平移旋转与对称改

平移旋转和对称的基本概念平移、旋转和对称是数学中的基本概念，它们在几何学、代数学以及实际生活中具有重要的应用。

本文将通过解释这些概念的意义和原理，以及它们在不同领域的应用，来帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。

1. 平移的概念与应用平移是指在平面上将一个图形移动到另一个位置，移动的距离和方向保持不变。

例如，我们可以将一个正方形从原来的位置移动到其他位置，而它的边长、面积和角度并不改变。

平移可以用向量来表示，通过将所有的点都按照相同的向量进行平移即可。

平移在几何学中有广泛的应用。

例如，在设计建筑物时，建筑师可以通过平移来确定各个房间的位置和相对位置，从而在平面上合理地布局。

另外，在计算机图形学中，平移也是实现图像移动和交互的重要手段，通过改变图像的位置实现动画效果。

2. 旋转的概念与应用旋转是指以某个中心点为基准，将图形按照一定角度旋转。

旋转使得图形的形状保持不变，只是在空间中发生了位置的改变。

旋转可以用角度来表示，通过将图形中的每个点绕着中心点旋转相同的角度即可。

旋转在几何学中也有很多应用。

在地理学中，地球的自转和公转使得我们能够感知到昼夜的变化和季节的交替。

在艺术作品和设计中，旋转被广泛地运用，例如一幅画中的旋转图案或者轮廓线。

3. 对称的概念与应用对称是指一个图形在某个中心点或者轴线的两侧是完全相同的。

简单来说，我们可以把一个图形沿着中心点或轴线对折，两边的形状是相同的，就可以说这个图形具有对称性。

对称可以分为平面对称和轴对称。

对称在几何学和物理学中有广泛的应用。

在几何学中，对称是图形重要特征之一，通过对称性质可以简化计算和分析。

在物理学中，许多物理现象都具有对称性，例如轨道运动、电磁场分布等，通过对称性原理可以简化实际问题的求解。

通过对平移、旋转和对称的解释和应用，我们不仅能够更好地理解和运用这些基本概念，还能够在实际生活中发现它们的应用。

几何学中的这些基本概念贯穿了数学的各个领域，并且具有广泛的实际应用，对我们的日常生活和学习有着重要的影响。

平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质平移、旋转和对称是几何学中重要的概念和操作。

它们是描述和变换图形位置和形状的基本工具。

本文将详细介绍平移、旋转和对称的定义及其性质。

一、平移的定义与性质平移是指将一个图形沿着一定方向移动一定距离，而不改变其形状和方向。

下面是平移的定义与性质：定义：平移是指将一个图形中的所有点，按照同样的方向和距离，同时保持相对位置的变换操作。

性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。

2. 平移后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。

3. 平移是一个向量运算，可以用向量表示平移的方向和距离。

4. 任意两个平移可以合成为一个平移。

二、旋转的定义与性质旋转是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度，使得旋转后的图形与原图形相似但方向和位置发生变化。

下面是旋转的定义与性质：定义：旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，使得旋转前后图形中的对应点的距离保持不变。

性质：1. 旋转不改变图形的大小、形状和方向。

2. 旋转后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。

3. 旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。

4. 旋转是一个变换操作，可以用旋转中心和旋转角度来描述。

三、对称的定义与性质对称是指将一个图形分割成两个部分，使得两个部分关于某条直线、点或中心对称。

下面是对称的定义与性质：定义：对称是指将一个图形按照某个轴线或点进行折叠或旋转，使得折叠或旋转后的图形与原图形重合。

性质：1. 对称不改变图形的大小、形状和方向。

2. 对称后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。

3. 图形关于对称轴对称时，对称轴上的点不动；图形关于对称中心对称时，对称中心不动。

4. 对称操作是可逆的，即对称两次会得到原来的图形。

综上所述，平移、旋转和对称是几何学中常用的图形变换操作。

它们各自有着特定的定义和性质，可以描述和变换图形的位置和形状。

理解和掌握平移、旋转和对称的定义与性质，将有助于我们在解决几何问题和应用几何知识时进行准确的操作和分析。

平移旋转和对称平移、旋转和对称在数学和几何学中是非常重要的概念。

本文将介绍平移、旋转和对称的定义、性质以及它们在实际应用中的意义。

一、平移平移是指将一个图形按照指定的方向和距离移动到另一个位置，而不改变其形状和大小。

平移可以看作是将整个图形沿着指定的方向平行移动。

平移有以下性质：1. 平移后的图形与原图形形状相同，大小相等；2. 平移后的图形与原图形相互重合；3. 平移与图形的位置无关，只与方向和距离有关；4. 平移是一种向量运算，可以用向量表示。

平移在日常生活中有许多应用，例如地图中的位置标记、机器人的行走路径规划等。

在艺术和设计领域中，平移可以使图形或图案产生一种整齐、规则的效果。

二、旋转旋转是指将一个图形按照指定的中心点和角度旋转。

旋转可以改变图形的朝向和位置，但不改变其形状和大小。

旋转有以下性质：1. 旋转后的图形与原图形形状相同，大小相等；2. 旋转后的图形与原图形相似，它们的对应点之间的距离保持不变；3. 旋转可以是顺时针或逆时针方向；4. 旋转角度可以用正数表示顺时针旋转，用负数表示逆时针旋转。

