3.3空间直线的方向向量和平面的法向量-

直线方向向量与平面法向量的关系直线方向向量与平面法向量的关系直线和平面是几何中重要的概念，它们的性质及关系在计算几何和分析几何中都有广泛的应用。

在研究直线和平面的性质时，经常需要掌握直线方向向量和平面法向量的关系。

下面将从几何角度阐述它们的关系，希望能够帮助大家理解。

一、直线的方向向量通过两点可确定一个直线，其中的向量称为该直线的方向向量。

方向向量的模表示该向量长度，在几何中也称为线段长度或距离，方向向量的方向表示直线的方向。

二、平面的法向量平面是一个有无数个点组成的二维平面，其法向量表示平面的法线方向。

在三维空间中，一个平面有且只有一个法向量。

平面法向量和法线的概念相似，但是区别在于，平面法向量只考虑向量的方向而不考虑长度。

三、直线与平面的关系1. 垂直关系当直线的方向向量和平面的法向量互相垂直时，称直线与平面垂直。

此时，平面的法向量与直线上任一向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量垂直。

垂直关系是直线和平面的特殊关系，它在计算几何和物理中都有很多应用。

2. 平行关系当直线的方向向量与平面的法向量平行时，称直线与平面平行。

此时，平面的法向量与直线上的向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量平行或反平行。

平行关系也是直线和平面的特殊关系之一，它在计算几何和工程中也很重要。

3. 斜交关系当直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行时，称直线与平面斜交。

此时，直线上的向量不能表示为平面法向量的倍数，也不能表示为平面任何二维向量的线性组合。

总之，直线方向向量与平面法向量的关系是几何中一个重要问题，它不仅涉及到几何，也与计算几何、物理、工程等学科有着深刻的关联。

有了对这一关系的深入理解，可以更好地掌握相关知识，并且应用到实际问题中去。

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量一、课程标准能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量 .二、教学目标1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量. 三、学情与内容分析 本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第4小节第一课时，是继学习空间向量及运算、空间向量基本定理及坐标表示以后，空间向量在立体几何中的运用第一课时，也是用空间向量解决立体几何问题的准备课. 学生在立体几何初步中已经学习了平面间的平行垂直关系以及解决空间中线面之间的夹角距离问题，但是由于学生缺少直观想象，不能很好地理解这些几何问题，而向量作为既有大小又有方向的量，研究中不仅可以把它当做运算对象，还可以把它当做几何研究对象，比如，用一个点和一个空间向量就可以唯一表示过此点与向量平行的空间直线，同样也可以用一个点和一个空间向量唯一表示过此点与向量垂直的平面.四、教学重难点重点：直线的方向向量和平面的法向量．难点：求平面的法向量.五、 教学过程（一）创设情境1. 提问:如图所示的四面体A —BCD 中，怎样借助空间向量来描述A,B,C 在空间中的不同点？2. 一般地，怎么借助空间向量来刻画空间中点的位置？3. 点的位置向量在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示.我们把向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量 【设计意图】1. 引导学生积极思考，有的学生说AB ，有的学生说AC ，有的学生说DC ，老师趁机引导：注意是刻画某一个点的位置，而不是一个线段，有的学生发现没有一定的标准或者参照物很难描述一个点的位置. 2.引导学生思考，在空间直角坐标系中怎么刻画一个点的位置的，为什么能刻画？因为有坐标系，或者有坐标原点的参照。

3. 问题1中A 、B 、C 的位置就可以以D 为基点，用向量DC ，DB ，DA 表示.（二）新知探究新知讲解：1.提问：对于平面上的直线，我们不仅可以用直线的倾斜角或斜率刻画直线的方向，而且还可以用平面向量刻画其方向，那么空间中直线能否用空间向量来表示其方向？2.提问：如图所示的直线l ，可以用哪个向量表示其方向？3.提问：反过来呢？4.提问：方向向量唯一吗？5.提问：方向向量之间有什么关系？<一> 直线的方向向量：一般地，如果非零向量v 与与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量.6.一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？怎么才能用空间直线的方向向量确定一条直线呢？问题引入：通过刚刚探究我们发现，直线上的一个点和直线的方向就可以确定一条直线的位置，能不能通过直线的方向来确定平面的方向呢？进而确定平面的位置呢？实物演示:老师旋转一个圆盘陀螺，让学生观察：陀螺转动时，圆盘平面时而水平时而倾斜，在不断改变方向，陀螺的轴也随圆盘平面不断地改变方向，但陀螺平面与轴之间始终保持什么关系呢？问题：能不能用直线的方向来表示平面的方向呢？用哪个直线的方向来刻画陀螺平面的方向呢？<二> 平面的法向量 如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α,记作 n ⊥α，如果 n ⊥α，那么向量 n 叫做平面 α的法向量.给定一点A 和一个向量n ,那么过点A,以向量n 为法向量的平面是完全确定的.（三）课堂实练——巩固提高例 1.已知长方体''''D C B A ABCD -的棱长3',4,2===AA AD AB ，以长方体的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.求下列直线的一个方向向量：(1)AA ′; (2)BD ′例 2.如图所示,已知四边形ABCD 是直角梯形,BC AD //, 90=∠ABC ,⊥SA 面ABCD ,1===BC AB SA ,AD =21, 试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD 的一个法向量;(2)求平面SAB 的一个法向量;(3)求平面SCD 的一个法向量.（四）练习巩固教材P87 练习1，2，3（五）课程小结（1）我们学到了哪些新的数学知识？（2）如何求直线的方向向量和平面的法向量？（六）布置作业教材P104习题2.4 1，2，3.（七）板书设计六、教学反思。

直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3－2－11．如图3－2－1，直线l∥m,在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量错误!与错误!有怎样的关系？【提示】错误!∥错误!。

2．如图直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n，则向量n与平面α有怎样的关系?【提示】n⊥α。

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l⊥α，取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量。

空间中平行关系的向量表示设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝（a1，b1,c1），b＝（a2,b2,c2)，线线平行则l∥m⇒a∥b⇔（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）设l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），α的法向量为u＝(a2，b2，c2),则l∥α⇔a·u 线面平行＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0设α，β的法向量分别为u＝（a1，b1，c1),v＝（a2，b2，c2），则α∥β⇔u∥v⇔面面平行（a1，b1，c1）＝k(a2，b2,c2）求平面的法向量图3－2－2已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝错误!，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．（2)求平面SCD的一个法向量．【自主解答】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0），B（0,1，0)，C(1，1，0）,D（错误!,0,0），S（0,0，1)．（1)∵SA⊥平面ABCD，∴错误!＝（0,0，1)是平面ABCD的一个法向量．∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴错误!＝（错误!，0，0)是平面SAB的一个法向量．(2）在平面SCD中,错误!＝(错误!，1,0)，错误!＝（1，1,－1）．设平面SCD的法向量是n＝（x，y,z),则n⊥错误!，n⊥错误!。