ＝________，m ＝________.11．有3名司机，3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．(填数字)三、解答题12．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法．13．甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？四、探究与拓展14．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有() A．120个B．80个C．40个D．20个15．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？[答案]精析1．B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D7.38．49.1010.15211.3612．解如图，由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．13．解由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙．若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，共5种．同样甲第一次发球给丙，也有5种情况．由分类加法计数原理，共有5＋5＝10(种)不同传球方法．14．C15．解(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果，第二步，得十位数字，有5种不同结果，第三步，得个位数字，有4种不同结果，故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(2)三位数中每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．。

1.2.1排列（1）1．(2013·石家庄调研)集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则P 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．82．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．从n 个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n 的值为( )A ．6B ．8C ．9D ．124．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )A ．24个B ．30个C ．40个D ．60个5．不等式x A 3x ＞3A 2x 的解集为( )A ．{x |x ＞3}B ．{x |x ＞4，x ∈N *}C ．{x |3＜x ＜4}D ．{x |x ＞3，x ∈N *}6．下列各式中与排列数A m n 相等的是( )A.n ！n －m ＋1！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C.n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n ·A m －1n －1 7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.8．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．9．满足不等式A 7n A 5n＞12的n 的最小值为________． 10．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．11．用1,2,3,4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n }．(1)写出这个数列的前11项；(2)这个数列共有多少项．12．解下列各式中的n 值．(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2.13．四个人A ，B ，C ，D 站成一排，其中A 不站排头，写出所有的站队方法．——★ 参 考 答 案 ★——1.[解析]选A.P ＝{4,12,24}．2．[解析]选B.①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．3．[解析]选C.∵A 2n ＝72，∴n ＝9.4．[解析]选A.将符合条件的偶数分为两类，一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．5．[解析]选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ≥2，x ∈N *，得x ≥3，且x ∈N *，由排列数公式，原不等式可化为x ·x ·(x －1)·(x －2)＞3·x ·(x －1)，即x 2－2x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞3，所以原不等式的解集为{x |x ＞3，x ∈N *}．6．[解析]选D.∵A m n ＝n ！n －m ！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·n －1！[n －1－m －1]！＝n ！n －m ！， ∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1，故选D. 7．[解析]10－m ＋1＝5，得m ＝6.8．[解析]从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A 25＝20种添加方法．9．[解析]由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9，所以n 的最小值为10.10．[解析]易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A 、B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A 26＝30(条)．11．解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．12． (1)∵90A 2n ＝A 4n ，∴90n (n －1)＝n ·(n －1)(n －2)(n －3)， ∴n 2－5n ＋6＝90，n 2－5n －84＝0，(n －12)(n ＋7)＝0，n ＝12或n ＝－7(舍)．(2)n ！n －4！·(n －4)！＝42(n －2)！，∴n (n －1)＝42，n 2－n －42＝0，n ＝7或n ＝－6(舍)． 13．解：树形图如图：由树形图可知，所有的站队方法有：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.。

高中数学1.2.1.1排列与排列数公式课时作业（含解析）新人教A版选修23知识点一排列的概念1.下列问题是排列问题吗？(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题．(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题．(3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题．知识点二排列的列举问题2.写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？解(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是： BADC ，BACD ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA 共14种.知识点三 排列数的计算3.A 67－A 56A 45＝( ) A ．12 B ．24 C ．30 D ．36答案 D解析 A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 4．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n ＝________.答案 7 解析 原方程可化为n (n －1)＝7(n －4)(n －5)．