旋转也有广泛的应用。

在地理学中，地球的自转和公转是旋转的典型例子。

在航空航天领域，飞机和火箭的飞行轨迹是通过旋转实现的。

三、对称对称是指一个图形可以通过某条直线或某个中心点将其分成两个完全相同的部分。

对称可以是关于直线对称或中心对称。

对称有以下性质：1. 对称轴是将图形分成两个对称的部分的直线或点；2. 对称轴上的点与它们的对称点距离相等；3. 关于直线对称的图形在对称轴上没有变化；4. 关于中心对称的图形与其对称轴上的点相互重合。

对称在艺术、建筑和自然界中都有广泛的应用。

例如，许多建筑物的设计和花朵的形状都具有对称性，给人一种美感和和谐感。

总结：平移、旋转和对称是数学和几何学中重要的概念。

平移是指将图形沿着指定的方向平行移动，保持其形状和大小不变；旋转是指将图形按照指定的中心点和角度旋转，改变其朝向和位置但不改变形状和大小；对称是指图形可以通过某条直线或某个中心点将其分成两个完全相同的部分。

平移旋转对称变换的性质与计算平移、旋转和对称变换是几何中常用的变换方式，它们通过改变图形的位置或方向来实现形状的改变。

在本文中，我们将探讨平移、旋转和对称变换的性质，并介绍它们的计算方法。

一、平移变换的性质与计算平移变换是将图形沿着指定的方向平行地移动一个固定的距离，保持图形内部线段的相对位置始终不变。

平移变换的性质如下：1. 平移变换不改变图形的大小、形状、角度和面积。

2. 平移变换保持图形之间的距离和相对位置关系不变。

3. 平移的矢量可以表示为 (a, b)，其中 a 为横向平移的距离，b 为纵向平移的距离。

计算平移变换的方法如下：1. 将原始图形的每个顶点坐标分别加上平移矢量。

2. 连接新的顶点坐标，得到平移后的图形。

二、旋转变换的性质与计算旋转变换是将图形绕着一个固定点旋转一定角度，使得图形的每个点都相对于旋转中心点发生位置变化。

旋转变换的性质如下：1. 旋转变换不改变图形的大小、形状和面积，但可能改变图形的角度。

2. 旋转变换保持图形内部线段的相对位置关系不变。

3. 旋转的角度可以表示为θ，其中正值表示逆时针旋转，负值表示顺时针旋转。

计算旋转变换的方法如下：1. 将原始图形的每个顶点坐标绕旋转中心点旋转指定角度。

2. 连接新的顶点坐标，得到旋转后的图形。

三、对称变换的性质与计算对称变换是通过将图形绕一个轴或一个点进行翻转，使得图形的每个点到轴或点的距离保持不变。

对称变换的性质如下：1. 对称变换保持图形的大小、形状和面积不变。

2. 对称变换可以是关于 x 轴、y 轴、原点或直线的。

3. 对称变换的轴可以表示为 l，对称变换的点可以表示为 P。

计算对称变换的方法如下：1. 关于 x 轴对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 y 坐标变为原来的相反数。

2. 关于 y 轴对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 x 坐标变为原来的相反数。

3. 关于原点对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 x 和 y 坐标都变为原来的相反数。

图形变换：平移旋转对称位似初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。

这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。

其中前四种变换还不改变图形的大小。

下面，让我们逐一回顾与归纳。

▲一、平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。

（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。

）2、平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。

（提示：平移的性质也是平移作图的依据。

）3、用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a（a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b（b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。

