向量与圆锥曲线

高中数学圆锥曲线知识点总结5篇高中数学圆锥曲线知识点总结5篇教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。

科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。

下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x ，y+y )。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

高三第二轮专题复习专题（19）——巧用向量法求解圆锥曲线问题一、 利用向量的数量积解决夹角（钝、锐、直）问题例1、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点.求证：ABO ∆是钝角三角形.说明：（1）确定三角形的角时，若三边长易算用余弦定理；若三边长不易计算则考虑向量的数量积；（2）更为一般地，我们有如下重要结论：①过点(,0)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、两点.当02t p <<时，AOB ∠为钝角；当2t p =时，AOB ∠为直角；当2t p >时，AOB ∠为锐角.②过点(0,)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)x py p =>于A B 、两点.当02t p <<时，AOB ∠为钝角；当2t p =时，AOB ∠为直角；当2t p >时，AOB ∠为锐角.③抛物线22(0)y px p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ，则直线AB 必过定点(2,0)p ；反之，亦成立. ④抛物线22(0)x py p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ，则直线AB 必过定点(0,2)p ；反之，亦成立.变式：已知椭圆22:184x y E +=，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A B 、，且O A O B ⊥u u r u u u r ？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由.答案：2283x y +=. 说明：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线l 与椭圆E 交于A B 、两点，在AOB ∆中，AB 边上的高为OH .（1）若2221112||AOB OH a bπ∠=⇔=+； （2）若2221112||AOB OH a b π∠<⇔<+； （3）若2221112||AOB OH a b π∠>⇔>+. 本例中22221113883r r a b =+=⇒=，则圆的方程为2283x y +=.二、 利用向量知识解决共线问题例2、在平面直角坐标系xoy 中，经过点(0,且斜率为k 的直线l 与椭圆22:12x E y +=有两个不同的交点P Q 、.（1）求实数k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB uu u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.答案：不存在.变式：设A B 、是椭圆22:12x E y +=上的两点，(2,0)N -满足NA NB λ=u u r u u u r .当11[,]53λ∈时，求直线AB 斜率的取值范围.答案：121[,[,]2662--.三、利用向量解决参数的取值范围问题例3、已知C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点(1,0)A 和AP 上的点M 满足0,2M Q A P A P A M ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ，O 是坐标原点，且满足3445OF OH ≤⋅≤uu u r uuu r ，求k 的取值范围.答案：（1）2212x y +=；（2）[]22U .四、由向量形式给出的圆锥曲线的几何关系例4、在平面直角坐标系xoy 中，1的线段的两端点,C D 分别在,x y 轴上滑动，CP PD =uu r uu u r ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于,A B 两点，OM OA OB =+uuu r uu r uu u r ，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积.答案：（1）2212y x +=；（2五、圆锥曲线中求向量数量积的取值范围例5、已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:2(0)C x py p =>有一个公共焦点，抛物线2C 的准线l与椭圆1C 有一个坐标是的交点.（1）求椭圆1C 与抛物线2C 的方程；（2）若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与椭圆1C 分别交于点,E F ，求OE OF ⋅u u u r u u u r 的取值范围.答案：（1）22212:1,:884y x C C x y +==；（2）(8,2]-.。

圆锥曲线中向量乘积过定点问题《圆锥曲线中向量乘积过定点问题》简介：圆锥曲线是数学中非常重要和广泛应用的一类曲线。

其中的一个有趣问题是在圆锥曲线上通过两个给定点的向量乘积是否会经过一个固定点。

本文将介绍圆锥曲线、向量乘积以及相关定点问题的解答。

一、圆锥曲线的定义和特点圆锥曲线是平面上的一条曲线，其形状可以是椭圆、双曲线或抛物线。

圆锥曲线的定义可以由焦点和准线（或直角）进行描述。

其中，焦点是曲线上的一个点，准线是与曲线相切且通过焦点的直线。

椭圆和双曲线有两个焦点，而抛物线只有一个焦点。

圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点，比如在椭圆中任意两点的向量乘积永远过椭圆的焦点，而在双曲线中通过焦点的向量乘积则不会在曲线上，而是在双曲线的准线上。