解得n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝103舍去. 5．若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解 由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)．因为n ≥3且n ∈N *，所以3n 2－17n ＋10＝0.解得n ＝5或n ＝23(舍去)． 所以n ＝5.6．求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A m n .证明 A m n －1＋m A m －1n －1＝n －1！n －1－m ！＋m ·n －1！n －m ！ ＝n －1！n －m ＋m n －m ！＝n ！n －m ！＝A m n .一、选择题1．下列问题中：(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；(2)10位同学去做春季运动会志愿者；(3)10位同学参加不同项目的运动会比赛；(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案 B解析由排列与顺序是否有关决定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.2．20×19×18×…×9＝( )A．A1220 B．A1120 C．A1020 D．A920答案 A解析∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝A1220.3．已知A2n＝132，则n等于( )A．11 B．12 C．13 D．14答案 B解析A2n＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)．4．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋A20142014，则M的个位数字是( )A．3 B．8 C．0 D．5答案 A解析∵当n≥5时，A n n＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时A n n的个位数字为0，又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.5．从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )A．20 B．16 C．10 D．6答案 B解析不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a不当副组长，有A25－A14＝16种不同的选法．二、填空题6．A66－6A55＋5A44＝________.答案120解析原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．答案 252解析 三名主力队员排在第一、三、五位置有A 33种排法，其余7名队员选2名排在第二、四位置有A 27种排法，故共有A 33·A 27＝252种出场安排．8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案 24解析 第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．三、解答题9．解下列各式中的n 值．(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2.解 (1)∵90A 2n ＝A 4n ，∴90n (n －1)＝n ·(n －1)(n －2)(n －3)，∴n 2－5n ＋6＝90， n 2－5n －84＝0即(n －12)(n ＋7)＝0，n ＝12或n ＝－7.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *，∴n ＝12.(2)∵A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2，∴n ！n －4！·(n －4)！＝42(n －2)！， ∴n (n －1)＝42， 即n 2－n －42＝0解得n ＝7或n ＝－6.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *.∴n ＝7.10．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解 (1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A 35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A 26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 35·A 26＝1800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A 24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A 37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 24·A 37＝2520种．。

第二章一、选择题(每小题分，共分)．若的分布列为，则()＝( )解析：由题意知＋＝，∴＝，()＝×＋＝＝.答案：．已知ξ～，η～，且(ξ)＝，则(η)等于( )．．．．解析：(ξ)＝＝，∴＝.∴η～，∴(η)＝×＝.答案：．已知＝＋，()＝，则()的值为( )．．．．解析：∵()＝(＋)＝()＋＝，∴()＝.答案：．设件产品中有件次品，从中抽取件进行检查，则查得次品数的均值为( )解析：设取得次品数为ξ(ξ＝)，则(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，∴(ξ)＝×＋×＋×＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．(·威海高二检测)某种种子每粒发芽的概率为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为．解析：由题意可知，补种的种子数记为，服从二项分布，即～()，所以的数学期望()＝×＝.答案：．随机变量ξ的概率分布列由下表给出：则随机变量ξ解析：(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．一个盒子里装有张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字；另一个盒子也装有张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量η＝＋，求η的分布列和数学期望．解析：依题意，随机变量η＝，…，，则有(η＝)＝＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，∴η的分布列为(η)＝×＋．甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.记甲击中目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η.()求ξ的分布列；()求ξ和η的数学期望．解析：()(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝.ξ的分布列为()由题意可得，ξ～，η∴ξ＝×＝＝，η＝×＝.。