▲二、轴对称变换1、轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。

）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。

2、轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。

（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。

y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。

（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。

2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。

（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。

（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。

练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。

平移和旋转能转化为轴对称吗平移、旋转和轴对称都是平面图形基本的全等变换,那么你是否思考过这样一个问题:平移和旋转能转化为轴对称吗?下面就让我们通过具体例子来研究这个问题.一、平移转化为轴对称例1 如图1,已知△ABC,直线m ∥n 且距离为a,画△ABC 关于直线m 对称的△A 'B 'C ',再画△A 'B 'C '关于直线n 对称的△A ''B ''C '',那么,能否通过平移△ABC 得到△A ''B ''C ''?研析:判断一个图形能否通过平移得到另一个图形,关键是看这两个图形对应点所连的线段是否平行且相等.由线段A A '、A 'A ''分别被对称轴m 、n 垂直平分,知点A 、A '、A ''共线,且A A ''=2a.同理可知, B B ''=2a ,C C ''=2a.所以A A ''、 B B ''、 C C ''互相平行且相等,所以将△ABC 沿与对称轴m(n)垂直的方向,平移2a 即可得到△A ''B ''C ''.(同学们可以再换几个不同的图形试一试)由此可猜想归纳出一般结论:当对称轴平行时,两次轴对称相当于一次平移,且平移的方向垂直于对称轴,平移的距离是两条对称轴之间的距离的2倍.二、旋转转化为轴对称例2 如图2,已知△ABC,直线MN 、PQ 相交于点O,且夹角为α(0°＜α≤90°),画△ABC 关于直线MN 对称的△A 'B 'C ',再画△A 'B 'C '关于直线PQ 对称的△A ''B ''C '',那么,能否通过旋转△ABC 而得到△A ''B ''C ''?研析:抓住旋转的三要素：旋转中心、旋转方向及旋转角进行分析.由轴对称的性质知,OA=O A ', O A '=O A '',OM 平分∠AO A ',OP平分∠A 'O A '',所以OA=O A '',∠AO A ''=2α.同理OB=O B '',OC=O C '',∠BO B ''=2α, ∠CO C ''=2α.所以点A 、B 、C 分别绕点O 顺时针旋转2α的角度,就得到点A ''、B ''、C '',故将△ABC 绕点O 顺时针A BC B ' C ' A '' B '' C '' A ' 图1 m n A ' ABC B ' C ' A '' B '' C ''Nα Q 图2 O M P旋转2α的角度就得到△A''B''C''.(同学们可以再换几个不同的图形试一试)由此可猜想归纳出一般结论:当对称轴相交于一点时,两次轴对称相当于一次旋转,且旋转中心是对称轴的交点,旋转角为对称轴夹角α(0°＜α≤90°)的2倍,旋转方向,与第一条对称轴旋转α的角度到第二条对称轴的位置的方向一致.。

平移旋转与对称的应用平移、旋转和对称是几何学中常见的概念和操作，它们在数学、物理、工程和艺术等领域有着广泛的应用。

本文将探讨平移、旋转和对称的应用，并举例说明它们在不同领域中的实际应用。

一、平移的应用平移是指物体在平面上按照一定方向和距离移动的操作。

平移不改变物体的形状和大小，只改变了物体在平面上的位置。

平移在日常生活中有着广泛的应用，比如：1. 地图导航：我们在使用地图导航时，可以通过平移地图来查找目标地点的位置，从而确定正确的行进方向。

2. 摄影修正：在拍摄照片时，有时候会由于拍摄角度或位置的偏差导致图像中的物体位置不准确，此时可以通过平移操作来修正照片中物体的位置。

3. 动画制作：在电影、游戏和动画制作中，平移经常被用来控制人物、物体的运动轨迹，从而创造出流畅自然的动画效果。

二、旋转的应用旋转是指围绕某一中心点按照一定角度进行转动的操作。

旋转可以改变物体的朝向、角度和位置，它在很多领域中都有着重要的应用，比如：1. 机械工程：在机械领域中，旋转广泛应用于各种旋转机构和传动装置中，比如汽车发动机、电机、轴承等，它们通过旋转实现不同工作部件的运动和转动。

2. 制造业：在制造产品的过程中，往往需要对零部件进行旋转操作，以便进行加工、拼装等工序，从而实现产品的制造与装配。

3. 几何建模：在计算机图形学和三维建模中，旋转是一种常见的操作，用于改变物体的方向、角度和视角，从而创建出立体感的图形和模型。

三、对称的应用对称是指物体上的一些特征在某种变换操作下保持不变的性质。

对称在很多领域中具有重要的应用，比如：1. 建筑设计：对称常常被用于建筑设计中，通过对称的布局和装饰可以创造出和谐、美观的建筑形式。

比如，许多古代宫殿和寺庙都采用对称的设计风格。

2. 化学结构：在化学领域中，分子的对称性对于研究其结构和性质具有重要意义。

通过分析分子的对称性，可以推断出分子的空间结构和反应特性，从而指导化学实验和应用。

3. 图案设计：对称的图案常常被用于艺术和纹身设计中，通过对称的形式和图案可以创造出美观、平衡的视觉效果，吸引观众的注意力。

对称、平移和旋转变换在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。

这一讲我们着重学习三种主要的合同变换——对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。

一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。

将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。

将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。

对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。

一条直线或一个点就确定了一个对称变换。

例1：试证：等腰三角形的底角相等。

已知：如图（1），在△ABC 中，AB=AC ，求：∠B=∠C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作AD ⊥BC 于D ，再证△ABD ≌△ACD 即可。

（2）更妙的是，把△ABC 看作是以AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由△ABC ≌△ACB 换出∠B=∠C 。

例2：如图（2），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且有AB=AC=AD=213cm ，BC=5cm ，求BD 的长。

分析：由于△ACD 是等腰三角形，以底边CD 中垂线NM 为轴补全图形，做出△ABC 关于MN 的对称△AED ，则AB=AD=AE=213，所以∠BDE=Rt ∠，而DE=BC=5，所以BD=12。

例3：如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，EF ⊥A B 于F ，则S ABCD 梯形=AB •EF 。

分析：由于DE=EC ，因此，以E 为定点作A 的对称点G ，则△ADE 与△GCE 关于点E 对称，且B ，C ，G 三点共线，所以S BEG ∆=S ABE ∆=21AB •EF ，故S ABCD 梯形= AB •EF 。

二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。