这些性质使得圆锥曲线在数学中有广泛的应用。

二、向量乘积的概念在二维空间中，向量可以表示为具有两个分量（x，y）的有序对。

向量乘积是指两个向量按照一定规则进行乘法运算后得到的结果。

在圆锥曲线中，我们可以通过向量乘积来研究向量在曲线上的变化情况。

具体而言，对于给定的曲线上的两个点P和Q，其向量分别为→P和→Q。

那么向量乘积的结果为→P × →Q，其结果是一个新的向量。

根据向量乘积的定义，向量乘积的长度表示P和Q之间的距离，而向量乘积的方向则表示了P和Q之间的夹角。

三、乘积过定点的问题在圆锥曲线中，一个有趣的问题是，如果在曲线上选择两个点P和Q，那么它们的向量乘积是否会通过一个固定的点O（定点）？答案是：对于椭圆，通过焦点O的向量乘积一定会经过点O；对于双曲线，通过焦点O的向量乘积则不会经过点O，而是将焦点O延伸到曲线的准线。

这个结论可以通过几何和向量运算来证明。

通过几何推导，我们可以发现在椭圆中，任意两点的向量乘积都会经过焦点O。

而在双曲线中，由于焦点在准线上，所以通过焦点的向量乘积将延伸到双曲线的准线。

结论：通过两个给定点的向量乘积是否经过一个固定点是圆锥曲线中一个有趣的问题。

第十六讲 向量与圆锥曲线★★★高考在考什么 【考题回放】1．（重庆）已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ） （A ）23（B ）62（C ）72（D ）242.（全国）设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且12PF PF ∙=，则12PF PF += （ ）A ．10B ．210C ．5D ．253．设过点P(x,y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = 且1OQ AB ∙=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>>C ．22331(0,0)2x y x y -=>>D ．22331(0,0)2x y x y +=>>4．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足=⋅+⋅NP MN MP MN ，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ ）（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是★★★高考要考什么 【热点透析】 知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解（2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB k x x y y k =+-=+-3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 主要题型：1．三点共线问题； 2．公共点个数问题； 3．弦长问题； 4．中点问题； 5．定比分点问题； 6．对称问题； 7．平行与垂直问题； 8．角的问题。

圆锥曲线小题专项训练1．已知抛物线x y 82=的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ C ）【解析】本题考查抛物线，双曲线的标准方程、几何性质及平面几何知识.抛物线x y 82=的准线为2,x =-焦点为(2,0);F 焦点到准线的距离为4；根据抛物线和双曲线的对称性及条件FAB ∆是直角三角形可知：FAB ∆是等腰直角三角形，090,AFB ∠=斜边AB 上的高为4；则(2,4),(2,4);A B ---A B 、是双曲线22221x y a b-=上的点，所以224161a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222,16.a b ==2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换ϕ为（ B ）C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩【解析】设伸缩变换ϕ为,(,0)x hxh k y ky '=⎧>⎨'=⎩,3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于则直线AB 的方程是 ( A ) ．A ．【解析】设()()12,0,,0F c F c -，则0212=⋅F F AF 知212AF F F ⊥， 则2//AF y 轴，所以2,bA c a⎛⎫ ⎪⎝⎭，由0=+OBOA 知,A B 关于原点对称，则2,b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

所以直线AB的方程是2b y xac=c a，即a 又222a b c =+，则b c =，则22b ac ==所以直线AB 的方程是y =5．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。

”由此可得如下结论：如右图，过双曲线C ：右支上的点P 的切线l 平分12F PF ∠。

圆锥曲线面积向量叉乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面展开：引言:圆锥曲线是数学中重要的研究对象之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

而在计算圆锥曲线的面积时，向量叉乘的概念是一个关键的工具。

本文将探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用与实际问题中的案例分析。

文章结构:本文共分为四个部分：引言、正文、应用与分析、结论。

在引言部分，我们将总体介绍本文的主要内容和结构安排。

在正文部分，首先介绍圆锥曲线的定义和性质，然后详细介绍面积的定义与计算方法，以及向量叉乘的概念与性质。

在应用与分析部分，我们将探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，介绍圆锥曲线面积的计算方法，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用和实际问题中的案例分析。

最后，在结论部分，我们将对全文进行总结与回顾，探讨圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向，以及对本文内容的贡献和局限性，并展望未来的研究方向。