选修2-3第一章§2课时作业30一、选择题1．下列问题中：(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；(2)10位同学互通一次电话；(3)10位同学互通一封信；(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由排列与顺序是否有关决定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.答案：B2．20×19×18×…×9＝()A．A1220B．A1120C．A1020D．A920解析：∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝A1220.答案：A，则M的个位数字是()3．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋A20142014A．3 B．8C．0 D．5解析：∵当n≥5时，A n n＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时A n n的个位数字为0，又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.答案：A4．下列各式中与排列数A m n相等的是()A．n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C．n A m n－1n－m＋1D．A1n·A m－1n－1解析：∵A m n＝n！(n－m)！＝n·(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)而A1n·A m－1n－1＝n·(n－1)！[(n－1)－(m－1)]！＝n！(n－m)！∴A m n＝A1n·A m－1n－1，故选D.答案：D二、填空题5．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为__________．(把代号填上)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲②甲乙丙，乙丙甲③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙④甲乙，甲丙，乙丙解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．答案：③6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是__________．解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案：12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed7．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是________．解析：设车站数为n，则A2n＝132，即n(n－1)＝132，所以n＝12(n＝－11舍去)．答案：12三、解答题8．解下列各式中的n值．(1)90A2n＝A4n；(2)A4n·A n－4n－4＝42A n－2n－2.解：(1)∵90A2n＝A4n，∴90n(n－1)＝n·(n－1)(n－2)(n－3)，∴n2－5n＋6＝90，n2－5n－84＝0，(n－12)(n＋7)＝0，n＝12或n＝－7.由排列数定义知n≥4，n∈N*，∴n＝12.(2)n！(n－4)！·(n－4)！＝42(n－2)！，∴n(n－1)＝42，n2－n－42＝0，n＝7或n＝－6.由排列数定义知n≥4，n∈N*.∴n＝7.9．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.。

1.2 排列与组合1.2.1 排列（一）一、基础达标1.A67－A56A45＝() A．12 B．24 C．30 D．36[答案] D[解析]A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36.2．18×17×16×…×9×8＝() A．A818B．A918C．A1018D．A1118[答案] D3．若x＝n！3！，则x＝()A．A3n B．A n－3nC．A n3D．A3n－3 [答案] B4．与A710·A22不等的是() A．A910B．81A88C．10A99D．A1010[答案] B5．若A5m＝2A3m，则m的值为() A．5 B．3 C．6 D．7[答案] A6．若A m n＝17×16×15×…×5×4，则n＝________，m＝________.[答案]17147．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？解坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A610＝151 200种坐法．二、能力提升8．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有() A．50 B．60 C．120 D．90[答案] C[解析]5本书进行全排列，A55＝120.9．(2013·四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是() A．9 B．10 C．18 D．20[答案] C[解析]首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.10．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)．[答案]60[解析]将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60(种)．11．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.12．判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题． 三、探究与创新13．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62. ∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31， ∵m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N * ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。

1.2.1 排列A组基础巩固1．已知A2n＝7A2n－4，则n的值为()A．6 B．7C．8 D．22．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为()A．A88B．A48C．A44A44D．2A443．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有()A．A33·A58种B．A55·A34种C．A55·A35种D．A55·A36种4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为() A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!5．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有() A．240种B．600种C．408种D．480种6．在书柜的某一层上原来共有5本不同的书，如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入法．(用数字回答)7．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．8．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．9．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数．10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个歌曲节目互不相邻；(3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．B组能力提升1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有() A．36种B．42种C．48种D．54种2．取1,2,3,4,5这五个数字中的两个分别作为一个对数的底数和真数，则所得的不同值有()A．12个B．13个C．16个D．20个3．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．4．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．5．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，则共有多少种出场方案．6．在集合{1,2,3，…，20}中取出三个数排成一列，使它们构成等差数列，问一共可以构成多少个等差数列？