用向量方法求空间中的角.ppt

A．5
B．8
C． 60 13
D．13 3
【答案】C
【解析】解：以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立如
图所示的空间直角坐标系， 设 B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面 A1BCD1 的法向量为 n ＝(a，b，c)，则 C(0，12，
B1B n n
60 ， 13
因为 B1C1∥BC，BC 平面 A1BCD1，B1C1 平面 A1BCD1，
所以 B1C1∥平面 A1BCD1，所以 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离即为点 B1 到平面 A1BCD1 的距离，
所以直线
B1C1
到平面
A1BCD1
的距离为
60 13
，故选：C.
知识点01 线面角的向量
1．已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=2，E 是侧棱 BB1 的中点，则直线 AE 与平面
A1ED1 所成角的大小为（ ）
A．60°
B．90°
C．45°
D．以上都不对
【答案】B 【解析】 以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，
0)，D1(0，0，5), CD1
0, 12,5
, BC
x, 0, 0
，由
n n
BC CD1
，得
n n
BC a x
CD1 a 0
b0 b 12
c0 c
5
ax 0 12b
5c
0
，所以
a＝0，b＝ 152
c，取 n
＝(0，5，12)，

所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.

反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中
点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分
别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；
证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
－1)，C→E＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
解析答案
题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为 2a ，M为 A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
D.90°
解析 ∵cos〈m，n〉＝ 12＝ 22，
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答案
12345
3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝ 2BB1，则AB1与C1B所成角的大 小为( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
解析答案
12345
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
232Fra bibliotekA. 3
B. 3
C.3
6 D. 3
解析答案
12345
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直 9
线A1B与B1C所成角的余弦值为_2_5__. 解析 如图，建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3). ∴A→1B＝(0,4,3)，B→1C＝(－4,0,3)， ∴cos〈A—1→B，B—1→C〉＝295.

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，

FE
则(1,1, 1) (k, k,1 k) k k 1 k 3k 1 0,
D
所以k
1 3
,
点F的坐标为
1 3
,
1 3
,
2 3
.
A
G
C y
B
x
典型例题
又点E的坐标为
0,
1 2
,
1 2
,
所以FE
1 3
,
1 6
,

1 6
.
所以cos EFD
FE FD
1 3
,
1 6
,
1 6
cos cos n1, n2
n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
典型例题
例 8 如图 1.4-22，在直棱柱 ABC A1B1C1 中，AC CB 2 ， AA1 3 ，ACB 900 ， P 为 BC 中点，Q，R 分别在棱 AA1 ，BB1 上，A1Q 2AQ ，BR 2RB1 .求平面 PQR 与 平面 A1B1C1 夹角的余弦值.
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的协 力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的 法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相 反向量．
图1.4-24
典型例题
解：如图1.4 24, 设水平面的单位法向量为n, 其中每一根绳子的拉力
均为F .因为n, F 30,所以F在n上的投影向量为
A
G
B
x
(2) 求证：PB 平面EFD;
依题意得B(1,1, 0),
PB
(1,1,
1),
又 DE
0,
1 2
,
1 2
,

如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角 指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用

则
cos
θ＝|cos<n1，n2>|
＝
|n1·n2| |n1|·|n2|
0，2π
自主学习
图（1）直线与平面所成角 图（2）平面与平面所成角
自主学习
思考 1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
思考 2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
B→C·n＝0
－ 3x＋y＝0
由
，得
，
A→1C·n＝0
y－ 3z＝0
→
取 n＝(1，
3，1)，故
sin
θ＝|cos〈E→F，n〉|＝
|EF·n| →
＝45.
|EF|·|n|
因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为35.
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
例 6-变式 如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝ 3，
1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1 t 22 ·cos 60°，
所以 t＝1，所以点 E 的位置是 AB 的中点．
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
角度2：线面角 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
经典例题
题型二 利用空间向量求夹角
例 6 如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°， ∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F 分别是 AC，A1B1 的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值．
(2)范围：异面直线所成角的范围是0，π2，故两直线方向向量夹角的余弦 值为负时，应取其绝对值．

又PD∩CD=D,
所以AE⊥平面CDP.
所以 AD
=(0,1,0), AE =
(0，1，1) 分别是平面ABP,平面CDP的法向量,
22
且< AD，AE >=45°,
所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.
考点1 向量法求异面直线所成的角
【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱
|n| | 2 6 2 | 2. 22 (2)2 1
(4)(2015·济南模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,
若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.建立如图所示空间直角坐标系, 设AB=PA=1,知A(0,0,0), B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1), 由题意,AD⊥平面ABP,设E为PD的中点, 连接AE,则AE⊥PD, 又因为CD⊥平面PAD, 所以AE⊥CD,
柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且AA1⊥面ABC,M是
侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小
是
.
(2)(2015·岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4. ①证明:PQ⊥平面ABCD. ②求异面直线AQ与PB所成角的余弦值.
直角坐标系Oxyz,由条件得P(0,0,1),A(2 2 ,0,0),Q(0,0,-2),
B(0,2 2 ,0),
所以 AQ (2 2,0， 2),PB 0,2 2, 1 .
于是 | cos〈AQ, PB〉| | AQ PB | 3 .

|n1·n2| |n1|·|n2| ＝
[小问题·大思维]
1．当一条直线 l 与一个平面 α 的夹角为 0 时，这条直线一定 在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．
2．为什么求空间角的公式中都带有绝对值？ 提示：因为异面直线所成的角的范围是(0，π2]，斜线与平面 所成的角的范围是(0，π2)，二面角的锐二面角的范围是(0，π2)， 而两个向量的夹角的范围是[0，π]．因此计算时加绝对值．
所以A(0，0，0)，B( 3，－1，0)， C( 3，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， E( 3，0，0)，F( 23，12，1)，
uuur
所以 AE ＝(
3，0，0)，
uuur AF
＝(
23，12，1)．
设平面 AEF 的一个法向量为 m＝(x1，y1，z1)，
uuur
则m·uAuEur m·AF
n1

(0,1,
2 4

3 4
)
uuur
由
APgn uuur
2

3y2

4z2

0,
ACgn2 4x2 5y2 0.
得

x
2

5 4
y2,
z2


3 4
y2,
可取n2=(5,4,-3).
由n1·n2=0,得
4

3g2 4

3 4

0，
解得 2故, AM=3．
则 PuuMu=r λ(0,-3,-4)=(0,-3λ,-4λ)．
uuur uuur uuur uuur uuur BM BP PM BP PA

【规律方法】
1.平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,
然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
设平面的法向量为n=(x,y,z).
(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
的距离为 | BO |＝| AB || cos〈AB，n〉| ＝
| AB n | |n|
.
3. (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距 离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
考点1 向量法求异面直线所成的角
【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱
考点3 向量法计算与应用二面角的大小 知·考情
利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个 热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2) 或(3)问的形式出现.
明·角度 命题角度1:计算二面角的大小 【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形, ∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (1)求证:C1M∥平面A1ADD1. (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= 3,求平面C1D1M和平面ABCD所成 的角(锐角)的余弦值.
22
所以 AD 0, 3,0 ,AE (0, 3 , 1),AC (m, 3,0). 22
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则n1 AD 0,n1 AE 0, 解得一个n1=(1,0,0). 同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 n2 AC 0,n2 AE 0, 解得一个 n2 ( 3，m, 3m).