目的:本文的目的是探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并研究向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用。

通过对圆锥曲线面积的计算方法和向量叉乘的概念进行分析和研究，我们旨在深入理解圆锥曲线的性质和面积计算的原理，并探讨向量叉乘在实际问题中的应用。

同时，本文还将对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向进行探讨，为未来研究提供一定的参考。

总结:本文将从圆锥曲线的定义和性质出发，通过对面积的定义与计算方法的介绍，讨论向量叉乘的概念与性质，进而探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，并在应用与分析部分介绍具体的计算方法和实际问题中的案例分析。

最后，在结论部分对全文进行总结与回顾，提出对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向的展望。

通过本文的研究，我们将有助于深化对圆锥曲线面积与向量叉乘关系的理解，以及在实际问题中的应用。

文章结构部分的内容主要是介绍整篇文章的组织结构和各个章节的内容概述。

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。

利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。

例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。

首先联立方程组，得到两个交点的坐标。

然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。

最后利用XXX定理求解，得到a的值。

二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。

设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。

根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。

然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。

最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。

已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。

解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。

则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。

圆锥曲线定义的向量形式
圆锥曲线（conic section）是一种二维曲线，是生成空间曲线的基础，它可以作为空间曲线的方程映射出来。

当一个三维曲线被一个扁平平面截断时，其顶点就会在这个平面上形成一条曲线，称为圆锥曲线。

它具有高度的对称性，它可以被定义为一系列向量（vector）的形式。

圆锥曲线可以定义为一组向量，向量形式可以用三维空间里的向量表示，即（x，y，z）。

每个向量描述了曲线的形状，它的方向和大小，其中x轴代表水平方向，y轴代表截断平面上的垂直方向，而z轴代表曲线的高度。

曲线的圆心是由向量（a，b，c）的点表示的，a和b代表水平上的圆心位置，而c代表垂直上的圆心位置。

通过指定曲线的向量来定义，可以很容易地确定曲线的方向和大小，而且它不受三维曲线的扭曲影响。

通过具体的向量分析可以很有效地解决寻找圆锥曲线的问题。

例如，如果从曲线某处已知曲线的方向，那么就可以通过计算这个点处曲线的向量来确定曲线的弧度和大小。

由于圆锥曲线的功能多样丰富，它可以应用于许多方面，比如在制图学中，可以使用圆锥曲线来在地图上表示地势，以及用圆锥曲线表示三维对象。

总之，圆锥曲线可以通过向量表示出来，它具有高度的对称性，而且可以应用于许多方面，如地图、三维曲线等。

使用向量表示可以有效地解决寻找曲线方程的问题，这种方法的优点是可以快速地定位出曲线的位置和曲率。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。