——★参考答案★——A组基础巩固1．[[答案]]B[[解析]]由排列数公式得：n (n －1)＝7(n －4)(n －5)， ∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或103(舍去)．2．[[答案]]C[[解析]]安排4名司机，有A 44种方案，安排4名售票员，有A 44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A 44A 44种方案．故选C.3．[[答案]]C[[解析]]插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排，有A 55种排法，除去最左边的空共有5个空位供男生选，有A 35种排法，故共有A 55·A 35种不同的排法．故选C. 4．[[答案]]C[[解析]]把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种． 5．[[答案]]D[[解析]]将四人排成一排共有A 44种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有A 25种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有A 44·A 25＝480种． 6．[[答案]]336[[解析]]试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本，因此“在5本书中插入3本书”就与“从8本书中抽出3本书”对应，故符合题意的插法共有A 38＝336种． 7．[[答案]]36[[解析]]记5件产品为A 、B 、C 、D 、E ，A 、B 相邻视为一个元素，先与D 、E 进行排列，有A 22A 33种方法；再将C 插入，仅有3个空位可选，共有A 22A 33×3＝2×6×3＝36种不同的摆法． 8．[[答案]]30[[解析]]易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A 、B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 9．解：(1)解法一 (从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有A 13种填法，第二步再填十万位，有A 14种填法，第三步填其他位，有A 44种填法，故共有A 13A 14A 44＝288个六位奇数．解法二 (从特殊元素入手)0不在两端有A 14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A 13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A 44种排法，故共有A 14A 13A 44＝288个六位奇数．解法三 (排除法)6个数字的全排列有A 66个，0,2,4在个位上的排列数为3A 55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数有3A 44个，故对应的六位奇数的排列数为A 66－3A 55－3A 44＝288个．(2)解法一(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504个．解法二(直接法)个位不排5，有A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排0时，有A55个．第二类：当个位不排0时，有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504个．10．解：(1)先排歌曲节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有A27种插入方法，所以共有A66A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的歌曲节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个歌曲节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44A35A22＝2 880种排法．B组能力提升1．[[答案]]B[[解析]]分两类：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24种排法；第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B.2．[[答案]]B[[解析]]分二类：两个数中有1时，值为0.两个数中无1时，有A24＝12个，共有A24＋1＝13个，故选B.3．[[答案]]40[[解析]]第一步，将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝8(种)排法；第二步，再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定．∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个．4．[[答案]](1,3)[[解析]]由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足，若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足，故甲(1,3)．5．解：将“女男女”当整体看待，有6种情况，每一种情况有A33种，所以共有6A 33＝6×3×2＝36(种)． 6．解：先选出两个数a ，c 作为等差数列的首项和末项，则中间一个数应为a ＋c 2，为使a ＋c 2在集合中，故分两类：(1)a ，c 同为奇数，N 1＝A 210，(2)a ，c 同为偶数，N 2＝A 210，故满足条件的等差数列共有N ＝N 1＋N 2＝A 210＋A 210＝180个.。

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鑫达捷 1.2 排列(1)作业
班级 姓名
1. 由1，2，3，4这4个数，可以组成各位数字不重复的三位数有 个.
2. 一个画展在四所学校轮展，每个学校展出一次，不同的轮展次序有 种.
3. 已知学校高二（1）班有4名同学竞选班长，副班长，那么不同的竞选结果共
有 个.
4. 5人站成两排，前排2人，后排3人，共有 种不同的站法.
5.（1）已知：1010985m A =⨯⨯⨯⨯L ，则m = ；
（2）已知：256n A =，则n = .
6. 计算：
（1）234545A A +； （2）12344444A A A A +++；
（3）731251212
2A A A ； （4）3710710!A A 7. 12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖，二等奖，三等奖各一名，每人最多获得一种奖项.问：一共有多少种不同的获奖情况？。

课时作业(十四)
．下列各表中可作为随机变量的分布列的是( )
.
.
.
.
答案
解析由≥知错误，又＝，验证知正确．
．若随机变量的分布列为下表，则的值为( )
答案
解析由分布列性质，有＋＋＋＝，得＝.
．某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量描述次试验的成功次数，则(＝)等于( )
．
答案
解析设失败率为，则成功率为，分布列为
由＋＝，得＝，∴＝.
．设随机变量ξ的分布列为(ξ＝)＝(＝)，则(<ξ<)等于( )
答案
解析由<ξ<知ξ＝.
(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，
∴(<ξ<)＝(ξ＝)＋(ξ＝)＝.
．设随机变量ξ的分布列为(ξ＝)＝()，＝，则的值为( )
．
答案
解析由(ξ＝)＋(ξ＝)＋(ξ＝)＝，得(＋＋)＝，∴＝.
．若随机变量的分布列如下表所示，则＋的最小值为( )
答案
解析由分布列的性质可知＋＝，而＋≥＝(仅当＝＝时等号成立)．
．(·广州高二检测)随机变量ξ的分布列为(ξ＝)＝，＝，其中为常数，则(ξ≥)等于( )
答案
解析由(ξ＝)＝，＝，可知＋＋＝，解得＝.故(ξ≥)＝－(ξ＝)＝－＝－×＝.
．随机变量η的分布列如下：
则①＝；②(η
③(<η≤)＝.
答案①②③
．设随机变量ξ的可能取值为、、、…、这个值，且取每个值的概率均相同，则(ξ>)＝，(<ξ≤)＝.