首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。

接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。

在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。

最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。

通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。

【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。

根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。

它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。

椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。

圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。

掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。

在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。

1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。

基金项目:甘肃省教育科学 十四五 规划2021年度一般课题 数学运算素养下解析几何解题教学的实践研究 (课题立项号:G S [2021]G H B 0122)用向量形式的角平分线性质解圆锥曲线问题甘肃省兰州市第六中学 焦永垚 (邮编:730060)摘 要 文章先给出一个向量形式的角平分线性质,然后以几道圆锥曲线试题为例,介绍了此性质在解决以角平分线为背景的圆锥曲线问题中的应用.关键词 角平分线;向量;圆锥曲线文献[1]中给出了一个向量形式的角平分线充要条件:若点K 在øB A C 的平分线上,则A K ң=k (A B ң|A B ң|+A C ң|A C ң|),反之也成立[1].由此充要条件,很容易得到如下性质:性质 若A K ң=m A B ң+n A C ң,则A K 平分øB A C 的充要条件是m |A B ң|=n |A C ң|[2].经笔者研究发现,运用此性质解决圆锥曲线中与角平分线有关的问题,思路新颖,解法独特,能收到意想不到的效果,下面举例说明.例1(2021年 八省联考 第21题)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,动点B 在C 上,当B F ʅA F 时,|A F |=|B F |.(1)求C 的离心率;(2)若点B 在第一象限,证明:øB F A =2øBA F .解析 (1)e =2.图1(2)由(1)可知c =2a ,故A (-a ,0),F (2a ,0),且b 2=3a 2,则双曲线C 的方程可化为3x 2-y 2=3a 2.如图1,设A B 与C 的右准线x =a2相交于点P ,易知右准线x =a2垂直平分线段A F ,所以øB A F =øP F A ,因此要证明øB F A=2øB A F ,可转化为证明F P 平分øB F A .设B (m ,n )(m >0,n >0),则直线A B 的方程为y =n m +a (x +a ),可得P (a 2,3a n 2(m +a )).设F P ң=λF B ң+(1-λ)F A ң,即(-3a 2,3a n 2(m +a ))=λ(m -2a ,n )+(1-λ)㊃(-3a ,0)=(λ(m +a )-3a ,λn ),可得λ=3a 2(m +a ),于是λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=9a 24(m +a )2[(m -2a )2+n 2]-[1-3a 2(m +a )]2㊃9a 2=9a 24(m +a )2㊃(-3m 2+n 2+3a 2),又由点B (m ,n )在双曲线C 上可得3m 2-n 2=3a 2,从而λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=0,即λ|F B ң|=(1-λ)|F A ң|,故F P 平分øB F A ,所以øB F A =2øB A F .例2(2018年全国Ⅰ卷理科第19题)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)过l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:øO MA =øO M B .解析 (1)直线AM 的方程为y =-22x +2或y =22x -2.85中学数学教学2023年第2期(2)设M F ң=λMA ң+(1-λ)M B ң,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由F (1,0)和M (2,0)可得(-1,0)=λ(x 1-2,y 1)+(1-λ)(x 2-2,y 2),即λ(x 1-2)+(1-λ)(x 2-2)=-1,λy 1+(1-λ)y 2=0.又因为A ,B 在椭圆C 上,所以λ2x 21+2λ2y 21=2λ2,(1-λ)2x 22+2(1-λ)2y 22=2(1-λ)2,两式相减可得[λ2x 21-(1-λ)2x 22]+2[λ2y 21-(1-λ)2y 22]=[λx 1+(1-λ)x 2][λx 1-(1-λ)x 2]=λx 1-(1-λ)x 2=4λ-2,于是λ2|MA ң|2-(1-λ)2|M B ң|2=λ2(x 1-2)2-(1-λ)2(x 2-2)2=-[λ(x 1-2)-(1-λ)(x 2-2)]=-[λx 1-(1-λ)x 2-4λ+2]=0,所以λ|MA ң|=(1-λ)|M B ң|,故M F 平分øAM B ,即øO MA =øO M B .评析 从上述例题可以看出,利用向量形式的角平分线性质证明角平分线问题,思路清晰自然,具有很强的可操作性,可以起到事半功倍的效果.从以上解题过程还可以看出,通常使用性质的平方形式 m 2|A B ң|2=n 2|A C ң|2 证明角平分线问题.例3(2010年安徽卷文科第17题)椭圆E 经过点A (2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e =12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求øF 1A F 2的角平分线所在的直线的方程.解析 (1)x 216+y 212=1.图2(2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0).如图2,设øF 1A F 2的角平分线l交x 轴于点M (x 0,0),设AM ң=λA F 1ң+(1-λ)A F 2ң,则(x 0-2,-3)=λ(-4,-3)+(1-λ)(0,-3),可得x 0=2-4λ.又由A M 平分øF 1A F 2可得λ|A F 1ң|=(1-λ)㊃|A F 2ң|,即5λ=3(1-λ),得λ=38,则x 0=12,得直线l 的方程为y -03-0=x -122-12,即2x -y -1=0.图3例4(2012年全国高中数学联赛江苏复赛一试第10题)如图3所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,右准线l 与x 轴交于点N ,过椭圆上一点P 作P M 垂直于准线l ,垂足为M .若P N 平分øF P M ,且四边形O F MP 为平行四边形,证明:e >23.证明 由题意可知O F ң=P M ң,P O ң=M F ң,则P N ң=P O ң+O N ң=M F ң+a 2c2O Fң=P F ң-P M ң+a 2c 2P M ң=P F ң+(a 2c2-1)P M ң,又因为P N 平分øF P M ,所以|P F ң|=(a 2c 2-1)|P M ң|,于是e =|P F ң||P M ң|=a 2c2-1=1e 2-1,即e 3+e 2=1.由0<e <1可得1=e 3+e 2<2e2,从而e >22>23.例5(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛第21题)如图4所示,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,并且过点P (2,-1).图4(1)求椭圆C 的方程;(2)设点Q 在椭圆上,且P Q 与x 轴平行,过P 作两条直线分别交椭圆C 于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若直线952023年第2期中学数学教学P Q 平分øA P B ,求证:直线A B 的斜率是定值,并求出这个定值.解析 (1)椭圆C 的方程x 28+y 22=1.(2)由题意可知Q (-2,-1).设P Q ң=λP Aң+μP B ң,则(-4,0)=λ(x 1-2,y 1+1)+μ(x 2-2,y 2+1),即λ(x 1-2)+μ(x 2-2)=-4λ(y 1+1)+μ(y 2+1)=0①又因为直线P Q 平分øA P B ,所以λ|P A ң|=μ|P B ң|,即λ2[(x 1-2)2+(y 1+1)2]=μ2[(x 2-2)2+(y 2+1)2],结合①可得λ(x 1-2)=μ(x 2-2)=-2,即x 1=2(1-1λ),x 2=2(1-1μ),于是x 1-x 2=2(λ-μ)λμ.将x 1=2(1-1λ)代入C 的方程得λ2y 21=λ2+2λ-1,同理有μ2y 22=μ2+2μ-1,两式相减得(λy 1+μy 2)(λy 1-μy 2)=(λ-μ)(λ+μ+2),结合①可得y 1=-1-λ-μλ(λ+μ),y 2=-1+λ-μμ(λ+μ),则y 1-y 2=μ-λλμ,于是直线A B 的斜率k A B =y 1-y 2x 1-x 2=-12.评析 利用向量形式的角平分线性质解决角平分线问题,其本质就是运用转化思想,将 角平分线 的 形 ,转化为向量形式的 数 ,再对数 进行运算,由形到数,数形沟通,从而降低了思维难度,有利于学生理解和掌握.例6(2018年全国高中数学联赛福建预赛第7题)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 24-y 212=1的左㊁右焦点,点P 在双曲线C 上,G ,I 分别为әF 1P F 2的重心㊁内心,若G I 平行于x 轴,则әF 1P F 2的外接圆半径R =.解析 由题意可得|F 1F 2ң|=8.如图5,不妨设点P 在双曲线C 的右支上.图5因为G I 平行于x 轴,所以可设G I ң=λF 1F 2ң,则F 1I ң=F 1Gң+G I ң=13(F 1Pң+F 1F 2ң)+λF 1F 2ң=13F 1P ң+(13+λ)F 1F 2ң,又因为直线F 1I 平分øP F 1F 2,所以13|F 1P ң|=(13+λ)|F 1F 2ң|,可得|F 1P ң|=8(1+3λ).同理可得,F 2I ң=13F 2P ң+(13-λ)F 2F 1ң,则13|F 2P ң|=(13-λ)|F 2F 1ң|,可得|F 2P ң|=8(1-3λ),于是|F 1P ң|-|F 2P ң|=48λ=4,得λ=112,从而|F 1P ң|=10,|F 2P ң|=6,则|F 2P ң|2+|F 1F 2ң|2=|F 1P ң|2,因此P F 2ʅF 1F 2,所以әF 1P F 2外接圆半径R =12|F 1P ң|=5.评析 三角形的内心问题本质上也是角平分线问题,本题将内心条件转化为角平分线问题,两次运用向量形式的角平分线性质,再结合双曲线的定义建立关于λ的方程,使问题顺利解决,这样的解题具有出奇制胜的效果.另外,由上述钥匙解题过程还发现|F 1P ң|+|F 2P ң|=2|F 1F 2ң|,因此可得到一个关于三角形内心和重心的命题:G ,I 分别为әA B C 的重心㊁内心,若G I ʊB C ,则A B +A C =2B C ,反之亦成立.证明留给有兴趣的读者自行完成,本文不再赘述.参考文献[1] 张景中,彭翕成.绕来绕去的向量法(第2版)[M ].北京:科学出版社,2021.[2] 李有贵,彭翕成.向量形式的充要条件及应用[J ].数学教学,2022(3):48-50.(收稿日期:2023-01-18)06中学数学教学2023年第2期。