答案。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2第1课时 排列课时作业新人教B 版选修2-3一、选择题 1.A 67－A 56A 45等于( )A ．12B ．24C ．30D ．36[答案] D[解析] A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36.2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种[答案] B[解析] 分两类：最左端排甲有A 55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有A 14A 44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．3．若A n 10－A n9＝n ！·126(n ∈N ＋)，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．5或6[答案] D[解析] 本题不易直接求解，可考虑用代入验证法．故选D.4．(2015·抚顺高二检测)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( )种( )A ．720B ．360C ．240D ．120[答案] C[解析] 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A 55种排法，但甲、乙两人有A 22种排法，由分步计数原理可知：共有A 55·A 22＝240种不同的排法．故选C.5．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种( )A．144 B．90C．260 D．120[答案] A[解析]3名女生先排好，有A33种排法，让3个男生去插空，有A34种方法，故共有A33·A34＝144种．故选A.6．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为( )A．A44B．A36C．A46D．A33[答案] A[解析]把3个空位看作一个元素与3辆汽车共4个元素全排列．故选A.7．6个人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( )A．720 B．144C．576 D．684[答案] C[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576.故选C.二、填空题8．(2015·广东理，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)[答案] 1 560[解析]同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言．9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有____________种．[答案]20三、解答题10．(1)从4名学生中选出两名参加数学竞赛，共有多少种选法？(2)从4名学生中选出两名担任班长和副班长，共有多少种选法？[解析](1)因为被选出的两名学生选出后没有顺序，所以不是排列问题．设四名学生分别为A，B，C，D，则可能选AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6种选法．(2)因为从4名同学中选出两名当班长和副班长是有顺序的，因此符合排列条件，可用排列数公式计算：有A24＝4×3＝12(种)不同的选法．一、选择题1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120C．72 D．24[答案] D[解析]就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A34＝24种不同坐法，故选D.2．为了迎接2015年长春城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5s.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A．1 205s B．1 200sC．1 195s D．1 190s[答案] C[解析]由题意每次闪烁共5s，所以不同的闪烁为A55＝120s，而间隔为119次，所以需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1 195s.说明：本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能力．3．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A．108种B．186种C．216种D．270种[答案] B[解析](间接法)考虑“至少有1名女生”的对立事件“全部为男生”则有A34＝24种方案，不考虑男女差异则共有A37＝210种方案，∴“至少有1名女生”有210－24＝186种选派方案．故选B.二、填空题4．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．[答案]448[解析] 千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)…(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字．其余两位无任何限制．∴共有8A 28＝448个．5．航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．[答案] 36[解析] ∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A 44＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体，甲中间，有A 22A 33＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．三、解答题6．解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .[解析] 原方程可化为3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.7．某校为庆祝2015年教师节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：(1)3个舞蹈节目互不相邻；(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．[解析] (1)先安排4个小品节目，有A 44种排法，4个小品节目中和两头共5个空，将3个舞蹈节目插入这5个空中，共有A 35种排法，∴共有A 44·A 35＝1 440(种)排法．(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈排在2,4,6位，安排时可分步进行．解法1：先安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A 44种排法；再安排舞蹈节目在2,4,6位，有A 33种排法，故共有A 44·A 33＝144(种)排法．解法2：先安排3个舞蹈节目在2,4,6位，有A 33种排法；再安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A 44种排法，故共有A 33·A 44＝144(种)排法．8．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数； (3)不大于4310的四位数且是偶数．[解析] (1)方法一：从特殊位置入手(直接法)．第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A 13种排法；第二步：排十万位，有A 14种排法；第三步：排其他位，有A 44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A 13A 24A 44＝288(个)．方法二：从特殊元素入手(直接法).0不在两端有A14种排法；从1,3,5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A14A13A44＝288(个)．方法三：(排除法)6个数字全排列有A66种排法；0,2,4，在个位上的排列有3A55个；1,3,5在个位上且0在十万位上的排有3A44个，故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)方法一：(排除法)0在十万位上的排列，5在个位上的排列都不是符合题意的6位数，故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．方法二：(直接法)十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因而分两类．第一类：当个位上排0时，有A55种排法；第二类：当个位上不排0时，有A14A14A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)当千位上排1,3时，有A12A13A24种排法；当千位上排2时，有A12A24种排法；当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个，形如41××的偶数有A12A13个，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数满足题意．故不大于4310的四位数且是偶数的共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．。