直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B yA 或（1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1212AB x y =-=-3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

（8）给出,等于已知是的平分线。

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中的一个重要分支，它以一个可变的圆锥剖面为基础，通过圆在不同角度上的截面形成了五个不同的曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲线和直线。

在实际应用中，圆锥曲线常常被用来描述各种物理现象和工程问题，如轨道设计、光学成像、天体运动等。

本文将会介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。

1.几何法几何法是最基本，也是最直观的一种解决圆锥曲线问题的方法。

几何法的思想是将所求的曲线拆分为几个小段，然后求出每个小段的形状和位置参数，最终将它们拼接起来得到整个曲线。

例如，在构造椭圆的过程中，我们可以先画一个长轴和短轴所在的矩形，然后再通过调整矩形的顶点位置将矩形变形为椭圆。

2.代数法代数法是解决圆锥曲线问题的另一种常用方法。

代数法的思想是利用数学式子描述曲线，通过解方程来求解曲线的参数。

例如，在求解抛物线的方程时，我们可以将抛物线的矢量方程转化为标准方程或焦点方程，然后利用所给的条件求解方程中的参数。

3.向量法向量法是一种比较高效的解决圆锥曲线问题的方法。

向量法的思想是用向量来描述曲线的性质和形状，然后通过向量计算来求解曲线的参数。

例如，在计算椭圆的周长时，我们可以将椭圆的周长用向量积的形式表示出来，然后通过向量积的运算得到周长的解析表达式。

4.微积分法微积分法是一种比较深入的解决圆锥曲线问题的方法。

微积分法的思想是利用微积分理论来求解曲线的性质和参数。

例如，在求解椭圆的面积时，我们可以将椭圆的面积转化为曲线积分问题，用微积分方法来求解。

总之，圆锥曲线问题可以采用多种不同的方法来求解，每一种方法都有其独特的优点和应用场合。

在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解，以达到高效和准确的目的。

圆锥曲线解三角形向量点乘
圆锥曲线解三角形向量点乘是指通过计算两个向量的数量积，来确定它们之间的关系和性质。

向量的数量积（也称为点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后相加的结果。

对于向量A=(a1,a2,a3)和向量B=(b1,b2,b3)，它们的数量积定义为：
A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3
圆锥曲线解三角形时，我们可以利用向量的点乘来推导三角形的性质。

例如，给定三角形的三个顶点A、B和C，我们可以用向量表示它们的位置：
向量AB = B - A
向量BC = C - B
向量CA = A - C
然后，我们可以计算向量AB和向量BC的点积，得到：
AB·BC = (B - A)·(C - B) = AB·BC = (a1b1 + a2b2 +
a3b3)·(b1c1 + b2c2 + b3c3)
这个点积的值可以告诉我们AB和BC两个向量之间的夹角以及它们的关系。

例如，如果点积为正数，则两个向量之间夹角为锐角；如果点积为负数，则夹角为钝角；如果点积为零，则夹角为直角。

通过计算向量的点乘，我们可以进一步推导三角形的性质，如判
断是否为锐角三角形、钝角三角形或直角三角形，以及计算三角形的面积等。

这就是圆锥曲线解三角形向量点乘的基本概念和应用。

平面向量与圆锥曲线湖南师大附中 朱海棠平面向量与圆锥曲线是高考数学试题中的两个基本板块，二者相互渗透，联系密切. 深入研究三年来湖南高考数学试卷在这两方面的命题特点，对把握2007年高考方向具有积极的意义.一、平面向量平面向量融数、形于一体，不仅其自身有一个完整的理论体系，而且还能够与函数、不等式、数列、复数、三角、解析几何等各个数学分支有机结合，因而在高中数学及高考中都有其特定的地位与作用. 1、高考命题特点平面向量作为高考的一个必考内容，已形成了在小题中为主体，在大题中为客体的命题格局，并显示出如下主要特点： （1）题量保持稳定三年来，湖南高考数学卷每年都有两道与平面向量有关的试题，分值保持在10分左右，平面向量的基本运算包括几何运算、字符运算和坐标运算三大类，高考试题都立足于这些基本运算，其中有关数量积的运算是考试的重点，并与平行、垂直、夹角、距离相关联. （3）强调综合应用以平面向量为载体，结合代数、三角、几何等知识设计试题，是向量试题的一个命题特色，理科试卷尤为突出. 这是基于“在知识网络交汇点设计试题”的命题理念，能使试题达到一定的广度和深度.例1（2004年理13题）已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则|2|a b -的最大值是 4 .本题考查向量与三角函数的综合应用.例2（2005年理13题）已知直线0ax by c ++=与圆O ：221x y +=相交于A 、B 两点，且||AB =OA OB ⋅= 12-. 本题考查向量与直线、圆的综合应用.例3（2006年理5题）已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a与b的夹角的取值范围是（ B ）A ．[0]6π，B ．[]3ππ，C ．2[]33ππ，D ．[]6ππ，本题考查向量与方程、三角函数的的综合应用. （4）凸显能力立意从解题方法的多样性和选择性，试题背景的新颖性和抽象性等方面立意，着力考查学生的思维能力和数学素养，在向量试题中也有充分体现.例4（2004年文8题）已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则|2|a b -的最大值、最小值分别是（ D ）A ．B ．C ．16，0本题有多种解法， 能有效检测考生的思维水平.例5（2006年理15题）如图，OM//AB ，点P 在由射线 OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界） 运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是(,0)-∞；当12x =-时，y 的取值范围是13(,)22.本题立意新颖别致，起点高，落点低，重点考查化归转换能力. 2、复习备考建议高考命题始终贯彻“继承与发展”的原则，保持稳定、不断创新，也是高考命题的基本思想.基于前三年湖南卷的命题特点，在平面向量的复习备考过程中，我们应加强以下几方面的教学.（1）深化对平面向量基本理论的认识 平面向量的基本理论包括向量的有关概念、原理、运算法则、定律和性质等，学生不仅要掌握这些基本理论的具体内容，还要了解其深层内涵.例如，平面向量基本定理：如果12e e 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12λλ、，使1122a e e λλ=+.其中12λλ、的几何意义如何？该定理有何功能作用？这些都是需要有所了解的. （2）学会在对比中选择向量的运算形式合理选择向量的运算形式，是提高运算效率的关键. 有些向量题，表面上看是坐标运算，而用字符运算或几何运算将很简单，这需要一种对比意识.例6 已知向量13(3,1),(,)22a b =-=，设向量2(3)m a t b =+-，n ka tb =-+ (,,0)k t R t ∈≠，若m n ⊥，求2k t t+的最小值.本题中用字符运算比用坐标运算要简单些. （3）加强以向量为载体的综合应用把平面向量与其它数学知识有机结合，培养学生综合运用多个知识点解决实际问题的能力.（4）重视向量与几何的相互转化 通过变式，从向量关系中发掘问题的几何意义；通过对几何图形的分析，从中抽象出向量关系，是学生学习上的薄弱环节，教学中应加强这方面的指导和训练.例7（2005年文9题）P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例8 设O 为△ABC 内部一点，且23OA OB OC O ++=，则△AOC 与△BOC 的面积之比是 2 .上述两例都要求从向量关系中找出问题的几何意义. （5）注意向量方法的工具作用在没有向量内容的数学问题中，运用向量知识解决有关平行、垂直、夹角、距离、最值等问题，是一种向量方法，也是教材的基本内容，学生应了解向量方法的工具作用，开拓解题思路.例9 （2005年湖北理18题）在△ABC 中，已知AB B ==AC 边上的中线BD =，求sin A 的值.本题从向量入手，有2BA BC BD +=. 再两边平方可求得BC 边的长，进而求得sin A 的值.二、直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的有关概念、方程和几何性质，是解析几何的主要内容，是数与形的完美结合，历年来都是高考考查的重点. 它在考查学生的逻辑思维能力、运算能力、实践能力、创新意识等方面，都有着特定的功能作用，也是整套高考试卷中所占分值比例最高的一个知识板块.1、高考命题特点三年来，湖南卷对直线与圆锥曲线的考查有如下一些共同特点。